쐐기합

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1. 개요
2. 정의
3. 예시
4. 범주론적 기술
5. 성질
참조

1. 개요

쐐기합은 점을 가진 두 위상 공간을 결합하는 연산으로, 두 공간의 분리합집합에 특정 동치 관계를 부여하여 얻는 몫공간이다. 두 원의 쐐기합은 8자 공간과 위상동형이며, 호모토피 이론에서 $n$ -구의 적도를 동일시하는 구성에 사용된다. 범주론적으로 쐐기합은 점을 가진 공간 범주에서 쌍대곱이며, 교환 법칙과 결합 법칙을 만족하여 가환 모노이드를 이룬다. 반 캄펜 정리는 쐐기합의 기본군에 대한 정보를 제공한다.

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쐐기합

2. 정의

$(X,x_0)$ 와 $(Y,y_0)$ 이 점을 가진 공간일 때, 이 두 공간의 쐐기합 $X\vee Y$ 는 분리합집합 $X\sqcup Y$ 에 $x_0\sim y_0$ 인 동치 관계를 준 몫공간으로 정의된다.

3. 예시

두 원의 쐐기합은 8자 공간과 위상동형이다. $n$ 개의 원의 쐐기합은 원 다발이라고 불리며, 임의의 구의 쐐기곱은 구 다발이라고 불린다.

호모토피에서 흔히 사용되는 구성은 $n$ -구 $S^n$ 의 적도에 있는 모든 점들을 동일시하는 것이다. 이렇게 하면 적도였던 점에서 결합된 구의 두 복사본이 생성된다.

: $S^n/{\sim} = S^n \vee S^n.$

$\Psi$ 를 적도를 단일 점으로 식별하는 맵 $\Psi : S^n \to S^n \vee S^n$ 라고 하자. 그러면 공간 $X$ 의 $n$ 차원 호모토피 군 $\pi_n(X,x_0)$ 의 두 원소 $f, g \in \pi_n(X,x_0)$ 의 합은 $f$ 와 $g$ 를 $\Psi$ 와 합성한 것으로 이해할 수 있다.

: $f + g = (f \vee g) \circ \Psi.$

여기서 $f, g : S^n \to X$ 는 특별한 점 $s_0 \in S^n$ 을 점 $x_0 \in X$ 로 가져가는 맵이다. 위는 두 함수의 쐐기합을 사용하는데, 이는 기본 공간의 쐐기합에 공통적인 점인 $s_0$ 에서 일치하기 때문에 가능하다.

4. 범주론적 기술

쐐기합은 점을 가진 공간들의 범주 $\operatorname{Top}_\bullet$ 에서의 쌍대곱이다. 또는 쐐기합은 위상 공간 범주에서 $X \leftarrow \{ \bull \} \to Y$ 다이어그램의 푸시 아웃으로 볼 수 있다 (여기서 $\{ \bull \}$ 는 임의의 1점 공간).

5. 성질

쐐기합은 점을 가진 공간들의 범주 $\operatorname{Top}_\bullet$ 에서의 쌍대곱이다.

한 점만 가진 위상 공간 $\{\bullet\}$ 은 쐐기합의 단위원이다. 또한, 쐐기합은 (위상동형사상에 대해) 교환 법칙 및 결합 법칙을 따른다. 따라서 이 연산은 가환 모노이드를 이룬다.

반 캄펜 정리는 두 공간 $X$ 와 $Y$ 의 쐐기합의 기본군이 $X$ 와 $Y$ 의 기본군의 자유곱이 되는 특정 조건 (일반적으로 CW 복합체와 같은 잘 행동하는 공간에 대해 충족됨)을 제공한다.

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