부호 (수학)

(sgn(''z'')는 ''z''에 대한 부호함수이며, |''z''|는 ''z''의 절댓값(modulus^영어)이다.)^[1]

복소수는 순서를 매길 수 없으므로 순서 고리 구조를 가질 수 없으며, 따라서 양수 및 음수 복소수로 분할될 수 없다. 그러나 복소수는 실수와 절댓값 또는 크기라고 하는 속성을 공유한다. 크기는 항상 음수가 아닌 실수이며, 0이 아닌 모든 수에는 양의 실수인 절댓값이 존재한다.

일반적으로 임의의 실수는 크기와 부호로 지정할 수 있다. 표준 인코딩을 사용하면 모든 실수 값은 크기와 표준 인코딩의 부호의 곱으로 주어집니다. 이 관계는 복소수의 "부호"를 정의하는 데 일반화될 수 있다.

''z''의 '''복소수 부호'''는 ''z''와 |''z''|의 크기의 몫으로 정의할 수 있다. 복소수의 부호는 허수 단위와 인수의 곱의 지수이다. 이는 어떤 의미에서 복소수 인수를 나타낸다. 이는 $e^\{i\; \backslash pi\}=\; -1.$을 제외하고 실수 부호와 비교할 수 있다.

실수는 1차원 방향을 갖는 반면, 복소수는 2차원 방향을 갖는다. 복소수 부호 함수는 인수 ''z'' = ''x'' + ''iy''의 크기를 필요로 하며, 이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\backslash bar\; z\}\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}.$$

위와 유사하게, '''복소수 부호 함수'''는 0이 아닌 복소수의 집합을 단일 모듈 복소수의 집합으로, 0을 0으로 매핑하여 복소수의 복소수 부호를 추출한다. $\backslash \{z\; \backslash in\; \backslash Complex\; :\; |z|\; =\; 1\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{0\backslash \}.$ 다음과 같이 정의할 수 있다.

''z''를 크기와 인자 ''φ''로 ''z'' = |''z''|⋅''e^iφ''와 같이 표현하면, 다음이 성립한다.^[3]

$$\backslash sgn(z)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$

0 &\text{for } z=0\\

\dfrac{z}

= e^{i\varphi} &\text{otherwise}.

\end{cases}

이 정의는 방향은 변하지 않고 길이는 1로 고정된 정규화된 벡터, 즉 단위 벡터로 인식될 수도 있다. 원래 값이 극좌표 형식으로 R, θ였다면, sign(R, θ)는 1 θ이다.

2. 4. 각의 부호

각에 부호를 붙여서 각의 방향이 시계 방향인지 반시계 방향인지를 나타낼 수 있다. 여러 약속(규약)이 있지만, 수학에서는 보통 반시계 방향을 양수로, 시계 방향을 음수로 정의한다.^[4]

3차원에서의 회전각에도 부호를 붙일 수 있다. 고정축 회전에서 회전축이 방향성을 지닐 때, 축에 대해 오른손 방향의 회전에 양부호를, 왼손 방향의 회전에 음부호를 매긴다.^[5]

2. 5. 변화의 부호

값 ''x''가 변화할 때 ''x''의 변화는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

:$\backslash Delta\; x\; =\; x\_\backslash text\{final\}\; -\; x\_\backslash text\{initial\}.\; \backslash ,$

여기에서 ''x''가 증가했다면 변화의 부호는 양부호가 되고, ''x''가 감소했다면 변화의 부호는 음부호가 된다. 이는 미적분학에서 미분 계수를 정의할 때에도 쓰인다. 단조 증가하는 강한 단조 함수의 미분 계수는 항상 양이 되고, 단조 감소하는 경우 미분 계수는 항상 음이 된다.

수량 ''x''가 시간에 따라 변할 때, ''x'' 값의 변화는 일반적으로 다음 방정식으로 정의된다.

:$\backslash Delta\; x\; =\; x\_\backslash text\{최종\}\; -\; x\_\backslash text\{초기\}.\; \backslash ,$

이 규칙을 사용하면 ''x''의 증가는 양의 변화로, ''x''의 감소는 음의 변화로 간주된다. 미적분학에서 이와 동일한 규칙이 도함수의 정의에 사용된다. 결과적으로 모든 증가 함수는 양의 도함수를 가지며, 모든 감소 함수는 음의 도함수를 갖는다.

2. 6. 방향의 부호

해석기하학이나 물리학에서는 특정한 방향에 양 또는 음의 부호를 부여하여 위치, 속도, 힘 등을 나타낸다. 예를 들어, 수직선은 보통 오른쪽을 양수로, 왼쪽을 음수로 표시한다. 따라서 직선 운동, 변위, 속력 등을 논할 때 오른쪽 방향을 양의 방향, 왼쪽 방향을 음의 방향으로 생각하는 것이 일반적이다.^[4]

데카르트 좌표계에서는 오른쪽과 위쪽 방향을 일반적으로 양수로 간주하며, 오른쪽은 양의 x 방향, 위쪽은 양의 y 방향으로 나타낸다. 벡터 변위가 수평 성분과 수직 성분으로 분리되면, 수평 부분은 오른쪽으로의 운동에 대해 양수이고 왼쪽으로의 운동에 대해 음수이며, 수직 부분은 위쪽으로의 운동에 대해 양수이고 아래쪽으로의 운동에 대해 음수이다.

마찬가지로, 음의 속력 (변위의 변화율)은 반대 방향의 속도를 의미하며, 전진 대신 후퇴를 의미한다. 특별한 경우는 반지름 속도이다.

3차원 공간에서 부호와 관련된 개념은 두 법선 방향과 일반적인 가향성에서 찾을 수 있다.

3. 부호와 관련된 수학 개념

부호와 관련된 수학 개념에는 절댓값과 부호 함수가 있다.

3. 1. 절댓값

기하학적으로 절댓값은 원점으로부터의 거리를 말하며, 실수의 경우 수의 부호를 제거하는 개념이다. 부호가 제거된 수는 보통 양부호를 지닌 것으로 간주된다. 예를 들어 -3의 절댓값은 3이다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

{| class="wikitable"

|-

||−3| = 3

|-

|

>3| = 3

= \frac

{x},

여기서 |x|는 `x`의 절댓값이다.

복소수 부호 함수는 복소수의 크기를 이용하여 정의된다. 복소수 `z`의 크기는 다음과 같이 계산된다.

$$|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\backslash bar\; z\}\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}.$$

복소수 부호 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

`z`를 크기와 편각 φ로 z = |z|⋅e^iφ 와 같이 표현하면, 다음이 성립한다.^[3]

$$\backslash sgn(z)\; =\; \backslash begin\{cases\}$$

0 &\text{for } z=0\\

\dfrac{z}

= e^{i\varphi} &\text{otherwise}.

\end{cases}

4. 컴퓨터에서의 부호 처리

컴퓨터에서 정수 값은 부호 있는 정수와 부호 없는 정수로 나뉜다. 이는 컴퓨터가 해당 숫자의 부호를 보존하는지에 따라 달라진다. 정수 변수를 음이 아닌 값으로만 제한하면 하나의 비트를 부호에 할당하지 않고 숫자를 저장하는 데 사용할 수 있다. 부호 있는 정수 변수의 부호는 2의 보수나 다른 부호 있는 수치 표현을 사용해 표현한다.^[1]

실수는 부동소수점 수 값으로 저장되고 조작된다. 부동 소수점 값은 가수, 지수, 부호의 세 가지 요소로 표현된다. 별도의 부호 비트가 주어지므로 양수 0과 음수 0을 모두 나타낼 수 있다. 대부분의 프로그래밍 언어는 양수 0과 음수 0을 동일한 값으로 취급하지만, 그 차이를 감지할 수 있는 수단을 제공한다.^[1]

대부분의 컴퓨터는 정수의 부호를 나타내기 위해 2의 보수를 사용한다. 아래 표는 2의 보수를 사용한 8비트 정수의 부호 표현 예시이다.

최상위 비트	7	6	5	4	3	2	1	0	값
0	1	1	1	1	1	1	1	1	127
0	1	1	1	1	1	1	1	0	126
0	0	0	0	0	0	0	1	0	2
0	0	0	0	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	−1
1	1	1	1	1	1	1	1	0	−2
1	0	0	0	0	0	0	0	1	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	0	−128