스튀름-리우빌 연산자

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 스튀름-리우빌 형태로의 변환
- 4.1. 변환 방법
- 4.2. 예시
5. 응용
- 5.1. 비동차 경계값 문제
- 5.2. 편미분 방정식
6. 해의 표현과 수치적 계산
7. 역사
참조

1. 개요

스튀름-리우빌 연산자는 실수 구간에서 정의된 2차 미분 연산자로, 다양한 형태의 미분 방정식을 연구하는 데 사용된다. 로뱅 경계 조건과 함께 힐베르트 공간에서 자기 수반 작용소로 확장되며, 고유값과 고유 함수를 갖는다. 이 연산자는 고유값이 실수이고, 고유 함수가 직교하는 성질을 가지며, 비동차 경계값 문제나 편미분 방정식의 해를 구하는 데 응용된다. 스튀름-리우빌 방정식으로 변환하여 해를 구하거나, 사격법, 유한 차분법 등의 수치적 방법을 통해 근사해를 계산할 수 있다. 자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

실수의 닫힌구간 $[a,b] \subsetneq \mathbb R$ 에서 정의된 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 '''스튀름-리우빌 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

: $D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)$

: $D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)= -\frac{p(x)}{w(x)}\frac{d^2}{dx^2}$

\frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx}
\frac{q(x)}{w(x)}

여기서

$p \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
$q \colon [a,b] \to \mathbb R$ 는 연속 함수이다.
$w \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 '''무게 함수''' weight function^영어라고 한다.)

닫힌구간

[a,b]

위의 '''로뱅 경계 조건'''(Robin境界條件, Robin boundary condition^영어)이란

[a,b]

위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

:

\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

:

\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.

$\alpha_a$ 또는 $\beta_a$ 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 $\alpha_b$ 또는 $\beta_b$ 가운데 하나 이상이 0이 아니다.

즉,

[\alpha_a:\beta_a]

와

[\alpha_b:\beta_b]

는 각각 실수 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}

의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

:

H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx)= \left\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R)\colon \int_a^b |f(x)|^2w(x)\,\mathrm dx < \infty\right \}

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자

D

의 고유 함수 방정식

:

Dy(x) = \lambda y(x)

즉 선형 상미분 방정식

:

-\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)

을 '''스튀름-리우빌 방정식'''(u/Sturm–Liouville equation}})이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로,

p

와

q

,

\lambda

의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. '''스튀름-리우빌 문제'''는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.

다음과 같이 정의된 매핑:

:

Lu = -\frac{1}{w(x)} \left(\frac{d}{dx}\left[p(x)\,\frac{du}{dx}\right]+q(x)u \right)

는 함수 로 매핑하는 선형 연산자 로 볼 수 있으며, 함수 해석학의 맥락에서 연구될 수 있다.

이것은 정확히 고유값 문제이다. 즉, 연산자의 고유값 및 해당 고유 벡터 를 찾는다. 이 문제에 대한 적절한 설정은 스칼라 곱을 갖는

L^2([a,b],w(x)\,dx)

힐베르트 공간이다.

:

\langle f, g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x)w(x)\, dx.

이 공간에서 은 위의 정규 경계 조건을 만족하는 충분히 매끄러운 함수에 대해 정의된다. 또한, 은 자기 수반 연산자이다.

:

\langle L f, g \rangle = \langle f, L g \rangle .

이는 부분 적분을 두 번 사용하여 형식적으로 볼 수 있으며, 경계 조건에 따라 경계 항이 사라진다. 그러면 슈트름-리우빌 연산자의 고유값이 실수이고, 서로 다른 고유값에 해당하는 의 고유 함수는 직교한다는 것을 알 수 있다. 그러나 이 연산자는 비유계이므로 고유 함수의 정규 직교 기저의 존재가 명확하지 않다. 이 문제를 극복하기 위해 resolvent를 살펴본다.

:

\left (L - z\right)^{-1}, \qquad z \in \Reals,

여기서 는 고유값이 아니다. 그런 다음, resolvent를 계산하는 것은 비동차 방정식을 푸는 것이며, 이는 매개변수 변동 공식을 사용하여 수행할 수 있다. 이는 resolvent가 연속적이고 대칭적인 커널(문제의 그린 함수)을 가진 적분 연산자임을 보여준다. Arzelà–Ascoli 정리의 결과로, 이 적분 연산자는 콤팩트하고 0으로 수렴하는 일련의 고유값 의 존재와 정규 직교 기저를 형성하는 고유 함수는 콤팩트 연산자에 대한 스펙트럼 정리에서 따른다. 마지막으로,

:

\left(L-z\right)^{-1} u = \alpha u, \qquad L u = \left(z+\alpha^{-1}\right) u,

는 동일하므로, 동일한 고유 함수로

\lambda = z+\alpha^{-1}

을 취할 수 있다.

구간이 무한하거나 계수가 경계점에서 특이점을 갖는 경우, 을 특이점이라 부른다. 이 경우, 스펙트럼은 더 이상 고유값만으로 구성되지 않으며 연속적인 구성 요소를 포함할 수 있다. 여전히 관련된 고유 함수 전개(푸리에 급수 대 푸리에 변환과 유사)가 있다. 이는 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이 슈트름-리우빌 방정식의 특수한 경우이므로 양자 역학에서 중요하다.

2. 1. 스튀름-리우빌 연산자

실수의 닫힌구간

[a,b] \subsetneq \mathbb R

에서 정의된 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 '''스튀름-리우빌 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

:

D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)

:

D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)= -\frac{p(x)}{w(x)}\frac{d^2}{dx^2}

\frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx}
\frac{q(x)}{w(x)}

여기서

$p \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
$q \colon [a,b] \to \mathbb R$ 는 연속 함수이다.
$w \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 '''무게 함수''' weight function^영어라고 한다.)

닫힌구간

[a,b]

위의 '''로뱅 경계 조건'''(Robin境界條件, Robin boundary condition^영어)이란

[a,b]

위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

:

\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

:

\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.

$\alpha_a$ 또는 $\beta_a$ 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 $\alpha_b$ 또는 $\beta_b$ 가운데 하나 이상이 0이 아니다.

즉,

[\alpha_a:\beta_a]

와

[\alpha_b:\beta_b]

는 각각 실수 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}

의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

:

H = \operatorname L^2([a,b],w(x)\,\mathrm dx)= \left\{ f\in \operatorname L^0([a,b],\mathbb R)\colon \int_a^b |f(x)|^2w(x)\,\mathrm dx < \infty\right \}

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자

D

의 고유 함수 방정식

:

Dy(x) = \lambda y(x)

즉 선형 상미분 방정식

:

-\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)

을 '''스튀름-리우빌 방정식'''(u/Sturm–Liouville equation}})이라고 한다.

다음과 같이 정의된 매핑:

Lu = -\frac{1}{w(x)} \left(\frac{d}{dx}\left[p(x)\,\frac{du}{dx}\right]+q(x)u \right)

는 함수 로 매핑하는 선형 연산자 로 볼 수 있으며, 함수 해석학의 맥락에서 연구될 수 있다.

이것은 정확히 고유값 문제이다. 즉, 연산자의 고유값 및 해당 고유 벡터 를 찾는다. 이 문제에 대한 적절한 설정은 스칼라 곱을 갖는

L^2([a,b],w(x)\,dx)

힐베르트 공간이다.

:

\langle f, g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x)w(x)\, dx.

이 공간에서 은 위의 정규 경계 조건을 만족하는 충분히 매끄러운 함수에 대해 정의된다. 또한, 은 자기 수반 연산자이다.

:

\langle L f, g \rangle = \langle f, L g \rangle .

이는 부분 적분을 두 번 사용하여 형식적으로 볼 수 있으며, 경계 조건에 따라 경계 항이 사라진다. 그러면 슈트름-리우빌 연산자의 고유값이 실수이고, 서로 다른 고유값에 해당하는 의 고유 함수는 직교한다는 것을 알 수 있다. 그러나 이 연산자는 비유계이므로 고유 함수의 정규 직교 기저의 존재가 명확하지 않다. 이 문제를 극복하기 위해 resolvent를 살펴본다.

:

\left (L - z\right)^{-1}, \qquad z \in \Reals,

여기서 는 고유값이 아니다. 그런 다음, resolvent를 계산하는 것은 비동차 방정식을 푸는 것이며, 이는 매개변수 변동 공식을 사용하여 수행할 수 있다. 이는 resolvent가 연속적이고 대칭적인 커널(문제의 그린 함수)을 가진 적분 연산자임을 보여준다. Arzelà–Ascoli 정리의 결과로, 이 적분 연산자는 콤팩트하고 0으로 수렴하는 일련의 고유값 의 존재와 정규 직교 기저를 형성하는 고유 함수는 콤팩트 연산자에 대한 스펙트럼 정리에서 따른다. 마지막으로,

:

\left(L-z\right)^{-1} u = \alpha u, \qquad L u = \left(z+\alpha^{-1}\right) u,

는 동일하므로, 동일한 고유 함수로

\lambda = z+\alpha^{-1}

을 취할 수 있다.

구간이 무한하거나 계수가 경계점에서 특이점을 갖는 경우, 을 특이점이라 부른다. 이 경우, 스펙트럼은 더 이상 고유값만으로 구성되지 않으며 연속적인 구성 요소를 포함할 수 있다. 여전히 관련된 고유 함수 전개(푸리에 급수 대 푸리에 변환과 유사)가 있다. 이는 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이 슈트름-리우빌 방정식의 특수한 경우이므로 양자 역학에서 중요하다.

2. 2. 스튀름-리우빌 방정식

실수의 닫힌구간

[a,b] \subsetneq \mathbb R

위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 '''스튀름-리우빌 연산자'''는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

:

D \colon \mathcal C^2([a,b],\mathbb R) \to \mathcal C^0([a,b],\mathbb R)

:

D = -\frac1{w(x)}\left(\frac{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x)\right)= -\frac{p(x)}{w(x)}\frac{d^2}{dx^2}

\frac1{w(x)}p'(x)\frac{d}{dx}
\frac{q(x)}{w(x)}

여기서

$p \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
$q \colon [a,b] \to \mathbb R$ 는 연속 함수이다.
$w \colon [a,b] \to \mathbb R^+$ 는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 '''무게 함수''' weight function^영어라고 한다.)

스튀름-리우빌 연산자

D

의 고유 함수 방정식

:

Dy(x) = \lambda y(x)

즉 선형 상미분 방정식

:

-\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy(x)}{dx}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)

을 '''스튀름-리우빌 방정식'''(u/Sturm–Liouville equation}})이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로,

p

와

q

,

\lambda

의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다.

다음과 같이 정의된 매핑:

Lu = -\frac{1}{w(x)} \left(\frac{d}{dx}\left[p(x)\,\frac{du}{dx}\right]+q(x)u \right)

는 함수 로 매핑하는 선형 연산자 로 볼 수 있으며, 함수 해석학의 맥락에서 연구될 수 있다.

이것은 정확히 고유값 문제이다. 즉, 연산자의 고유값 및 해당 고유 벡터 를 찾는다. 이 문제에 대한 적절한 설정은 스칼라 곱을 갖는

L^2([a,b],w(x)\,dx)

힐베르트 공간이다.

\langle f, g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x)w(x)\, dx.

이 공간에서 은 위의 정규 경계 조건을 만족하는 충분히 매끄러운 함수에 대해 정의된다. 또한, 은 자기 수반 연산자이다.

\langle L f, g \rangle = \langle f, L g \rangle .

이는 부분 적분을 두 번 사용하여 형식적으로 볼 수 있으며, 경계 조건에 따라 경계 항이 사라진다. 그러면 슈트름-리우빌 연산자의 고유값이 실수이고, 서로 다른 고유값에 해당하는 의 고유 함수는 직교한다는 것을 알 수 있다.

구간이 무한하거나 계수가 경계점에서 특이점을 갖는 경우, 을 특이점이라 부른다. 이 경우, 스펙트럼은 더 이상 고유값만으로 구성되지 않으며 연속적인 구성 요소를 포함할 수 있다. 여전히 관련된 고유 함수 전개(푸리에 급수 대 푸리에 변환과 유사)가 있다. 이는 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이 슈트름-리우빌 방정식의 특수한 경우이므로 양자 역학에서 중요하다.

2. 3. 로뱅 경계 조건

로뱅 경계 조건(Robin境界條件, Robin boundary condition^영어)은 닫힌구간

[a,b]

위의 연속 미분 가능 함수에 대해, 함수와 그 미분 값의 선형 결합으로 표현되는 경계 조건이다. 즉, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

:

\alpha_a y(a) + \beta_a y'(a) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

:

\alpha_b y(b) + \beta_b y'(b) = 0\qquad(\alpha_a,\beta_a\in\mathbb R)

여기서

\alpha_a

또는

\beta_a

가운데 하나 이상이 0이 아니어야 하고, 마찬가지로

\alpha_b

또는

\beta_b

가운데 하나 이상이 0이 아니어야 한다. 즉,

[\alpha_a:\beta_a]

와

[\alpha_b:\beta_b]

는 각각 실수 사영 직선

\mathbb P^1_{\mathbb R} = \mathbb R \sqcup \{\infty\}

의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 적용하면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간 위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있으며, 이 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

3. 성질

스튀름-리우빌 연산자의 고윳값은 모두 실수이고 이산적(discrete)이다. 고윳값은 크기 순으로 나열할 수 있으며, 최소값은 존재하지만 최대값은 존재하지 않는다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb$

: $\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty$

각 고윳값 $\lambda_i$ 에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 상수배를 제외하고 유일하게 결정된다. 이 고유 함수는 실수 함수이며, 열린구간 $(a,b)$ 에서 정확히 $i$ 개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들은 주어진 무게 함수 $w(x)$ 에 대한 내적

: $\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}$

에 대해 정규 직교 기저를 이룬다. 여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

정칙 스튀름-리우빌 문제는 다음 조건을 만족하는 경우이다.

유한 구간 $[a, b]$ 에서 계수 함수 $p, q, w$ 와 도함수 $p'$ 는 모두 연속이다.
모든 $x \in [a, b]$ 에 대해 $p(x) > 0$ 및 $w(x) > 0$ 이다.
분리된 경계 조건, 즉 로빈 경계 조건을 가진다.

:

\alpha_{1}y(a)+\alpha_{2}y'(a)=0\qquad\qquad\qquad(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}>0),

:

\beta_{1}y(b)+\beta_{2}y'(b)=0\qquad\qquad\qquad(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}>0),

이러한 조건 하에서, 스튀름-리우빌 이론은 고유값과 고유 함수의 존재성과 성질에 대한 결론을 제공한다.

스튀름-리우빌 연산자의 고윳값은 실수이고, 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유 함수는 직교한다. 이는 부분 적분을 두 번 사용하여 형식적으로 확인할 수 있으며, 경계 조건에 따라 경계 항이 사라진다.

구체적으로, 무게 함수

w \colon [a,b] \to \mathbb R^+

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)

가 주어졌을 때, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않고, 중복되지 않는다. 즉, 고윳값들은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb

:

\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty

각 고윳값

\lambda_i

에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 이 함수는 열린구간

(a,b)

속에서 정확히

i

개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합

\{y_0,y_1,\dotsc\}

은 주어진 무게 함수

w(x)

에 대해 직교한다. 즉,

H

의 내적에 따라 정규화하였을 때, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

이는

L^2([a,b],w(x)\,dx)

힐베르트 공간에서 스칼라 곱

\langle f, g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x)w(x)\, dx

을 정의하여 확인할 수 있다. 이 공간에서 스튀름-리우빌 연산자 은 자기 수반 연산자이며,

\langle L f, g \rangle = \langle f, L g \rangle

를 만족한다.

하지만 이 연산자는 비유계이므로 고유 함수의 정규 직교 기저의 존재가 명확하지 않다. 이 문제는 resolvent를 이용하여 해결할 수 있다.

[a,b]

위의 무게 함수

w \colon [a,b] \to \mathbb R^+

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)

가 주어졌을 때, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지고, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

:

\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb

:

\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty

각 고윳값

\lambda_i

에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간

(a,b)

속에서 정확히

i

개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합

\{y_0,y_1,\dotsc\}

은 (

H

의 내적에 따라 정규화하였을 때)

H

의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

''p''(''x'') > 0, ''w''(''x'') > 0이 성립하고, ''p''(''x''), ''p'''(''x''), ''q''(''x''), ''w''(''x'')가 유한폐구간 [''a'', ''b'']에서 연속이며, 분리된 동차 경계 조건에서, 이 경계값 문제를 슈트름-리우빌형 경계값 문제라고 한다.

슈트름-리우빌형 경계값 문제에서, 고유값은 모두 실수이며, 이산적인 값을 가지고 최소값을 가지지만 최대값은 가지지 않는다. 고유값을 작은 순서대로 λ₁ , λ₂ , λ₃ , ... 와 같이 번호를 붙이면, 고유값 λ_''n'' 에 대응하는 고유 함수 ''y''_''n'' (''x'' )는 상수배를 제외하고 실수 함수로써 유일하게 존재하며, 개구간 (''a'', ''b'')에 ''n'' −1개의 영점을 가진다.

정규화된 고유 함수는, 경계 조건을 만족하는 함수로 이루어진 힐베르트 공간에서, 정규 직교 기저를 형성한다. 단, 내적은

\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,\mathrm{d}x

로 정의된다.

3. 1. 고윳값과 고유 함수

스튀름-리우빌 연산자의 고윳값은 모두 실수이고 이산적(discrete)이다. 고윳값은 크기 순으로 나열할 수 있으며, 최소값은 존재하지만 최대값은 존재하지 않는다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb

:

\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty

각 고윳값

\lambda_i

에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 상수배를 제외하고 유일하게 결정된다. 이 고유 함수는 실수 함수이며, 열린구간

(a,b)

에서 정확히

i

개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들은 주어진 무게 함수

w(x)

에 대한 내적

:

\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

에 대해 정규 직교 기저를 이룬다. 여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

정칙 스튀름-리우빌 문제는 다음 조건을 만족하는 경우이다.

유한 구간 $[a, b]$ 에서 계수 함수 $p, q, w$ 와 도함수 $p'$ 는 모두 연속이다.
모든 $x \in [a, b]$ 에 대해 $p(x) > 0$ 및 $w(x) > 0$ 이다.
분리된 경계 조건, 즉 로뱅 경계 조건을 가진다.

:

\alpha_{1}y(a)+\alpha_{2}y'(a)=0\qquad\qquad\qquad(\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}>0),

:

\beta_{1}y(b)+\beta_{2}y'(b)=0\qquad\qquad\qquad(\beta_{1}^{2}+\beta_{2}^{2}>0),

이러한 조건 하에서, 스튀름-리우빌 이론은 고유값과 고유 함수의 존재성과 성질에 대한 결론을 제공한다.

3. 2. 고유 함수의 직교성

스튀름-리우빌 연산자의 고윳값은 실수이고, 서로 다른 고윳값에 해당하는 고유 함수는 직교한다. 이는 부분 적분을 두 번 사용하여 형식적으로 확인할 수 있으며, 경계 조건에 따라 경계 항이 사라진다.

구체적으로, 무게 함수

w \colon [a,b] \to \mathbb R^+

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)

가 주어졌을 때, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않고, 중복되지 않는다. 즉, 고윳값들은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb

:

\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty

각 고윳값

\lambda_i

에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 이 함수는 열린구간

(a,b)

속에서 정확히

i

개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합

\{y_0,y_1,\dotsc\}

은 주어진 무게 함수

w(x)

에 대해 직교한다. 즉,

H

의 내적에 따라 정규화하였을 때, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

이는

L^2([a,b],w(x)\,dx)

힐베르트 공간에서 스칼라 곱

\langle f, g\rangle = \int_a^b \overline{f(x)} g(x)w(x)\, dx

을 정의하여 확인할 수 있다. 이 공간에서 스튀름-리우빌 연산자 은 자기 수반 연산자이며,

\langle L f, g \rangle = \langle f, L g \rangle

를 만족한다.

하지만 이 연산자는 비유계이므로 고유 함수의 정규 직교 기저의 존재가 명확하지 않다. 이 문제는 resolvent를 이용하여 해결할 수 있다.

3. 3. 고유 함수의 완비성

[a,b]

위의 무게 함수

w \colon [a,b] \to \mathbb R^+

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

D \colon \operatorname L^2([a,b],w)\to \operatorname L^2([a,b],w)

가 주어졌을 때, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지고, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

:

\lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \dotsb

:

\lim_{i\to\infty}\lambda_i = +\infty

각 고윳값

\lambda_i

에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간

(a,b)

속에서 정확히

i

개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합

\{y_0,y_1,\dotsc\}

은 (

H

의 내적에 따라 정규화하였을 때)

H

의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\int_a^b y_i(x)y_j(x)w(x)\,\mathrm dx = \delta_{ij}

''p''(''x'') > 0, ''w''(''x'') > 0이 성립하고, ''p''(''x''), ''p'''(''x''), ''q''(''x''), ''w''(''x'')가 유한폐구간 [''a'', ''b'']에서 연속이며, 분리된 동차 경계 조건에서, 이 경계값 문제를 슈트름-리우빌형 경계값 문제라고 한다.

슈트름-리우빌형 경계값 문제에서, 고유값은 모두 실수이며, 이산적인 값을 가지고 최소값을 가지지만 최대값은 가지지 않는다. 고유값을 작은 순서대로 λ₁ , λ₂ , λ₃ , ... 와 같이 번호를 붙이면, 고유값 λ_''n'' 에 대응하는 고유 함수 ''y''_''n'' (''x'' )는 상수배를 제외하고 실수 함수로써 유일하게 존재하며, 개구간 (''a'', ''b'')에 ''n'' −1개의 영점을 가진다.

정규화된 고유 함수는, 경계 조건을 만족하는 함수로 이루어진 힐베르트 공간에서, 정규 직교 기저를 형성한다. 단, 내적은

\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,\mathrm{d}x

로 정의된다.

4. 스튀름-리우빌 형태로의 변환

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, ''y''가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

: $P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$

양변을 ''P''(''x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

: $\exp\left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,dx\right)$

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

미분 방정식

: $P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y=0$

형태의 방정식에서 적분 인자

: $\mu(x) = \frac 1 {P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)} \, dx\right)$

를 곱하면 슈트름-리우빌 형태가 된다.

: $\frac{d}{dx} \left(\mu(x)P(x)y'\right) + \mu(x)R(x)y = 0,$

또는,

: $\frac{d}{dx} \left(\exp\left (\int \frac{Q(x)}{P(x)} \,dx\right)y' \right )+\frac{R(x)}{P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\, dx\right) y = 0.$

과 같이 쓸 수 있다.

베셀 방정식

: $x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0$

은 양변에 적절한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

: $(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0$

르장드르 방정식

: $(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0$

은

: $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1-x^2) = -2x$

이므로, 다음 모양으로 만들 수 있다.

: $[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0$

다음 상미분 방정식을 생각하자.

: $x^3y''-xy'+2y=0$

양변을 ''x''³으로 나누고, 적분 인자 $\exp\left(\int -\frac x{x^3}\,\mathrm dx\right)=\exp(1/x)$ 를 곱하면 다음과 같은 방정식이 나온다.

: $\exp(1/x)y''-\frac1{x^2}\exp(1/x)y'+ \frac2{x^3}\exp(1/x)y = 0$

이 방정식은 $\frac{d}{dx}\exp(1/x) = -\frac1{x^2}\exp(1/x)$ 이므로, 다음의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.

: $(\exp(1/x)y')'+\frac2{x^3}\exp(1/x) y =0$

일반적인 2차 선형 상미분 방정식

: $P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y=0$

은 적분 인자

: $\mu(x) = \frac 1 {P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)} \, dx\right)$

를 곱하면 스튀름-리우빌 형태가 된다.

에르미트 미분 방정식

: $\left( \mathrm{e}^{-x^2} y'\right)' +2\nu \mathrm{e}^{-x^2} y = 0$

라게르 미분 방정식

: $\left( x \mathrm{e}^{-x} y' \right)' +\nu \mathrm{e}^{-x} y = 0$

도 스튀름-리우빌 형태로 표현 가능하다.

4. 1. 변환 방법

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, ''y''가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

:

P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0

양변을 ''P''(''x'')로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

:

\exp\left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\,dx\right)

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

:

P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y=0

형태의 방정식에서 적분 인자

:

\mu(x) = \frac 1 {P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)} \, dx\right)

를 곱하면 슈트름-리우빌 형태가 된다.

:

\frac{d}{dx} \left(\mu(x)P(x)y'\right) + \mu(x)R(x)y = 0,

또는,

:

\frac{d}{dx} \left(\exp\left (\int \frac{Q(x)}{P(x)} \,dx\right)y' \right )+\frac{R(x)}{P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)}\, dx\right) y = 0.

과 같이 쓸 수 있다.

4. 2. 예시

베셀 방정식

:

x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0

은 양변에 적절한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

:

(xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0

르장드르 방정식

:

(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0

은

:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(1-x^2) = -2x

이므로, 다음 모양으로 만들 수 있다.

:

[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0

다음 상미분 방정식을 생각하자.

:

x^3y''-xy'+2y=0

양변을 ''x''³으로 나누고, 적분 인자

\exp\left(\int -\frac x{x^3}\,\mathrm dx\right)=\exp(1/x)

를 곱하면 다음과 같은 방정식이 나온다.

:

\exp(1/x)y''-\frac1{x^2}\exp(1/x)y'+ \frac2{x^3}\exp(1/x)y = 0

이 방정식은

\frac{d}{dx}\exp(1/x) = -\frac1{x^2}\exp(1/x)

이므로, 다음의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.

:

(\exp(1/x)y')'+\frac2{x^3}\exp(1/x) y =0

일반적인 2차 선형 상미분 방정식

:

P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y=0

은 적분 인자

:

\mu(x) = \frac 1 {P(x)} \exp \left(\int \frac{Q(x)}{P(x)} \, dx\right)

를 곱하면 스튀름-리우빌 형태가 된다.

에르미트 미분 방정식

:

\left( \mathrm{e}^{-x^2} y'\right)' +2\nu \mathrm{e}^{-x^2} y = 0

라게르 미분 방정식

:

\left( x \mathrm{e}^{-x} y' \right)' +\nu \mathrm{e}^{-x} y = 0

도 스튀름-리우빌 형태로 표현 가능하다.

5. 응용

5. 1. 비동차 경계값 문제

일반적인 비동차 2차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

P(x)y'' + Q(x)y' +R(x)y = f(x)

여기서

P(x), Q(x), R(x), f(x)

는 주어진 함수이다. 이 방정식은 스튀름-리우빌 형태로 변환될 수 있다. 스튀름-리우빌 연산자

L

을

:

Lu = \frac{p}{w(x)}u'' + \frac{p'}{w(x)}u' + \frac{q}{w(x)}u,

라고 하면, 주어진 미분 방정식은

Ly = f

형태로 표현된다.

이때,

p = Pw, p' = Qw, q = Rw

를 만족하는 함수

w(x), p(x), q(x)

를 찾으면 된다. 처음 두 방정식을 풀면,

w' = \frac{Q-P'}{P}w := \alpha w

를 얻고, 그 해는 다음과 같다.

:

w = \exp\left(\int\alpha \, dx\right), \quad p = P \exp\left(\int\alpha \, dx\right), \quad q = R \exp\left(\int\alpha \, dx\right).

일반적으로 초기 조건, 예를 들어

y(a) = 0

및

y'(a) = 0

이 주어지면, 피카르-린델뢰프 정리에 의해 초기 조건이 지정된 점 근방에서 미분 방정식의 유일한 해가 존재한다.

그러나, 서로 다른 두 점에서의 경계값, 예를 들어

y(a) = 0

및

y(b) = 1

이 주어진 경우에는 문제가 더 복잡해진다. 이러한 경계 조건 문제를 해결하기 위해 스튀름-리우빌 이론이 사용된다.

스튀름-리우빌 이론에 따르면, 함수

f(x)

는 관련된 리우빌 연산자의 정규 직교 고유 함수

u_i(x)

와 해당 고유값

\lambda_i

의 급수로 전개될 수 있다.

:

f(x) = \sum_i \alpha_i u_i(x), \quad \alpha_i \in {\mathbb R}.

따라서,

Ly = f

의 해는 다음과 같이 표현된다.

:

y = \sum_i \frac{\alpha_i}{\lambda_i} u_i.

이 해는 열린 구간

a < x < b

에서만 유효하며, 경계에서는 성립하지 않을 수 있다.

예를 들어,

L u = -\frac{d^2u}{dx^2} = \lambda u

와 경계 조건

u(0) = u(\pi) = 0

을 갖는 스튀름-리우빌 문제를 생각해보자. 이 경우,

k

가 정수일 때, 함수

u_k(x) = \sin kx

는 고유값

\lambda = k^2

을 갖는 해이다. 푸리에 급수 이론에 의해 사인 함수는 직교 기저를 형성하므로, 이 스튀름-리우빌 문제는 다른 고유 벡터를 갖지 않는다.

이제 비동차 문제

L y = x, x \in (0, \pi)

를 동일한 경계 조건

y(0) = y(\pi) = 0

으로 풀어보자.

f(x) = x

를 푸리에 급수로 전개하면 다음과 같다.

:

L y = \sum_{k=1}^\infty -2\frac{(-1)^k}{k} \sin kx.

이 푸리에 급수는 수렴성이 좋지 않지만, 푸리에 급수의 수렴에 대한 결과를 이용하면, 이 급수는

L^2

공간에서 수렴한다. 따라서 해는 다음과 같다.

:

y=\sum_{k=1}^\infty 2\frac{(-1)^k}{k^3}\sin kx= \tfrac 1 6 (x^3 -\pi^2 x).

5. 2. 편미분 방정식

특정 편미분 방정식은 스튀름-리우빌 이론을 이용하여 풀 수 있다. 예를 들어 얇은 막이 직사각형 틀 안에 고정되어 있을 때 막의 수직 변위 ''W''(''x'',''y'',''t'')^영어에 대한 운동 방정식은 파동 방정식으로 주어진다. 이 방정식은 변수 분리법을 사용하여 해를 구할 수 있는데, 먼저 1=''W'' = ''X''(''x'') × ''Y''(''y'') × ''T''(''t'')^영어 형태의 간단한 해를 찾는다. 이 경우 편미분 방정식은 + = }}.}}가 된다. 이 방정식의 각 항은 ''x'', ''y'', ''t''^영어의 함수이므로 상수여야 한다.

경계 조건 1=''W'' = 0^영어 (1=''x'' = 0^영어, ''L''₁^영어 또는 1=''y'' = 0^영어, W/''L''₂}})에서, 조화적인 시간 의존성을 갖는 {{mvar^영어에 대한 "노멀 모드 해"는 다음과 같다.

) sin()cos(''ω''_mn''t'')}}

여기서 과 은 0이 아닌 정수이고, ''A''_mn^영어은 임의의 상수이며, + )}}이다.

함수 은 파동 방정식의 해의 힐베르트 공간에 대한 기저를 형성한다. 즉, 임의의 해 는 개별 주파수 ''ω''_mn^영어로 진동하는 이러한 모드의 합으로 분해될 수 있다.

1차 시간에 대해 1차원 공간에서 선형 2차 미분 방정식또한 고려될수 있다

f(x) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + g(x) \frac{\partial u}{\partial x} + h(x) u= \frac{\partial u}{\partial t} + k(t) u,

u(a,t)=u(b,t)=0, \qquad u(x,0)=s(x).

이러한 경우에도 변수분리를 하여 문제를 풀수 있다.

6. 해의 표현과 수치적 계산

슈트름-리우빌 미분 방정식(슈트름-리우빌 문제)은 경계 조건을 통해 해석적으로 풀 수 있으며, 이는 정확하거나 근사치를 제공할 수 있고, 레일리-리츠 방법 또는 Gerck 등의 행렬-변분법을 통해 풀 수 있다.^[1]^[2]^[3]

수치적으로도 다양한 방법을 사용할 수 있다. 어려운 경우, 고유값을 소수점 몇 자리까지 정확하게 얻기 위해 중간 계산을 수백 자리의 정확도로 수행해야 할 수 있다.

사격법^[4]^[5]
유한 차분법
스펙트럼 매개변수 멱급수 방법^[6]

사격법은 λ의 값을 추측하고, 구간 [a,b]의 한쪽 끝점, 예를 들어 a에서의 경계 조건에 의해 정의된 초기값 문제를 풀고, 이 해가 다른 끝점 b에서 갖는 값을 다른 원하는 경계 조건과 비교한 다음, 원래 값을 수정하기 위해 필요에 따라 λ를 증가시키거나 감소시키는 방식으로 진행된다. 이 방법은 복소 고유값을 찾는 데 적용할 수 없다.

스펙트럼 매개변수 거듭제곱 급수(SPPS) 방법은 다음과 같은 동차 2계 선형 상미분 방정식에 대한 사실의 일반화를 이용한다. 만약 y가 어떤 점에서도 사라지지 않는다면, 함수

:y(x) ∫_a^x dt/(p(t)y(t)²)

는 동일한 방정식의 해이며, y와 선형 독립이다. 또한, 모든 해는 이 두 해의 선형 결합이다. SPPS 알고리즘에서, 임의의 값 λ₀^* (종종 λ₀^* = 0, 고유값이 될 필요는 없다)과 λ = λ₀^*에서 [a,b]에서 사라지지 않는 해 y₀로 시작해야 한다. ''반복 적분''이라고 하는 [a,b]에 대한 두 개의 함수 시퀀스 X⁽ⁿ⁾(t), X̃⁽ⁿ⁾(t)는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 먼저 n = 0일 때, [a,b]에서 항등적으로 1과 같다고 간주한다. 다음 함수를 얻기 위해, 1/(py₀²)과 wy₀²를 번갈아 곱하고 적분한다. 구체적으로, n > 0에 대해:

:

X^{(n)}(t) = \begin{cases}\displaystyle - \int_a^x  X^{(n-1)}(t) p(t)^{-1}  y_0(t)^{-2}\, dt & n \text{ 홀수}, \\[6pt]\displaystyle \quad \int_a^x  X^{(n-1)}(t)y_0(t)^2 w(t) \, dt & n \text{ 짝수}\end{cases}

:

\tilde X^{(n)}(t) = \begin{cases}\displaystyle \quad \int_a^x \tilde X^{(n-1)}(t)y_0(t)^2 w(t)\, dt & n \text{ 홀수}, \\[6pt]\displaystyle -\int_a^x \tilde X^{(n-1)}(t) p(t)^{-1} y_0(t)^{-2} \, dt & n \text{ 짝수.}\end{cases}

결과적인 반복 적분은 이제 다음 두 거듭제곱 급수의 계수로 적용된다 λ:

:u₀ = y₀∑_k=0^∞ (λ - λ₀^*)^kX̃^(2k),

:u₁ = y₀∑_k=0^∞ (λ - λ₀^*)^kX^(2k+1).

그런 다음 모든 λ (실수 또는 복소수)에 대해, u₀ 및 u₁은 해당 방정식의 선형 독립 해이다. (함수 p(x) 및 q(x)는 y₀의 선택에 대한 영향을 통해 이 구성에 참여한다.)

다음으로 계수 c₀와 c₁을 선택하여 조합 y = c₀u₀ + c₁u₁이 첫 번째 경계 조건을 만족하도록 한다. n > 0에 대해 X⁽ⁿ⁾(a) = 0 및 X̃⁽ⁿ⁾(a) = 0이므로, 이것은 간단하다. X⁽ⁿ⁾(b) 및 X̃⁽ⁿ⁾(b)의 값은 u₀(b) 및 u₁(b) 및 도함수 u′₀(b) 및 u′₀(b)의 값을 제공하므로 두 번째 경계 조건은 λ의 거듭제곱 급수 방정식이 된다. 수치 작업의 경우, 이 급수를 유한한 항수로 절단하여, 원하는 고유값의 근사치를 구하는 계산 가능한 λ의 다항식을 생성할 수 있다.

λ = λ₀일 때, 이는 주어진 해와 선형 독립적인 해에 대해 위에 설명된 원래 구성으로 축소된다. 표현식 (5) 및 (6)은 또한 슈트름-리우빌 이론에서 이론적인 응용 프로그램을 갖는다.^[6]

SPPS 방법은 시작 해 y₀를 찾는 데 사용할 수 있다. 방정식 (py′)′ = μqy를 고려하십시오. 즉, q, w, λ는 에서 각각 0, -q, μ로 대체된다. 그러면 상수 함수 1은 고유값 μ₀ = 0에 해당하는 비소멸 해이다. u₀ 또는 u₁이 사라지지 않는다는 보장은 없지만, 복소 함수 y₀ = u₀ + iu₁는 슈트름 분리 정리의 결과로 정칙 슈트름-리우빌 방정식의 두 선형 독립 해가 동시에 사라질 수 없기 때문에 결코 사라지지 않을 것이다. 이 트릭은 값 λ₀ = 0에 대한 해 y₀을 제공한다. 실제로 실수 계수를 갖는 경우 y₀를 기반으로 하는 해는 폐기해야 하는 매우 작은 허수 부분을 갖게 된다.

7. 역사

자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 따서 명명되었다.

참조

_[1] 간행물 Heavy baryons as bound states of three quarks 1983-09
_[2] 간행물 Solution of the Schrödinger equation for bound states in closed form 1982-06
_[3] 간행물 Scaling Laws for Rydberg Atoms in Magnetic Fields 1983-01
_[4] 서적 Numerical Solution of Sturm–Liouville Problems https://books.google[...] Clarendon Press
_[5] 학술 논문 Efficient computation of high index Sturm–Liouville eigenvalues for problems in physics
_[6] 학술 논문 Spectral parameter power series for Sturm–Liouville problems

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