유카와 상호작용

3. 고전 퍼텐셜

두 페르미온이 질량 $\backslash mu$인 유카와 입자(예: 파이온)를 통해 상호작용하면, 두 입자 사이에는 다음과 같은 유카와 퍼텐셜이 작용한다.

:$V(r)\; =\; -\backslash frac\{g^2\}\{\backslash ,4\backslash pi\backslash ,\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ,r\backslash ,\}\; \backslash ,\; e^\{-\backslash mu\; r\}$

이는 부호와 지수 인자를 제외하면 쿨롱 퍼텐셜과 유사하다. 음의 부호는 유카와 입자가 스핀 0을 가지며, 짝수 스핀은 항상 인력 퍼텐셜을 유발한다는 사실로 설명된다.^[2] 양자장론에서 짝수 스핀 보손(파이온, 중력자 등) 교환은 항상 인력인 힘을 유발하는 반면, 홀수 스핀 보손(글루온, 광자, 로 중간자 등)은 반대 전하 사이에는 인력, 동일 전하 사이에는 척력인 힘을 유발한다. 지수 부분은 상호작용에 유한한 유효 범위를 부여하여, 멀리 떨어진 입자들은 더 이상 거의 상호작용하지 않게 된다.

3. 1. 장선(field line) 관점

4. 작용(Action)

유카와 상호작용은 스칼라장(또는 유사 스칼라장) $\backslash phi$와 디랙장 $\backslash psi$ 사이의 상호작용으로 기술된다. 유카와 상호작용 항은 다음과 같다.^[1]

:$V\; \backslash approx\; g\backslash ,\backslash bar\backslash psi\; \backslash ,\backslash phi\; \backslash ,\backslash psi$ (스칼라) 또는 $g\; \backslash ,\backslash bar\backslash psi\; \backslash ,i\backslash ,\backslash gamma^5\; \backslash ,\backslash phi\; \backslash ,\backslash psi$ (pseudoscalar).

여기서 g는 결합 상수(유카와 결합 상수)이다.

이 상호작용의 작용은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:$S[\backslash phi,\backslash psi]\; =\; \backslash int\; \backslash left[\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\; \backslash partial^\backslash mu\; \backslash phi\; \backslash ;\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi\; -\; V(\backslash phi)\; +\; \backslash bar\{\backslash psi\}\; \backslash ,\; \backslash left(\; i\backslash ,\; \backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\; -\; m\; \backslash right)\; \backslash ,\; \backslash psi\; -\; g\; \backslash ,\; \backslash bar\{\backslash psi\}\; \backslash ,\; \backslash phi\; \backslash ,\backslash psi\; \backslash ,\; \backslash right]\; \backslash mathrm\{d\}^\{n\}x\; ~.$

여기서 $V(\backslash phi)$는 자체 상호작용 항을 나타내며, 자유장 질량 메존의 경우 $V(\backslash phi)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash mu^2\backslash ,\backslash phi^2$이다. ($\backslash mu$는 메존의 질량) 재정규화 가능한 장의 경우 $V(\backslash phi)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash mu^2\backslash ,\backslash phi^2\; +\; \backslash lambda\backslash ,\backslash phi^4$이며, 여기서 λ는 결합 상수이다.^[1]

스칼라장 φ에 대한 운동 방정식을 계산하면 다음과 같다.^[1]

:$\backslash partial^\backslash mu\backslash partial\_\backslash mu\backslash phi\; +m\_\backslash phi^2\backslash phi$

= -\frac{dV}{d\phi}-g\bar{\psi}\psi

저에너지에서 질량항에 비해 운동항과 자기 상호작용 항을 무시할 수 있다고 가정하면, 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.^[1]

:$\backslash phi\; =-\backslash frac\{g\}\{m\_\backslash phi^2\}\backslash bar\{\backslash psi\}\backslash psi$

이 식을 이용해 스칼라장을 소거하면 다음과 같은 결과를 얻는다.^[1]

:$\backslash mathcal\{L\}(\backslash psi,\backslash partial\backslash psi)$

=i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m_\psi\bar{\psi}\psi

+\frac{g^2}{2m_\phi^2}(\bar{\psi}\psi)^2

이로써 페르미 상호작용이 재현되며, 그 결합 상수는 유카와 결합 상수와 스칼라장의 질량으로 계산된다.^[1]

4. 1. 라그랑지안 (Lagrangian)

• $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash phi(\backslash phi,\backslash partial\backslash phi)$: 보손의 라그랑지안^[1]
• $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash psi(\backslash psi,\backslash partial\backslash psi)$: 디랙장의 라그랑지안^[1]
• $\backslash mathcal\{L\}\_\backslash mathrm\{yukawa\}(\backslash phi,\backslash psi)$: 유카와 상호작용 항^[1]

• \frac{1}{2}m_\phi^2\phi^2 -V(\phi)

• \frac{1}{2}m_\phi^2\phi^2 -V(\phi)

• g\bar{\psi}\psi \phi

5. 표준 모형에서의 유카와 결합

표준 모형에서 힉스 장에 대한 유카와 결합 항은 자발 대칭 깨짐에 영향을 미쳐 페르미온 질량을 생성한다. 전위 $~V(\backslash phi)~$가 $~\backslash phi\; =\; 0~$이 아닌 어떤 0이 아닌 값 $~\backslash phi\_0~$에서 최솟값을 갖는다고 가정하면, 라그랑지안은 자발 대칭 깨짐을 나타낸다. 이는 진공에 작용할 때 $~\backslash phi~$ 장의 0이 아닌 값이 $~\backslash phi~$의 0이 아닌 진공 기대값을 갖기 때문이다.

표준 모형에서 이 0이 아닌 기대값은 페르미온 질량을 담당한다. 질량 항을 나타내기 위해 작용은 파생된 장 $\backslash phi\text{'}\; =\; \backslash phi\; -\; \backslash phi\_0~,$의 관점에서 재표현될 수 있는데, 여기서 $~\backslash phi\_0~$는 위치에 독립적인 상수이다. 이는 유카와 항이 다음 성분을 포함한다는 것을 의미한다.

$$~g\; \backslash ,\; \backslash phi\_0\; \backslash ,\; \backslash bar\backslash psi\; \backslash ,\; \backslash psi~$$

여기서 $~g~$와 $~\backslash phi\_0~$ 모두 상수이므로, 이 항은 등가 질량 $~g\backslash ,\backslash phi\_0~$을 가진 페르미온에 대한 질량 항으로 나타난다. 이 메커니즘은 자발 대칭 깨짐이 페르미온에 질량을 부여하는 수단이다. 스칼라 장 $~\backslash phi\text{'}~$는 힉스 장으로 알려져 있다.

표준 모형에서 주어진 페르미온에 대한 유카와 결합은 이론의 입력값이다.

6. 마요라나 형태

유카와 상호작용은 스칼라와 마요라나 장 사이에서도 가능하다. 실제로, 스칼라와 디랙 스피너를 포함하는 유카와 상호작용은 동일한 질량을 가진 두 개의 마요라나 스피너를 가진 스칼라와의 유카와 상호작용으로 생각할 수 있다. 두 개의 손지기 마요라나 스피너로 표현하면 다음과 같다.^[1]

:$$S[\backslash phi,\backslash chi]=\backslash int\; \backslash left[\backslash ,\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash partial^\backslash mu\backslash phi\; \backslash ;\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash phi\; -\; V(\backslash phi)\; +\; \backslash chi^\backslash dagger\; \backslash ,\; i\; \backslash ,\; \backslash bar\{\backslash sigma\}\backslash ,\backslash cdot\backslash ,\backslash partial\backslash chi\; +\; \backslash frac\{i\}\{2\}\backslash ,(m\; +\; g\; \backslash ,\; \backslash phi)\backslash ,\backslash chi^T\; \backslash ,\backslash sigma^2\; \backslash ,\backslash chi\; -\; \backslash frac\{i\}\{2\}\backslash ,(m\; +\; g\; \backslash ,\backslash phi)^*\; \backslash ,\; \backslash chi^\backslash dagger\; \backslash ,\backslash sigma^2\; \backslash ,\; \backslash chi^*\backslash ,\backslash right]\; \backslash mathrm\{d\}^\{n\}x$$

여기서 $g$는 복소 결합 상수이고, $m$은 복소수이며, $n$은 위와 같이 차원 수이다.^[1]

참조

_[1] 논문 A Model of Leptons 1967-11-20
_[2] 서적 Quantum Field Theory in a Nutshell World Scientific
_[3] 저널 http://web.ihep.su/o[...]
_[4] 웹인용 The Nobel Prize in Physics 1949 http://www.nobelpriz[...]