요르단 대수

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1. 개요

요르단 대수는 2가 가역원인 가환환 위의 대수 구조로, 교환 법칙을 만족하는 쌍선형 연산과 요르단 항등식을 갖는다. 1933년 파스쿠알 요르단에 의해 도입되었으며, 양자역학에서 관측 가능한 물리량을 표현하기 위해 고안되었다. 요르단 대수는 멱결합성, 맥도널드 원리, 형식적 실수 요르단 대수 등의 성질을 가지며, 특수 요르단 대수와 예외적 요르단 대수로 분류된다. 응용 분야는 이론 물리학, 특히 양자역학의 수학적 기초 확립에 기여했으며, 무한 차원 요르단 대수, 요르단 작용소 대수, 요르단 링, 요르단 슈퍼대수 등 다양한 일반화가 이루어졌다.

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요르단 대수
요르단 대수
분야	추상대수학
유형	비연관 대수, 가환대수
정의	(xy)x^2 = x(yx^2)
창시자	파스쿠알 요르단
세부 사항
곱셈	'xy'
항등식	가환성: 'xy = yx' 요르단 항등식: "(xy)x^2 = x(yx^2)"
관련 개념	대칭 대수
역사적 맥락
기원	양자역학
파스쿠알 요르단	양자역학의 수학적 구조 연구
초기 목표	관측가능량의 대수적 표현
현재 응용	사영 기하학 스핀 유리 끈 이론

2. 정의

요르단 대수는 가환환 위에서 정의되는 대수 구조의 일종으로, 쌍선형 형식 또는 이차 형식을 통해 정의할 수 있다.

2가 가역원인 가환환 $K$ 위에서 요르단 대수는 다음과 같이 정의된다.

$K$ -가군 $A$
교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 $\bullet\colon\operatorname{Sym}^2_K(A)\to A$
이 이항 연산의 항등원 $1_A\in A$

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(요르단 항등식) $(x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet(x\bullet x))\qquad\forall x,y\in A$

가환환

K

위의 요르단 대수는 다음과 같은 데이터로도 정의할 수 있다.

$K$ -가군 $A$
원소 $1_A\in A$
함수 $U\colon A \to \hom_K(A,A)$ , $x \mapsto U_x$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

$U_{1_A} = 1_A$
$U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x$
$U_{U_xy} = U_x \circ U_y \circ U_x$
$U_x \circ V_{y,x} = V_{x,y}\circ U_x$ ( $V_{x,y}z = (U_{x+z}-U_x-U_z)y$ )

이 공리들은

K

의 임의의 스칼라 확장

K \to \tilde K

에 대하여 성립하여야 한다.

2가 가역원일 때, 쌍선형 형식을 통한 정의와 이차 형식을 통한 정의는 서로 동치이다. 그러나 2가 가역원이 아닐 경우에는 이차 형식을 통한 정의만 잘 정의된다. 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 자명하지 않다.

2가 가역원일 때, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

첫째 정의	둘째 정의	$A$ 가 결합 대수일 경우
$2x\bullet(x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y$	$U_xy$	$xyx$

$x\bullet y$	$\tfrac12V_{x,y}1$	$(xy+yx)/2$

2. 1. 쌍선형 형식을 통한 정의

2가 가역원인 가환환

K

위의 '''요르단 대수'''

A

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$K$ -가군 $A$
교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산 $\bullet\colon\operatorname{Sym}^2_K(A)\to A$
이 이항 연산의 항등원 $1_A\in A$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(요르단 항등식 Jordan identity|조던 항등식^영어) $(x\bullet y)(x\bullet x)=x\bullet (y\bullet(x\bullet x))\qquad\forall x,y\in A$

2. 2. 이차 형식을 통한 정의

가환환

K

위의 '''요르단 대수'''

A

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$K$ -가군 $A$
원소 $1_A\in A$
함수 $U\colon A \to \hom_K(A,A)$ , $x \mapsto U_x$

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.

$U_{1_A} = 1_A$
$U_{\alpha x} = \alpha^2 U_x$
$U_{U_xy} = U_x \circ U_y \circ U_x$
$U_x \circ V_{y,x} = V_{x,y}\circ U_x$ ( $V_{x,y}z = (U_{x+z}-U_x-U_z)y$ )

또한, 이 공리들은

K

의 임의의 스칼라 확장

K \to \tilde K

에 대하여 성립하여야 한다.

만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.

첫째 정의	둘째 정의	$A$ 가 결합 대수일 경우
$2x\bullet(x\bullet y)-(x\bullet x)\bullet y$	$U_xy$	$xyx$

$x\bullet y$	$\tfrac12V_{x,y}1$	$(xy+yx)/2$

그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.

3. 연산

요르단 대수는 직합, 몫, 동위 연산, 피어스 분해, 구조 리 대수 등의 연산을 갖는다.

같은 가환환 $K$ 위의 두 요르단 대수 $A$ , $B$ 의 '''직합''' $A\oplus B$ 는 벡터 공간의 직합으로 정의되며, 연산은 성분별로 이루어진다. ( $(a,b)\bullet(a',b') = (a\bullet a',b\bullet b')$ ). 두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 '''기약 요르단 대수'''라고 한다.

요르단 대수 $A$ 의 '''요르단 아이디얼''' $\mathfrak I\subseteq A$ 는 $A \bullet \mathfrak I \subseteq \mathfrak I$ 를 만족하는 부분 가군이다. 요르단 아이디얼이 주어지면 '''몫 요르단 대수''' $A/\mathfrak I$ 를 정의할 수 있다.

요르단 대수 $(A,\bullet)$ 의 원소 $u\in A$ 에 대해, $U_u\colon A\to A$ 가 전단사 함수이면, $A$ 위에 새로운 요르단 대수 구조 $A^{(u)}$ 를 정의할 수 있다. 이를 $A$ 의 '''동위'''(isotope|아이소토프^영어)라고 한다. 동위 연산은 동치 관계를 이룬다.^[9]

요르단 대수 $(A,\bullet)$ 에서 멱등원 $e\in A$ ( $e^2=e$ )가 존재하면, $\operatorname{char}K\ne2$ 이고 $A$ 가 유한 차원일 때, '''피어스 분해'''(Peirce decomposition^영어) $A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)$ 가 성립한다.^[6]

$K$ 가 2의 가역원이 존재하는 가환환이고, $(A,\bullet)$ 가 그 위의 요르단 대수이면, 요르단 대수 $A$ 의 '''구조 리 대수'''(構造Lie代數, structure Lie algebra^영어) $\mathfrak{str}(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A$ 를 정의할 수 있다.^[9]

3. 1. 직합

같은 가환환

K

위의 두 요르단 대수

A

,

B

가 주어졌을 때, 그 '''직합'''

A\oplus B

를 정의할 수 있다.

K

-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.

:

(a,b)\bullet(a',b') = (a\bullet a',b\bullet b')\qquad\forall a,a'\in A,\;b,b'\in B

두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 '''기약 요르단 대수'''(irreducible Jordan algebra|기약 조던 대수^영어)라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.^[14]

3. 2. 몫

가환환

K

위의 요르단 대수

A

의 '''요르단 아이디얼'''(Jordan ideal^영어)은 다음과 같은

K

-부분 가군

\mathfrak I\subseteq A

이다.

$A \bullet \mathfrak I \subseteq \mathfrak I$

U

로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.

$U_{\mathfrak I}(A) + U_A(\mathfrak I) \subseteq \mathfrak I$

요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 '''몫 요르단 대수'''(quotient Jordan algebra^영어)

:

A/\mathfrak I

를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형

\phi \colon A\to B

이 주어졌을 때, 그 핵

\phi^{-1}(0_B)\subseteq A

은 요르단 아이디얼을 이룬다.

요르단 아이디얼은 (

\mathfrak I\ne A

라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.

정확하게 두 개의 아이디얼(

\{0\}, A

)을 갖는 요르단 대수를 '''단순 요르단 대수'''(simple Jordan algebra^영어)라고 한다.

3. 3. 동위 연산

가환환

K

위의 요르단 대수

(A,\bullet)

의 임의의 원소

u\in A

에 대하여,

U_u\colon A\to A

가 전단사 함수라고 하자 (즉,

U_u\in\operatorname{GL}(A;K)

). 그렇다면,

A

위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.

:

U_x^{(u)} = U_x\circ U_u

만약

2\in\operatorname{Unit}(K)

라면, 새 이항 연산

\bullet^{(u)}

은 다음과 같다.

:

x\bullet^{(u)}y = \frac12V_{x,u}(z) = x\bullet(u\bullet y)+(x\bullet u)\bullet y - (x\bullet y)\bullet u

이 요르단 대수 구조를

A^{(u)}

라고 하며, 이를

A

의 '''동위'''(isotope|아이소토프^영어)라고 한다.^[9] (

U_u

가 가역원이라는 조건은

A^{(u)}

의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)

동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.

:

A^{(1)} = A

:

A^{(u)(v)} = A^{U_u(v)}

이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.^[9]

3. 4. 피어스 분해

요르단 대수

(A,\bullet)

에서, 어떤 원소

e\in A

가

e^2=e

를 만족시키는 경우(멱등원), 다음 항등식이 성립한다.

:

e\bullet((2e-1)\bullet((e-1)\bullet x))=2(e\bullet(e\bullet x))-3e\bullet(e\bullet x)+e\bullet x = 0\qquad\forall x\in A

이에 따라서,

\operatorname{char}K\ne2

이고

A

가 유한 차원이라면,

e

에 의한 왼쪽 곱셈 사상

(e\bullet)\colon A\to A

의 고윳값은 0, 1/2, 1이며,

A

는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

:

A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)

이를 '''피어스 분해'''(Peirce decomposition^영어)라고 한다.^[6]

만약

e

가 요르단 대수

A

에서 멱등원(

e^2 = e

)이고

R

이

e

에 의한 곱셈 연산이면,

$R(2R-1)(R-1) = 0$

이므로

R

의 고윳값은 0, 1/2, 1 뿐이다. 만약 요르단 대수

A

가 표수가 2가 아닌 체 위에서 유한 차원이라면, 이는 세 고유 공간

A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)

의 직합임을 의미한다. 이 분해는 처음에는 조르당(Jordan), 폰 노이만(von Neumann), 위그너(Wigner)가 1934년에 완전 실 요르단 대수에 대해 고려하였다.^[6] 이후 앨버트(Albert)가 1947년에 일반적인 형태로 연구하였으며, 멱등원

e

에 대한

A

의 '''피어스 분해'''라고 불린다.^[6]

3. 5. 구조 리 대수

K^영어가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, (A,\bullet)^영어가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

:[

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

:

이며, 리 괄호는 의 것이며, 은 A^영어의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, K^영어-벡터 공간

:

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 K^영어-리 대수로 만들 수 있다.

:{{lang|en|[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{str}(A)} =

[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{der}(A)} \qquad \forall \delta,\epsilon\in\mathfrak{der}(V)}}

:

:[x,y] = [x\bullet,y\bullet]\qquad\forall x,y\in A^영어

이를 요르단 대수 A^영어의 '''구조 리 대수'''(構造Lie代數, structure Lie algebra^영어)라고 한다.^[9]

물론, A^영어의 항등원 1_A\in A^영어은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 K^영어-리 대수

:}

를 정의할 수 있다.

요르단 대수 ''A''의 미분은 ''D''(''xy'') = ''D''(''x'')''y''+''xD''(''y'')를 만족하는 ''A''의 엔드모르피즘 ''D''이다. 미분은 리 대수 '''der'''(''A'')를 형성한다. 요르단 항등식은 ''x''와 ''y''가 ''A''의 원소이면, ''z''를 ''x''(''yz'')−''y''(''xz'')로 보내는 엔드모르피즘이 미분임을 의미한다. 따라서 ''A''와 '''der'''(''A'')의 직합은 '''str'''(''A'')라고 불리는 ''A''의 '''구조 리 대수'''가 될 수 있다.

간단한 예시는 에르미트 요르단 대수 H(''A'',''σ'')에 의해 제공된다. 이 경우 ''σ''(''x'')=−''x''를 만족하는 ''A''의 모든 원소 ''x''는 미분을 정의한다. 많은 중요한 예에서 H(''A'',''σ'')의 구조 리 대수는 ''A''이다.

미분 및 구조 리 대수는 또한 티츠의 프로이덴탈 마법 사각형 구성의 일부를 형성한다.

4. 성질

요르단 대수는 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 멱결합성, 맥도널드 원리, 형식적 실수 요르단 대수와 같은 중요한 성질들을 가지고 있다.

멱결합성: 요르단 대수 $(A,\bullet)$ 에서 임의의 원소 $x\in A$ 에 대하여, $x$ 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따르며, $(x^m\bullet y)\bullet x^n=x^m\bullet (y\bullet x^n)\qquad\forall x,y\in A,\;m,n\in\mathbb N$ 가 성립한다.
맥도널드 원리: 3개의 변수에 대한 다항식 $p(x,y,z)$ 가 $x$ 에 대하여 1차 이하이며, 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 $p(x,y,z)=0$ 가 성립한다면, 모든 요르단 대수에 대하여도 $p(x,y,z)=0$ 가 성립한다.
형식적 실수 요르단 대수: 임의의 $x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}$ 에 대하여, $x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0$ 를 만족하는 요르단 대수이다.

4. 1. 멱결합성

요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수

(A,\bullet)

에서 다음이 성립한다.

'''멱결합성'''(power-associativity^영어): 임의의 원소 $x\in A$ 에 대하여, $x$ 로 생성되는 부분 요르단 대수는 결합 법칙을 따른다. 특히, $x^n$ ( $n\in\mathbb N$ )과 같은 표현이 잘 정의된다.
$(x^m\bullet y)\bullet x^n=x^m\bullet (y\bullet x^n)\qquad\forall x,y\in A,\;m,n\in\mathbb N$

4. 2. 맥도널드 원리

3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식

p(x,y,z)

가 주어졌다고 하자. 만약

$p$ 가 $x$ 에 대하여 1차 이하이며,
$p(x,y,z)=0$ 가 결합 대수를 이루는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다면,

p(x,y,z)=0

는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 '''맥도널드 원리'''(Macdonald principle^영어)라고 한다.^[9] 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.

4. 3. 형식적 실수 요르단 대수

formally real Jordan algebra^영어는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수

A

이다.

:임의의

x_1,\dots, x_n\in A\setminus\{0\}

에 대하여,

x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\ne0

이다.

실수체 위의 (비결합적일 수 있는) 대수는 '''형식적으로 실대수'''라고 하며, 이는 ''n''개의 제곱의 합이 각 항이 개별적으로 0이 될 때만 0이 되는 성질을 만족한다. 1932년, 요르단은 임의의 양자계의 관측가능량의 대수가 교환적(''xy'' = ''yx'')이고 멱결합적(''x''만 포함된 곱셈에 대해 결합 법칙이 성립하므로, 임의의 원소 ''x''의 거듭제곱이 모호하지 않게 정의됨)인 형식적으로 실대수여야 한다고 말함으로써 양자 이론을 공리화하려고 시도했다. 그는 그러한 대수가 요르단 대수임을 증명했다.

모든 요르단 대수가 형식적으로 실대수는 아니지만, 유한 차원 형식적 실 요르단 대수를 분류했으며, 이를 '''유클리드 요르단 대수'''라고도 한다. 모든 형식적 실 요르단 대수는 소위 '''단순'''한 것들의 직합으로 쓸 수 있으며, 단순한 것은 비자명한 방식으로 자체적으로 직합이 아니다. 유한 차원에서 단순 형식적 실 요르단 대수는 네 개의 무한족과 하나의 예외적인 경우로 나뉜다.

''n''×''n'' 자기 수반 실수 행렬의 요르단 대수.
''n''×''n'' 자기 수반 복소수 행렬의 요르단 대수.
''n''×''n'' 자기 수반 사원수 행렬의 요르단 대수.
관계식을 갖는 '''R'''^''n''에 의해 자유롭게 생성된 요르단 대수.
$x^2 = \langle x, x\rangle$
여기서 우변은 '''R'''^''n''에서 일반적인 내적을 사용하여 정의된다. 이것은 때때로 '''스핀 인자''' 또는 '''클리포드 형식'''의 요르단 대수라고 불린다.
3×3 자기 수반 팔원수 행렬의 요르단 대수 (알베르트 대수)라고 불리는 예외적인 요르단 대수.

이러한 가능성 중에서, 지금까지 자연은 관측가능량의 대수로 ''n''×''n'' 복소수 행렬만을 사용하는 것으로 보인다. 그러나 스핀 인자는 특수 상대성 이론에서 역할을 하며, 모든 형식적 실 요르단 대수는 사영 기하학과 관련이 있다.

5. 분류

1932년, 파스쿠알 요르단은 모든 양자계의 관측 가능량의 대수가 교환적(''xy'' = ''yx'')이고 멱결합적(''x''만 포함된 곱셈에 대해 결합 법칙이 성립하므로, 임의의 원소 ''x''의 거듭제곱이 모호하지 않게 정의됨)인 형식적 실수여야 한다고 제안하며 양자 이론을 공리화하려고 시도했다. 그는 그러한 대수가 요르단 대수임을 증명했다.^[14]

모든 요르단 대수가 형식적 실대수는 아니지만, 파스쿠알 요르단, 존 폰 노이만, 유진 위그너는 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수를 분류했으며, 이를 '''유클리드 요르단 대수'''라고도 한다.

현재까지 자연은 관측 가능량의 대수로 ''n''×''n'' 복소수 에르미트 행렬만을 사용하는 것으로 보인다. 그러나 스핀 인자는 특수 상대성 이론에서 역할을 하며, 모든 형식적 실수 요르단 대수는 사영 기하학과 관련이 있다.

5. 1. 단순 요르단 대수

실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다.^[14] 이러한 요르단 대수들은 '''단순 요르단 대수'''(simple Jordan algebra^영어)의 직합으로 나타낼 수 있다.

단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.

기호	실수 차원	이름	정의
$\operatorname H(n;\mathbb R)$	$n(n+1)/2$	$n\times n$ 실수 대칭 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\operatorname H(n;\mathbb C)$	$n^2$	$n\times n$ 복소 에르미트 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\operatorname H(n;\mathbb H)$	$n(2n-1)$	$n\times n$ 사원수 에르미트 행렬 대수	$M\bullet N=(MN+NM)/2$
$\operatorname{JSpin}(n)$	$n+1$	스핀 인자 $\mathbb R\oplus\mathbb R^n$	$(r,\mathbf u)\bullet(s,\mathbf v)=(rs+\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle,r\mathbf v+s\mathbf u)$
$\operatorname H(3;\mathbb O)$ 또는 $\mathbb{A}$	27	앨버트 대수 (3×3 팔원수 에르미트 행렬 대수)	$M\bullet N=(MN+NM)/2$

위 표에서, 다음과 같은 동형이 성립한다.

: $\operatorname H(1;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(0) = \mathbb R\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})$ ^[14]

: $\operatorname H(2;\mathbb K) = \operatorname{JSpin}(1+\dim_{\mathbb R}\mathbb K)\qquad(\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H,\mathbb O\})$ ^[14]

구체적으로, 다음 행렬들을 정의했을 때,

: $a_{-1} = \begin{pmatrix}1& 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

: $a_0 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}$

: $a_i = \begin{pmatrix} 0 & e_i \\ -e_i & 0 \end{pmatrix}\qquad(i \in \{1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\})$

다음 관계가 성립한다.

: $a_i\bullet a_j = \delta_{ij}1_{2\times2}\qquad\forall i,j\in\{-1,0,1,\dotsc,\dim_{\mathbb R}\mathbb K-1\}$ ( $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타).

팔원수에 대한 3×3 자기 수반 행렬 집합은 곱셈 연산 $(xy + yx)/2$ 를 가지며, 27차원 예외적 요르단 대수이다. 이는 팔원수가 결합 법칙을 따르지 않기 때문이다. 이 대수는 앨버트 대수라고 불리며, 이 대수의 자기 동형 사상 군은 예외적 리 군 F₄이다. 복소수 위에서는 동형 사상까지 유일한 단순 예외 요르단 대수이므로^[5], 종종 "the" 예외 요르단 대수로 불린다. 실수 위에서는 단순 예외 요르단 대수의 세 가지 동형 사상 종류가 있다.^[5]

6. 예

요르단 대수의 예시로는 자명한 요르단 대수, 결합 대수에 대응되는 요르단 대수, 자유 요르단 대수 등이 있다.

6. 1. 자명한 요르단 대수

임의의 가환환

K

에 대하여, 0차원 또는 1차원

K

-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.

6. 2. 결합 대수에 대응되는 요르단 대수

표수가 2가 아닌 체

K

위의 임의의 결합 대수

A

가 주어졌을 때,

:

x\bullet y = \frac12(xy+yx)

를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.

이는

K

-결합 대수의 범주에서

K

-요르단 대수의 범주로 가는 함자

:

(-)^+\colon\operatorname{Assoc}_K \to \operatorname{Jord}_K

를 정의한다.

6. 3. 자유 요르단 대수

주어진 체

K

위의 요르단 대수는 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 '''자유 요르단 대수'''(free Jordan algebra^영어)의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자

:

\operatorname{Jord}_K \to \operatorname{Vect}_K

의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.

0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원

K

- 벡터 공간이다.

하나의 원소

x

로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환

K[x]

이다.

7. 응용

요르단 대수는 이론물리학에 응용된다.^[13]

8. 역사

파스쿠알 요르단이 1933년에 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 요르단 대수를 도입하였다.^[14]^[15]^[16] 이후 케빈 맥크리먼(Kevin McCrimmon^영어)이 표수가 2인 경우에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다.

8. 1. 파스쿠알 요르단

파스쿠알 요르단이 1933년에 요르단 대수를 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학에서 관측 가능량의 대수를 다루기 위해 이 개념을 도입하였다.^[14]^[15]^[16] 만약

X,Y

가 에르미트 관측 가능량이라면,

X\bullet Y=(XY+YX)/2

또한 관측 가능량이며, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.

이후 케빈 맥크리먼(Kevin McCrimmon)이 표수가 2인 경우에 대한 요르단 대수의 "올바른" 정의를 발견하였다. 맥크리먼은 이에 대하여 다음과 같이 적었다.

8. 2. 케빈 맥크리먼

파스쿠알 요르단이 1933년에 요르단 대수를 도입한 이후, 케빈 맥크리먼(Kevin McCrimmon^영어)이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 맥크리먼은 이에 대하여 다음과 같이 적었다.^[9]

9. 특수한 요르단 대수

결합 대수 ''A'' ( 표수가 2가 아님)가 주어지면, 같은 덧셈에 새로운 곱셈인 '''요르단 곱'''을 사용하여 요르단 대수 ''A''⁺를 구성할 수 있다. 요르단 곱은 다음과 같이 정의된다.

: $x\circ y = \frac{xy+yx}{2}.$

이러한 요르단 대수와 그 부분 대수를 '''특수 요르단 대수'''라고 하며, 그렇지 않은 요르단 대수를 '''예외적 요르단 대수'''라고 한다. 시르쇼프–코언 정리에 따르면 두 개의 생성자를 가진 모든 요르단 대수는 특수 요르단 대수이다.^[3] 맥도날드 정리에 따르면 세 개의 변수에서 하나의 변수에 대해 1차인 모든 다항식이 모든 특수 요르단 대수에서 사라지면, 모든 요르단 대수에서도 사라진다.^[4]

특수 요르단 대수의 예시는 다음과 같다.

실수, 복소수, 또는 사원수 행렬로 구성된 자기 수반 행렬 집합은 곱셈 연산 $(xy + yx)/2$ 을 갖는 특수 요르단 대수이다.
팔원수에 대한 3×3 자기 수반 행렬 집합은 곱셈 연산 $(xy + yx)/2$ 을 가지며, 27차원 예외적 요르단 대수이다. (이는 팔원수가 결합 법칙을 따르지 않기 때문이다.) 이는 알베르트 대수의 첫 번째 예시였다. 이 대수의 자기 동형 사상 군은 예외적인 리 군 F₄이다. 복소수 위에서 이 대수는 동형 사상까지 유일한 단순 예외 요르단 대수이므로,^[5] 종종 "the" 예외 요르단 대수로 불린다. 실수 위에서는 단순 예외 요르단 대수의 세 가지 동형 사상 종류가 있다.^[5]

9. 1. 에르미트 요르단 대수

인볼루션 ''σ''를 갖는 결합 대수 (''A'', ''σ'')에서 ''σ''(''x'') = ''x'' 이고 ''σ''(''y'') = ''y''이면,

\sigma(xy + yx) = xy + yx

가 성립한다. 따라서 인볼루션에 의해 고정된 모든 원소(에르미트 원소)의 집합은 H(''A'',''σ'')로 표기되는 ''A''⁺의 부분 대수를 형성한다.

10. 미분과 구조 대수

$K$ 가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, $(A,\bullet)$ 가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서

: $[x\bullet, y\bullet] \in \mathfrak{der}(A,\bullet)$

이 성립함을 보일 수 있다. 여기서

: $(x\bullet)\colon A\to A \in \mathfrak{gl}(A;K)$

이며, 리 괄호는 $\mathfrak{gl}(A;K)$ 의 것이며, $\mathfrak{der}(A,\bullet)$ 은 $A$ 의 미분 리 대수이다.

이에 따라서, $K$ -벡터 공간

: $\mathfrak{str}(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A$

위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 $K$ -리 대수로 만들 수 있다.

: $[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{str}(A)} =[\delta,\epsilon]_{\mathfrak{der}(A)} \qquad \forall \delta,\epsilon\in\mathfrak{der}(V)$

: $[\delta, x] = \delta(x) \qquad\forall \delta\in\mathfrak{der}(V),\;x\in A$

: $[x,y] = [x\bullet,y\bullet]\qquad\forall x,y\in A$

이를 요르단 대수 $A$ 의 '''구조 리 대수'''(構造Lie代數, structure Lie algebra^영어)라고 한다.^[9]

$A$ 의 항등원 $1_A\in A$ 은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 $K$ -리 대수

: $\mathfrak{str}'(A) = \mathfrak{der}(A) \oplus A / \operatorname{Span}_K\{1_A\}$

를 정의할 수 있다.

요르단 대수 ''A''의 미분은 ''D''(''xy'') = ''D''(''x'')''y''+''xD''(''y'')를 만족하는 ''A''의 엔드모르피즘 ''D''이다. 미분은 리 대수 '''der'''(''A'')를 형성한다. 요르단 항등식에 따르면 ''x''와 ''y''가 ''A''의 원소이면, ''z''를 ''x''(''yz'')−''y''(''xz'')로 보내는 엔드모르피즘이 미분이다. 따라서 ''A''와 '''der'''(''A'')의 직합은 '''str'''(''A'')라고 불리는 ''A''의 '''구조 대수'''가 될 수 있다.

간단한 예는 에르미트 요르단 대수 H(''A'',''σ'')에 의해 제공된다. 이 경우 ''σ''(''x'')=−''x''를 만족하는 ''A''의 모든 원소 ''x''는 미분을 정의한다. 많은 중요한 예에서 H(''A'',''σ'')의 구조 대수는 ''A''이다.

미분 및 구조 대수는 티츠의 프로이덴탈 마법 사각형 구성의 일부를 형성한다.

11. 피어스 분해

요르단 대수 $(A,\bullet)$ 에서, 어떤 원소 $e\in A$ 가 $e^2=e$ 를 만족시킨다면(멱등원), 다음 항등식이 성립한다.

: $e\bullet((2e-1)\bullet((e-1)\bullet x))=2(e\bullet(e\bullet x))-3e\bullet(e\bullet x)+e\bullet x = 0\qquad\forall x\in A$

이에 따라서, 만약 $\operatorname{char}K\ne2$ 이며 $A$ 가 유한 차원이라면, $e$ 에 의한 왼쪽 곱셈 사상 $(e\bullet)\colon A\to A$ 의 고윳값은 0, , 1이며, $A$ 는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.

: $A = A_0(e) \oplus A_{1/2}(e) \oplus A_1(e)$

이를 '''피어스 분해'''(Peirce decomposition^영어)라고 한다.

만약 ''e''가 요르단 대수 ''A''에서 멱등원이고 ''R''이 ''e''에 의한 곱셈 연산이면,

''R''(2''R'' − 1)(''R'' − 1) = 0

이므로 ''R''의 고윳값은 0, , 1 뿐이다. 만약 요르단 대수 ''A''가 표수가 2가 아닌 체 위에서 유한 차원이라면, 이는 세 고유 공간 ''A'' = ''A''₀(''e'') ⊕ ''A''(''e'') ⊕ ''A''₁(''e'')의 직합임을 의미한다. 이 분해는 처음에는 요르단, 존 폰 노이만, 유진 위그너에 의해 완전 실 요르단 대수에 대해 고려되었다.^[6] 이후 앨버트에 의해 일반적인 형태로 연구되었으며, 멱등원 ''e''에 대한 ''A''의 '''피어스 분해'''라고 불린다.^[6]

12. 일반화

요르단 대수는 여러 방향으로 일반화되었다.

'''무한 차원 요르단 대수''': 에핌 젤마노프는 1979년에 무한 차원 단순 (및 소 비퇴화) 요르단 대수를 분류했다.^[1] 이들은 에르미트형 또는 클리포드형이며, 예외적인 경우는 27차원 알버트 대수뿐이다.^[1]
'''요르단 작용소 대수''': 작용소 대수 이론은 요르단 작용소 대수를 포함하도록 확장되었다. C*-대수에 해당하는 JB 대수는 유한 차원에서 유클리드 요르단 대수라고 불린다. 폰 노이만 대수의 요르단 대수 유사체는 JBW 대수이다.
'''요르단 링''': 체가 아닌 일반적인 링 위에서 요르단 항등식을 만족하는 가환 비결합 링이다.
'''요르단 슈퍼대수''': 카츠(Kac), 칸토어(Kantor), 카플란스키(Kaplansky)에 의해 도입되었으며, $\mathbb{Z}/2$ -등급 대수 $J_0 \oplus J_1$ 이다. 여기서 $J_0$ 는 요르단 대수이고, $J_1$ 은 $J_0$ 에 값을 갖는 "리(Lie)-유사" 곱을 갖는다.^[8]
'''J-구조''': 선형 대수적 군을 사용하여 요르단 대수 이론을 개발하기 위해 도입되었다.^[1]
'''이차 조르당 대수''': 선형 요르단 대수의 이차 표현의 기본 항등식을 공리로 사용하여 정의된다.

12. 1. 무한 차원 요르단 대수

에핌 젤마노프는 1979년에 무한 차원 단순 (및 소 비퇴화) 요르단 대수를 분류했다.^[1] 이들은 에르미트형 또는 클리포드형이다.^[1] 특히, 유일한 예외적 단순 요르단 대수는 차원이 27인 유한 차원 알버트 대수이다.^[1]

12. 2. 요르단 작용소 대수

작용소 대수 이론은 요르단 작용소 대수를 포함하도록 확장되었다.

C*-대수에 해당하는 것은 유한 차원에서 유클리드 요르단 대수라고 불리는 JB 대수이다. 실수 요르단 대수의 노름은 완비여야 하며 다음 공리를 만족해야 한다.

:

\displaystyle{\|a\circ b\|\le \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\, \|a^2\|=\|a\|^2,\,\,\, \|a^2\|\le \|a^2 +b^2\|.}

이 공리들은 요르단 대수가 형식적으로 실수가 되도록 보장하며, 따라서 항들의 제곱의 합이 0이면, 그 항들은 0이어야 한다. JB 대수의 복소화는 요르단 C*-대수 또는 JB*-대수라고 불린다. 이는 복소 기하학에서 쾨허의 유계 대칭 영역에 대한 요르단 대수적 처리를 무한 차원으로 확장하는 데 광범위하게 사용되었다. 유한 차원에서와 마찬가지로, 모든 JB 대수가 힐베르트 공간에서 자기 수반 작용소의 요르단 대수로 실현될 수 있는 것은 아니다. 예외적인 알베르트 대수가 일반적인 장애물이다.

폰 노이만 대수의 요르단 대수 유사체는 JBW 대수가 담당한다. 이는 바나흐 공간으로서 바나흐 공간의 쌍대 공간인 JB 대수임이 밝혀졌다. 폰 노이만 대수의 구조 이론의 많은 부분이 JBW 대수로 이전될 수 있다. 특히, 중심이 '''R'''로 축소된 JBW 인자는 폰 노이만 대수의 관점에서 완전히 이해된다. 예외적인 알베르트 대수를 제외하고, 모든 JWB 인자는 약한 작용소 위상에서 닫힌 힐베르트 공간에서 자기 수반 작용소의 요르단 대수로 실현될 수 있다. 이 중에서 스핀 인자는 실수 힐베르트 공간에서 매우 간단하게 구성될 수 있다. 다른 모든 JWB 인자는 폰 노이만 인자의 자기 수반 부분 또는 폰 노이만 인자의 주기 2 * -반자기 동형사상 아래 고정점 부분 대수이다.^[7]

12. 3. 요르단 링

요르단 링은 요르단 대수의 일반화로, 체가 아닌 일반적인 링 위에 있다는 점만 요구한다. 또는 요르단 항등식을 만족하는 가환 비결합 링으로 정의할 수도 있다.

12. 4. 요르단 슈퍼대수

요르단 슈퍼대수는 카츠(Kac), 칸토어(Kantor) 및 카플란스키(Kaplansky)에 의해 도입되었으며, 이는

\mathbb{Z}/2

-등급 대수

J_0 \oplus J_1

이다. 여기서

J_0

는 요르단 대수이고

J_1

은

J_0

에 값을 갖는 "리(Lie)-유사" 곱을 갖는다.^[8]

모든

\mathbb{Z}/2

-등급 결합 대수

A_0 \oplus A_1

은 등급 요르단 괄호에 대해 요르단 슈퍼대수가 된다.

:

\{x_i,y_j\} = x_i y_j + (-1)^{ij} y_j x_i \ .

대수적으로 닫힌 표수 0의 체 위의 요르단 단순 슈퍼대수는 Kac|카츠^영어|1977}}에 의해 분류되었다. 여기에는 여러 종류와 일부 예외적인 대수, 특히

K_3

및

K_{10}

이 포함된다.

12. 5. J-구조

J-구조의 개념은 선형 대수적 군을 사용하여 요르단 대수 이론을 개발하기 위해 소개되었다.^[1] 체(field)의 표수가 2가 아닌 경우, J-구조의 이론은 본질적으로 요르단 대수의 이론과 동일하다.^[1]

12. 6. 이차 조르당 대수

이차 조르당 대수(Quadratic Jordan algebra^영어)는 (선형) 조르당 대수의 일반화이다. 선형 조르당 대수의 이차 표현의 기본 항등식이 임의의 표수를 갖는 체에 대한 이차 조르당 대수를 정의하는 공리로 사용된다. 유한 차원 단순 이차 조르당 대수에 대한 균일한 설명이 있으며, 표수에 의존하지 않는다. 표수가 2가 아닌 경우, 이차 조르당 대수의 이론은 선형 조르당 대수의 이론으로 축소된다.

참조

_[1] 기타 1968
_[2] 간행물 Nazis, émigrés, and abstract mathematics 2023-01-01
_[3] 기타 2004
_[4] 기타 2004
_[5] 기타 2000
_[6] 기타 2004
_[7] 기타 See:
_[8] 기타 2004
_[9] 서적 A taste of Jordan algebras Springer-Verlag 2004
_[10] 서적 Structure and representations of Jordan algebras American Mathematical Society
_[11] 서적 Lectures on quadratic Jordan algebras http://www.math.tifr[...] Tata Institute of Fundamental Research 1969
_[12] 서적 Jordan Operator Algebras http://www.math.ntnu[...] Pitman
_[13] 저널 Jordan algebras and extremal black holes 2007-03
_[14] 저널 On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism https://archive.org/[...] 1934
_[15] 저널 Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik 1933
_[16] 저널 Über die Multiplication quantenmechanischer Grössen 1933-05

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