부호함수

여기서 $|z|$는 $z$의 절댓값이다. 이는 0이 아닌 복소수 $z$를 복소평면 위의 벡터로 보았을 때, 원점으로부터 $z$와 같은 방향을 가지는 단위원 위의 점, 즉 단위 벡터를 구하는 것과 같다.

편각 함수 $\backslash arg\; z$를 사용하면 0이 아닌 복소수 $z$에 대해 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$\backslash sgn\; z\; =\; e^\{i\backslash arg\; z\}$

실수 부호 함수와의 일관성 및 대칭성을 위해 $z=0$일 때는 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash sgn(0)=0$

따라서 복소수 부호 함수는 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

실수부와 허수부를 이용한 부호 함수의 다른 일반화로는 $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수가 있으며,^[5] 다음과 같이 정의된다.

:$$$$

\operatorname{csgn} z= \begin{cases}

1 & \text{if } \mathrm{Re}(z) > 0, \\

• 1 & \text{if } \mathrm{Re}(z) < 0, \\

\sgn \mathrm{Im}(z) & \text{if } \mathrm{Re}(z) = 0

\end{cases}



여기서 $\backslash mathrm\{Re\}(z)$는 $z$의 실수부이고 $\backslash mathrm\{Im\}(z)$는 $z$의 허수부이다. 이 정의를 사용하면 0이 아닌 모든 복소수 $z$에 대해 다음 관계가 성립한다.

:$$\backslash operatorname\{csgn\}\; z\; =\; \backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\{z^2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{z^2\}\}\{z\}$$

참고로, gnuplot에서는 복소수 부호 함수를 $\backslash sgn\; z\; =\; \backslash sgn\; \backslash mathrm\{Re\}(z)$로 정의하기도 하며, Maple V에서는 위에서 설명한 $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수를 사용한다. 그러나 일반적으로 복소수 부호 함수는 맨 처음에 소개된 정의($\backslash sgn\; z\; =\; z/|z|$)를 따른다.

3. 성질

부호 함수는 입력값의 부호에 따라 -1, 0, 1 중 하나의 값을 가지는 함수로, 여러 가지 유용한 수학적 성질을 지닌다.

어떤 실수는 그 절댓값과 부호 함수의 곱으로 나타낼 수 있다. 즉, 실수의 크기와 방향(부호)을 분리하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, $x\; =\; |x|\; \backslash sgn\; x$ 와 같은 관계식이 성립한다.

부호 함수는 멱등성, 기함수 성질을 만족하며, 곱셈이나 거듭제곱 등 다른 연산과 관련된 다양한 항등식을 가진다. 또한 아이버슨 괄호나 바닥 함수 등을 이용한 다른 표현 방식도 존재한다.

실수 범위에서 부호 함수는 디랙 델타 함수나 헤비사이드 계단 함수와 관련된 미분 성질을 가지며, 절댓값 함수의 도함수와도 연관된다.

부호 함수의 더 자세한 항등식, 미분, 적분, 푸리에 변환 등의 성질은 아래 하위 섹션에서 설명한다.

3. 1. 항등식

모든 복소수 $z$는 그 절댓값 $|z|$와 부호함수 $\backslash sgn\; z$의 곱으로 나타낼 수 있다.^[1][2]

:$z\; =\; |z|\; \backslash sgn\; z$

만약 $z$가 0이 아닌 실수라면, 다음 항등식들이 성립한다.

:$\backslash sgn\; z\; =\; \backslash frac\{z\}$

= \frac

{z} \qquad (z \ne 0)

:$|z|\; =\; z\; \backslash sgn\; z\; \backslash qquad\; (z\; \backslash ne\; 0)$

복소수 부호 함수는 곱셈, 나눗셈, 덧셈 역원, 켤레 복소수 연산을 보존한다. 즉, 임의의 복소수 $z,\; w$에 대해 다음 항등식들이 성립한다.^[1][2]

• $\backslash sgn(zw)\; =\; \backslash sgn\; z\; \backslash sgn\; w$
• $\backslash sgn(z/w)\; =\; \backslash sgn\; z\; /\; \backslash sgn\; w\; \backslash qquad\; (w\; \backslash ne\; 0)$
• $\backslash sgn(-z)\; =\; -\backslash sgn\; z$ (부호 함수는 기함수이다.)
• $\backslash overline\{\backslash sgn\; z\}\; =\; \backslash sgn\; \backslash bar\; z$

복소수 부호 함수와 절댓값 함수의 합성은 다음과 같다. $z\; \backslash ne\; 0$인 경우, 결과는 항상 1이다.^[1][2]

:

복소수 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, 여러 번 적용해도 결과는 같다.^[1][2]

:$\backslash sgn\; z\; =\; \backslash sgn(\backslash sgn\; z)\; =\; \backslash sgn(\backslash sgn(\backslash sgn\; z))\; =\; \backslash cdots$

실수 $x$에 대해서도 유사한 항등식들이 성립한다.

• $x\; =\; |x|\; \backslash sgn\; x$
• $\backslash sgn\; x\; =\; \backslash frac\{x\}$

= \frac

{x} \qquad (x \ne 0)

$|x|\; =\; x\; \backslash sgn\; x$

$\backslash sgn(xy)\; =\; (\backslash sgn\; x)(\backslash sgn\; y)$

$\backslash sgn(x^n)\; =\; (\backslash sgn\; x)^n$ (단, $n$은 정수)

$\backslash sgn\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sgn\; x\}\; \backslash qquad\; (x\; \backslash ne\; 0)$

$\backslash sgn\; \backslash frac\{x\}\{y\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sgn\; x\}\{\backslash sgn\; y\}\; \backslash qquad\; (y\; \backslash ne\; 0)$

부호 함수는 다른 함수 표기법을 사용하여 나타낼 수도 있다.

• 아이버슨 괄호 사용:
• 바닥 함수 사용: $\backslash sgn\; x\; =\; \backslash Biggl\backslash lfloor\; \backslash frac\{x\}\{|x|+1\}\; \backslash Biggr\backslash rfloor\; -\; \backslash Biggl\backslash lfloor\; \backslash frac\{-x\}$

- 0^{x+|x|}

극형식과 관련된 항등식은 다음과 같다.

• $\backslash arg(\backslash sgn\; x)\; =\; \backslash arg\; x$ (단, $\backslash arg$는 복소수의 편각)
• $\backslash sgn\; x\; =\; e^\{i\; \backslash arg\; x\}\; \backslash qquad\; (x\; \backslash ne\; 0)$ (오일러 공식 활용)

실수 범위에서 미분 및 다른 함수와의 관계는 다음과 같다.

• $\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash sgn\; x\; =\; 2\; \backslash delta(x)$ (단, $\backslash delta$는 디랙 델타 함수)
• $\backslash sgn\; x\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; |x|\; \backslash qquad\; (x\; \backslash ne\; 0)$ (절댓값 함수의 도함수)
• $\backslash sgn\; x\; =\; 2\; H\_\{1/2\}(x)\; -\; 1$ (단, $H\_\{1/2\}$는 헤비사이드 계단 함수이며, $H\_\{1/2\}(0)\; =\; 1/2$로 정의됨)

3. 2. 미분

실수 부호함수는 $x=0$을 제외한 모든 점에서 미분 가능 함수이다. $x\; \backslash ne\; 0$일 때, 부호 함수는 상수 함수(음수일 때는 -1, 양수일 때는 +1)와 같으므로, 그 도함수는 0이다.^[2][3]

$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash sgn\; x\; =\; 0\; \backslash qquad\; \backslash text\{for\; \}\; x\; \backslash ne\; 0\backslash ,.$$

그러나 $x=0$에서는 불연속점이므로 고전적인 의미의 미분은 불가능하다. 그래프에서 볼 수 있듯이, $x$가 0에 접근할 때 함수의 값은 $\backslash sgn(0)=0$으로 갑자기 변하며, 이는 극한값이 존재하지 않음을 의미한다. 따라서 $x=0$에서는 미분 계수를 정의할 수 없다.

분포 이론의 관점에서는 부호 함수의 도함수를 정의할 수 있다. 분포로서의 도함수는 디랙 델타 함수$\backslash delta(x)$의 2배와 같다.^[2][3]

$$\backslash frac\; d\{dx\}\backslash sgn\; x=2\backslash delta(x)$$

이는 헤비사이드 계단 함수 $H(x)$ (단, $H(0)=\backslash frac\{1\}\{2\}$)와의 관계식 $\backslash sgn\; x\; =\; 2\; H(x)\; -\; 1$을 이용하여 유도할 수 있다. 헤비사이드 계단 함수의 분포 도함수가 디랙 델타 함수($\backslash frac\{d\; H(x)\}\{dx\}\; =\; \backslash delta(x)$)이므로 다음이 성립한다.^[3]

$$\backslash frac\{d\backslash sgn\; x\}\{dx\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; (2\; H(x)\; -\; 1)\; =\; 2\; \backslash frac\{d\; H(x)\}\{dx\}\; =\; 2\backslash delta(x)\; \backslash ,.$$

또한, 부호 함수는 절댓값 함수의 도함수와 관련이 있다. $x\; \backslash ne\; 0$일 때, 절댓값 함수의 도함수는 부호 함수와 같다.

$$\backslash sgn\; x\; =\; \backslash frac\{d\; |x|\}\{dx\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{for\; \}\; x\; \backslash ne\; 0$$

하지만 $x=0$에서는 절댓값 함수도 미분 가능하지 않다.

3. 3. 적분

실수 부호 함수의 정적분은 다음과 같이 절댓값 함수와 관련된다.

:$\backslash int\_0^x\; \backslash sgn(t)\; dt\; =\; |x|$

또한, 임의의 실수 $a$와 $b$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_a^b\; \backslash sgn(x)\; dx\; =\; |b|\; -\; |a|$

부호 함수는 $x=0$인 지점을 제외하고는 절댓값 함수의 도함수와 같다. 즉, $x\; \backslash neq\; 0$일 때 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{d|x|\}\{dx\}\; =\; \backslash sgn(x)$

이는 절댓값 $|x|$의 정의를 $x>0$과 인 경우로 나누어 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 예를 들어, $x>0$일 때 $|x|=x$이므로 그 도함수는 상수 $1$이며, 이는 해당 구간에서 $\backslash sgn(x)$의 값과 같다. 마찬가지로 일 때 $|x|=-x$이므로 그 도함수는 $-1$이며, 이는 해당 구간에서 $\backslash sgn(x)$의 값과 같다.

절댓값 함수는 볼록 함수이므로 모든 점에서 적어도 하나의 서브도함수(subderivative)를 가진다. $x=0$을 제외한 모든 점에서는 서브미분(subdifferential)이 부호 함수의 값과 같은 단일 값으로 구성된다. 하지만 $x=0$에서는 여러 개의 서브도함수가 존재하며, 그 값들의 집합인 서브미분은 구간 $[-1,\; 1]$을 형성한다. 이 구간에는 $\backslash sgn(0)=0$도 포함된다. 이는 절댓값 함수가 $x=0$에서 최솟값을 가지기 때문이다.

적분 이론의 관점에서 보면, 부호 함수는 절댓값 함수의 약한 도함수이다. 약한 도함수는 거의 모든 곳에서 같은 값을 가지면 동일한 함수로 간주되므로, $x=0$과 같이 한 점에서 고전적인 도함수가 존재하지 않는 경우에도 정의될 수 있다.

3. 4. 푸리에 변환

실수 부호 함수의 푸리에 변환은 코시 주요값(PV)을 이용한 분포로 이해할 수 있다.^[4] 대표적인 표현 방식은 다음과 같다.

$$PV\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; (\backslash sgn\; x)\; e^\{-ikx\}\backslash text\{d\}x\; =\; \backslash frac\{2\}\{ik\}\; \backslash qquad\; \backslash text\{for\; \}\; k\; \backslash ne\; 0$$

여기서 $PV$는 코시 주요값을 취함을 의미한다.

또는 다음과 같은 형태로도 표현할 수 있다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\backslash sgn\; x\; \backslash ,e^\{-2\backslash pi\; i\; \backslash xi\; x\}dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\; i\}\backslash frac\{1\}\{\backslash xi\}$

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\backslash sgn\; x\; \backslash ,e^\{-i\backslash omega\; x\}dx\; =\; -\backslash frac\{2i\}\{\backslash omega\}$

4. 일반화

부호 함수는 실수뿐만 아니라 다양한 수학적 대상으로 일반화될 수 있다. 대표적인 예로는 복소수로의 확장, 행렬로의 확장, 그리고 일반화 함수로서의 정의 등이 있다. 각각의 일반화는 특정 수학적 맥락에서 부호 함수의 개념을 확장하여 적용한 것이다.

4. 1. 복소수 부호 함수

부호 함수는 복소수 범위로 확장될 수 있다. $z=0$인 경우를 제외한 모든 복소수 $z$에 대해 다음과 같이 정의된다.

$\backslash sgn\; z\; =\; \backslash frac\{z\}$

여기서 $|z|$는 $z$의 절댓값이다. 복소수 $z$의 부호 함수 값은 복소 평면에서 원점으로부터 $z$ 방향으로의 단위 벡터, 즉 단위 원 위의 점으로 생각할 수 있다.

$z\; \backslash ne\; 0$일 때, 이 정의는 다음과 같이 극형식으로도 표현할 수 있다.

$\backslash sgn\; z\; =\; e^\{i\backslash arg\; z\}$

여기서 $\backslash arg\; z$는 $z$의 편각이다.

실수에서와 마찬가지로 $z=0$일 때는 다음과 같이 정의한다.

$\backslash sgn(0+0i)=0$

부호 함수를 복소수로 확장하는 또 다른 방법으로 $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수가 있다.^[5] 이 함수는 다음과 같이 정의된다.

$$

\operatorname{csgn} z= \begin{cases}

1 & \text{if } \operatorname{Re}(z) > 0, \\

• 1 & \text{if } \operatorname{Re}(z) < 0, \\

\sgn \operatorname{Im}(z) & \text{if } \operatorname{Re}(z) = 0

\end{cases}



여기서 $\backslash operatorname\{Re\}(z)$는 $z$의 실수부, $\backslash operatorname\{Im\}(z)$는 $z$의 허수부이다. 즉, $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수는 복소수를 실수부가 양수인지 음수인지에 따라 부호를 결정하고, 실수부가 0일 경우에만 허수부의 부호를 따른다.

$z\; \backslash ne\; 0$일 때, $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\backslash operatorname\{csgn\}\; z\; =\; \backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\{z^2\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{z^2\}\}\{z\}$

여기서 $\backslash sqrt\{z^2\}$는 제곱근의 주치(principal value)를 의미한다.

gnuplot와 같은 일부 소프트웨어에서는 복소수 부호 함수를 다르게 정의하기도 한다. 예를 들어 gnuplot에서는 $\backslash sgn\; z\; =\; \backslash sgn(\backslash operatorname\{Re\}\; z)$로 정의한다. Maple에서는 $\backslash operatorname\{csgn\}$ 함수를 다음과 같이 정의하기도 한다: .

4. 2. 행렬 부호 함수

극분해 정리에 따르면, 행렬$\backslash boldsymbol\; A\backslash in\backslash mathbb\; K^\{n\backslash times\; n\}$ ($n$은 자연수, $\backslash mathbb\; K$는 실수$\backslash mathbb\; R$ 또는 복소수$\backslash mathbb\; C$)는 $\backslash boldsymbol\; Q\backslash boldsymbol\; P$의 곱으로 분해될 수 있다. 여기서 $\backslash boldsymbol\; Q$는 유니타리 행렬이고 $\backslash boldsymbol\; P$는 자기 수반 행렬 또는 에르미트 양의 정부호 행렬이며, 둘 다 $\backslash mathbb\; K^\{n\backslash times\; n\}$에 속하는 행렬이다. 만약 행렬 $\backslash boldsymbol\; A$가 가역 행렬이라면, 이러한 분해는 유일하며 이때 $\backslash boldsymbol\; Q$는 행렬 $\backslash boldsymbol\; A$의 부호 함수(시그넘) 역할을 한다.

다른 방식으로는 $\backslash boldsymbol\; A=\backslash boldsymbol\; S\backslash boldsymbol\; R$ 형태로 분해할 수도 있는데, 여기서 $\backslash boldsymbol\; R$은 유니타리 행렬이지만 일반적으로 위에서 정의한 $\backslash boldsymbol\; Q$와는 다르다. 이는 모든 가역 행렬이 고유한 좌측 시그넘 $\backslash boldsymbol\; Q$와 우측 시그넘 $\backslash boldsymbol\; R$을 가짐을 의미한다.

특별한 경우로, $\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$이고 $n=2$일 때, 가역 행렬 는 0이 아닌 복소수$c\; =\; a+\backslash mathrm\; i\; b$와 동일하게 볼 수 있다. 이 경우, 행렬의 시그넘 $\backslash boldsymbol\; Q$는 를 만족하며, 이는 복소수 $c$의 부호 함수인 $\backslash sgn\; c\; =\; c/|c|$와 같다. 이러한 관점에서 극분해는 복소수의 부호 함수-절댓값(모듈러스) 분해를 행렬로 일반화한 것으로 이해할 수 있다.

4. 3. 일반화 함수

실수 $x$에 대해, 일반화 함수 버전의 부호 함수인 $\backslash varepsilon\; (x)$를 정의할 수 있다. 이 함수는 $x=0$을 포함한 모든 실수 $x$에 대해 $\backslash varepsilon\; (x)^2=1$을 만족시킨다. 이는 $(\backslash sgn\; 0)^2=0$인 일반적인 부호 함수 $\backslash sgn$과는 다른 특징이다.

이 일반화된 부호 함수 $\backslash varepsilon\; (x)$를 이용하면 일반화 함수의 대수를 구성할 수 있지만, 일반적인 수의 곱셈에서 성립하는 교환 법칙이 성립하지 않는다는 단점이 있다. 특히, 일반화된 부호 함수는 디랙 델타 함수$\backslash delta(x)$와 다음과 같은 반교환(anticommutation) 관계를 가진다.^[6]

$$\backslash varepsilon\; (x)\; \backslash delta(x)+\backslash delta(x)\; \backslash varepsilon(x)\; =\; 0$$

또한, 일반적인 부호 함수 $\backslash sgn$과 달리 $\backslash varepsilon\; (x)$는 $x=0$에서 값을 정의할 수 없다. 즉, $\backslash varepsilon\; (0)$는 정의되지 않으며, 이는 $\backslash sgn\; 0=0$인 것과 대조적이다. 이러한 차이 때문에 일반화된 부호 함수를 나타낼 때는 별도의 기호 $\backslash varepsilon$를 사용한다.

5. 응용

(내용 없음)

참조

_[1] 웹사이트 Signum function - Maeckes http://www.maeckes.n[...]
_[2] MathWorld Sign
_[3] MathWorld Heaviside Step Function
_[4] 학술지 The Fourier transform of the unit step function 1990
_[5] 문서 Maple V documentation 1998-05-21
_[6] 학술지 Algebra of one-dimensional generalized functions http://springerlink.[...]
_[7] 서적 なっとくする数学記号 講談社 2021

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