아벨 판정법

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1. 개요
2. 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법
3. 이상 적분에 대한 아벨 판정법
4. 복소 해석학에서의 아벨 판정법
- 4.1. 내용
- 4.2. 증명
5. 균등 수렴에 대한 아벨 판정법
- 5.1. 내용
- 5.2. 증명
6. 예시
참조

1. 개요

아벨 판정법은 급수의 수렴성을 판별하는 데 사용되는 여러 가지 정리들을 통칭한다. 여기에는 실수 항 급수, 이상 적분, 복소 해석학, 균등 수렴에 대한 판정법이 포함된다.

실수 항 급수에 대한 아벨 판정법은 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 이 수렴하고, $(b_n)_{n=0}^\infty$ 이 단조수열이면서 유계 수열일 때, 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_nb_n$ 역시 수렴한다는 것을 보여준다. 이상 적분에 대한 아벨 판정법은 함수 $f$ 가 리만 적분 가능하고 이상 적분 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 가 수렴하며, $g$ 가 단조 함수이면서 유계 함수일 때, 이상 적분 $\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx$ 가 수렴함을 나타낸다. 복소 해석학에서는 멱급수의 수렴반경 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용되며, 균등 수렴에 대한 아벨 판정법은 함수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty f_n$ 가 균등 수렴하고, $(g_n)_{n=0}^\infty$ 이 균등 유계 함수열이며, $(g_n(x))_{n=0}^\infty$ 가 단조수열일 때, 함수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty f_ng_n$ 역시 균등 수렴한다는 것을 보여준다.

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아벨 판정법
아벨 판정법
분야	수학, 해석학
하위 분야	급수의 수렴판정법
명명자	닐스 헨리크 아벨
설명
내용	두 급수의 곱의 수렴성을 판정하는 방법
조건 1	실수열 {an}이 단조 수렴해야 한다.
조건 2	급수 ∑ bn이 수렴해야 한다.
결론	급수 ∑ an bn은 수렴한다.

2. 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법

실수 항 급수의 수렴성을 판정하는 데 사용되는 아벨 판정법은 두 실수 수열의 곱으로 이루어진 급수의 수렴성을 판정하는 방법이다.

이 판정법은 주로 절댓값 수렴하지 않는 급수 $\sum a_n$ 의 맥락에서 중요하고 유용하다. 절댓값 수렴하는 급수의 경우, 이 정리는 비록 참이지만 거의 자명하다.^[3]

2. 1. 내용

두 실수 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

,

(b_n)_{n=0}^\infty

이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
$(b_n)_{n=0}^\infty$ 은 단조수열이자 유계 수열이다.

'''아벨 판정법'''에 따르면, 급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_nb_n

역시 수렴한다.^[3]^[4]

이 판정법은 주로 절댓값 수렴하지 않는 급수

\sum a_n

의 맥락에서 중요하고 유용하다. 절댓값 수렴하는 급수의 경우, 이 정리는 비록 참이지만 거의 자명하다.

2. 2. 디리클레 판정법을 통한 증명

(b_n)_{n=0}^\infty

은 단조수열이면서 유계 수열이므로, 어떤 실수로 수렴한다.

:

b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R

라고 하자.

(b_n-b)_{n=0}^\infty

는 단조수열이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_n

이 수렴하므로, 부분합은 유계 수열이다. 디리클레 판정법에 의하여, 급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)

는 수렴한다. 따라서, 급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_nb_n=\sum_{n=0}^\infty a_n(b_n-b)+b\sum_{n=0}^\infty a_n

역시 수렴한다.

2. 3. 직접적인 증명

두 실수 수열

(a_n)_{n=0}^\infty

,

(b_n)_{n=0}^\infty

이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 은 수렴한다.
$(b_n)_{n=0}^\infty$ 은 단조수열이자 유계 수열이다.

S_n=\sum_{k=0}^na_k\qquad(\forall n\in\mathbb N)

b=\lim_{n\to\infty}b_n\in\mathbb R

라고 하자. 임의의

\epsilon>0

에 대하여,

:

|b_n|\le2|b|\qquad(\forall n>N(\epsilon))

:

|S_m-S_n|<\frac\epsilon{6|b|+1}\qquad(\forall m,n>N(\epsilon))

인 자연수

N(\epsilon)\in\mathbb N

이 존재한다. 아벨 변환에 의하여, 임의의

n\ge N(\epsilon)

및 임의의

p\in\mathbb Z^+

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right|&=\left|b_{n+p}(S_{n+p}-S_n)+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})(S_k-S_n)\right|\\&\le|b_{n+p}||S_{n+p}-S_n|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}||S_k-S_n|\\&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\sum_{k=n+1}^{n+p-1}|b_k-b_{k+1}|\right)\\&=\frac\epsilon{6|b|+1}\left(|b_{n+p}|+\left|\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_k-b_{k+1})\right|\right)\\&=\frac\epsilon{6|b|+1}(|b_{n+p}|+|b_{n+1}-b_{n+p}|)\\&\le\frac\epsilon{6|b|+1}(2|b_{n+p}|+|b_{n+1}|)\\&\le\frac\epsilon{6|b|+1}\cdot3\cdot2|b|\\&<\epsilon\end{align}

즉, 급수

:

\sum_{n=0}^\infty a_nb_n

의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.^[3]

3. 이상 적분에 대한 아벨 판정법

이상 적분에 대한 아벨 판정법은 이상 적분의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다. 이 판정법은 두 함수의 곱의 이상 적분이 수렴하는 조건을 제시한다.^[1]

3. 1. 내용

실수 값 함수

f\colon[a,\infty)\to\mathbb R

가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

$f$ 는 임의의 $[a,b]\subseteq[a,\infty)$ 에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분 $\int_a^\infty f(x)\,dx$ 는 수렴한다.
$g$ 는 단조함수이자 유계 함수이다.

그렇다면, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

는 수렴한다.

3. 2. 디리클레 판정법을 통한 증명

g\colon [a,\infty)\to \mathbb R

가 단조 유계 함수이므로, 극한

:

g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R

가 존재한다. 함수

x\mapsto g(x)-g(\infty)

는 단조함수이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)\,dx

가 수렴하므로,

:

x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt

는 유계 함수이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법에 의하여, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx

는 수렴한다. 따라서, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx=\int_a^\infty f(x)(g(x)-g(\infty))\,dx+g(\infty)\int_a^\infty f(x)\,dx

역시 수렴한다.

3. 3. 직접적인 증명

g(\infty)=\lim_{x\to\infty}g(x)\in\mathbb R

이라고 하자. 임의의

\epsilon>0

에 대하여, 다음이 성립하는

N(\epsilon)>a

가 존재한다.

:

|g(x)|<2|g(\infty)|\qquad(\forall x>N(\epsilon))

:

\left|\int_x^yf(t)\,dt\right|<\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\qquad(\forall y>x>N(\epsilon))

제2 적분 평균값 정리에 따라, 임의의

y>x>N(\epsilon)

에 대하여, 어떤

c(x,y)\in[x,y]

가 존재하며, 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\left|\int_x^yf(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\\&\le2|g(\infty)|\left(\left|\int_x^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int_{c(x,y)}^yf(t)\,dt\right|\right)\\&\le2|g(\infty)|\cdot2\cdot\frac\epsilon{4|g(\infty)|+1}\\&<\epsilon\end{align}

따라서, 이상 적분

:

\int_a^\infty f(x)g(x)\,dx

은 수렴한다.

4. 복소 해석학에서의 아벨 판정법

아벨 판정법은 멱급수의 수렴 원 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용될 수 있다.^[2] 이 판정법은 수렴 판정법과 밀접한 관련이 있으며, 다음과 같은 경우에 적용된다.

양의 실수 $(a_n)$ 의 수열이 단조 감소한다. (또는 적어도 어떤 자연수 ''m''보다 큰 모든 ''n''에 대해 $a_n \geq a_{n+1}$ 을 만족한다.)
$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0$

이러한 조건을 만족하면, 멱급수

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n

는 ''z'' = 1일 때를 제외하고 닫힌 단위 원의 모든 곳에서 수렴한다. ''z'' = 1일 때의 수렴은 별도로 조사해야 한다.

아벨 판정법은 수렴 반경이 1 이상임을 의미하며, 변수 변환 ''ζ'' = ''z''/''R''을 통해 수렴 반경이 ''R'' ≠ 1인 멱급수에도 적용할 수 있다.^[2] 또한, ''z'' = -1로 두어 라이프니츠 판정법을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

디리클레 판정법을 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

4. 1. 내용

멱급수의 수렴 원 경계에서 멱급수의 수렴을 확립하는 데 사용되는 '''아벨 판정법'''은 다음과 같다.^[2]

양의 실수열

(a_n)

이 단조 감소하고(또는 충분히 큰 모든 ''n''에 대해

a_n \geq a_{n+1}

을 만족),

:

\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0

이면, 멱급수

:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n

는 ''z'' = 1일 때를 제외한 닫힌 단위 원의 모든 곳에서 수렴한다. ''z'' = 1일 때의 수렴은 별도로 조사해야 한다. 이 판정법은 특히 수렴 반경이 1 이상임을 의미하며, 변수 변환 ''ζ'' = ''z''/''R''을 통해 수렴 반경이 ''R'' ≠ 1인 멱급수에도 적용할 수 있다.^[2] 또한, ''z'' = -1로 두어 라이프니츠 판정법을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

'''아벨 판정법 증명:''' ''z''가 단위 원 위의 점이고, ''z'' ≠ 1이라고 가정하면, 각

n\geq1

에 대해 다음을 정의할 수 있다.

:

f_n(z):=\sum_{k=0}^n a_k z^k.

이 함수에 (1 − ''z'')를 곱하면 다음과 같다.

:

\begin{align}(1-z)f_n(z) & = \sum_{k=0}^n a_k (1-z)z^k \\& = \sum_{k=0}^n a_k z^k - \sum_{k=0}^n a_k z^{k+1} \\& = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k z^k - \sum_{k=1}^{n+1} a_{k-1} z^k  \\& = a_0 - a_n z^{n+1} + \sum_{k=1}^n (a_k - a_{k-1}) z^k .\end{align}

여기서 첫 번째 항은 상수이고, 두 번째 항은 0으로 수렴한다(

(a_n)

이 0으로 수렴). 급수의 수렴성은 다음 절대 수렴성을 보임으로써 증명할 수 있다.

:

\sum_{k=1}^\infty \left|(a_k - a_{k-1}) z^k \right| = \sum_{k=1}^\infty |a_k-a_{k-1}|\cdot |z|^k \leq \sum_{k=1}^\infty (a_{k-1}-a_{k})

마지막 합은 수렴하는 텔레스코핑 합이고, 절대값은 수열

(a_n)

의 감소성에 의해 사라진다. 따라서

(1-z)f_n(z)

는 닫힌 단위 원판에서 수렴하고,

z\not = 1

일 때 (1 − ''z'')로 나누어 결과를 얻는다.

디리클레 판정법을 통해서도 동일한 결과를 얻을 수 있는데,

z\ne 1,\ |z|=1

에 대해

\left|\sum_{k=0}^n z^k\right|=\left|\frac{z^{n+1}-1}{z-1}\right|\le \frac{2}

가 성립하여 디리클레 판정법의 가정이 충족되기 때문이다.

4. 2. 증명

''z''가 단위 원 위의 점이고, ''z'' ≠ 1이라고 가정한다. 각

n\geq1

에 대해 다음을 정의한다.

:

f_n(z):=\sum_{k=0}^n a_k z^k.

이 함수에 (1 − ''z'')를 곱하여 다음을 얻는다.

:

\begin{align}(1-z)f_n(z) & = \sum_{k=0}^n a_k (1-z)z^k \\& = \sum_{k=0}^n a_k z^k - \sum_{k=0}^n a_k z^{k+1} \\& = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k z^k - \sum_{k=1}^{n+1} a_{k-1} z^k  \\& = a_0 - a_n z^{n+1} + \sum_{k=1}^n (a_k - a_{k-1}) z^k .\end{align}

첫 번째 항은 상수이고, 두 번째 항은 균등하게 0으로 수렴한다. 왜냐하면 가정에 따라 수열

(a_n)

이 0으로 수렴하기 때문이다. 이제 급수가 수렴함을 보이기 위해, 절대 수렴함을 보인다.

:

\sum_{k=1}^\infty \left|(a_k - a_{k-1}) z^k \right| = \sum_{k=1}^\infty |a_k-a_{k-1}|\cdot |z|^k \leq \sum_{k=1}^\infty (a_{k-1}-a_{k})

여기서 마지막 합은 수렴하는 텔레스코핑 급수이다. 절대값은 수열

(a_n)

이 가정에 따라 감소하기 때문에 사라졌다.

따라서 수열

(1-z)f_n(z)

는 닫힌 단위 원판에서 (균등하게) 수렴한다.

z\not = 1

이면, (1 − ''z'')로 나누어 결과를 얻을 수 있다.

결과를 얻는 또 다른 방법은 디리클레 판정법을 적용하는 것이다. 실제로

z\ne 1,\ |z|=1

에 대해

\left|\sum_{k=0}^n z^k\right|=\left|\frac{z^{n+1}-1}{z-1}\right|\le \frac{2}

가 성립하므로, 디리클레 판정법의 가정이 충족된다.

5. 균등 수렴에 대한 아벨 판정법

아벨의 균등 수렴 판정법은 함수열의 균등 수렴 또는 이상 적분의 매개변수에 의존하는 함수의 균등 수렴에 대한 기준이다. 이는 실수로 이루어진 일반적인 급수의 수렴에 대한 아벨의 판정법과 관련이 있으며, 그 증명은 부분합과 동일한 기술에 의존한다.

5. 1. 내용

집합

X

및 두 실수 값 함수의 열

(f_n,g_n\colon X\to\mathbb R)_{n=0}^\infty

이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

함수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty f_n$ 는 균등 수렴한다.
$(g_n)_{n=0}^\infty$ 은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $(g_n(x))_{n=0}^\infty$ 는 단조수열이다.

그렇다면, 함수 항 급수

:

\sum_{n=0}^\infty f_ng_n

역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로,

(g_n)_{n=0}^\infty

은 점별 극한

g\colon X\to\mathbb R

을 갖지만,

g

로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약

X

가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

아벨의 균등 수렴 판정법은 함수열의 균등 수렴 또는 이상 적분의 매개변수에 의존하는 함수의 균등 수렴에 대한 기준이다. 이는 실수로 이루어진 일반적인 급수의 수렴에 대한 아벨의 판정법과 관련이 있으며, 그 증명은 부분합과 동일한 기술에 의존한다.

판정법은 다음과 같다. {''g''_''n''}을 집합 ''E'' 상의 균등 유계 실수 연속 함수열로 정의하고, 모든 ''x'' ∈ ''E'' 및 양의 정수 ''n''에 대해 ''g''_''n''+1(''x'') ≤ ''g''_''n''(''x'')을 만족하며, {''f''_''n''}을 급수 Σ''f''_''n''(''x'')가 ''E''에서 균등하게 수렴하는 실수 함수열이라고 하자. 그러면 Σ''f''_''n''(''x'')''g''_''n''(''x'')는 ''E''에서 균등하게 수렴한다.

5. 2. 증명

집합

X

및 두 실수 값 함수의 열

(f_n,g_n\colon X\to\mathbb R)_{n=0}^\infty

이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

함수 항 급수 $\sum_{n=0}^\infty f_n$ 는 균등 수렴한다.
$(g_n)_{n=0}^\infty$ 은 균등 유계 함수열이다. 또한, 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $(g_n(x))_{n=0}^\infty$ 는 단조수열이다.

그렇다면, 함수 항 급수

\sum_{n=0}^\infty f_ng_n

역시 균등 수렴한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로,

(g_n)_{n=0}^\infty

은 점별 극한

g\colon X\to\mathbb R

을 갖지만,

g

로 균등 수렴할 필요가 없다. 만약

X

가 한원소 집합이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.

6. 예시

아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수

: $\sum_{n=1}^\infty a_n$

에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.^[4]

: $\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}na_n$

: $\sum_{n=1}^\infty\sqrt[n]na_n$

: $\sum_{n=1}^\infty\left(1+\frac1n\right)^na_n$

참조

_[1] 논문 Untersuchungen über die Reihe $1+ \frac{m}{x} + \frac{m\cdot (m-1)}{2\cdot 1} x^2 + \frac{m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1} x^3 + \ldots$ u.s.w.
_[2] 서적 1964
_[3] 서적 해석학 입문 경문사 2007
_[4] 서적 Theory and application of infinite series Blackie & Son 1951

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