코시 적분 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 주요 내용 및 예시
4. 증명
- 4.1. C¹ 가정을 이용한 증명
- 4.2. C¹ 가정을 사용하지 않는 증명
5. 일반화
- 5.1. 1-사이클에 대한 코시 정리
- 5.2. 호모토피 형태의 코시 정리
6. 의의 및 활용
참조

1. 개요

코시 적분 정리는 복소해석학의 기본 정리로, 유계 연결 열린 집합에서 정의된 정칙 함수의 적분에 대한 내용을 다룬다. 이 정리에 따르면, 경계가 유한 개의 조각으로 이루어진 영역에서 정칙 함수를 경계로 적분하면 그 값은 0이 된다. 특히 단일 연결 영역에서 정칙 함수의 경로 적분은 경로의 선택에 의존하지 않으며, 미적분학의 기본 정리와 유사하게 계산할 수 있다. 코시 적분 정리는 코시 적분 공식과 잔류 정리를 유도하는 데 중요한 역할을 하며, 복소 함수의 미분 가능성과 무한 미분 가능성을 보장한다.

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코시 적분 정리
개요
분야	복소해석학
관련 인물	오귀스탱 루이 코시
이전 명칭	코시-구르사 정리
내용
설명	복소 평면에서 해석적인 함수의 선적분에 대한 정리이다.
공식	임의의 단순 닫힌 경로 C에 대해, C의 내부 영역에서 해석적인 함수 f에 대해 ∫C f(z) dz = 0 이다.
일반화	경로 내부에 특이점이 있는 경우, 코시 적분 공식 또는 유수 정리를 사용하여 적분을 계산할 수 있다.
응용
설명	복소 적분 계산, 함수 값 결정 등에 사용된다.
관련 정리	코시 적분 공식, 유수 정리

2. 정의

유계 연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 의 경계 $\partial D$ 가 유한 개의 조각마다 $\mathcal C^1$ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 $f\colon\operatorname{cl}D\to\mathbb C$ 가 $D$ 에서 정칙 함수라고 하자. '''코시 적분 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.^[6]

: $\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=0$

이에 따라, 단일 연결 열린집합 $D\subseteq\mathbb C$ 위의 정칙 함수 $f\colon D\to\mathbb C$ 의, 임의의 두 점 $z',z''\in D$ 사이의 경로 적분 값은 경로

: $\gamma\colon[a,b]\to D\qquad(\gamma(a)=z',\;\gamma(b)=z'')$

의 선택에 의존하지 않는다.

에두아르 구르사는 복소 도함수 $f'(z)$ 가 $U$ 의 모든 곳에서 존재한다는 가정만으로 코시 적분 정리를 증명했다. 이는 이러한 함수에 대해 코시 적분 공식을 증명하고, 이를 통해 이 함수들이 무한 미분 가능함을 추론할 수 있기 때문에 중요하다.^[1]

코시 적분 정리는 코시 적분 공식과 잔류 정리로 이어진다.

2. 1. 기본 정리 (단일 연결 영역)

단일 연결 열린집합

U \subseteq \Complex

에서 정칙 함수

f\colon U\to\Complex

가 주어지고,

\gamma \colon [a,b] \to U

가 매끄러운 닫힌 곡선일 때, 다음이 성립한다.^[6]

::

\int_\gamma f(z)\,dz = 0.

여기서

U

가 단일 연결이라는 조건은

U

에 "구멍"이 없다는 것을 의미한다. 즉,

U

의 기본군이 자명하다.

다른 표현으로, 영역 ''D''에서 정칙인 복소 함수 ''f''(''z'')가 주어지고, C가 ''D'' 내의 어떤 유계 영역의 경계이고 서로 교차하지 않는 유한 개의 구분적으로 매끄러운 조르당 닫힌 곡선으로 이루어져 있을 때, 다음이 성립한다.^[2]

::

\oint_C f(z) \, \mathrm{d}z\ = 0

이는 ''f''(''z'')가 어떤 영역 내에서 항상 정칙이면, 그 영역을 둘러싸는 닫힌 곡선으로 ''f''(''z'')를 적분한 값이 0이 된다는 의미이다.

또한, 단일 연결 영역 상의 정칙 함수에는

\mathrm{d}F/\mathrm{d}z = f

를 만족하는 정칙 함수

F

가 항상 존재한다. 따라서 시점과 종점을 정하면 적분 경로에 관계없이 다음이 성립한다.

::

\int_{a}^{b} f(z) \, \mathrm{d}z\ = F(b) - F(a)

닫힌 곡선의 경우 시점과 종점이 일치하므로, 위 식에 따라 적분 값은 0이 된다.

2. 2. 일반적인 형태

더 일반적인 경우, 닫힌 곡선이 상수 곡선과 호모토픽(연속적으로 변형 가능)하면 코시 적분 정리가 성립한다.

열린 집합

U \subseteq \Complex

가 주어지고,

f: U \to \Complex

가 정칙 함수라고 하자.

\gamma: [a,b] \to U

가 매끄러운 닫힌 곡선이고,

\gamma

가 상수 곡선에 호모토픽하다면 다음이 성립한다.^[6]

:

\int_\gamma f(z)\,dz = 0.

곡선이 상수 곡선에 호모토픽하다는 것은 곡선에서 상수 곡선까지

U

내에서 매끄러운 호모토피가 존재한다는 것을 의미한다. 직관적으로 이것은 공간 밖으로 나가지 않고 곡선을 점으로 축소할 수 있다는 것을 의미한다.

단순 연결 공간에서 모든 닫힌 곡선이 상수 곡선에 호모토픽하기 때문에, 첫 번째 정리는 이 정리의 특수한 경우이다.

2. 3. 복소 선적분의 기본 정리

f^영어(z)가 열린 영역 U에서 정칙 함수이고, γ가 U 내에서 z₀에서 z₁까지의 곡선이라면, 즉, f^영어(z)가 단일 값의 부정적분을 가지면 경로 적분은 경로에 독립적이다.

만약

f'(z)

가 열린 영역 U에서 정칙 함수이고,

\gamma

가 U 내에서

z_0

에서

z_1

까지의 곡선이라면,

\int_{\gamma}f'(z) \, dz = f(z_1)-f(z_0).

또한,

f(z)

가 열린 영역 U에서 단일 값의 부정적분을 가질 때, 경로 적분

\int_{\gamma}f'(z) \, dz

는 U 내의 모든 경로에 대해 경로 독립적이다.

이 정리의 중요한 결과 중 하나는 단일 연결 공간에서 정칙 함수의 경로 적분을 미적분학의 기본 정리에서와 같이 계산할 수 있다는 것이다. U를

\Complex

의 단일 연결 열린 부분 집합이라 하고,

f: U \to \Complex

를 정칙 함수라고 하며,

\gamma

를 시작점 a와 종점 b를 갖는 U의 구간별 연속 미분 가능 경로라고 하자. F가 f의 복소 부정 적분이라면,

\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a).

영역 내에

\ \mathrm{d}F/\mathrm{d}z = f

가 되는 정칙 함수 F가 존재하는 경우, 시점과 종점을 정하면 적분 경로에 관계없이

:

\int_{a}^{b} f(z) \, \mathrm{d}z\ = F(b) - F(a)

가 된다. 이때 닫힌 곡선, 즉 시점과 종점이 일치하는 경우 값이 0이 되는 것은 분명하다. 즉, 코시 적분 정리는 단일 연결 영역 상의 정칙 함수에는 이러한 F가 항상 존재한다는 것을 의미한다.

3. 주요 내용 및 예시

코시 적분 정리가 적용되지 않는 대표적인 예로, 함수 f|에프^영어(z) = 1/z를 단위원

:γ|감마^영어(t) = e^it (t ∈ [0, 2π])

을 따라 적분하는 경우가 있다. 이 경우 적분값은

:∫_γ (1/z) dz = 2πi ≠ 0

으로 0이 아니다. 이는 f|에프^영어(z)가 z = 0에서 정의되지 않아 정칙 함수 조건을 만족하지 않기 때문이다.^[6]

4. 증명

그린 정리와 코시-리만 방정식을 이용하면 코시 적분 정리를 증명할 수 있다. 함수 $f$ 를 $f=u+iv$ 와 같이 실수부와 허수부로 나누고, 미분 $dz$ 를 $dz=dx+i\,dy$ 로 표현하면 다음과 같다.

: $\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy)$

그린 정리에 의해 닫힌 경로 $\gamma$에 대한 선적분은 $\gamma$로 둘러싸인 영역 $D$에 대한 이중적분으로 변환된다.

: $\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) = \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) \,dx\,dy$

: $\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) \,dx\,dy$

$D$에서 정칙 함수 $f$ 의 실수부 $u$ 와 허수부 $v$ 는 코시-리만 방정식을 만족한다.

: $\frac{ \partial u }{ \partial x } = \frac{ \partial v }{ \partial y }$

: $\frac{ \partial u }{ \partial y } = -\frac{ \partial v }{ \partial x }$

따라서 위 이중적분의 피적분함수는 0이 되므로, 다음이 성립한다.

: $\iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) \,dx\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \right) \, dx \, dy =0$

: $\iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right) \,dx\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} \right) \, dx \, dy = 0$

결과적으로 $\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$ 이 된다.

이 증명은 함수 $f$ 의 도함수가 연속이라는 가정 하에 성립한다. 20세기 초, 구르사는 도함수의 연속성 가정 없이 코시 적분 정리를 증명하였다.^[3]

4. 1. C¹ 가정을 이용한 증명

도함수

f'

가

\operatorname{cl}D

의 어떤 근방

N\supseteq\operatorname{cl}D

에서 연속 함수임을 가정할 경우,^[6]

:

f=u+iv

인

u,v\colon N\to\mathbb R

를 취한다. 그러면, 그린 정리와 코시-리만 방정식에 의하여,

:

\begin{align}\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz&=\int_{\partial D}(u+iv)(\mathrm dx+i\mathrm dy)\\&=\int_{\partial D}(u\mathrm dx-v\mathrm dy)+i\int_{\partial D}(u\mathrm dy+v\mathrm dx)\\&=\iint_D\left(-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy+i\iint_D\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)\mathrm dx\mathrm dy\\&=0\end{align}

이다.

정칙 함수의 편도함수가 연속이라고 가정하면, 코시 적분 정리는 그린 정리와

f=u+iv

의 실수부와 허수부가

\gamma

로 둘러싸인 영역에서, 그리고 이 영역의 열린 근방에서 코시-리만 방정식을 만족해야 한다는 사실의 직접적인 결과로 증명될 수 있다. 코시는 이 증명을 제시했지만, 이후 구르사에 의해 벡터 미적분학 기법이나 편도함수의 연속성을 요구하지 않고 증명되었다.^[3]

4. 2. C¹ 가정을 사용하지 않는 증명

도함수의 연속성을 가정하지 않고 코시 적분 정리를 증명할 수 있다. 우선

D

가 삼각형 열린집합인 경우를 증명한다.^[6]

귀류법을 사용하여,

:

\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\ne 0

이라고 가정한다.

D_0=D

라고 하고, 삼각형 열린집합

D

의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합

T_1,T_2,T_3,T_4

를 생각한다. 그렇다면,

:

\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz=\sum_{k=1}^4\int_{\partial T_k}f(z)\mathrm dz

이므로,

:

\left|\int_{\partial D_1}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 14\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|

인

D_1\in\{T_1,T_2,T_3,T_4\}

가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열

(D_n)_{n=0}^\infty

을 얻는다.

$D_n\subseteq D_{n-1}$
$\operatorname{diam}D_n=\frac 1{2^n}\operatorname{diam}D$
$\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|=\frac 1{2^n}\int_{\partial D}|\mathrm dz|$
$\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|\ge\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\qquad(n\in\{1,2,\dots\})$

따라서,

:

\bigcap_{n=0}^\infty D_n=\{z_0\}

인

z_0\in\mathbb C

가 존재하며, 임의의

n\in\{0,1,\dots\}

에 대하여,

:

\begin{align}0<\frac 1{4^n}\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|\le\left|\int_{\partial D_n}f(z)\mathrm dz\right|&=\left|\int_{\partial D_n}(f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0))\mathrm dz\right|\\&\le\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\cdot\operatorname{diam}D_n\cdot\int_{\partial D_n}|\mathrm dz|\\&=\frac 1{4^n}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\cdot\operatorname{diam}D\cdot\int_{\partial D}|\mathrm dz|\end{align}

이다.

:

\lim_{n\to\infty}\max_{z\in\partial D_n}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|=0

이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 증명한다.

D

는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상

D

가 단일 연결 열린집합이라고 가정한다.

임의의

\epsilon>0

에 대하여,

f

는 균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합

\tilde D\subseteq D

가 존재한다.

$\operatorname{cl}\tilde D\subseteq D$
$\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz-\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon$

다각형 열린집합

\tilde D

는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,

:

\int_{\partial\tilde D}f(z)\mathrm dz=0

이며, 따라서

:

\left|\int_{\partial D}f(z)\mathrm dz\right|<\epsilon

이다.

이 증명은 20세기에 Édouard Goursat|에두아르 구르사^영어에 의해 제시되었다.^[3]

5. 일반화

적분 경로 ''C''를 1-사이클, 즉 유한 개의 닫힌 곡선의 형식 합 ''C=C₁+...+C_n''으로 일반화할 수 있다. 1-사이클 ''C''가 ''D'' 내에서 0에 호몰로구하다는 것은 ''C''로 둘러싸인 유계 영역이 ''D''에 포함된다는 것을 의미한다.

또한 ''C''가 단순히 구분적으로 매끄러운 닫힌 곡선일 때, 축약 가능(0에 호모토피 동치)하면 ''C''는 1-체인으로서 ''D'' 내에서 0에 호몰로구하다(주: 역은 성립하지 않음).

5. 1. 1-사이클에 대한 코시 정리

1-사이클인 적분 경로 ''C''는 유한 개의 닫힌 곡선의 형식 합 ''C=C_1+...+C_n''으로 일반화할 수 있다.

1-사이클에 대한 코시 정리

''D''를 영역으로 하고, ''f''(''z'')는 ''D'' 위에서 정칙인 복소 함수라고 하자. ''D'' 내의 구분적으로 매끄러운 1-사이클 ''C''가 ''D'' 내에서 0에 호몰로구(homologous to 0)일 때,^[4]

:

\oint_C f(z) \, \mathrm{d}z\ = 0

여기서 ''D'' 내에서 0에 호몰로구라는 것은 0에 호모토피 동치인 유한 개의 ''D'' 내의 닫힌 곡선의 형식 합으로 쓸 수 있다는 것을 의미한다.

1-사이클 ''C''가 ''D'' 내에서 0에 호몰로구하다는 것은 "''C''로 둘러싸인 유계 영역"이 ''D''에 포함된다는 것이다. 단, "''C''로 둘러싸인 유계 영역"이라는 개념은 (시각적으로는 명확하게 지정할 수 있지만) 정확한 수학적 정식화에는 조르당 곡선 정리(구분적으로 C^1인 조르당 곡선에 대한 것으로 충분하며, 이 경우에 한정된 증명은 상당히 간단해진다)를 가정하거나 회전수 (수학)#복소해석학라는 개념을 사용해야 한다.^[5]

특히 처음에 언급한 조건인, ''C''가 ''D'' 내의 어떤 유계 영역의 경계이며 서로 교차하지 않는 유한 개의 구분적으로 매끄러운 조르당 닫힌 곡선으로 이루어져 있을 때, ''C''는 ''D'' 내에서 0에 호몰로구하다.

5. 2. 호모토피 형태의 코시 정리

영역 ''D''에서 정칙인 함수 f(z)와 ''D'' 내의 닫힌 곡선 ''C''에 대해, ''C''가 ''D'' 내에서 축약 가능(0에 호모토픽)하면 다음이 성립한다.^[4]

:

\oint_C f(z) \, \mathrm{d}z\ = 0

특히, ''D''가 단일 연결이면 임의의 닫힌 곡선 ''C''에 대해 위 가정이 만족된다.^[4]

6. 의의 및 활용

코시 적분 정리는 복소해석학의 여러 중요 정리 (코시 적분 공식, 잔류 정리 등^[1])로 이어진다. 단일 연결 영역에서 정칙 함수의 경로 적분을 미적분학의 기본 정리와 비슷한 방식으로 계산할 수 있게 해준다. $U$ 를 \mathbb{C}의 단일 연결 열린 부분 집합이라 하고, $f\colon U\to\mathbb{C}$ 를 정칙 함수, $\gamma$ 를 시작점 $a$ 와 종점 $b$ 를 갖는 $U$ 의 구간별 연속 미분 가능 경로라고 하자. $F$ 가 $f$ 의 복소 부정 적분이라면, 다음이 성립한다.

: $\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

에두아르 구르사는 코시 적분 정리를 복소 도함수 $f'(z)$ 가 $U$ 의 모든 곳에서 존재한다는 가정만으로 증명할 수 있음을 보였다. 이는 이러한 함수에 대해 코시 적분 공식을 증명하고, 이를 통해 이 함수들이 무한 미분 가능함을 추론할 수 있기 때문에 중요하다.

참조

_[1] 학술지 The Cauchy-Goursat Theorem for Rectifiable Jordan Curves 1933-05-01
_[2] 서적 複素解析I
_[3] 간행물 Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy, http://www.ams.org/j[...]
_[4] 서적 複素解析II
_[5] 서적 解析入門II
_[6] 서적 复变函数简明教程北京大学出版社 2006-02

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