이십삼각형

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1. 개요
2. 정이십삼각형
3. 관련 도형
참조

1. 개요

정이십삼각형은 23개의 변과 꼭짓점을 가진 정다각형으로, 슐래플리 기호 {23}으로 나타낸다. 자와 컴퍼스로 작도할 수 없으며, 네우시스 작도나 종이 접기로도 작도할 수 없다. 이는 23이 페르마 소수, 피어폰트 소수, 2 또는 3의 거듭제곱이 아니기 때문이다. 정이십삼각형의 내각의 크기는 약 164.347°이고, 외각의 크기는 약 15.652°이며, 한 변의 길이가 a인 정이십삼각형의 면적은 약 41.8344a²이다.

2. 정이십삼각형

정규 이십삼각형은 슐래플리 기호로 {23}으로 나타낸다.^[1] 정이십삼각형의 한 내각의 크기는 $\frac{3780}{23}$ 도(약 164.347…)°이며, 외각의 크기는 약 15.652…°이다.^[5] 한 변의 길이가 $a$ 인 정이십삼각형의 면적 $A$ 는 다음과 같다.^[1]^[5]

: $A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2$

여기서 $r$ 은 내접원의 반지름(아포테마)이다.^[1]

정규 이십삼각형은 자와 컴퍼스 또는 각의 삼등분으로는 작도가 불가능하다.^[1] 이는 23이 페르마 소수도 아니고 피어폰트 소수도 아니기 때문이다.^[1] 또한, 정규 이십삼각형은 네우시스 작도로도 작도할 수 없는 가장 작은 정규 다각형이다.^[1]

A. Baragar (2002)는 자와 두 개의 노치가 있는 자를 사용하여 정규 23각형을 작도하는 것이 불가능하다는 것을 증명했다.^[2] 그 방법으로 작도 가능한 모든 점이 $\Q$ 위의 체의 탑에 놓여 있으며, $\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$ 이고, 각 단계의 확장의 차수가 2, 3, 5 또는 6인 일련의 중첩된 체임을 증명했다. 만약 정규 p각형을 작도할 수 있다면, $p - 1$ 은 $N$ 을 나누어야 하는데, $p = 23$ 의 경우, $N$ 은 11로 나누어 떨어져야 하므로 불가능하다.^[2]

100각형보다 작은 소수 거듭제곱 정규 다각형 중에서는 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 및 89각형은 네우시스 작도로 작도할 수 없다.^[3] 2014년에 Elliot Benjamin과 Chip Snyder는 정규 십일각형이 네우시스 작도가능하다는 것을 발견했다.^[3]

이십삼각형은 23이 피어폰트 소수도 아니고, 2의 거듭제곱 또는 3의 거듭제곱도 아니기 때문에 종이 접기로도 작도할 수 없다.^[4] 히피아스의 구적법, 아르키메데스 나선 및 기타 보조 곡선을 사용하여 작도할 수 있지만, 이는 모든 정규 다각형에 해당한다.^[5]

$\cos (2\pi/23)$ 의 값은 11차 방정식을 풀어서 거듭제곱근으로 표현된다.^[6]

2. 1. 정이십삼각형의 기하학적 성질

정규 이십삼각형은 슐래플리 기호로 {23}으로 나타낸다.^[1] 정이십삼각형의 한 내각의 크기는

\frac{3780}{23}

도(약 164.347…)°이며, 외각의 크기는 약 15.652…°이다.^[5] 한 변의 길이가

a

인 정이십삼각형의 면적

A

는 다음과 같다.^[1]^[5]

:

A = \frac{23}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{23} = 23r^2 \tan \frac{\pi}{23} \simeq 41.8344\,a^2

여기서

r

은 내접원의 반지름(아포테마)이다.^[1]

정규 이십삼각형은 자와 컴퍼스 또는 각의 삼등분으로는 작도가 불가능하다.^[1] 이는 23이 페르마 소수도 아니고 피어폰트 소수도 아니기 때문이다.^[1] 또한, 정규 이십삼각형은 네우시스 작도로도 작도할 수 없는 가장 작은 정규 다각형이다.^[1]

A. Baragar (2002)는 자와 두 개의 노치가 있는 자를 사용하여 정규 23각형을 작도하는 것이 불가능하다는 것을 증명했다.^[2] 그 방법으로 작도 가능한 모든 점이

\Q

위의 체의 탑에 놓여 있으며,

\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K

이고, 각 단계의 확장의 차수가 2, 3, 5 또는 6인 일련의 중첩된 체임을 증명했다. 만약 정규 p각형을 작도할 수 있다면,

p - 1

은

N

을 나누어야 하는데,

p = 23

의 경우,

N

은 11로 나누어 떨어져야 하므로 불가능하다.^[2]

100각형보다 작은 소수 거듭제곱 정규 다각형 중에서는 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 및 89각형은 네우시스 작도로 작도할 수 없다.^[3] 2014년에 Elliot Benjamin과 Chip Snyder는 정규 십일각형이 네우시스 작도가능하다는 것을 발견했다.^[3]

이십삼각형은 23이 피어폰트 소수도 아니고, 2의 거듭제곱 또는 3의 거듭제곱도 아니기 때문에 종이 접기로도 작도할 수 없다.^[4] 히피아스의 구적법, 아르키메데스 나선 및 기타 보조 곡선을 사용하여 작도할 수 있지만, 이는 모든 정규 다각형에 해당한다.^[5]

\cos (2\pi/23)

의 값은 11차 방정식을 풀어서 거듭제곱근으로 표현된다.^[6]

2. 2. 정이십삼각형의 작도 불가능성

정이십삼각형은 자와 컴퍼스로 작도할 수 없다.^[1] 이는 23이 페르마 소수도 아니고 피어폰트 소수도 아니기 때문이다.^[1] 또한, 정이십삼각형은 네우시스 작도로도 작도할 수 없는 가장 작은 정규 다각형이다.

A. Baragar (2002)는 자와 두 개의 노치가 있는 자를 사용해도 정이십삼각형을 작도할 수 없음을 증명했다.^[2] 그는 작도 가능한 모든 점이

\Q

위의 체의 탑에 놓여 있으며, 각 단계의 확장의 차수가 2, 3, 5 또는 6인 일련의 중첩된 체임을 보였다. 만약 정규 p각형을 작도할 수 있다면,

\zeta_p = e^\frac{2\pi i}{p}

를 작도할 수 있는데, 이는 차수가

p - 1

인 기약 다항식의 근이다.

\zeta_p

는

\Q

위의 차수가

N

인 체

K

에 속하며,

N

을 나누는 소수는 2, 3 및 5뿐이다. 그러나

\Q[\zeta_p]

는

K

의 부분 체이므로,

p - 1

은

N

을 나눈다.

p = 23

의 경우,

N

은 11로 나누어 떨어져야 하므로, 정리 5.1에 따라 작도가 불가능하다.^[2]

100각형보다 작은 소수 거듭제곱 정규 다각형 중에서는 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89각형이 네우시스 작도로 작도할 수 없다.^[2] 2014년에 Elliot Benjamin과 Chip Snyder는 정십일각형이 네우시스 작도가능하다는 것을 발견했지만,^[3] 나머지 25-, 31-, 41-, 61각형의 경우는 아직 미해결 상태이다.^[3]

정이십삼각형은 23이 피어폰트 소수도 아니고, 2의 거듭제곱 또는 3의 거듭제곱도 아니기 때문에 종이 접기로도 작도할 수 없다.^[4] 히피아스의 구적법, 아르키메데스 나선 및 기타 보조 곡선을 사용하면 작도할 수 있지만, 이는 모든 정규 다각형에 해당한다.^[5]

2. 3. cos(2π/23)의 대수적 표현

\cos (2\pi/23)

의 값은 11차 방정식을 풀어서 거듭제곱근으로 표현된다^[6].

z^{11}=1

의 복소수 해 중 하나인

e^{\frac {2\pi}{11}i}

를 σ라고 하면, 10차 다항식에 σ를 대입한 값의 11제곱근 10개(

\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5,\lambda_6,\lambda_7,\lambda_8,\lambda_9,\lambda_{10}

)를 사용하여 나타낼 수 있다.

:

\cos \frac {2\pi}{23} = \frac {\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4+\lambda_5+\lambda_6+\lambda_7+\lambda_8+\lambda_9+\lambda_{10}-1}{22}

:

\lambda_1= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma -625515\sigma^2 -78859\sigma^3 + 740707\sigma^4 + 84370\sigma^5 + 834405\sigma^6 + 98208\sigma^7 + 361900\sigma^8 -56177\sigma^9)}

:

\lambda_2= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^2 -625515\sigma^4 -78859\sigma^6 + 740707\sigma^8 + 84370\sigma^{10} + 834405\sigma + 98208\sigma^3 + 361900\sigma^5 -56177\sigma^7)}

:

\lambda_3= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^3 -625515\sigma^6 -78859\sigma^9 + 740707\sigma + 84370\sigma^4 + 834405\sigma^7 + 98208\sigma^{10} + 361900\sigma^2 -56177\sigma^5)}

:

\lambda_4= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^4 -625515\sigma^8 -78859\sigma + 740707\sigma^5 + 84370\sigma^9 + 834405\sigma^2 + 98208\sigma^6 + 361900\sigma^{10} -56177\sigma^3)}

:

\lambda_5= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^5 -625515\sigma^{10} -78859\sigma^4 + 740707\sigma^9 + 84370\sigma^3 + 834405\sigma^8 + 98208\sigma^2 + 361900\sigma^7 -56177\sigma)}

:

\lambda_6= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^6 -625515\sigma -78859\sigma^7 + 740707\sigma^2 + 84370\sigma^8 + 834405\sigma^3 + 98208\sigma^9 + 361900\sigma^4 -56177\sigma^{10})}

:

\lambda_7= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^7 -625515\sigma^3 -78859\sigma^{10} + 740707\sigma^6 + 84370\sigma^2 + 834405\sigma^9 + 98208\sigma^5 + 361900\sigma -56177\sigma^8)}

:

\lambda_8= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^8 -625515\sigma^5 -78859\sigma^2 + 740707\sigma^{10} + 84370\sigma^7 + 834405\sigma^4 + 98208\sigma + 361900\sigma^9 -56177\sigma^6)}

:

\lambda_9= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^9 -625515\sigma^7 -78859\sigma^5 + 740707\sigma^3 + 84370\sigma + 834405\sigma^{10} + 98208\sigma^8 + 361900\sigma^6 -56177\sigma^4)}

:

\lambda_{10}= \sqrt[11] {23(384812+188298\sigma^{10} -625515\sigma^9 -78859\sigma^8 + 740707\sigma^7 + 84370\sigma^6 + 834405\sigma^5 + 98208\sigma^4 + 361900\sigma^3 -56177\sigma^2)}

3. 관련 도형

정이십삼각형에는 10개의 정규 별 이십삼각형이 있으며, 슐레플리 기호 {23/q}로 표시되며, 2 ≤ q ≤ 11이다.

85px {23/2}	85px {23/3}	85px {23/4}	85px {23/5}	85px {23/6}
85px {23/7}	85px {23/8}	85px {23/9}	85px {23/10}	85px {23/11}

참조

_[1] OEIS Tomahawk-nonconstructible $n$ -gons
_[2] 학술지 Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge 2002
_[3] 학술지 On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass 2014-05
_[4] 간행물 Origami-Constructible Numbers https://getd.libs.ug[...] University of Georgia 2017
_[5] 학술지 The equiangular compass https://www.research[...] 2012-12
_[6] 웹사이트 z^23=1 의 해법 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室 https://ameblo.jp/ti[...]

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