수직선 (기하학)
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1. 개요
수직선은 두 직선이 직각을 이룰 때의 관계를 의미하며, 대칭적이다. 수선의 발은 점에서 직선 또는 평면에 내린 수선과 만나는 점을 뜻하며, 컴퍼스와 직선자를 이용하여 수직선을 작도할 수 있다. 두 직선이 모두 제3의 직선에 수직이면 평행하며, 함수 그래프에서 두 직선이 수직일 조건은 기울기의 곱이 -1인 것이다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선과 같은 도형에서도 수직의 개념이 적용되며, 삼각형, 사각형과 같은 다각형에서도 수직 관계를 찾을 수 있다. 3차원 공간에서는 최대 세 개의 직선이 한 점에서 서로 수직일 수 있다.
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| 수직선 (기하학) | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 두 직선, 평면, 또는 직선과 평면이 만나서 이루는 각이 직각(90도)일 때, 이들의 관계를 나타내는 기하학적 용어이다. |
| 수직의 조건 | |
| 두 직선의 수직 조건 | 두 직선의 기울기의 곱이 -1이면 두 직선은 수직이다. |
| 직선과 평면의 수직 조건 | 직선이 평면에 수직이려면, 직선이 평면 위의 모든 직선과 수직이어야 한다. |
| 표기 | |
| 기호 | "⊥" (유니코드: U+22A5)를 사용하여 나타낸다. 예를 들어, }}와 }}가 수직임을 나타낼 때, }} ⊥ }} 와 같이 쓴다. |
| 수선 | 어떤 직선 바깥의 한 점 에서 그 직선 }}에 내린 수선은, 점 에서 직선 }}까지의 최단 거리를 나타내는 선분이다. 이 때, 직선 }}와 수선이 만나는 점을 수선의 발 (foot)이라고 한다. |
| 활용 | |
| 건축 및 공학 | 구조물의 안정성을 확보하기 위해 수직 관계를 활용한다. |
| 지도 제작 | 지도에서 정확한 위치와 거리를 표현하기 위해 수직 개념을 사용한다. |
| 컴퓨터 그래픽스 | 물체를 렌더링하고 장면을 구성하는 데 수직 벡터를 활용한다. |
2. 정의
두 직선이 서로 '''수직'''이라는 것은, 두 직선 중 하나를 적절히 평행이동시켰을 때 직각을 이룰 때를 말한다.[8] 이때, 수직성은 대칭적이며, 두 직선은 서로 수직이라고 말할 수 있다. 예를 들어, 선분 AB영어가 선분 CD영어에 수직이라는 것은, 양 선분을 각각 양 방향으로 무한히 연장하여 직선으로 만들었을 때, 직선 AB영어가 직선 CD영어에 대해 수직인 것을 의미하며,AB영어 ⊥ CD영어로 나타낸다.[8] 주어진 직선이 평면에 대해 수직이라는 것은, 그 평면 위에 있고 그들의 교점을 지나는 임의의 직선에 대해 주어진 직선이 수직일 때를 말한다. 두 평면이 수직이라는 것은, 그들이 이루는 이면각이 직각일 때를 말한다.
수선의 발은 주어진 점에서 직선이나 평면에 내린 수선과 직선 또는 평면이 만나는 점을 의미한다. 점 A에서 직선 m에 내린 수선의 발은, 점 A를 지나고 직선 m에 수직인 직선과 직선 m의 교점 B이다. '발'(foot)이라는 용어는 연직선과 관련되어 자주 사용된다.
컴퍼스와 직선자 작도를 사용하여 점 P를 지나는 직선 AB에 대한 수직선 작도를 증명할 수 있다.[9] 삼각형 QPA'와 QPB'는 SSS 합동이므로 각 QPA'와 QPB'는 같다.[9] 그러면 삼각형 OPA'와 OPB'는 SAS 합동이므로 각 POA와 각 POB는 같다.[9]
3. 수선의 발
4. 작도
4. 1. 증명
컴퍼스와 직선자 작도를 사용하여 점 P를 지나는 직선 AB에 대한 수직선 작도를 증명할 수 있다. 삼각형 QPA'와 QPB'는 SSS 합동이므로 각 QPA'와 QPB'는 같다. 그러면 삼각형 OPA'와 OPB'는 SAS 합동이므로 각 POA와 각 POB는 같다.
5. 평행선과의 관계
두 직선(''a''와 ''b'')이 모두 제3의 직선(''c'')에 수직이면, 제3의 직선을 따라 형성된 모든 각은 직각이다. 따라서 유클리드 기하학에서 평행선 공준에 의해 세 번째 직선에 모두 수직인 두 직선은 평행하다. 반대로, 한 직선이 다른 직선에 수직이면, 그 두 번째 직선에 평행한 임의의 직선에도 수직이다.
오른쪽 그림에서 모든 주황색 음영 각도는 서로 합동이고 모든 녹색 음영 각도는 서로 합동이다. 왜냐하면 맞꼭지각은 합동이고 평행선을 자르는 횡단선에 의해 형성된 엇각은 합동이기 때문이다. 따라서 직선 ''a''와 ''b''가 평행하면 다음 결론 중 하나가 다른 모든 결론을 이끌어낸다.
- 그림의 각 중 하나가 직각이다.
- 주황색 음영 각도 중 하나가 녹색 음영 각도 중 하나와 합동이다.
- 직선 ''c''는 직선 ''a''에 수직이다.
- 직선 ''c''는 직선 ''b''에 수직이다.
- 네 각이 모두 같다.
6. 함수 그래프
2차원 평면에서 두 직선이 교차하여 직각을 이루려면 두 직선의 기울기의 곱이 -1이어야 한다. 따라서 두 일차 함수의 그래프가 수직이 되려면 두 기울기의 곱이 -1 이어야 한다.
벡터의 내적을 이용하여 같은 결과를 얻을 수도 있다. 좌표를 평행이동하여 원점이 두 직선이 교차하는 지점에 오도록 한 뒤, 각 직선을 따라 두 개의 변위를 정의한다. 수직인 벡터의 내적은 0이라는 사실을 이용하면, 두 기울기의 곱이 -1 임을 도출할 수 있다.
수평선과 수직선의 경우에도, 한 기울기를 ε로 하고 ε→0 인 극한을 취하면 위 내용이 모두 유효하다. 한 기울기가 0에 가까워지면 다른 기울기는 무한대가 된다.
7. 원 및 기타 도형과의 관계
7. 1. 원
원의 모든 지름은 지름이 원과 만나는 점에서 그 원에 대한 접선과 수직이다.[4] 원의 중심을 지나는 선분은 현을 이등분하고 현과 수직이다.[4]두 개의 수직인 현이 교차하는 경우, 한 현을 길이 ''a''와 ''b''로 나누고 다른 현을 길이 ''c''와 ''d''로 나눈다면, ''a''2 + ''b''2 + ''c''2 + ''d''2는 지름의 제곱과 같다.[4] 주어진 점에서 교차하는 임의의 두 수직인 현의 제곱 길이의 합은 같은 점에서 교차하는 다른 두 수직인 현의 제곱 길이의 합과 같으며, 8''r''2 – 4''p''2로 주어진다 (여기서 ''r''은 원의 반지름이고 ''p''는 중심점에서 교차점까지의 거리이다).[5]
탈레스의 정리는 원의 같은 점을 지나지만 지름의 반대쪽 끝점을 지나는 두 직선이 수직임을 나타낸다. 이것은 원의 임의의 지름이 지름의 두 끝점을 제외한 원 위의 임의의 점에서 직각을 이룬다는 것과 같다.[4]
7. 2. 타원
타원의 장축과 단축은 서로 수직이며, 축이 타원과 만나는 점에서의 타원의 접선에도 수직이다.타원의 장축은 준선과 각 현(latus rectum)에 수직이다.
7. 3. 포물선
포물선의 대칭축은 꼭짓점에서의 접선, 준선, 현에 수직이다. 포물선의 정직교성(orthoptic property)은 서로 수직인 두 접선이 준선 위에서 만난다는 것이다. 반대로, 준선 위에서 만나는 두 접선은 수직이다. 이것은 준선 위의 임의의 점에서 볼 때, 어떤 포물선도 직각을 이룬다는 것을 의미한다.7. 4. 쌍곡선
쌍곡선의 횡축은 공액축과 각 준선에 수직이다. 쌍곡선 또는 그 공액쌍곡선 위의 한 점 P에서 점근선까지의 수직 거리의 곱은 P의 위치에 관계없이 일정하다. 직각쌍곡선은 서로 수직인 점근선을 갖는다.8. 다각형
8. 1. 삼각형
직각삼각형의 두 변은 서로 수직이다. 삼각형의 높이는 각각의 밑변에 수직이다. 변의 수직이등분선 또한 삼각형 기하학에서 중요한 역할을 한다. 오일러 직선은 이등변삼각형의 밑변에 수직이다. 드로-파르니 정리는 삼각형의 수심에서 만나는 두 수직선의 성질에 관한 것이다. 하쿠르트 정리는 삼각형의 내접원에 접선이고 삼각형의 꼭짓점을 지나는 선분의 관계에 관한 것이다.8. 2. 사각형
정사각형이나 직사각형에서, 모든 인접한 변의 쌍은 수직이다. 직각 사다리꼴은 두 쌍의 인접한 변이 수직인 사다리꼴이다.사각형의 네 개의 중선(maltitude) 각각은 마주보는 변의 중점을 지나는 변에 대한 수선이다.
직교 사각형(orthodiagonal quadrilateral)은 대각선이 수직인 사각형이다. 여기에는 정사각형, 마름모, 그리고 연이 포함된다. 브라마굽타의 정리에 따르면, 순환 사각형이기도 한 직교 사각형에서, 한 변의 중점과 대각선의 교점을 지나는 선은 마주보는 변에 수직이다.
반 오벨의 정리에 따르면, 사각형의 변에 외부적으로 정사각형을 작도하면, 마주보는 정사각형의 중심을 연결하는 선분은 수직이고 길이가 같다.
9. 3차원 공간에서의 직선
3차원 공간에서는 최대 세 개의 직선이 한 점에서 서로 수직일 수 있으며, 3차원 데카르트 좌표계의 x축, y축, z축이 그 예이다.
참조
[1]
논문
[2]
논문
[3]
논문
[4]
서적
Challenging Problems in Geometry
Dover
[5]
간행물
College Mathematics Journal
1998-09
[6]
논문
[7]
웹사이트
normal of plane
https://planetmath.o[...]
[8]
논문
[9]
웹사이트
compass and straightedge construction of perpendicular
https://planetmath.o[...]
[10]
문서
연직
표준국어대사전
[11]
웹사이트
Section: Horizontal, Vertical, Parallel, and Perpendicular Lines
https://math.oer.lan[...]
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