미분 리 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 등급 미분 (Graded derivations)
5. 관련 개념
참조

1. 개요

미분 리 대수는 가환환 K와 K-가군, K-가군 준동형, ε ∈ {0, 1}이 주어졌을 때 정의되는 개념으로, 리 대수 또는 리 초대수의 미분을 일반화한다. 미분 리 대수는 ε-미분들의 집합에 리 초괄호를 정의하여 K-리 초대수를 이루는 구조를 가지며, A₁ = 0인 경우 미분 리 대수를 정의할 수 있다. 미분 리 대수는 내부 미분, 리 대수 자기 동형, 켈러 미분 등 다양한 성질을 가지며, 등급 대수, 하세-슈미트 미분과 같은 관련 개념이 존재한다.

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베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
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미분 리 대수
정의
정의	대수학에서 미분은 곱 규칙을 만족하는 연산자이다.
표기법	Der(K)(A, M)
형식적 정의
정의	A를 환이라고 하자. A의 미분은 덧셈에 대한 군 준동형사상 D : A → A로, 다음 라이프니츠 법칙을 만족한다.
라이프니츠 법칙	모든 a, b ∈ A에 대해, D(ab) = D(a)b + aD(b)이다.
일반화
일반화된 정의	A와 M을 가환환 R 위의 가환 대수라고 하자. A에서 M으로의 R-미분은 R 선형 사상 D : A → M으로, 다음을 만족한다.
조건	모든 a, b ∈ A에 대해, D(ab) = D(a)b + aD(b)이다.
미분 리 대수
정의	미분 리 대수는 어떤 이항 연산에 대하여 곱 규칙을 따르는 선형 변환으로 구성된 리 대수이다.
다른 정의	사슬 복합체 구조를 갖는 리 초대수이기도 하다.

2. 정의

가환환 $K$ 와 $K$ -가군 $A_0, A_1$ 이 주어졌을 때, $A = A_0 \oplus A_1$ 로 표기한다. $K$ -가군 준동형 $(\cdot) \colon A \otimes_K A \to A$ , $(a \otimes b) \mapsto a \cdot b$ 와 $\epsilon \in \{0, 1\}$ 이 주어졌다고 하자.

$(A, \cdot)$ 위의 $\epsilon$ -미분들의 집합을 $\mathfrak{der}_\epsilon(A)$ 로 표기하며, 다음이 성립한다.

: $\mathfrak{der}(A) = \mathfrak{der}_0(A) \oplus \mathfrak{der}_1(A)$

위 식에 리 초괄호

: $[d, d'\} = d \circ d' - (-)^{\epsilon \epsilon'} d' \circ d \qquad (d \in \mathfrak{der}_\epsilon(A), \; d' \in \mathfrak{der}_{\epsilon'}(A))$

를 정의하면, 이는 $K$ -리 초대수를 이룬다. 이를 $(A, \cdot)$ 의 미분 리 초대수(derivation Lie superalgebra^영어)라고 한다.

$A_1 = 0$ 일 경우, 모든 등급을 생략할 수 있으며, 이 경우 $(A_0, \cdot)$ 의 미분 리 대수(derivation Lie algebra^영어) $\mathfrak{der}(A_0)$ 를 정의할 수 있다. 이는 $K$ -리 대수이다.

리 대수 이론에서, 리 대수 미분(derivation of a Lie algebra^영어)은 리 대수 위의, 곱 규칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 이는 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다.

이 정의는 $(A, \cdot)$ 가 리 대수 또는 리 초대수일 때 적용될 수 있다.

2. 1. ε-미분

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ -가군 $A_0, A_1$ . $A=A_0\oplus A_1$ 로 표기하자.
$K$ -가군 준동형 $(\cdot) \colon A\otimes_KA\to A$ , $(a\otimes b)\mapsto a\cdot b$
$\epsilon \in \{0,1\}$

그렇다면,

(A,\cdot)

의

\epsilon

-'''미분'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$d_0 \colon A_0 \to A_1$
$d_1 \colon A_1 \to A_0$

편의상

d = d_0 \oplus d_1 \colon A \to A

로 표기하자. 이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

d(a\cdot b) = da\cdot b + a\cdot db \qquad\forall a\in A_0,\;b\in A

:

d(a\cdot b) = da\cdot b + \epsilon a\cdot db \qquad\forall a\in A_1,\;b\in A

이는

:

\deg a = \begin{cases}0 & a\in A_0 \\1 & a \in A_1\end{cases} \in \{0,1\}

을 정의하면

:

d(a\cdot b) = (da)\cdot b + (-)^{\epsilon\deg a}a\cdot db

로 표기될 수 있다.

2. 2. 미분 리 초대수

가환환

K

와

K

-가군

A_0, A_1

이 주어졌을 때,

A=A_0\oplus A_1

로 표기한다.

K

-가군 준동형

(\cdot) \colon A\otimes_KA\to A

,

(a\otimes b)\mapsto a\cdot b

와

\epsilon \in \{0,1\}

이 주어졌다고 하자.

(A,\cdot)

의

\epsilon

-'''미분'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$d_0 \colon A_0 \to A_1$
$d_1 \colon A_1 \to A_0$

편의상

d = d_0 \oplus d_1 \colon A \to A

로 표기하며, 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

:

d(a\cdot b) = da\cdot b + a\cdot db \qquad\forall a\in A_0,\;b\in A

:

d(a\cdot b) = da\cdot b + \epsilon a\cdot db \qquad\forall a\in A_1,\;b\in A

이는

:

\deg a = \begin{cases}0 & a\in A_0 \\1 & a \in A_1\end{cases} \in \{0,1\}

을 정의하면

:

d(a\cdot b) = (da)\cdot b + (-)^{\epsilon\deg a}a\cdot db

로 표기될 수 있다.

(A,\cdot)

위의

\epsilon

-미분들의 집합을

\mathfrak{der}_\epsilon(A)

로 표기한다. 그렇다면,

:

\mathfrak{der}(a) = \mathfrak{der}_0(A) \oplus \mathfrak{der}_1(A)

위에 리 초괄호

:

[d,d'\} = d\circ d' - (-)^{\epsilon \epsilon'} d'\circ d\qquad(d\in \mathfrak{der}_\epsilon(A),\;d'\in\mathfrak{der}_{\epsilon'}(A))

을 정의하면, 이는

K

-리 초대수를 이룬다. 이를

(A,\cdot)

의 '''미분 리 초대수'''(derivation Lie superalgebra^영어)라고 한다.

2. 3. 미분 리 대수

A_1 = 0

인 경우, 모든 등급을 생략할 수 있으며, 이 경우

(A_0, \cdot)

의 '''미분 리 대수'''(derivation Lie algebra^영어)

\mathfrak{der}(A_0)

를 정의할 수 있다. 이는

K

-리 대수이다.

3. 성질

가환환 $K$ 위의 리 대수의 미분은 여러 중요한 성질을 가지며, 특히 내부 미분 및 리 대수 자기 동형과의 관계를 통해 잘 이해할 수 있다.

표수 0의 체 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 위의 미분 $d\colon \mathfrak g\to\mathfrak g$ 가 멱영원 (즉, $\exists n\in\mathbb N\colon d^n = 0 \colon \mathfrak g\to\mathfrak g$ ) 이라면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

: $\exp(d) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} d^n \colon \mathfrak g\to\mathfrak g$

이는 $\mathfrak g$ 의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

: $[\exp(d)(x), \exp(d)(y)] = \exp(d)([x,y])$

3. 1. 내부 미분

가환환

K

위의 리 대수

\mathfrak g

의 임의의 원소

x

에 대한 딸림표현

\operatorname{ad}(x)\colon y \mapsto [x,y]

은 (야코비 항등식에 의하여) 미분을 이룬다. 이는 리 대수 준동형

\operatorname{ad}\colon\mathfrak g\to\mathfrak{der}(\mathfrak g)

을 정의한다. 그 상

\mathfrak{inn}(\mathfrak g)\subseteq\mathfrak{der}(\mathfrak g)

은 일반적으로 리 대수 아이디얼이 아니지만, 그 상에 대한

K

-몫가군은 딸림표현 계수 1차 리 대수 코호몰로지로 주어지며, 다음과 같다.

:

\frac{\mathfrak{der}(\mathfrak g)}{\mathfrak{inn}(\mathfrak g)}=\operatorname H^1(\mathfrak g;\mathfrak g)

표수 0의 체

K

위의 반단순 리 대수

\mathfrak g

위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로 다음이 성립한다.

:

\mathfrak g\cong\mathfrak{der}(\mathfrak g)

반면, 표수 0의 체 위에서도,

\mathfrak g\cong\mathfrak{der}(\mathfrak g)

를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다.^[4]

3. 2. 리 대수 자기 동형

표수 0의 체

K

위의 리 대수

\mathfrak g

위의 미분

d\colon \mathfrak g\to\mathfrak g

가 멱영원이라고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 하자.

:

\exists n\in\mathbb N\colon d^n = 0 \colon \mathfrak g\to\mathfrak g

그렇다면, 다음과 같은 지수 함수를 정의할 수 있다.

:

\exp(d) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} d^n \colon \mathfrak g\to\mathfrak g

이는

\mathfrak g

의 리 대수 자기 동형 사상을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

:

[\exp(d)(x), \exp(d)(y)] = \exp(d)([x,y])

3. 3. 일반적인 K-대수에서의 성질

''A''가 링 ''K''에 대한 ''K''-대수이고,

D\colon A \to A

가 ''K''-미분이면, 다음이 성립한다.

만약 ''A''가 단위 원 1을 가지면, ''D''(1) = ''D''(1²) = 2''D''(1)이므로, ''D''(1) = 0이다. 따라서 ''K''-선형성에 의해, 모든 $k \in K$ 에 대해 ''D''(''k'') = 0이다.
만약 ''A''가 가환적이면, 라이프니츠 규칙에 의해 $D(x^2) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x)$ 이고, $D(x^n) = nx^{n-1}D(x)$ 이다.
더 일반적으로, 임의의 $x_1, x_2, \dots, x_n \in A$ 에 대해, 귀납법에 의해 다음이 성립한다.

:

D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n

:이는 모든

i

에 대해

D(x_i)

가

x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}

와 교환될 경우

\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j

이다.

''n'' > 1일 때, ''D''^''n''은 미분이 아니며, 대신 고차 라이프니츠 규칙을 만족한다.

:

D^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(u)\cdot  D^k(v).

:또한, ''M''이 ''A''-이중 가군일 경우,

\operatorname{Der}_K(A,M)

를 ''A''에서 ''M''으로의 모든 ''K''-미분들의 집합으로 표기한다.

$\operatorname{Der}_K(A,M)$ 은 ''K'' 위의 가군이다.
$\operatorname{Der}_K(A)$ 는 리 대수이며, 리 괄호는 교환자로 정의된다.

:

[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1.

:두 미분의 교환자가 다시 미분임이 쉽게 확인되기 때문이다.

''A''-가군 $\Omega_{A/K}$ (Kähler 미분)과 모든 미분 $D\colon A \to M$ 이 통과하는 ''K''-미분 $d\colon A \to \Omega_{A/K}$ 가 존재한다. 즉, 모든 미분 ''D''에 대해 다음과 같은 ''A''-가군 사상 $\varphi$ 가 존재한다.

:

D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M

:대응

D\leftrightarrow \varphi

는 ''A''-가군의 동형 사상이다.

:

\operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)

만약 $k \subset K$ 가 부분환이면, ''A''는 ''k''-대수 구조를 상속하므로 다음의 포함 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,

:왜냐하면 모든 ''K''-미분은 당연히 ''k''-미분이기 때문이다.

3. 4. 켈러 미분 (Kähler differentials)

Kähler differential^영어은 ''A''-가군이며, 모든 미분

D: A \to M

는 ''K''-미분

d: A \to \Omega_{A/K}

를 거쳐간다. 즉, 모든 미분 ''D''에 대해 다음과 같은 ''A''-가군 사상

\varphi

가 존재한다.

:

D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M

이때, 대응

D\leftrightarrow \varphi

는 ''A''-가군의 동형 사상이다.

:

\operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)

만약

k \subset K

가 부분환이면, ''A''는 ''k''-대수 구조를 상속하므로 다음 포함 관계가 성립한다.

:

\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,

이는 모든 ''K''-미분은 ''k''-미분이기 때문이다.

4. 등급 미분 (Graded derivations)

등급 대수 ''A''와 ''A'' 위의 등급의 균질 선형 사상 ''D''가 주어졌을 때, ''D''는 다음과 같은 경우 '''균질 도함수'''이다.

:D(ab)=D(a)b+ε^|a||D|aD(b)^영어

여기서 모든 균질 원소 ''a''와 ''A''의 모든 원소 ''b''에 대해, 교환자 계수 ε(±1)가 적용된다. '''등급 도함수'''는 동일한 ''ε''를 갖는 균질 도함수의 합이다.

ε = 1 인 경우, 이 정의는 일반적인 경우로 축소된다. 하지만 ε = -1 인 경우에는,

:D(ab)=D(a)b+(-1)^|a|aD(b)^영어

홀수 |''D''|에 대해서 ''D''는 '''반도함수'''라고 불린다.

반도함수의 예시로는 외미분과 내적이 미분 형식에 작용하는 경우를 들 수 있다.

초대수 (즉, '''Z'''₂-등급 대수)의 등급 도함수는 종종 '''초도함수'''라고 불린다.

5. 관련 개념

하세-슈미트 미분은 ''K''-대수 준동형사상이다.

: $A \to At$

형식적 멱급수 $\sum a_n t^n$ 을 계수 $a_1$ 로 보내는 사상과 합성하면 미분을 얻는다.

참조

_[1] 서적 Algèbre. Chapitres 1 à 3 Gauthier-Villars
_[2] 서적 Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer-Verlag
_[3] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press
_[4] 저널 Complete Lie algebras 1999-06

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