육십진법

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1. 개요
2. 기원
- 2.1. 수메르와 바빌로니아
3. 표기법
- 3.1. 쐐기 문자
- 3.2. 현대 표기법
4. 활용
5. 수 체계
- 5.1. 분수
- 5.2. 무리수
참조

1. 개요

육십진법은 60을 기수로 사용하는 명수법으로, 기원전 3000년에서 2000년경 수메르 문명에서 시작되어 바빌로니아로 계승된 것으로 추정된다. 60진법은 분수를 계산하는 데 수학적 이점이 있었고, 상업 거래에도 유용하게 사용되었다. 고대 메소포타미아에서는 10진법을 하위 기수로 사용하여 숫자를 표기했으며, 0의 개념이 도입된 후에는 위치 표기법을 사용했다. 현대에는 시간, 각도, 지리 좌표 등에서 사용되며, 1시간은 60분, 1분은 60초로 나뉘는 시간 측정에 활용된다. 또한 60진법은 분수를 정확하게 표현하는 데 유리하며, 무리수는 순환하지 않는 형태로 나타난다.

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육십진법
개요
명칭	육십진법
유형	위치 기수법
밑	60
기원	고대 수메르
숫자
표기	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 58, 59 (십진법 사용) нуля, адзін, два, тры, чатыры, пяць, шэсць, сем, восем, дзевяць, дзесяць, адзінаццаць, ..., пяцьдзясят восем, пяцьдзясят дзевяць (벨라루스어)
예시	1:23:45 (시간 표기) 1° 23′ 45″ (각도 표기)
역사 및 용도
기원	기원전 3천년기 수메르
사용	각도 지리 좌표 시간 항법
현대적 사용	시간: 시, 분, 초 각도: 도, 분, 초
장점 및 단점
장점	60은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30으로 나누어 떨어지므로 분수 계산에 용이
단점	큰 수를 표현하기 위해 많은 자릿수가 필요
기타
관련 개념	십진법, 이십진법, 십이진법

2. 기원

60진법의 정확한 기원은 알려져 있지 않지만, 기원전 3000년에서 2000년경 수메르 문명에서 시작되어 바빌로니아로 계승된 것으로 추정된다. 수메르인들은 엄지손가락을 제외한 한 손의 손가락 마디 12개를 세는 방법과, 다른 한 손으로 5번을 세어 60을 만드는 방법을 사용했을 것으로 보인다. 이는 아시아 지역에서 전통 도량형 시스템에 영향을 주었다.^[37]

바빌로니아 수학에서는 1 미만의 수를 나타낼 때 소수 개념을 일찍부터 사용하였다. 유럽에서는 이집트 수학에서 도입한 분수 (이집트 분수)를 사용했지만, 계산이 번거로워 천문학에서 별의 운행 계산 등에 바빌로니아의 60진법이 도입되었다. 각도를 도수법으로 나타낼 때 1도 미만의 분 단위나, 1시간 미만의 분 단위가 60진법인 것은 이러한 이유 때문이다.

2. 1. 수메르와 바빌로니아

오토 노이게바우어에 따르면, 60진법의 기원은 묘사되는 것처럼 단순하거나 일관성 있거나 시대적으로 단일하지 않다.^[2] 시간, 각도, 천문 좌표계와 같은 전문적인 분야에서 오늘날까지도 계속 사용되는 60진법 표기에는 60진법 자릿수를 쓰는 방식과 같이 10진법 표기의 강력한 저류가 항상 존재했다. 그 사용에는 단일 텍스트 내에서도 다양한 진법을 사용하는 위치와 방법에 대한 불일치가 항상 포함되어 있었다.^[2]

초기 설형문자 (기원전 4천년기)와 60진법 체계(60, 600, 3600 등)에 대한 설형문자 기호

60진법을 엄격하고 완전히 자기 일관적으로 사용하게 된 가장 강력한 동인은 분수를 쓰고 계산하는 데 있어서의 수학적 이점이었다. 고대 텍스트에서 이는 수학적 데이터 표에서 60진법이 가장 균일하고 일관되게 사용된다는 사실에서 나타난다.^[2] 수학적 표보다 일관성은 떨어지지만 과거에 60진법의 사용을 확장하는 데 도움이 된 또 다른 실용적인 요소는 상인과 구매자가 대량의 상품을 거래하고 나누는 것을 더 쉽게 만들어주는 일상적인 금융 거래에 있어서의 명확한 이점이었다. 기원전 3천년기 후반에, 수메르/아카드의 무게 단위에는 약 30kg의 ''카카루''(탈렌트)가 포함되었는데, 이는 60개의 ''마누''(미나)로 나뉘었고, 이는 다시 60개의 ''시클루''(세겔)로 세분되었다.

고대 메소포타미아에서 사용된 60진법은 60개의 서로 다른 기호를 자릿수로 사용하지 않았다는 점에서 순수한 60진법이 아니었다. 대신 설형 문자 숫자는 10을 부기호 방식의 하위 기수로 사용했다. 60진법 자릿수는 최대 9개까지의 좁고 쐐기 모양의 표시(

,

,

,

, ...,

)와 최대 50까지의 넓고 쐐기 모양의 표시(

,

,

,

,

)로 구성되었다. 자릿수의 값은 구성 요소의 값의 합이었다.

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59보다 큰 숫자는 위치값 표기법에서 이 형태의 여러 기호 블록으로 표시되었다. 0을 나타내는 기호가 없었기 때문에 숫자를 해석하는 방법이 항상 명확하지는 않았고, 실제 값은 때때로 문맥에 따라 결정되어야 했다. 예를 들어, 1과 60의 기호는 동일하다.^[3]^[4] 후기 바빌로니아 문서에서는 자리 표시자(

)를 사용하여 0을 나타냈지만, 중간 위치에서만 사용했다.^[4]

3. 표기법

바빌로니아 수학에서는 1 미만의 수를 나타낼 때 소수 개념을 일찍부터 사용했다. 유럽에서는 1 미만의 수를 나타내기 위해 이집트 수학에서 도입한 분수(이집트 분수)를 사용했지만, 계산이 번거로웠다. 그래서 천문학에서 별의 운행을 계산할 때 등에 바빌로니아의 60진법이 도입되었다. 각도를 도수법으로 나타낼 때 1도 미만의 분, 초 단위나, 1시간 미만의 분, 초 단위가 60진법인 것은 여기서 유래한다.

바빌로니아 숫자가 십진법 표기였기 때문에, 현재도 60진법 표기에 십진법 아라비아 숫자를 사용하고, 소수점에는 세미콜론(;)을, 자릿수 구분에는 콤마(,)를 사용하는 방식이 일반적이다.^[31] 예를 들어 2,15;30은 다음과 같이 계산된다.

: 2 × 60¹ + 15 × 60⁰ + 30 × 60⁻¹ = 135.5

이와는 별도로, 시간이나 각도에서는 기준 단위인 시간 및 도를 °로 표시하고, 그 이하 단위를 1/60마다 프라임(′)을 사용하여 나타내는 방법도 있다. 예를 들어 1°20′15″는 1시간 20분 15초 또는 1도 20분 15초를 의미하며, 1.3375시간 또는 도를 나타낸다.

3. 1. 쐐기 문자

고대 메소포타미아에서 사용된 60진법은 60개의 서로 다른 기호를 자릿수로 사용하지 않았다는 점에서 순수한 60진법이 아니었다. 대신 설형 문자 숫자는 10을 부기호 방식의 하위 기수로 사용했다. 60진법 자릿수는 최대 9개까지의 좁고 쐐기 모양의 표시(, , , , ..., )와 최대 50까지의 넓고 쐐기 모양의 표시(, , , , )로 구성되었다. 자릿수의 값은 구성 요소의 값의 합이었다.

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59보다 큰 숫자는 위치값 표기법에서 이 형태의 여러 기호 블록으로 표시되었다. 0을 나타내는 기호가 없었기 때문에 숫자를 해석하는 방법이 항상 명확하지는 않았고, 실제 값은 때때로 문맥에 따라 결정되어야 했다. 예를 들어, 1과 60의 기호는 동일하다.^[3]^[4] 후기 바빌로니아 문서에서는 자리 표시자()를 사용하여 0을 나타냈지만, 과 같은 숫자에서처럼 오른쪽이 아닌 중간 위치에서만 사용했다.^[4]

3. 2. 현대 표기법

고대 메소포타미아에서 사용된 60진법은 60개의 서로 다른 기호를 자릿수로 사용하지 않았다는 점에서 순수한 60진법이 아니었다. 대신 설형 문자 숫자는 10을 부기호 방식의 하위 기수로 사용했다. 60진법 자릿수는 최대 9개까지의 좁고 쐐기 모양의 표시(, , , , ..., )와 최대 50까지의 넓고 쐐기 모양의 표시(, , , , )로 구성되었다. 자릿수의 값은 구성 요소의 값의 합이었다.

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59보다 큰 숫자는 위치값 표기법에서 이 형태의 여러 기호 블록으로 표시되었다. 0을 나타내는 기호가 없었기 때문에 숫자를 해석하는 방법이 항상 명확하지는 않았고, 실제 값은 때때로 문맥에 따라 결정되어야 했다.^[3]^[4] 후기 바빌로니아 문서에서는 자리 표시자()를 사용하여 0을 나타냈지만, 숫자에서처럼 오른쪽이 아닌 중간 위치에서만 사용했다.^[4]

헬레니즘 시대 그리스의 천문학 관련 글에서는 60진법을 그리스 알파벳 숫자를 사용하여 표기했으며, 각 60진 자릿수는 독립적인 숫자로 취급되었다. 헬레니즘 시대의 천문학자들은 새로운 0 기호를 채택했는데, 이 기호는 여러 세기 동안 다른 형태로 변형되었고, 그리스 문자 오미크론(ο)을 포함하는데, 이 문자는 일반적으로 70을 의미하지만, 각 자릿수의 최댓값이 59인 60진법에서는 허용된다.^[19]^[20] 그리스인들은 60진법의 사용을 숫자의 소수 부분으로 제한했다.^[21]

중세 라틴어 문서에서는 아라비아 숫자를 사용하여 60진법을 표기했으며, 여러 단계의 분수는 ''minuta''(즉, 분수), ''minuta secunda'', ''minuta tertia'' 등으로 표시되었다. 17세기가 되면 60진수의 정수 부분을 위첨자 0으로, 그리고 다양한 소수 부분을 하나 이상의 악센트 표시로 나타내는 것이 일반적이 되었다. 존 월리스는 그의 저서 ''Mathesis universalis''에서 이 표기법을 60의 고차 배수를 포함하도록 일반화했다. 여기서 왼쪽의 숫자는 60의 고차 거듭제곱을 곱한 것이고, 오른쪽의 숫자는 60의 거듭제곱으로 나눈 것이며, 위첨자 0으로 표시된 숫자는 1을 곱한 것이다.^[22] 이 표기법은 현대의 도, 분, 초 기호로 이어졌다. 같은 분과 초 명명법은 시간 단위에도 사용되며, 시간을 시, 분, 초로 10진수로 표기하고 콜론으로 구분하는 현대적 표기법은 60진법의 한 형태로 해석될 수 있다.

일부 사용 시스템에서는 60진법 소수점 이후 각 자릿수에 라틴어 또는 프랑스어 어원을 사용하여 번호가 매겨졌다. ''프라임'' 또는 ''primus'', ''seconde'' 또는 ''secundus'', ''tierce'', ''quatre'', ''quinte'' 등이다. 오늘날 우리는 2차 부분을 시간의 "초" 또는 각도의 "초"라고 부른다. 적어도 18세기까지는 1/60초를 "tierce" 또는 "third"라고 불렀다.^[23]^[24]

1930년대에 오토 노이게바우어는 바빌로니아와 헬레니즘 시대의 숫자에 대한 현대적 표기 시스템을 도입했는데, 이 시스템은 각 자릿수에 0에서 59까지의 현대 10진법 표기를 사용하고, 세미콜론(;)을 사용하여 숫자의 정수 부분과 소수 부분을 구분하고, 콤마(,)를 사용하여 각 부분 내의 자릿수를 구분한다.^[25] 예를 들어, 바빌로니아와 헬레니즘 시대의 천문학자들이 사용했고 현재도 히브리력에서 사용하는 평균 삭망월은 29;31,50,8,20일이다.

바빌로니아의 60진법이 천문학 분야에서 사용되었기 때문에, 현재에도 시간과 각도의 단위에는 바빌로니아의 60진법이 남아 있다. 이와 같이, 단위가 1/60씩 작아지는 분할법을 육십분법이라고 한다. 60진법을 의미하는 영어 sexagesimal^영어이나 라틴어 sexagesimus^la는 원래 "1/60"을 의미하는 단어이다.

시간·도를 기준 단위로 한 시간·각도의 60진법에 의한 분할의 명칭은 아래 표와 같다. 초보다 작은 단위도 표와 같은 단위가 일단 존재하며, 초의 60분의 1에 해당하는 영어 "third"에 상당하는 단어는 현대 폴란드어 "tercja"나 터키어 "salise"에 남아 있지만, 현대에는 시간·각도 모두 초 미만은 십진소수로 하고, 필요에 따라 SI 접두어를 사용하여 1000의 거듭제곱으로 분할한 밀리초(ms)·마이크로초(μs)·나노초(ns)·피코초(ps)·펨토초(fs)·아토초(as)(각도는 밀리초각·마이크로초각·나노초각·피코초각·펨토초각·아토초각이라고도) 등의 단위를 사용하는 것이 일반적이다. 또한 각도에 대해서는 도 미만을 십진소수로 하는 경우도 많다.

시간·도를 기준 단위로 한 시간·각도의 60진법에 의한 분할의 명칭
값	영어	라틴어^[35]	한자(일본어·중국어)	(참고) 초 미만의 십진 환산
기준	hour / degree	horae(시간)	시간(중국어는 「小时」) / 도
1/60	minute	minuta	분(시간의 분 / 각도의 분(분각))
(1/60)²	second	secunda	초(시간의 초 / 각도의 초(초각))
(1/60)³	third	tertia	^[36]	16.6667ms
(1/60)⁴	fourth	quarta	^[36]	277.778μs
(1/60)⁵	fifth	quinta	^[36]	4.62963μs
(1/60)⁶	sixth	sexta	^[36]	77.1605ns
(1/60)⁷	seventh	septima	^[36]	1.28601ns
(1/60)⁸	eighth	octava	^[36]	21.4335ps
(1/60)⁹	ninth	nona	^[36]	357.225fs
(1/60)¹⁰	tenth	decima	^[36]	5.95374fs

국제단위계에서는 초와 라디안만이 정의되어 있으며, 완전히 십진법으로 표기된다.

일본의 도량형에서는 60진법이 사용된 예가 있다. 조리제에서는 1 정 = 60 보 = 360 척이며, 1 보 = 6 척이었다. 천정 시대 이후는, 1/36 리 = 1 정 = 60 간 = 360 척이며, 1 간 = 6 척이 되었다. 이들은 60을 밑으로 하는 방법 외에, 60을 6×10의 곱으로 분해하여, 6이나 36을 단위로 하거나, 6이나 36에 10을 곱한 수치를 단위로 하는 방법이 채택되고 있다(36＝6×6, 60＝6×10, 360＝6×6×10, 3600＝6×6×10×10).

4. 활용

60진법은 고대부터 여러 분야에서 활용되었다. 특히 수메르와 바빌로니아에서는 기원전 3000년부터 기원전 2000년경까지 60진법을 사용했다. 수메르인들은 설형문자를 사용하여 1부터 59까지의 숫자를 표현했는데, 가로 쐐기는 10을, 작은 세로 쐐기는 1을 나타냈다.

60은 1부터 6까지의 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 수이기 때문에 분수 계산에 유리하다. 이러한 특징 덕분에 60진법은 천문학과 수학 분야에서 널리 사용되었으며, 특히 시간과 각도 측정에 큰 영향을 미쳤다.

프톨레마이오스는 2세기에 저술한 천문학 논문 『알마게스트』에서 숫자의 소수 부분을 나타내는 데 60진법을 사용했다. 그의 현의 표는 1도의 소수 부분을 60진법으로 나타내어 천 년 이상 유일하게 광범위한 삼각함수표로 사용되었으며, 현대의 사인 함수 값 표와 실질적으로 동등했다.

중세 천문학자들도 시간을 기록하는 데 60진법을 사용했다. 알비루니는 1000년경 유대력의 달을 논하면서 처음으로 시간을 60진법으로 분, 초, 3차, 4차로 세분했다.^[6] 1235년경 사크로보스코의 요한은 이 전통을 계승했다.^[7]

중국력에서는 십간과 십이지를 조합한 육십갑자를 사용하여 날짜와 연도를 표시하는데, 이는 60년 주기로 반복된다.

플라톤의 저서 『국가』 제8권에는 60⁴ = 12,960,000과 그 약수를 중심으로 한 결혼 우화가 등장한다. 이 숫자는 60진법으로 1,0,0,0,0으로 표현된다.^[5]

18세기 후반과 19세기 초, 타밀족 천문학자들은 헬레니즘 천문학자들이 개발한 십진법과 60진법을 혼합하여 천문 계산을 했다.^[11]

60진법은 서뉴기니의 에카리족과 같이 수메르와 관련 없는 문화권에서도 사용되었다.^[12]^[13]

바빌로니아의 60진법이 천문학 분야에서 사용되었기 때문에, 현재에도 시간과 각도의 단위에는 그 흔적이 남아있다. 이처럼 단위가 1/60씩 작아지는 분할법을 육십분법이라고 한다. 60진법을 의미하는 영어 "sexagesimal"이나 라틴어 "sexagesimus"는 원래 "1/60"을 의미하는 단어이다.

일본의 도량형에서도 60진법이 사용된 예가 있다. 조리제에서는 1정 = 60보 = 360척이며, 1보는 6척이었다. 천정 시대 이후는, 1/36리 = 1정 = 60간 = 360척이며, 1간은 6척이 되었다. 이들은 60을 밑으로 하는 방법 외에, 60을 6×10의 곱으로 분해하여 6이나 36을 단위로 하거나, 6이나 36에 10을 곱한 수치를 단위로 사용했다.

4. 1. 시간

1시간은 60분으로 나뉘고, 1분은 60초로 나뉜다. 따라서 3:23:17 (3시간 23분 17초)과 같은 시간 측정은 3 × 60² + 23 × 60¹ + 17 × 60⁰ 초를 의미하는 육십진법으로 해석될 수 있다.^[14] 18세기에는 1초를 60으로 나눈 단위를 'tierce' 또는 'third'라고 불렀다.

4. 2. 각도

각도의 단위는 한 원에 360(60×6)개가 있는 도이다. 1도는 60분으로, 1분은 60초로 나뉜다. 각도의 단위 용어(prime, second, tierce 등)는 라틴어나 프랑스어에서 기원하였다. 오늘날 시간을 재는 단위 초(second)도 여기서 기원하였다. 18세기에는 1초를 60으로 나눈 단위를 'tierce' 또는 'third'라고 불렀다.^[37]

시간·도를 기준 단위로 한 시간·각도의 60진법에 의한 분할 명칭
값	영어	라틴어^[35]	한자(일본어·중국어)	(참고) 초 미만의 십진 환산
기준	degree	horae(시간)	도
1/60	minute	minuta	분(각도의 분(분각))
(1/60)²	second	secunda	초(각도의 초(초각))
(1/60)³	third	tertia	(미)^[36]	16.6667ms
(1/60)⁴	fourth	quarta	(섬)^[36]	277.778μs
(1/60)⁵	fifth	quinta	(홀)^[36]	4.62963μs
(1/60)⁶	sixth	sexta	(망)^[36]	77.1605ns
(1/60)⁷	seventh	septima	(진)^[36]	1.28601ns
(1/60)⁸	eighth	octava	(허)^[36]	21.4335ps
(1/60)⁹	ninth	nona	(말)^[36]	357.225fs
(1/60)¹⁰	tenth	decima	(불)^[36]	5.95374fs

참고로, 국제단위계에서는 초와 라디안만이 정의되어 있으며, 완전히 십진법으로 표기된다.

4. 3. 수학

고대 메소포타미아에서 사용된 60진법은 60개의 서로 다른 기호를 자릿수로 사용하지 않고, 10을 부기호 방식의 하위 기수로 사용했다. 60진법 자릿수는 최대 9개까지의 좁고 쐐기 모양의 표시(, , , , ..., )와 최대 50까지의 넓고 쐐기 모양의 표시(, , , , )로 구성되었다. 자릿수의 값은 구성 요소의 값의 합이었다.

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59보다 큰 숫자는 위치값 표기법에서 이 형태의 여러 기호 블록으로 표시되었다. 0을 나타내는 기호가 없었기 때문에 숫자를 해석하는 방법이 항상 명확하지는 않았고, 실제 값은 때때로 문맥에 따라 결정되어야 했다. 예를 들어, 1과 60의 기호는 동일하다.^[3]^[4] 후기 바빌로니아 문서에서는 자리 표시자()를 사용하여 0을 나타냈지만, 과 같은 숫자에서처럼 오른쪽이 아닌 중간 위치에서만 사용했다.^[4]

바빌로니아 수학의 60진법의 특징은 1 미만의 수를 나타낼 때, 일찍부터 소수의 개념이 존재했다는 것이다. 유럽 세계에서는 1 미만의 수를 나타내기 위해 이집트 수학에서 도입한 분수( 이집트 분수 )를 사용했지만, 계산이 번거로웠다. 그래서 천문학에서 별의 운행 계산을 할 때 등, 바빌로니아의 60진법이 도입되었다. 각도를 도수법으로 나타낼 때의 1도 미만의 도 단위나, 1시간 미만의 시간 단위가 60진법인 것은 이에 유래한다.

바빌로니아 숫자가 십진 표기였기 때문에, 현재도 60진법의 표기에 십진법을 보조적으로 사용하는 예가 일반적이다. 바빌로니아 숫자의 전사에는 십진법의 아라비아 숫자를 사용하고, 소수점에는 세미콜론 (;), 자릿수 구분에는 콤마 (,)를 사용한다^[31]. 예를 들어 2,15;30은

: 2 × 60¹ + 15 × 60⁰ + 30 × 60⁻¹ = 135.5

를 나타낸다.

4. 4. 기타

중국력에서는 십간과 십이지를 조합하여 60년 주기로 날짜나 연도를 표시하는데, 이를 육십갑자라고 한다. 같은 십간과 십이지는 이 주기에서 60단계마다 반복된다.^[5]

플라톤의 저서 『국가』 제8권에는 60⁴ = 12,960,000과 그 약수를 중심으로 한 결혼의 우화가 등장한다. 이 숫자는 육십진법으로 1,0,0,0,0이라는 특히 간단한 표현을 갖는다. 후대 학자들은 이 구절을 설명하기 위해 바빌로니아 수학과 음악 이론을 모두 활용했다.^[5]

서뉴기니의 에카리족은 60진법 수사를 사용한다.^[12]^[13]

YAML 1.1판^[15] 데이터 저장 형식에서는 일반 스칼라 값에 60진법을 지원했으며, 정수^[16]와 부동소수점 숫자^[17] 모두에 대해 공식적으로 명시했다. 그러나 이로 인해 혼란이 발생했는데, 예를 들어 일부 MAC 주소는 60진법으로 인식되어 정수로 로드되는 반면, 다른 주소는 그렇지 않고 문자열로 로드되었다. YAML 1.2에서는 60진법 지원이 제거되었다.^[18]

5. 수 체계

육십진법은 자릿수가 60개인 수 체계이다. 고대 수메르에서 기원하여 바빌로니아로 전해졌으며, 현재도 시간(1시간 = 60분, 1분 = 60초)과 각도(1° = 60′, 1′ = 60″) 측정에 사용되고 있다.

5. 1. 분수

60진법에서 분모가 정규수(2, 3, 5만의 소인수를 갖는 수)인 분수는 유한소수로 표현될 수 있다.^[26] 분모가 60 이하인 이러한 분수는 다음과 같다.

= 0;30	= 0;20	= 0;15
= 0;12	= 0;10	= 0;7,30
= 0;6,40	= 0;6	= 0;5
= 0;4	= 0;3,45	= 0;3,20
= 0;3	= 0;2,30	= 0;2,24
= 0;2,13,20	= 0;2	= 0;1,52,30
= 0;1,40	= 0;1,30	= 0;1,20
= 0;1,15	= 0;1,12	= 0;1,6,40
= 0;1

하지만 정규수가 아닌 수는 더 복잡한 순환소수를 형성한다. 예를 들면 다음과 같다.

= 0;	= 0;	= 0;
= 0;4,	= 0;	= 0;
= 0;	= 0;

(윗줄은 60진법 자릿수 8, 34, 17 등이 무한히 반복됨을 나타낸다)

60에 인접한 두 수인 59와 61이 모두 소수라는 사실은, 한 자리 또는 두 자리의 60진법 자릿수로 반복되는 분수는 분모가 59 또는 61의 정규수 배수일 수밖에 없다는 것을 의미하며, 다른 비정규수는 더 긴 주기로 반복되는 분수를 갖는다는 것을 의미한다.

5. 2. 무리수

무리수는 임의의 위치 기수법(십진법과 육십진법 포함)에서 유한하지도 않고 순환하지도 않는다.

2의 제곱근 즉, 단위 정사각형의 대각선 길이는 고대 바빌로니아 시대(기원전 1900년 – 기원전 1650년) 바빌로니아인들에 의해 1;24,51,10 (1.41421296)으로 근사되었다.^[27] √2 ≈ ...는 무리수이기 때문에 육십진법(또는 어떤 정수 기수법)으로 정확하게 표현할 수 없지만, 그 육십진법 전개는 1;24,51,10,7,46,6,4,44...로 시작한다.

π의 값은 그리스의 수학자이자 과학자인 프톨레마이오스가 3;8,30 (3.141666)으로 사용했다.^[28] 15세기 페르시아의 수학자 자무시드 알 카시는 2π 값을 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50으로 계산하여 아홉 번째 자릿수까지 올바른 값을 얻었다.^[29]^[30] √2와 마찬가지로 2π는 무리수이므로 육십진법으로 정확하게 표현할 수 없다. 그 육십진법 전개는 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35...로 시작한다.

참조

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