비선형 음향학

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1. 개요
2. 비선형 음향학의 이론적 배경
- 2.1. 기본 원리
- 2.2. 수학적 모델
3. 물리적 분석
- 3.1. 비선형성 매개변수 (B/A)
4. 비선형 음향 현상의 예시
참조

1. 개요

비선형 음향학은 유체에 압력이 가해질 때 음속이 변화하는 현상을 기반으로 하며, 음파의 파형 왜곡, 고조파 생성, 음향 방사압 및 음향 유동 발생 등 다양한 비선형 효과를 다룬다. 유체역학 방정식을 통해 유도되는 웨스터벨트 방정식, 버거스 방정식, KZK 방정식 등이 주요 수학적 모델로 사용된다. 이러한 이론은 음속 폭음, 음향 부상, 초음파, 음악 음향학, 파라메트릭 배열 등 다양한 현상과 기술에 적용된다.

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비선형 음향학
개요
분야	물리학, 공학
하위 분야	음향학
관련 분야	비선형 광학
설명
정의	음파의 압력 변화가 선형적으로 비례하지 않는 현상을 다루는 음향학의 한 분야이다. 진폭이 큰 음파는 매질의 비선형성으로 인해 파형이 왜곡되고, 고조파가 생성되며, 음향 흐름, 캐비테이션 등의 비선형 현상을 유발한다.
특징	선형 음향학에서는 다루지 못하는 다양한 현상을 설명할 수 있다. 고강도 집속 초음파 (HIFU), 초음파 이미징, 비파괴 검사 등 다양한 응용 분야를 가진다.
주요 현상
기본 현상	고조파 발생: 기본 주파수의 정수배 주파수를 갖는 음파가 생성됨. 차주파 발생: 두 음파의 주파수 차이에 해당하는 주파수를 갖는 음파가 생성됨. 자기 변조: 음파가 매질을 통과하면서 스스로 변조됨.
응용 현상	음향 흐름 (Acoustic streaming): 음파가 매질에 운동량을 전달하여 흐름을 발생시킴. 음향 방사력 (Acoustic radiation force): 음파가 물체에 가하는 힘. 캐비테이션 (Cavitation): 액체 내에 기포가 생성, 성장, 붕괴하는 현상.
응용 분야
의료	고강도 집속 초음파 (HIFU): 암 치료, 지혈 등에 사용. 초음파 이미징: 비선형 현상을 이용하여 영상 품질을 향상. 약물 전달: 초음파를 이용하여 약물을 특정 부위에 전달.
산업	비파괴 검사: 초음파를 이용하여 재료의 결함을 검사. 음향 현미경: 고분해능 이미징. 초음파 세척: 정밀 부품 세척.
기타	수중 음향: 수중 통신, 음향 무기 등에 응용. 지구 음향학: 지진파 연구.
연구 분야
이론 연구	비선형 파동 방정식: Korteweg-de Vries 방정식, Burgers 방정식 등. 수치 해석: 유한 요소법, 유한 차분법 등.
실험 연구	비선형 음향 매개변수 측정. 비선형 음향 현상 관찰 및 분석.

2. 비선형 음향학의 이론적 배경

음파는 물질을 통해 전파되는 국소적인 압력 변화이다. 기체나 유체의 압력이 증가하면 국소적인 온도가 상승하고, 압축성 물질 내의 국소 음속은 온도에 따라 증가한다. 결과적으로 파동은 저압 단계보다 고압 단계에서 더 빠르게 이동하며, 이는 파동의 주파수 구조에 영향을 미친다. 예를 들어, 처음에는 단일 주파수의 평범한 정현파에서 파동의 피크는 골보다 더 빠르게 이동하며, 펄스는 누적적으로 톱니파와 유사해진다. 즉, 파동은 자체적으로 왜곡된다. 이 과정에서 다른 주파수 성분이 도입되는데, 이는 푸리에 급수로 설명할 수 있다. 이러한 현상은 비선형 시스템의 특징인데, 선형 음향 시스템은 구동 주파수에만 반응하기 때문이다. 이는 항상 발생하지만 기하학적 확산 및 흡수 효과가 일반적으로 자체 왜곡을 극복하므로, 선형적인 거동이 보통 우세하며 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭에서만, 그리고 소스 근처에서만 발생한다.

또한, 다른 진폭의 파동은 다른 압력 기울기를 생성하여 비선형 효과에 기여한다.

비선형 음향학의 이론은 유체역학의 기본 방정식으로부터 유도될 수 있다. 비선형 계에 입력된 교류의 정현파에 의해 발생하는 고조파로 인해 파형이 왜곡되고, 직류 성분이 발생하여 음향 방사압이나 음향 유동이 발생한다. 단, 음의 매질이 점성이 없는 유체인 경우, 음파 에너지가 손실되지 않으므로 음향 유동은 발생하지 않고, 물체에 직접 작용하는 음향 방사압만 발생한다. 음향 유동의 특성은 대류항의 방향에 크게 영향을 받으며, 파형의 왜곡은 KZK 모델에 의해 자세히 설명될 수 있다.

2. 1. 기본 원리

음파는 매질 내에서 발생하는 국부적인 압력 변화가 전파되는 현상으로, 일반적으로 유체 매질을 통해 전달되는 역학적 파동이다. 유체에 가해지는 압력이 커지면 유체의 온도가 상승하고, 이는 압축성 유체 내에서 음속이 압력에 따라 달라지게 만든다. 결과적으로 음파는 압력이 높을수록 더 빠르게 전파되며, 이는 음파의 주파수 구조에 영향을 미친다.

예를 들어, 처음에는 단일 주파수를 가진 단순한 정현파 형태의 음파가 시간이 지남에 따라 파동의 최고점이 최저점보다 빠르게 이동하면서 펄스가 누적되어 톱니파와 유사한 형태로 변형된다. 즉, 파동 자체가 왜곡되는 것이다. 이러한 왜곡 과정에서 푸리에 급수로 설명 가능한 다른 주파수 성분들이 생성된다. 선형 음향 시스템은 입력된 주파수에만 반응하는 반면, 이러한 현상은 비선형 시스템에서 나타나는 특징이다.

이러한 현상은 항상 발생하지만, 기하학적 확산 및 흡수 효과로 인해 일반적으로 자체 왜곡 현상이 상쇄되므로 선형적인 거동이 우세하다. 따라서 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭을 가진 음파가 발생원 근처에 있을 때만 주로 관찰된다.

또한, 서로 다른 진폭을 가진 파동들은 서로 다른 압력 기울기를 생성하여 비선형 효과를 더욱 강화시킨다.

2. 2. 수학적 모델

비선형 음향 현상은 연속 방정식, 비선형 운동량 방정식, 그리고 상태 방정식을 통해 기술된다. 이러한 방정식들은 유체역학의 기본 법칙에서 유도되며, 밀도에 대한 테일러 섭동 전개를 이용하여 비선형성을 분석한다.

2. 2. 1. 지배 방정식

비선형 음향학에서 중요하게 다루어지는 이론은 유체역학의 기본적인 방정식으로부터 유도될 수 있다.^[1] 비선형 계에 입력된 교류의 정현파에 의해 발생하는 고조파에 의해 파형의 왜곡이 발생하고, 직류 성분이 발생함으로써 음향 방사압이나 음향 유동이 발생한다.^[1] 단, 음의 매질이 점성이 없는 유체인 경우, 음파의 에너지가 손실되지 않으므로 음향 유동은 발생하지 않고, 물체에 직접 작용하는 음향 방사압만 발생한다.^[1] 음향 유동의 특성은 대류항의 방향에 크게 영향을 받으며, 파형의 왜곡은 KZK 모델에 의해 자세히 설명될 수 있다.^[1]

연속 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \textbf{u}) = 0

비선형 운동량 방정식(Nonlinear Euler's equation)은 다음과 같다.

:

\rho \left( \frac{\partial \textbf{u}}{\partial t} + \textbf{u} \cdot \nabla \textbf{u} \right) + \nabla p -(\lambda + 2 \mu) \nabla (\nabla \cdot \textbf{u}) = 0

.

밀도에 대한 테일러 섭동 전개를 사용하면 다음과 같다.

:

\rho = \sum_0^\infty \varepsilon^i \rho_i

여기서 ε은 작은 매개변수, 즉 섭동 매개변수이며, 상태 방정식은 다음과 같다.

:

p = \varepsilon \rho_1 c_0^2 \left( 1+ \varepsilon \frac{B}{2!A}\frac{\rho_1}{\rho_0} + O(\varepsilon^2) \right)

압력의 테일러 전개에서 두 번째 항을 제거하면, 점성파 방정식을 유도할 수 있다.^[1] 이를 유지하면 압력의 비선형 항이 웨스터벨트 방정식에 나타난다.^[1]

2. 2. 2. 웨스터벨트 방정식(Westervelt equation)

상태방정식의 두 번째 항까지만 포함하는 일반적인 비선형 음향 파동방정식은 '''웨스터벨트 방정식(Westerbelt equation)'''이다.

:

\,\nabla^{2} p - \frac{1}{c_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} + \frac{\delta}{c_{0}^{4}} \frac{\partial^{3} p}{\partial t^{3}} + \frac{\beta}{\rho_{0} c_{0}^{4}} \frac{\partial^{2} p^{2}}{\partial t^{2}} = 0

여기서

p

는 음압,

c_0

는 작은 크기의 음속,

\beta

는 비선형 계수(nonlinearity coefficient),

\rho_0

는 주변 밀도(ambient density)이다.

\delta

는 음파의 확산성(sound diffusivity)이며, 다음과 같이 정의된다.

:

\,\delta = \frac{1}{\rho_{0}} \left(\frac{4}{3}\mu+\mu_{B}\right) + \frac{k}{\rho_{0}} \left(\frac{1}{c_{v}} - \frac{1}{c_{p}}\right)

여기서

\mu

는 점단 점성 계수(shear viscosity coefficient),

\mu_{B}

는 체적 점성 계수(bulk viscosity coefficient),

k

는 열전도율(thermal conductivity),

c_{v}

와

c_{p}

는 각각 정적비열과 정압비열이다.^[2]

2. 2. 3. 버거스 방정식(Burgers' equation)

웨스터벨트 방정식은 음파의 단일 차원 전파와 시간 독립 변수 변환을 가정하여 단일 차원에서의 파동 방정식으로 변형될 수 있다.^[3]

:

\frac{\partial p}{\partial z} - \frac{\beta}{\rho_{0} c_{0}^{3}} p \frac{\partial p}{\partial \tau} = \frac{\delta}{2 c_{0}^{3}}\frac{\partial^{2} p}{\partial \tau^{2}}

여기서

\tau = t-z/c_0

는 지연 시간이다. 이는 압력장 내에서의 '''점성 버거스 방정식(viscous Burgers' equation)'''에 해당한다.^[3]

:

\frac{\partial y}{\partial t'} + y \frac{\partial y}{\partial x} = d \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

여기서

t'

는 수학적 시간 변수(time variable)이다.

:

t' = \frac z {c_0}

x

는 수학적 공간 변수(space variable)이다.

:

x = - \frac{\rho_{0} c_{0}^{2}}{\beta} \tau

d

는 소극적 확산 계수(negative diffusion coefficient)이다.

:

d = - \frac{\rho_{0} c_{0}}{2 \beta^2} \delta

.

버거스 방정식은 확산하는 음파의 전파에 대한 비선형성과 압력 소산의 결합 작용을 기술하는 가장 간단한 형태의 비선형 파동 방정식이다.

2. 2. 4. KZK 방정식 (Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov equation)

Rem Khokhlov, Evgenia Zabolotskaya, V. P. Kuznetsov의 이름을 딴 Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov (KZK) 방정식은 지향성 음파 빔에서 비선형성, 회절, 흡수의 결합된 효과를 설명한다.^[10] 이 방정식의 해는 일반적으로 비선형 음향을 모델링하는 데 사용된다.

음파 빔의 경로 방향을

z

축으로 하고, 그에 수직인 평면을

(x,y)

평면으로 하면 KZK 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[11]

:\, \frac{\partial^2 p}{\partial z \partial \tau} = \frac{c_0}{2}\nabla^2_{\perp}p + \frac{\delta}{2c^3_0}\frac{\partial^3 p}{\partial \tau^3} + \frac{\beta}{2\rho_0 c^3_0}\frac{\partial^2 p^2}{\partial \tau^2}

이 방정식은 유한 차분법을 사용하여 특정 시스템에 대해 풀 수 있다. 이러한 해는 음파 빔이 비선형 매질을 통과하면서 어떻게 왜곡되는지를 보여준다.

3. 물리적 분석

음파는 물질을 통해 전파되는 국소적인 압력 변화이다. 기체나 유체의 압력이 증가하면 국소적인 온도가 상승하고, 이에 따라 국소 음속도 증가한다. 결과적으로 파동은 진동의 저압 단계보다 고압 단계에서 더 빠르게 이동하며, 이는 파동의 주파수 구조에 영향을 미친다. 예를 들어, 처음에는 단일 주파수의 정현파였던 파동의 피크는 골보다 더 빠르게 이동하여, 펄스는 누적적으로 톱니파와 유사해진다. 즉, 파동은 자체적으로 왜곡되며, 푸리에 급수로 설명 가능한 다른 주파수 성분들이 도입된다.

이러한 현상은 비선형 시스템의 특징이다. 선형 음향 시스템은 구동 주파수에만 반응하기 때문이다. 비선형 현상은 항상 발생하지만, 기하학적 확산 및 흡수의 효과가 일반적으로 자체 왜곡을 극복한다. 따라서 선형적인 거동이 보통 우세하며, 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭에서만, 그리고 소스 근처에서만 발생한다.

또한, 다른 진폭의 파동은 다른 압력 기울기를 생성하여 비선형 효과에 기여한다. 매질 내 압력 변화는 파동 에너지를 고차 고조파로 전달하며, 감쇠는 주파수에 따라 증가하여 비선형 효과의 특성을 변화시킨다.

3. 1. 비선형성 매개변수 (B/A)

매질 내 압력 변화는 파동 에너지를 고차 고조파로 전달한다. 감쇠는 일반적으로 주파수에 따라 증가하므로 거리에 따라 비선형 효과의 특성을 변화시키는 반대 효과가 존재한다. 비선형성의 정도를 설명하기 위해 재료에 비선형성 매개변수 B/A를 부여할 수 있다. A와 B의 값은 재료의 압력과 밀도를 관련시키는 방정식의 테일러 급수 전개의 1차 및 2차 항의 계수이다.^[1] 테일러 급수는 더 많은 항과 따라서 더 많은 계수(C, D, ...)를 갖지만 거의 사용되지 않는다.

생물학적 매질에서 비선형성 매개변수의 일반적인 값^[1]
재료	B/A
혈액	6.1
뇌	6.6
지방	10
간	6.8
근육	7.4
물	5.2
단원자 기체	0.67

액체에서는 일반적으로 β|베타^영어 = 1 + B/2A 로 알려진 수정된 계수가 사용된다.

4. 비선형 음향 현상의 예시

음파는 물질을 통해 전파되는 국소적인 압력 변화이다. 기체나 유체의 압력이 증가하면 국소적인 온도가 상승하고, 압축성 물질 내의 국소 음속은 온도에 따라 증가한다. 결과적으로 파동은 진동의 저압 단계보다 고압 단계에서 더 빠르게 이동하여 파동의 주파수 구조에 영향을 미친다. 예를 들어, 처음에는 단일 주파수의 정현파였던 파동도 피크가 골보다 더 빠르게 이동하면서 펄스가 누적되어 톱니파와 유사해진다. 다시 말해, 파동은 자체적으로 왜곡된다. 이 과정에서 다른 주파수 성분이 도입되는데, 이는 푸리에 급수로 설명할 수 있다. 이러한 현상은 비선형 시스템의 특징인데, 선형 음향 시스템은 구동 주파수에만 반응하기 때문이다. 이는 항상 발생하지만, 기하학적 확산 및 흡수의 효과가 일반적으로 자체 왜곡을 극복하므로, 선형적인 거동이 보통 우세하며 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭에서만, 그리고 소스 근처에서만 발생한다.

또한, 다른 진폭의 파동은 다른 압력 기울기를 생성하여 비선형 효과에 기여한다.

비선형 음향 현상의 예시로는 음속 폭음, 음향 부양, 초음파, 음악 음향학, 파라메트릭 배열 등이 있다.

4. 1. 음속 폭음 (Sonic boom)

대기의 비선형적 특성은 음속 폭음의 파형 변화를 야기한다. 일반적으로 이는 진폭이 큰 피크가 파면에 가까워지면서 폭음을 더 '날카롭게' 또는 갑작스럽게 만든다.

4. 2. 음향 부양 (Acoustic levitation)

음파는 물질을 통해 전파되는 국소적인 압력 변화이다. 기체나 유체의 압력이 증가하면 국소적인 온도가 상승한다. 압축성 물질 내에서 국소 음속은 온도에 따라 증가한다. 결과적으로, 파동은 진동의 저압 단계보다 고압 단계에서 더 빠르게 이동하며, 이는 파동의 주파수 구조에 영향을 미친다. 예를 들어, 처음에는 단일 주파수의 평범한 정현파였던 파동도 피크가 골보다 더 빠르게 이동하면서 펄스가 누적되어 톱니파와 유사해진다. 즉, 파동은 자체적으로 왜곡된다. 이 과정에서 다른 주파수 성분이 도입되는데, 이는 푸리에 급수로 설명할 수 있다. 이러한 현상은 비선형 시스템의 특징이다. 선형 음향 시스템은 구동 주파수에만 반응하기 때문이다. 이러한 현상은 항상 발생하지만, 기하학적 확산 및 흡수 효과가 일반적으로 자체 왜곡을 상쇄하므로, 선형적인 거동이 우세하다. 비선형 음향 전파는 매우 큰 진폭에서, 그리고 소스 근처에서만 발생한다.

다른 진폭의 파동은 다른 압력 기울기를 생성하여 비선형 효과에 기여한다.

음향 부상은 비선형 음향 현상 없이는 불가능하다.^[6] 비선형 효과는 고출력 음향파가 관여하기 때문에 특히 두드러진다.

4. 3. 초음파 (Ultrasonic waves)

음파는 물질을 통해 전파되는 국소적인 압력 변화이다. 초음파는 진폭과 파장의 비율이 비교적 높아 비선형적인 전파 거동을 보이는 경우가 많다. 비선형 음향학은 더 나은 영상 품질을 생성할 수 있어 의료 초음파 분야에서 활용된다.

4. 4. 음악 음향학 (Musical acoustics)

음악 음향학의 물리적 거동은 주로 비선형적이다. 이러한 소리 생성 과정을 물리 모델링 합성을 통해 모델링하려는 시도가 이루어지고 있으며, 비선형성을 측정하여 소리를 에뮬레이션한다.^[7]

4. 5. 파라메트릭 배열 (Parametric arrays)

파라메트릭 배열은 고주파 음파의 혼합과 상호 작용을 통해 좁고 사이드 로브가 거의 없는 저주파 음향 빔을 생성하는 비선형 변환 메커니즘이다. 수중 음향학 및 오디오 등에 응용된다.

참조

_[1] 논문 Ultrasonic imaging of the human body
_[2] 서적 Nonlinear Acoustics Academic Press
_[3] 서적 Nonlinear Acoustics Academic Press
_[4] 논문 Mathematical analysis of Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) equation https://hal.archives[...] Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie 2008-11-10
_[5] 논문 Nonlinear Propagation for Medical Imaging http://www.conforg.f[...] Department of Physics, University of Bath, Bath, UK 2020-09-11
_[6] 웹사이트 How Acoustic Levitation Works https://science.hows[...] 2007-02-06
_[7] 논문 The Emulation of Nonlinear Time-Invariant Audio Systems with Memory by Means of Volterra Series https://www.aes.org/[...] 2012
_[8] 논문 超音波エレクトロニクス : 非線形音響学の応用 (波の非線形現象の数理とその応用) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2024-01-11
_[9] 논문 超音波における非線形現象(波動の非線形現象の数理とその応用) https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2024-01-11
_[10] 논문 Mathematical analysis of Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK) equation https://hal.archives[...] Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie 2008-11-10
_[11] 논문 Nonlinear Propagation for Medical Imaging http://www.conforg.f[...] Department of Physics, University of Bath, Bath, UK 2020-09-11

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