양수 (수학)

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 순서
- 2.2. 선형 대수
3. 비율 척도
4. 로그 측도
5. 응용
- 5.1. 좌표 평면
참조

1. 개요

양수는 0보다 큰 실수를 의미하며, 덧셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 닫혀 있다. 양의 실수의 집합은 곱셈 위상군 또는 덧셈 위상 반군 구조를 가지며, 정수 거듭제곱 수열의 극한은 x의 값에 따라 다르게 나타난다. 양의 실수는 비율 척도와 로그 척도 등 다양한 수학적 개념에서 활용되며, 좌표 평면의 제1사분면을 나타내는 데 사용되기도 한다.

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양수 (수학)
일반 정보
정의	0보다 큰 실수
기호	ℝ>0 ℝ+ ℝ≥0
속성	순서체 가산 집합
관련 개념
반대	음의 실수
포함	실수

2. 성질

양의 실수는 덧셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 닫혀 있다. 이는 실수선에서 위상을 상속받아 곱셈 위상군 또는 덧셈 위상 반군의 구조를 가진다.

주어진 양의 실수 $x$ 에 대해, 정수 거듭제곱의 수열 $\left\{x^n\right\}$ 은 $x$ 의 값에 따라 세 가지 결과를 가진다.

$x \in (0, 1)$ 일 때, 극한은 0이다.
$x = 1$ 일 때, 수열은 상수이다.
$x > 1$ 일 때, 수열은 무계이다.

\R_{>0} = (0,1) \cup \{ 1 \} \cup (1,\infty)

이고 곱셈 역원 함수는 구간을 교환한다. 바닥 함수와 초과 함수는 양의 실수

x \in \R_{>0}

을 연분수

\left[ n_0; n_1, n_2, \ldots\right]

로 설명하는 데 사용된다. 이 연분수는 초과 함수가 역수를 취한 후 바닥 함수에서 얻은 정수 수열이다. 유리수

x

의 경우, 수열은

x

의 정확한 분수 표현으로 종료되고, 이차 무리수

x

의 경우, 수열은 주기적 연분수가 된다.

2. 1. 순서

순서 집합

(\R_{>0}, >)

은 전순서이지만 정렬 집합은 아니다.^[1] n에 대해 양방향 무한 등비 수열

10^n

은

(\R_{>0}, >)

에 완전히 속하며, 접근을 위해 분할하는 역할을 한다.^[1]

\R_{>0}

은 가장 높은 측정 수준인 '''비율 척도'''를 형성한다.^[1] 원소는 과학적 표기법으로

a \times 10^b

와 같이 쓸 수 있으며, 여기서

1 \leq a < 10

이고

b

는 양방향 무한 수열의 정수이며, 이를 십진수라고 한다.^[1] 물리적 크기 연구에서 십진수의 순서는 비율 척도에 암시된 서수 척도를 참조하는 양수 및 음수 서수를 제공한다.^[1]

2. 2. 선형 대수

모든 자연수

n

에 대해, 행렬식은

n \times n

실수 행렬에서 실수로의 사상을 제공한다. 가역 행렬로 제한하면 일반 선형군에서 0이 아닌 실수로의 사상을 제공한다. 양의 행렬식을 갖는 행렬로 제한하면 사상

\operatorname{GL}^+(n, \R) \to \R_{> 0}

을 제공한다. 이미지를 정규 부분군

\operatorname{SL}(n, \R) \triangleleft \operatorname{GL}^+(n, \R)

에 의한 몫군으로 해석하여, 특수 선형군이라고 부르며, 양의 실수를 리 군으로 표현한다.

3. 비율 척도

비율 척도는 측정 수준 중 가장 세밀한 정보를 제공한다. 나눗셈에서 분자와 분모가 같을 때 1의 값을 갖는다. 다른 비율은 로그, 종종 밑이 10인 상용로그를 사용하여 1과 비교된다. 비율 척도는 과학 및 기술에서 사용되는 자릿수로 세분화되며 다양한 측정 단위로 표현된다.^[2]

에우독소스는 양의 실수에 대한 이론을 기하학적 언어로 발전시켜 비율 척도를 초기에 표현하였다.^[2]

4. 로그 측도

만약 $[a,b] \subseteq \R_{>0}$ 가 구간이면, $\mu([a,b]) = \log(b / a) = \log b - \log a$ 는 $\R_{>0}$ 의 특정 부분 집합에 대한 측도를 결정하며, 이는 로그 함수 아래에서 실수에 대한 일반적인 르베그 측도의 당김에 해당한다. 즉, 이는 로그 스케일에서의 길이를 나타낸다. 이는 르베그 측도가 덧셈에 대해 불변하는 것과 마찬가지로, $z \in \R_{>0}$ 에 의한 곱셈 $[a,b] \to [az, bz]$ 에 대해 불변 측도이다.^[1] 위상군 맥락에서, 이 측도는 하르 측도의 한 예시이다.^[1]

이 측도의 유용성은 별 등급 및 데시벨의 소음 수준을 설명하는 데 사용되는 것과 로그 스케일의 다른 응용 분야에서 나타난다.^[1] 국제 표준 ISO 80000-3의 목적을 위해, 무차원량은 레벨이라고 한다.^[1]

5. 응용

양의 실수는 거리, 노름, 측도 등 다양한 수학적 개념에서 치역으로 사용된다. 양의 실수는 확률 반환 구조를 가지며, 로그 반환과의 동형 사상을 통해 양의 실수 단위를 얻을 수 있다.

5. 1. 좌표 평면

양의 실수 집합의 데카르트 곱 Q = R_{>0} x R_{>0}는 좌표 평면의 제1사분면을 나타낸다. 제1사분면은 직선 L = {(x, y): x = y}와 쌍곡선 H = {(x, y): xy = 1}에 의해 네 부분으로 나뉜다. L과 H는 1-모수 군을 형성하며, Q에서의 곱셈 활동을 분해한다. 비율의 변화는 쌍곡 좌표를 통해 연구될 수 있으며, 기하 평균의 변화와 쌍곡 각도의 변화를 나타낸다.

참조

_[1] 웹사이트 positive number in nLab https://ncatlab.org/[...] 2020-08-11
_[2] 서적 Mechanization of the World-Picture https://archive.org/[...] 1961

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