상 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 표기법
참조

1. 개요

상(image)은 수학에서 함수와 관련된 개념으로, 정의역의 원소나 부분 집합에 함수를 적용하여 얻는 결과물을 의미한다. 함수 f: X → Y가 주어졌을 때, X의 원소 x의 상은 f(x)이며, X의 부분 집합 A의 상은 f(A) = {f(x) | x ∈ A}로 정의된다. 함수의 상은 함수의 치역과 동일하며, 공역의 원소 y의 원상(역상)은 f⁻¹(y) = {x ∈ X | f(x) = y}로 정의된다. 상과 원상은 집합의 포함 관계를 보존하는 단조성을 가지며, 합성 함수에서의 상과 원상은 각각 g(f(A))와 f⁻¹(g⁻¹(C))로 표현된다. 상과 원상은 다양한 표기법으로 표현될 수 있으며, 집합족에 대한 교집합과 합집합에 대한 불 대수를 잘 생각할 수 있게 해준다.

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상 (수학)
일반 정보
정의	어떤 함수의 모든 출력 값들의 집합
다른 이름	치역
기호	Im(f) 또는 f(A)
예시
함수 f(x) = x^2	정의역 A = {1, 2, 3}일 때, 상은 {1, 4, 9}이다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x) = x^2의 상은 0 이상의 실수 집합이다.
성질
전사 함수	함수의 상이 공역과 같으면 전사 함수이다.
역함수	전단사 함수는 역함수를 가지며, 역함수의 정의역은 원래 함수의 상이다.
관련 개념
역상	공역의 부분집합에 대응하는 정의역의 부분집합
핵	선형대수학에서, 선형 변환의 핵은 영벡터로 변환되는 벡터들의 집합

2. 정의

정의역이 $X$ , 공역이 $Y$ 인 함수 $f\colon X\to Y$ 를 생각하자.

정의역의 원소 $x\in X$ 의, 함수 $f$ 에 대한 '''상'''은 공역의 원소 $f(x)\in Y$ 이다.
정의역의 부분 집합 $A\subseteq X$ 의, 함수 $f$ 에 대한 '''상'''은 공역의 부분 집합

:

f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y

이다.

공역의 원소 $y\in Y$ 의, 함수 $f$ 에 대한 '''원상'''은 정의역의 부분 집합

:

f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의해야 한다.

공역의 부분 집합 $B\subseteq Y$ 의, 함수 $f$ 에 대한 '''원상'''은 정의역의 부분 집합

:

f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X

이다.

정의역의 상을 '''치역'''이라고 한다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상	원상
$f(A)$	$f^{-1}(B)$
$f[A]$	$f^{-1}[B]$
$f_*(A)$	$f^*(B)$
$f^\rightarrow(A)$	$f^\leftarrow(B)$

2. 1. 원소의 상

정의역이

X

, 공역이

Y

인 함수

f\colon X\to Y

를 생각하자. 정의역의 원소

x\in X

의, 함수

f

에 대한 '''상'''은 공역의 원소

f(x)\in Y

이다.

f(x)

는

x

에 함수

f

를 적용했을 때의 값을 의미하며, 인자

x

에 대한

f

의 출력값으로도 불린다.

$f$ 는 정의역 $X$ 에서 공역 $Y$ 로의 함수이다. 원소 $x$ 의 상은 원소 $y$ 이다.

2. 2. 부분 집합의 상

정의역이

X

, 공역이

Y

인 함수

f\colon X\to Y

를 생각하자. 정의역의 부분 집합

A\subseteq X

의, 함수

f

에 대한 '''상'''은 공역의 부분 집합

:

f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y

이다.^[1]^[2]

이는 함수

f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)

를 유도하며, 여기서

\mathcal P(S)

는 집합

S

의 모든 부분 집합의 집합인

S

의 멱집합을 나타낸다.

부분 집합 ''A'' ⊆ ''X''의 ''f''에 의한 상 ''f''[''A''] ⊆ ''Y''는 (집합의 내포적 표기법으로)

:

f[A] := \{f(x) \in Y \mid x \in A\} = \{y \in Y \mid \exists x \in A : y=f(x)\}

:로 정의된다. 후자가 더 엄밀한 표현이다. 혼동될 우려가 없을 경우, ''f''[''A'']는 간단히 ''f''(''A'')라고도 표기한다.

$f$ 는 정의역 $X$ 에서 공역 $Y$ 로의 함수이다. 부분집합 $A$ 의 모든 원소의 상은 부분집합 $B$ 이다. $B$ 의 역상은 부분집합 $C$ 이다.

2. 3. 함수의 상 (치역)

정의역이

X

, 공역이

Y

인 함수

f\colon X\to Y

에서, 정의역 전체의 상

f(X)

를 '''치역'''이라고 부른다.^[3] 함수의 '''상'''은 함수의 전체 정의역의 상이며, 함수의 치역이라고도 한다.

$f$ 는 정의역 $X$ 에서 공역 $Y$ 로의 함수이다. $Y$ 내부의 노란색 타원은 $f$ 의 상이다.

사상 ''f''의 시역 ''X'' 전체에 관한 부분 집합으로서의 상 ''f''[''X'']를 단순히 사상 ''f''의 상이라고 부르며, im ''f'' 등으로 나타낸다.

2. 4. 원상 (역상)

정의역이

X

, 공역이

Y

인 함수

f\colon X\to Y

를 생각하자. 공역의 원소

y\in Y

의, 함수

f

에 대한 '''원상'''(preimage)은 정의역의 부분 집합

:

f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의해야 한다. 공역의 부분 집합

B\subseteq Y

의, 함수

f

에 대한 '''원상'''은 정의역의 부분 집합

:

f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X

이다.

원상은 올(fiber) 또는 레벨 집합(level set)이라고도 불린다.

상과 원상의 표기는 다음과 같다.

상	원상
$f(A)$	$f^{-1}(B)$
$f[A]$	$f^{-1}[B]$
$f_*(A)$	$f^*(B)$
$f^\rightarrow(A)$	$f^\leftarrow(B)$

예를 들어, 함수 $f(x) = x^2$ 에 대해, $\{ 4 \}$ 의 역상은 $\{ -2, 2 \}$ 이다.

$f^{-1}[B]$ 는 $f^{-1}(B)$ 로 표시될 수 있으며, $f^{-1}$ 는 $Y$ 의 멱집합에서 $X$ 의 멱집합으로 가는 함수로 생각할 수도 있다. 표기법 $f^{-1}$ 은 역함수에 대한 표기법과 혼동해서는 안 되지만, $f$ 에 대한 $B$ 의 역상이 $f^{-1}$ 에 대한 $B$ 의 이미지라는 점에서 전단사 함수에 대한 일반적인 표기법과 일치한다.

''f''가 ''X''에서 ''Y''로의 사상일 때, 부분 집합 ''B'' ⊆ ''Y''의 ''f''에 의한 원상은

: $f^{-1}[ B ] := \{x \in X \mid f(x) \in B\}$

로 정의되는 ''X''의 부분 집합이다. ''f''에 의한 '''당겨올림'''(pull-back^영어)이라고도 불린다.^[2]

3. 성질

함수 $f : X \to Y$ 와 모든 부분 집합 $A \subseteq X$ , $B \subseteq Y$ 에 대해 다음 성질들이 성립한다.^[7]^[8]

이미지	역상
$f(X) \subseteq Y$	$f^{-1}(Y) = X$
$f(A) = \varnothing$ (iff) $A = \varnothing$	$f^{-1}(B) = \varnothing$ (iff) $B \subseteq Y \setminus f(X)$
$f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$	$f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$ ^[7]
$f(A) \cap B = \varnothing$ (iff) $A \cap f^{-1}(B) = \varnothing$

$f$ 가 전사 함수인 경우, $f(f^{-1}(B)) = B$ 이다. $f$ 가 단사 함수인 경우, $f^{-1}(f(A)) = A$ 이다.

함수 $f : X \to Y$ 와 부분 집합 $A, B \subseteq X$ 및 $S, T \subseteq Y$ 에 대해 다음이 성립한다.

상(Image)	역상(Preimage)
$A \subseteq B$ 이면 $f(A) \subseteq f(B)$	$S \subseteq T$ 이면 $f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)$
$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$ ^[9]^[10]	$f^{-1}(S \cup T) = f^{-1}(S) \cup f^{-1}(T)$
$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ ( $f$ 가 단사 함수인 경우 등호 성립)^[9]^[10]^[11]	$f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)$
$f(A \setminus B) \supseteq f(A) \setminus f(B)$ ( $f$ 가 단사 함수인 경우 등호 성립)^[9]^[11]	$f^{-1}(S \setminus T) = f^{-1}(S) \setminus f^{-1}(T)$ ^[9]

상과 역상은 불 대수의 교집합 및 합집합과 관련하여 부분 집합 쌍뿐만 아니라 모든 부분 집합 모음에 대해 다음 관계가 성립한다.

$f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$

(여기서

S

는 무한집합일 수 있으며, 심지어 비가산 무한집합일 수도 있다.)

이에 따라, 역상 함수는 격자 준동형사상이지만, 상 함수는 세미격자 준동형사상이다 (항상 교집합을 보존하지는 않는다).

3. 1. 합성 함수에서의 상과 원상

임의의 함수

f\colon X\to Y

및

g\colon Y\to Z

에 대하여, 그 합성

g\circ f\colon X\to Z

의 상과 원상은 다음과 같다.

$(g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad(A\subseteq X)$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad(C\subseteq Z)$

즉, 상은 함자

:

\operatorname{Set}\to\operatorname{Set}

:

X\to\mathcal P(X)

:

(f\colon X\to Y)\mapsto(f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y))

를 정의하며, 원상은 함자

:

\operatorname{Set}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}

:

X\to\mathcal P(X)

:

(f\colon X\to Y)\mapsto(f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X))

를 정의한다.

함수

f : X \to Y

와

g : Y \to Z

에 대해,

A \subseteq X

와

C \subseteq Z

가 주어지면 다음이 성립한다.

$(g \circ f)(A) = g(f(A))$
$(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))$

3. 2. 단조성

함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음이 성립한다.

만약 $A\subseteq A'\subseteq X$ 라면, $f(A)\subseteq f(A')$
만약 $B\subseteq B'\subseteq Y$ 라면, $f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')$

즉, 임의의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여,

:

f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)

:

f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)

는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다.

함수

f : X \to Y

와 부분 집합

A, B \subseteq X

및

S, T \subseteq Y

에 대해 다음 속성이 적용된다.

상(Image)	역상(Preimage)
$A \subseteq B$ 이면 $f(A) \subseteq f(B)$	$S \subseteq T$ 이면 $f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)$

상과 역상을 불 대수의 교집합 및 합집합과 관련된 결과는 부분 집합의 쌍뿐만 아니라 모든 부분 집합 모음에 적용된다.

$f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$

(여기서

S

는 무한할 수 있으며, 심지어 비가산 무한일 수도 있다.)

위에서 설명한 부분 집합 대수와 관련하여 역상 함수는 격자 준동형사상인 반면, 상 함수는 단지 세미격자 준동형사상이다 (즉, 항상 교집합을 보존하지는 않는다).

사상 ''f'': ''X'' → ''Y'' 와 ''X''의 임의의 부분 집합 ''A''₁, ''A''₂ 및 ''Y''의 임의의 부분 집합 ''B''₁, ''B''₂에 관하여

''B''₁ ⊆ ''B''₂ ⇒ ''f''^-1(''B''₁) ⊆ ''f''^-1(''B''₂)

등이 성립한다. 상 및 역상에 관한 이 결과는 임의의 부분 집합족에 대하여 교집합과 합집합에 관한 불 대수를 잘 생각할 수 있다는 것을 의미하며, 부분 집합의 쌍뿐만 아니라 더 일반적으로

$f^{-1}\!\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}(A_s)$
$f^{-1}\!\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}(A_s)$

등도 성립한다. 여기서 ''S''는 무한 집합이어도 (물론 비가산 무한이어도) 좋다.

이러한 사실로부터 부분 집합의 불 대수에 관하여 역상은 격자 준동형이 되지만, 상의 경우에는 반격자 준동형에 지나지 않음(상은 교집합을 보존한다는 보장이 없음)을 알 수 있다.

3. 3. 상과 원상 사이의 관계

임의의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

임의의 $A\subseteq X$ 에 대하여,
* $f^{-1}(f(A))\supseteq A$
* 만약 $f$ 가 단사 함수라면, $f^{-1}(f(A))=A$
임의의 $B\subseteq Y$ 에 대하여,
* $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
* 만약 $f$ 가 전사 함수라면, $f(f^{-1}(B))=B$
임의의 $A\subseteq X$ 및 $B\subseteq Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $f(A)\subseteq B$
* $A\subseteq f^{-1}(B)$

이에 따라, 임의의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여,

f\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)

와

f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)

는 서로 수반 함자이다.

:

f\dashv f^{-1}

함수

f : X \to Y

와 부분 집합

A, B \subseteq X

및

S, T \subseteq Y

에 대해 다음 속성이 적용된다.

상(Image)	역상(Preimage)
$A \subseteq B$ 이면, $f(A) \subseteq f(B)$	$S \subseteq T$ 이면, $f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)$
$f(A) \supseteq B$ (동치) $C \subseteq A$ 이고 $f(C) = B$ 인 $C$ 가 존재	$f^{-1}(B) \supseteq A$ (동치) $f(A) \subseteq B$

3. 4. 기타 성질

임의의 함수

f\colon X\to Y

에 대해, 다음 성질들이 성립한다.

정의역 속의 집합족 $(A_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)$ 에 대하여,

::

f\biggl(\bigcup_{i\in I}A_i\biggr)=\bigcup_{i\in I}f(A_i)

::

f\biggl(\bigcap_{i\in I}A_i\biggr)\subseteq\bigcap_{i\in I}f(A_i)

공역 속 집합족 $(B_j)_{j\in J}\subseteq\mathcal P(Y)$ 에 대하여,

::

f^{-1}\biggl(\bigcup_{j\in J}B_j\biggr)=\bigcup_{j\in J}f^{-1}\left(B_j\right)

::

f^{-1}\biggl(\bigcap_{j\in J}B_j\biggr)=\bigcap_{j\in J}f^{-1}\left(B_j\right)

정의역의 두 부분 집합 $A,A'\subseteq X$ 에 대하여,

::

f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')

공역의 두 부분 집합 $B,B'\subseteq Y$ 에 대하여,

::

f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')

f : X \to Y

를 함수라고 할 때,

X

의 부분 집합

A

에 대한

f

아래에서의 상(image)은 모든

a\in A

에 대한

f(a)

의 집합이다. 이는

f[A]

또는

f(A)

로 표기한다. 집합-생성 표기법을 사용하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.^[1]^[2]

:

f[A] = \{f(a) : a \in A\}.

이는 함수

f[\,\cdot\,] : \mathcal P(X) \to \mathcal P(Y)

를 유도하며, 여기서

\mathcal P(S)

는 집합

S

의 모든 부분 집합의 집합인

S

의 멱집합을 나타낸다.

만약

R

이

X \times Y

에 대한 임의의 이항 관계라면, 집합

\{ y \in Y : x R y \text{ for some } x \in X \}

를

R

의 상(image) 또는 치역이라고 부른다. 이와 대칭적으로, 집합

\{ x \in X : x R y \text{ for some } y \in Y \}

는

R

의 정의역이라고 부른다.

함수

f : X \to Y

와 모든 부분 집합

A \subseteq X

및

B \subseteq Y

에 대해 다음 속성이 적용된다.

이미지	역상
$f(X) \subseteq Y$	$f^{-1}(Y) = X$
$f\left(f^{-1}(Y)\right) = f(X)$	$f^{-1}(f(X)) = X$
$f\left(f^{-1}(B)\right) \subseteq B$ ( $B \subseteq f(X)$ 인 경우 등식 성립; 예를 들어, $f$ 가 전사 함수인 경우)^[7]^[8]	$f^{-1}(f(A)) \supseteq A$ ( $f$ 가 단사 함수인 경우 등식 성립)^[7]^[8]
$f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)$	$\left(f \vert_A\right)^{-1}(B) = A \cap f^{-1}(B)$
$f\left(f^{-1}(f(A))\right) = f(A)$	$f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(B)\right)\right) = f^{-1}(B)$
$f(A) = \varnothing \,\text{ if and only if }\, A = \varnothing$	$f^{-1}(B) = \varnothing \,\text{ if and only if }\, B \subseteq Y \setminus f(X)$
$f(A) \supseteq B \,\text{ if and only if } \text{ there exists } C \subseteq A \text{ such that } f(C) = B$	$f^{-1}(B) \supseteq A \,\text{ if and only if }\, f(A) \subseteq B$
$f(A) \supseteq f(X \setminus A) \,\text{ if and only if }\, f(A) = f(X)$	$f^{-1}(B) \supseteq f^{-1}(Y \setminus B) \,\text{ if and only if }\, f^{-1}(B) = X$
$f(X \setminus A) \supseteq f(X) \setminus f(A)$	$f^{-1}(Y \setminus B) = X \setminus f^{-1}(B)$ ^[7]
$f\left(A \cup f^{-1}(B)\right) \subseteq f(A) \cup B$ ^[9]	$f^{-1}(f(A) \cup B) \supseteq A \cup f^{-1}(B)$ ^[9]
$f\left(A \cap f^{-1}(B)\right) = f(A) \cap B$ ^[9]	$f^{-1}(f(A) \cap B) \supseteq A \cap f^{-1}(B)$ ^[9]

또한, 다음이 성립한다.

$f(A) \cap B = \varnothing \,\text{ if and only if }\, A \cap f^{-1}(B) = \varnothing$

함수

f : X \to Y

와 부분 집합

A, B \subseteq X

및

S, T \subseteq Y

에 대해 다음 속성이 적용된다.

상(Image)	역상(Preimage)
$A \subseteq B \,\text{ implies }\, f(A) \subseteq f(B)$	$S \subseteq T \,\text{ implies }\, f^{-1}(S) \subseteq f^{-1}(T)$
$f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$ ^[9]^[10]	$f^{-1}(S \cup T) = f^{-1}(S) \cup f^{-1}(T)$
$f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ ( $f$ 가 단사 함수인 경우 등식 성립)^[9]^[10]^[11]	$f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)$
$f(A \setminus B) \supseteq f(A) \setminus f(B)$ ( $f$ 가 단사 함수인 경우 등식 성립)^[9]^[11]	$f^{-1}(S \setminus T) = f^{-1}(S) \setminus f^{-1}(T)$ ^[9]
$f\left(A \triangle B\right) \supseteq f(A) \triangle f(B)$ (단사 함수인 경우 등식 성립)	$f^{-1}\left(S \triangle T\right) = f^{-1}(S) \triangle f^{-1}(T)$

상과 역상을 불 대수의 교집합 및 합집합과 관련된 결과는 부분 집합의 쌍뿐만 아니라 모든 부분 집합 모음에 적용된다.

$f\left(\bigcup_{s\in S}A_s\right) = \bigcup_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f\left(\bigcap_{s\in S}A_s\right) \subseteq \bigcap_{s\in S} f\left(A_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcup_{s\in S}B_s\right) = \bigcup_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$
$f^{-1}\left(\bigcap_{s\in S}B_s\right) = \bigcap_{s\in S} f^{-1}\left(B_s\right)$

(여기서

S

는 무한할 수 있으며, 심지어 비가산 무한일 수도 있다.)

부분 집합 대수와 관련하여 역상 함수는 격자 준동형사상인 반면, 상 함수는 세미격자 준동형사상이다 (즉, 항상 교집합을 보존하지는 않는다).

4. 예시

함수 f^영어 : {1, 2, 3} → {a, b, c, d}는 다음과 같이 정의된다.

:

1 ↦ a

2 ↦ a

3 ↦ c

:집합 {2, 3}의 상은 }이다. 함수 f^영어의 상은 {a, c}이다. a의 원상은 }이다. {a, b}의 원상 또한 }이다. f^영어에 대한 {b, d}의 원상은 공집합(∅)이다.

함수 f^영어 : ℝ → ℝ는 f(x) = x²^영어로 정의된다.

:f^영어에 대한 {-2, 3}의 상은 }이고, f^영어의 상은 ℝ⁺(모든 양의 실수와 0의 집합)이다. f^영어에 대한 {4, 9}의 원상은 }이다. 집합 N = {n ∈ R : n < 0^영어}에 대한 f^영어의 원상은 공집합인데, 음수는 실수 집합에서 제곱근이 없기 때문이다.

함수 f^영어 : ℝ² → ℝ는 f(x, y) = x² + y²^영어로 정의된다.

:는 a > 0, a = 0, 또는 a < 0 (각각)에 따라 동심원, 원점, 그리고 공집합이다. (만약 a ≥ 0이라면, 올 는 방정식 x² + y² = a^영어를 만족하는 모든 (x, y) ∈ ℝ²의 집합, 즉 반지름이 √a인 원점을 중심으로 하는 원이다.)

M이 다양체이고 π : TM → M이 접다발 TM에서 M으로의 정규 사영이라면, π의 올은 접공간 T_x(M) for x ∈ M^영어이다. 이것은 올다발의 한 예이다.
몫군은 준동형 상이다.
사상 f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d}는 f(1)=f(2)=a, f(3)=c^영어로 정의된다.

:부분 집합 {2, 3}의 f에 의한 상은 f({2, 3}) = {a, c}이다. 또한, 원소 a의 역상은 }이며, {a, b}의 역상도 마찬가지로 {1, 2}이다. {b, d}의 역상은 공집합 {}이다.

사상 f: ℝ → ℝ는 f(x) = x²^영어로 정의된다.

:부분 집합 {-2, 3}의 f에 의한 상은 f({-2, 3}) = {4, 9}이며, 사상 f의 상은 비음수 실수 전체 ℝ₊이다. 한편 {4, 9}의 f에 의한 역상은 }이며, 또한 음의 실수의 제곱근은 실수 범위에는 존재하지 않으므로, N = {n ∈ ℝ | n < 0}의 f에 의한 역상은 공집합이다.

사상 f: ℝ² → ℝ는 f(x, y) = x² + y²^영어로 정의된다.

:파이버 는 (a > 0, a = 0, a < 0에 따라 각각) 원점을 중심으로 하는 동심원, 원점, 공집합이 된다.

M이 미분 다양체이고 π: TM → M이 접다발 TM에서 M으로의 표준 사영이라면, 점 x ∈ M상의 π에 관한 파이버는 x에서의 접공간 T_x(M)이다. 이것은 파이버 다발의 예이다.

5. 표기법

혼동의 우려가 없을 경우, ''f''[''A'']는 간단히 ''f''(''A'')로 표기한다. 이는 일반적으로 많이 사용되는 표기법이지만, 그 의미는 문맥에서 추측해야 한다. 이 표기법은 사상 ''f'': ''X'' → ''Y''의 시역 ''X''를 ''X''의 멱집합으로 바꾸고, 종역 ''Y''를 ''Y''의 멱집합으로 바꿔 얻을 수 있는 부분 집합 간의 사상 (''f''가 유도하는 사상)으로 보는 관점을 제공한다.

수학적 논리나 집합론에서 사용되는 ''f''[''A'']''의 다른 표기로서 ''f'' ''A''가 있다.^[4]^[5]

사상 ''f''의 상을 ''f''의 치역 (range)^영어이라고 부르는 문헌도 있다. ''f''의 공역 (codomain)^영어과의 구별을 해두어야 한다.

부분 집합의 상과 역상에 관한 관습적인 표기법은 종종 혼란을 야기할 가능성이 있다. 이를 명시적으로 대체하는 표기로서, 멱집합 간의 사상으로서의 상과 원상에 대해서는, 다음과 같은 표기가 제안되었다.^[12]

화살표 표기법
$f^\to\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(Y);\; A\mapsto f^\to(A) = \{ f(a)\mid a \in A\}.$
$f^\gets\colon \mathfrak{P}(Y)\to\mathfrak{P}(X);\; B\mapsto f^\gets(B) = \{ a \in X \mid f(a) \in B\}.$
별 표기법
$f_\star\colon \mathfrak{P}(X)\to\mathfrak{P}(Y)\quad (=f^\to).$
$f^\star\colon \mathfrak{P}(Y)\to\mathfrak{P}(X)\quad (=f^\gets).$
기타 다른 표기법
$f^\rightarrow : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$ 로 $f^\rightarrow(A) = \{ f(a)\;|\; a \in A\}$
$f^\leftarrow : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ 로 $f^\leftarrow(B) = \{ a \in X \;|\; f(a) \in B\}$
$f_\star : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$ 대신 $f^\rightarrow$
$f^\star : \mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ 대신 $f^\leftarrow$

참조

_[1] 웹사이트 5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets https://math.librete[...] 2020-08-28
_[2] 서적 Naive Set Theory Nostrand
_[3] 웹사이트 Image https://mathworld.wo[...] 2020-08-28
_[4] 서적 Set Theory for the Mathematician https://archive.org/[...] Holden-Day
_[5] 간행물 Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU https://web.archive.[...] Semantic Scholar 2005-12-29
_[6] 서적 Linear Algebra Prentice-Hall
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 서적 Set Theory for the Mathematician Holden-Day
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서

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