비결합 대수

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1. 개요
2. 일반적인 성질
3. 예시
4. 관련 대수
- 4.1. 미분 대수
- 4.2. 포락 대수
참조

1. 개요

비결합 대수는 두 개의 이항 연산이 있지만 결합 법칙을 만족하지 않는 대수 구조를 의미하며, 곱셈을 단순화하는 항등식을 충족하는 다양한 종류가 있다. 이러한 대수들은 단원, 결합, 교환, 반교환, 야코비 항등식, 요르단 항등식, 교대 법칙, 유연성, 거듭제곱 결합, 거듭제곱 교환법칙, 멱영원, 영 등의 성질을 가질 수 있다. 비결합 대수는 결합자, 핵, 중심과 같은 개념을 통해 연구되며, 벡터곱, 리 대수, 요르단 대수, 교대 대수, 거듭제곱-결합 대수 등 다양한 예시가 존재한다. 또한, 미분 대수와 포락 대수와 같은 관련 대수 구조를 가질 수 있다.

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비결합대수 - 요르단 대수
요르단 대수는 2가 가역원인 가환환 K 위의 가군 A와 교환 법칙을 만족시키는 쌍선형 이항 연산, 그리고 이 연산의 항등원 1_A로 정의되는 대수 구조이며, 요르단 항등식을 만족하고 양자역학의 관측 가능량과 관련되며, 직합, 몫, 동위 연산, 피어스 분해 등의 연산을 가진다.
비결합대수 - 야코비 항등식
야코비 항등식은 특정 이항 연산이 정의된 집합에서 성립하는 항등식으로, 특히 리 대수에서 교환자를 사용하여 표현되며 수학 및 물리학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다.

비결합 대수
개요
유형	대수
분야	추상대수학
연구	환론
정의
정의	장 위에서 정의된 벡터 공간이며, 이항 연산이 쌍선형인 대수
특징
연산 법칙	곱셈의 결합 법칙이 반드시 성립하지 않음
예시
종류	리 대수 조르당 대수 교대 대수 영 대수
관련 개념
관련 개념	결합 대수 모듈러 격자

2. 일반적인 성질

두 개의 이항 연산을 가지며 다른 제약 조건이 없는 환과 유사한 구조는 매우 광범위하고 일반적이어서 연구하기 어렵다. 이러한 이유로, 잘 알려진 비결합 대수들은 곱셈을 단순화하는 항등식을 만족한다.

''x'', ''y'', ''z''를 다원환의 임의의 원소라고 할 때, 다음 항등식들이 존재한다.

결합성: (''xy'')''z'' = ''x''(''yz'').
대칭성(가환성): ''xy'' = ''yx''.
반대칭성 (반교환성, 교대성): ''xy'' = −''yx''.^[1]
야코비 항등식: (''xy'')''z'' + (''yz'')''x'' + (''zx'')''y'' = 0.
조르당 항등식: (''xy'')''x''² = ''x''(''yx''²).
멱결합성: ''x''^''m'' ''x''^''n''=''x''^''n+m'' (''m'', ''n''은 음이 아닌 정수).
교대 결합성: (''xx'')''y'' = ''x''(''xy'') 및 (''yx'')''x'' = ''y''(''xx'').
유연성: ''x''(''yx'') = (''xy'')''x''.

이러한 성질들 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

결합성은 교대 결합성을 함의하고, 교대 결합성은 멱결합성을 함의한다.
결합성은 조르당 항등식을 함의하고, 조르당 항등식은 멱결합성을 함의한다.
결합성, 대칭성, 반대칭성, 조르당 항등식, 야코비 항등식 각각은 유연성을 함의한다.

비결합 대수는 환이나 결합 대수에서 익숙한 속성들을 항상 만족하지는 않는다. 예를 들어, 세데니언의 모든 영이 아닌 원소는 양쪽 역원을 가지지만, 그 중 일부는 영인자이기도 하다.

2. 1. 정의

체 위의 대수 의 임의의 원소 , , 에 대해, 다음과 같은 성질들이 정의된다.

단원적: 인 원소 가 존재한다. 이 경우 로 정의할 수 있다.
결합적: .
교환적: .
반교환적: .
야코비 항등식: 또는 (저자에 따라 다름).
요르단 항등식: 또는 (저자에 따라 다름).
교대적: (왼쪽 교대) 및 (오른쪽 교대).
유연적: .
에 대한 ''n''차 거듭제곱 결합: 인 모든 정수 에 대해 .
3차 거듭제곱 결합: .
4차 거듭제곱 결합: (아래의 4차 거듭제곱 교환과 비교).
거듭제곱 결합적: 임의의 원소에 의해 생성된 부분 대수는 결합적이다. 즉, 모든 에 대해 ''n''차 거듭제곱 결합이다.
에 대한 ''n''차 거듭제곱 교환: 인 모든 정수 에 대해 .
3차 거듭제곱 교환: .
4차 거듭제곱 교환: (위의 4차 거듭제곱 결합과 비교).
거듭제곱 교환: 임의의 원소에 의해 생성된 부분 대수는 교환적이다. 즉, 모든 에 대해 ''n''차 거듭제곱 교환이다.
멱영원 (index ): 모든 개 원소의 곱은 모든 결합에서 사라지지만, 일부 개 원소에 대해서는 사라지지 않는다. 즉, 이고, 인 개의 원소가 존재한다.
영 (index ): 거듭제곱 결합이고, 이며, 인 원소 가 존재한다.

2. 2. 성질들 사이의 관계

위에 언급된 성질들 사이의 함의 관계는 다음과 같다:

결합성은 교대성을 함의한다.
왼쪽 교대성, 오른쪽 교대성, 유연성 이 세 가지 성질 중 두 가지는 나머지 하나를 함의한다.
따라서 교대성은 유연성을 함의한다.
교대성은 요르단 항등식을 함의한다.^[1]
교환성은 유연성을 함의한다.
반교환성은 유연성을 함의한다.
교대성은 거듭제곱 결합성을 함의한다.
유연성은 3차 거듭제곱 결합성을 함의한다.
2차 결합 및 2차 교환은 항상 참이다.
3차 결합성과 3차 교환성은 동일하다.
n차 결합은 n차 교환을 함의한다.
인덱스 2의 멱영원은 반교환성을 함의한다.
인덱스 2의 멱영원은 요르단 항등식을 함의한다.
인덱스 3의 멱영원은 야코비 항등식을 함의한다.
인덱스 n의 멱영원은 2 ≤ N ≤ n 인 인덱스 N의 멱영원을 함의한다.
단위성과 인덱스 n의 멱영원은 양립할 수 없다.

k\neq\text{GF}(2)

또는

\dim(A) \leq 3

인 경우:

요르단 항등식과 교환성은 함께 거듭제곱 결합성을 함의한다.

\text{char}(k)\neq2

인 경우:

오른쪽 교대성은 거듭제곱 결합성을 함의한다.
마찬가지로 왼쪽 교대성은 거듭제곱 결합성을 함의한다.
단위성과 요르단 항등식은 함께 유연성을 함의한다.
요르단 항등식과 유연성은 함께 거듭제곱 결합성을 함의한다.
교환성과 반교환성은 함께 인덱스 2의 멱영원을 함의한다.
반교환성은 인덱스 2의 멱영원을 함의한다.
단위성과 반교환성은 양립할 수 없다.

\text{char}(k)\neq3

인 경우:

단위성과 야코비 항등식은 양립할 수 없다.

\text{char}(k)\notin\{2,3,5\}

인 경우:

교환성 및 $x^4=x^2x^2$ (4차 거듭제곱 결합성을 정의하는 두 항등식 중 하나)는 함께 거듭제곱 결합성을 함의한다.

\text{char}(k)=0

인 경우:

3차 거듭제곱 결합성과 $x^4=x^2x^2$ (4차 거듭제곱 결합성을 정의하는 두 항등식 중 하나)는 함께 거듭제곱 결합성을 함의한다.

\text{char}(k)=2

인 경우:

교환성과 반교환성은 동일하다.

2. 3. 결합자 (Associator)

Associator^영어는 체

k

위의 대수

A

의 원소

x

,

y

,

z

에 대해 다음과 같이 정의되는

k

-다중선형사상이다.

:

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)

이는

A

에서 곱셈이 얼마나 결합 법칙을 따르지 않는지, 즉 비결합성의 정도를 측정한다. 결합자를 사용하여 대수

A

가 만족하는 여러 항등식을 표현할 수 있다.

결합: 모든 $x, y, z \in A$ 에 대해 $[x,y,z]=0$ 이다.
교대: 모든 $x, y \in A$ 에 대해 $[x,x,y]=0$ (왼쪽 교대)이고 $[y,x,x]=0$ (오른쪽 교대)이다. 이는 괄호 안의 임의의 두 항을 바꾸면 부호가 반대로 바뀜을 의미한다. 즉, $[x,y,z]=-[x,z,y]=-[z,y,x]=-[y,x,z]$ 이다. 그 역은 $\operatorname{char}(K) \ne 2$ 인 경우에만 성립한다.
유연: 모든 $x, y, z \in A$ 에 대해 $[x,y,x]=0$ 이다. 이는 양 끝 항을 바꾸면 부호가 바뀜을 의미한다. 즉, $[x,y,z]=-[z,y,x]$ 이다. 그 역은 $\operatorname{char}(K) \ne 2$ 인 경우에만 성립한다.
요르단 항등식: 저자에 따라 모든 $x, y \in A$ 에 대해 $[x^2,y,x]=0$ 또는 $[x,y,x^2]=0$ 이다.
거듭제곱 결합: 모든 $x \in A$ 에 대해 $[x,x,x]=0$ 이다.

'''핵'''(nucleus)은 다른 모든 원소와 결합하는 원소들의 집합이다. 즉, 다음을 만족하는

n \in A

의 집합이다.

:

[n,A,A]=[A,n,A]=[A,A,n]=\{0\}

핵은

A

의 결합 부분환이다.

'''중심'''(center)은

A

의 모든 원소와 교환되고 결합하는 원소들의 집합이다. 즉, 핵과의 교집합이다.

:

C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \ \forall r \in A \}

C(A)

의 원소에 대해서는

([n,A,A], [A,n,A], [A,A,n])

중 두 집합이

\{0\}

이면 나머지 한 집합도

\{0\}

이 된다.

3. 예시

벡터곱으로 곱셈이 주어지는 유클리드 공간 '''R'''³은 반가환적이고 결합적이지 않은 대수의 예이다. 벡터곱은 야코비 항등식도 만족한다.
리 대수는 반교환성과 야코비 항등식을 만족하는 대수이다.
미분 다양체( $k$ 가 $\R$ 또는 복소수 $\mathbb{C}$ 인 경우) 또는 대수적 다양체 (일반적인 $k$ 에 대해) 위의 벡터장의 대수.
조르당 대수는 교환 법칙과 조르당 항등식을 만족하는 대수이다.
모든 결합 대수는 교환자를 리 괄호로 사용하여 리 대수를 생성한다.
2가 아닌 표수의 체 위의 모든 결합 대수는 새로운 곱셈 ''x*y'' = (''xy''+''yx'')/2를 정의하여 조르당 대수를 생성한다.
대안 대수는 교대 법칙을 만족하는 대수이다. 대안 대수의 가장 중요한 예는 옥토니언 (실수 위의 대수)과 다른 체 위의 옥토니언의 일반화이다. 동형사상을 제외하고, 유일한 유한 차원 실수 대안 나눗셈 대수는 실수, 복소수, 쿼터니언 및 옥토니언이다.
멱-결합 대수는 거듭제곱-결합 항등식을 만족하는 대수이다.
쌍곡선 쿼터니언 대수는 특수 상대성 이론에 대해 민코프스키 공간이 채택되기 전의 실험적인 대수였다.

더 많은 대수 종류:

등급 대수. 여기에는 주어진 벡터 공간 위의 텐서 대수, 대칭 대수 및 외대수와 같은 다중선형 대수에 관심 있는 대부분의 대수가 포함된다. 등급 대수는 필터 대수로 일반화될 수 있다.
나눗셈 대수, 곱셈 역원이 존재하는 대수. 실수 체 위의 유한 차원 대안 나눗셈 대수는 분류되었다. 그들은 실수 (차원 1), 복소수 (차원 2), 쿼터니언 (차원 4) 및 옥토니언 (차원 8)이다. 쿼터니언과 옥토니언은 가환적이지 않다. 이러한 대수 중에서 옥토니언을 제외한 모든 대수는 결합적이다.
이차 대수, 바닥 체의 일부 요소 ''r''과 ''s''에 대해 ''xx'' = ''re'' + ''sx''가 필요한 대수이며, ''e''는 대수의 단위이다. 예로는 모든 유한 차원 대안 대수와 실수 2x2 행렬의 대수가 있다. 동형사상을 제외하고, 제수가 없는 유일한 대안적, 이차적 실수 대수는 실수, 복소수, 쿼터니언 및 옥토니언이다.
케일리-딕슨 대수 (여기서 ''K''는 '''R''')는 다음으로 시작한다.
* 복소수 '''C''' (가환적이고 결합적인 대수);
* 쿼터니언 '''H''' (결합 대수);
* 옥토니언 '''O''' (대안 대수);
* 세데니언 '''S''';
* 트리그린타두오니언 '''T''' 및 케일리-딕슨 대수의 무한 시퀀스 (멱-결합 대수).
초복소 대수는 모든 유한 차원 유닛 '''R'''-대수이며, 따라서 케일리-딕슨 대수 등을 포함한다.
푸아송 대수는 기하학적 양자화에서 고려된다. 그들은 두 개의 곱셈을 가지고 있어 다른 방식으로 가환 대수와 리 대수로 바꾼다.
유전 대수는 수학적 유전학에서 사용되는 비결합 대수이다.
삼중계

3. 1. 벡터곱 (Cross product)

유클리드 공간 '''R'''³에 벡터 외적을 넣은 것은 반가환적이고 비결합적인 다중 대수의 예이다. 외적은 야코비 항등식도 만족한다.

3. 2. 리 대수 (Lie algebra)

리 대수는 반교환성과 야코비 항등식을 만족하는 대수이다. 모든 결합 대수는 교환자를 리 괄호로 사용하여 리 대수를 형성한다.^[1] 사실 모든 리 대수는 이런 식으로 구성될 수 있거나 그렇게 구성된 리 대수의 부분 대수이다.

미분 가능 다양체(

k

가

\R

또는 복소수

\mathbb{C}

인 경우) 또는 대수 다형체 (일반적인

k

의 경우)에서 벡터장의 대수는 리 대수이다.

곱셈이 벡터 외적으로 주어지는 유클리드 공간 '''R'''³는 반가환적이고 결합적이지 않은 대수의 한 예이다. 벡터 외적은 야코비 등식도 만족한다.

3. 3. 요르단 대수 (Jordan algebra)

요르단 대수는 교환 법칙과 요르단 항등식을 만족시키는 대수이다. 표수가 2가 아닌 체에 대한 모든 결합 대수는 새로운 곱셈 ''

x*y=(xy+yx)/2

'' 를 정의하여 요르단 대수를 생성한다.^[1] 모든 요르단 대수를 이런 방식으로 구성할 수 있는 것은 아니며, 가능한 경우를 특별하다고 한다.

3. 4. 교대 대수 (Alternative algebra)

교대 대수는 교대 법칙을 만족하는 대수이다. 교대 대수의 가장 중요한 예는 팔원수(실수에 대한 대수)와 다른 체에 대한 팔원수의 일반화이다. 모든 결합 대수는 교대적이다. 동형사상을 제외하고, 유일한 유한 차원 실수 교대 나눗셈 대수는 실수, 복소수, 사원수 및 팔원수이다.

3. 5. 거듭제곱-결합 대수 (Power-associative algebra)

거듭제곱-결합 대수는 거듭제곱-결합 항등식을 만족시키는 대수이다. 결합 대수, 교대 대수, GF(2)가 아닌 체에 대한 요르단 대수, 십육원수 등이 이에 해당한다.

케일리-딕슨 구성으로 만들어지는 대수 가운데 십육원수는 거듭제곱-결합 대수의 성질을 가진다.

3. 6. 기타 대수

등급 대수: 텐서 대수, 대칭 대수 및 주어진 벡터 공간에 대한 외대수와 같은 다중 선형 대수에 사용되는 대부분의 대수가 포함된다. 등급 대수는 필터 대수로 일반화될 수 있다.
나눗셈 대수: 곱셈의 역수가 존재하는 대수이다. 실수에 대한 유한 차원 교대 나눗셈 대수는 실수 (차원 1), 복소수 (차원 2), 사원수 (차원 4) 및 팔원수 (차원 8)로 분류되었다. 사원수와 팔원수는 가환적이지 않으며, 이 중 팔원수를 제외하고는 모두 결합적이다.
이차 대수: 기저 체의 어떤 원소 ''r'', ''x''와 대수의 단위 ''e''에 대해 ''xx=re+sx''가 성립하는 대수이다. 모든 유한 차원 교대 대수와 2x2 실행렬 대수가 포함된다. 영인자가 없는 이차 실수 교대 대수는 실수, 복소수, 사원수 및 팔원수 중 하나와 동형이다.
케일리-딕슨 대수 (''K''는 실수):
복소수 (가환 및 결합 대수)
사원수 (결합 대수)
팔원수 (교대 대수)
십육원수 및 케일리-딕슨 대수 (멱결합 대수)의 무한 열
푸아송 대수: 기하학적 양자화에서 고려된다. 두 개의 곱셈을 가지며, 서로 다른 방식으로 가환 대수와 리 대수로 변환된다.
유전 대수: 수학적 유전학에서 사용되는 비결합 대수이다.

4. 관련 대수

체 ''K'' 위의 대수 ''A''는 ''K''-벡터 공간이므로, ''A''의 ''K''-선형 벡터 공간 자기 사상들의 결합 대수 End_''K''(''A'')를 생각할 수 있다. ''A''의 대수 구조와 관련하여 End_''K''(''A'')의 두 부분 대수를 연관시킬 수 있는데, 이는 미분 대수와 (결합) 포락 대수이다.

미분 대수는 ''A'' 위의 유도 ''D''들로 이루어진 부분 공간 Der_''K''(''A'')이며, 리 대수 구조를 가진다. 포락 대수는 ''A''의 원소 ''a''에 대해 정의된 왼쪽 및 오른쪽 선형 사상 ''L(a)''와 ''R(a)''에 의해 생성되는 결합 대수이다.

4. 1. 미분 대수

''A''에 주어진 미분은 다음 성질을 갖는 사상 ''D''이다.

:

D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ .

이는 두 함수의 곱의 미분 법칙에 해당한다. ''A''에 대한 미분은 ''

\text{End}_k(A)

''에서 부분 공간 ''

\text{Der}_k(A)

''를 형성한다. 두 미분의 교환자는 다시 미분이므로 리 괄호는 ''

\text{Der}_k(A)

''에 리 대수의 구조를 제공한다.

유도는 ''A'' 위의 사상 ''D''로 다음을 만족하는 성질을 갖는다.

:

D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ .

''A'' 위의 유도는 End_''K''(''A'') 내의 부분 공간 Der_''K''(''A'')을 형성한다. 두 유도의 교환자는 다시 유도이므로, 리 괄호는 Der_''K''(''A'')에 리 대수의 구조를 부여한다.

4. 2. 포락 대수

대수

A

의 각 원소 ''

a

''에 대해 다음과 같은 선형 사상(linear map) ''

L

''과 ''

R

''이 정의된다.

:

L(a) : x \mapsto ax ; \ \ R(a) : x \mapsto xa \ .

A

의 ''결합 포락 대수''(associative enveloping algebra) 또는 ''곱셈 대수''(multiplication algebra)는 왼쪽 및 오른쪽 선형 사상에 의해 생성된 결합 대수이다.^[1]

A

의 ''중심''(center)은 자기사상 대수(endomorphism algebra) ''

\text{End}_k(A)

''에서 포락 대수의 중심화 부분(centralizer)이다. 중심이 항등원의 ''K-'' 스칼라 배수로 구성된 경우, 이 대수를 ''중심 대수''(central algebra)라고 한다.

비결합 대수에서 만족되는 몇 가지 항등식은 선형 사상을 이용하여 표현할 수 있다.

교환(commutative): 각 $L(a)$ 는 해당 $R(a)$ 와 같다.
결합(associative): 임의의 '' $L$ ''은'' 임의의 '' $R$ ''과 교환한다.
유연성(flexible): 모든 $L(a)$ 은 해당 $R(a)$ 로 교환한다.
요르단(Jordan): 모든 $L(a)$ 는 $R(a^2)$ 로 교환한다.
교대(alternative): 모든 $L(a)^2=L(a^2)$ 이며, 오른쪽도 비슷하게 성립한다.

''이차 표현''(quadratic representation) ''

Q

''는'' 다음과 같이 정의된다.

:

Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \

:

Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ .

리 대수의 경우, 보편 포락 대수는 보편적인 성질을 가지지만, 이는 일반적으로 비결합 대수에는 적용되지 않는다. 대표적인 예시로 요르단 대수에 대한 포락 대수의 표준 구성으로 둘러싸여 있지 않은 예외적인 요르단 대수인 알베르트 대수가 있다.

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