이중 장론

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 초기 연구 (강한 제약 조건)
- 2.2. 헐과 즈비바흐의 확장 (약한 제약 조건)
3. 이론 전개
4. 끈 이론과 이중 장론의 관계
- 4.1. T-쌍대성과 이중 시공간
- 4.2. 끈 이론의 응용
참조

1. 개요

이중 장론은 끈 이론의 T-쌍대성을 명시적으로 구현하기 위해 개발된 이론으로, 1993년 워렌 시걸에 의해 처음 도입되었다. 이 이론은 운동량과 와인딩 모드를 모두 포함하는 이중 시공간을 사용하여 T-쌍대성을 기하학적으로 표현하며, 강한 제약 조건과 약한 제약 조건 두 가지 형태로 발전했다. 이중 장론은 고차원 초중력의 저차원 이론으로의 칼루자-클라인 절단, 일반화된 플럭스, 끈 이론의 알파-프라임 보정 등 끈 이론의 다양한 측면을 연구하는 데 활용된다.

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이중 장론
개요
유형	이론 물리학 프레임워크
분야	끈 이론, 초중력 이론
추가 정보
참고 문헌	https://doi.org/10.1088/0264-9381/30/16/163001 https://doi.org/10.1016/j.physrep.2014.11.007 https://doi.org/10.1007/JHEP08(2010)008 https://doi.org/10.1002/prop.201300024

2. 역사적 배경

이중 장론은 1993년 워런 시걸( Warren Siegel^영어)에 의해 처음으로 도입되었다.^[14]^[15] 이 이론은 끈 이론에서 나타나는 T-쌍대성을 시공간의 대칭성으로 설명하려는 시도에서 비롯되었다. 이중 장론에서는 운동량 모드와 와인딩 모드를 교환하는 T-쌍대 변환이 이중화된 시공간에서의 일반화된 좌표 변환으로 다루어진다. 여기서 좌표의 한 세트는 운동량 모드에, 다른 한 세트는 닫힌 끈의 와인딩 모드에 대응하는 것으로 해석된다.

초기 연구는 강한 제약 조건을 사용하여 장(field)이 이중 좌표 중 한 세트에만 의존하도록 제한했다.^[6]^[7] 이 접근 방식은 초중력 이론을 T-쌍대성에 대해 불변하도록 재구성하는 데 유용했지만, 와인딩 모드는 포함하지 않았다.

2009년 크리스 헐과 바톤 즈비바흐는 약한 제약 조건을 도입하여 이론을 확장했다. 이 조건 하에서는 장이 전체 이중 시공간에 의존할 수 있게 되어, 끈의 운동량 모드와 와인딩 모드를 모두 포함하는 더 일반적인 이론을 구축할 수 있게 되었다.

이중 장론은 고차원 초중력 이론을 저차원 이론으로 일관되게 축소하는 칼루자-클라인 절단,^[9]^[10] 일반화된 플럭스,^[11] 그리고 우주론 및 블랙홀 연구 등 끈 이론의 다양한 분야에서 알파-프라임 보정을 연구하는 데 활용되고 있다.

2. 1. 초기 연구 (강한 제약 조건)

1993년 워런 시걸( Warren Siegel^영어)은 강한 제약 조건을 가진 이중 장론을 도입하였다.^[14]^[15]^[6]^[7] 이 이론에서 강한 제약 조건은 장이 이중 좌표의 한 세트에만 의존하도록 보장한다. 이는 물리적 현상을 기술할 때 운동량 모드에 해당하는 좌표나 와인딩 모드에 해당하는 좌표 중 하나만을 사용하게 됨을 의미한다.

이 강하게 제약된 이중 장론은 닫힌 끈 이론의 질량이 없는 장, 즉 중력자, 칼브-라몽 B-장, 그리고 딜라톤을 설명하는 데 중점을 둔다. 하지만 이 이론은 끈의 와인딩 모드를 명시적으로 포함하지 않는다는 특징이 있다. 이 이론은 초중력의 T-쌍대 불변 재형성으로 작용한다.

2. 2. 헐과 즈비바흐의 확장 (약한 제약 조건)

기존의 이중 장론은 워런 시걸이 제안한 강한 제약 조건 아래에서는 장(field)이 이중 좌표 중 하나의 집합에만 의존하도록 제한되었다.^[6]^[7] 이는 닫힌 끈 이론의 질량이 없는 장들만을 설명하며, 끈의 와인딩 모드는 포함하지 않았다.

2009년, 크리스 헐과 바톤 즈비바흐는 이러한 한계를 넘어서기 위해 약한 제약 조건을 도입하여 이중 장론을 확장했다. 약하게 제약된 이중 장론에서는 장이 전체 이중 시공간에 걸쳐 정의될 수 있다. 이 접근 방식은 끈의 운동량 모드뿐만 아니라 와인딩 모드까지 모두 포함하여 끈 이론의 중요한 특징들을 더 포괄적으로 다룰 수 있게 한다. 즉, 약한 제약 조건은 이중 좌표의 두 번째 세트(와인딩 모드에 해당)에도 물리적 의미를 부여한다.

3. 이론 전개

이중 장론은 일반 상대성 이론을 확장하여 중력을 기술하는 이론으로, 특히 끈 이론의 T-쌍대성과 밀접한 관련이 있다. T-쌍대성은 끈 이론에서 나타나는 중요한 대칭성으로, 특정 차원을 축소할 때 운동량 모드와 감긴(winding) 모드가 서로 교환되는 현상을 설명한다. 이중 장론은 이러한 T-쌍대성 대칭군인 $\operatorname O(d,d)$ 를 시공간 자체의 근본적인 대칭성으로 간주하려는 시도에서 출발한다.

이론의 핵심 아이디어는 시공간의 차원을 $d$ 차원에서 $2d$ 차원으로 두 배로 확장하는 것이다. 이 확장된 시공간 위에서 $\operatorname O(d,d)$ 대칭성이 명확하게 드러나도록 이론을 구성한다. 이 과정에서 일반 상대성 이론의 계량 텐서(중력장)뿐만 아니라, 끈 이론에서 중요한 역할을 하는 캘브-라몽 장(B-field)까지 하나의 통일된 기하학적 구조 안에 포함시킨다.

수학적으로 이중 장론은 필바인과 일반화된 계량 텐서를 사용하여 기술된다. 이들은 특정 리 군 $G=\operatorname O(d,d)$ 와 그 부분군 $H=\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$ 의 동차 공간 $G/H$ 의 원소로 해석될 수 있다. 이 동차 공간의 자유도는 정확히 $d$ 차원 중력장과 $d$ 차원 캘브-라몽 장의 성분 수와 일치한다.

그러나 이론은 $2d$ 차원 공간 위에 정의되므로, 우리가 경험하는 $d$ 차원 물리 세계를 복원하기 위해서는 추가적인 제약 조건이 필요하다. 이를 '''단면 조건'''(section condition^영어)이라고 하며, 이 조건을 통해 물리적으로 의미 있는 해를 선택하고 이론의 자유도를 줄인다. 이중 장론의 작용과 장방정식은 이러한 구조 위에서 정의되며, $\operatorname O(d,d)$ 대칭성을 명시적으로 보존하도록 구성된다.

3. 1. 시공간의 확장

이중 장론에서는 시공간을 기술하는 수학적 구조를 일반 상대성 이론에서 사용하는 것보다 확장된 형태로 다룬다. 이는 시공간의 기하학적 성질을 특정 대칭군(리 군)과 그 부분군을 이용하여 설명하는 방식에 기반한다.

일반적으로,

D

차원의 매끄러운 다양체

M

(우리가 경험하는 시공간을 수학적으로 표현한 것)을 고려할 수 있다. 이 다양체의 각 점에는 접공간이 존재하는데, 이는 그 지점에서의 가능한 모든 방향과 속도를 나타내는 벡터 공간이다. 이 접공간들의 모임인 접다발

\mathrm TM

의 구조는 두 개의 리 군

H

와

G

(여기서

H

는

G

의 부분군)를 통해 설명될 수 있다. 이는 시공간이 국소적으로 어떤 대칭성을 가지는지를 나타낸다.

구체적으로,

M

의 접다발

\mathrm TM

과 어떤 기준 벡터 공간

V

를 연결하는 수학적 대상인 틀(필바인, vielbein)

E

를 정의한다. 이 틀

E

는 다양체 위의 각 점

x

에서 접공간

\mathrm T_xM

의 벡터를 기준 공간

V

의 벡터로 변환시키는 역할을 한다. 국소 좌표를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

E \colon \mathrm TM \to M \times V

:

X^M \mapsto E_M^A X^M

(여기서

M

은 접다발의 지표,

A

는 벡터 공간

V

의 지표)

이 틀

E

와 기준 벡터 공간

V

에 정의된 비퇴화 이차 형식

\eta

(벡터들 사이의 '거리'나 '각도'를 재는 규칙)를 이용하면, 다양체

M

위에 준 리만 계량 텐서

G_{MN}

를 정의할 수 있다. 이 계량 텐서는 시공간의 기하학적 구조, 즉 중력을 나타낸다.

:

G_{MN} = \eta_{AB} E^A_M E^B_N

이론의 중요한 특징 중 하나는 게이지 대칭이다. 틀

E

는

H

군에 속하는 함수

T(x)

에 의해 다음과 같이 변환될 수 있다.

:

E^A{}_M \mapsto T^A{}_B(x) E^B_M

물리적으로 의미가 있는 양들은 이러한 게이지 변환에 대해 변하지 않아야 한다. 예를 들어, 계량 텐서

G_{MN}

는

H

가

\eta

를 보존하는 군(직교군 또는 로런츠 군 등)의 부분군일 경우 게이지 불변이다. 수학적으로, 틀

E

의 각 점에서의 값은 동차 공간

G/H

의 원소로 해석될 수 있다.

이러한 일반적인 틀 안에서 어떤 물리 이론을 다루는지는 군

G

와

H

를 어떻게 선택하느냐에 따라 결정된다. 다음 표는 일반 상대성 이론과 이중 장론을 비교한다.

이론	$G$	$H$	$\dim_{\mathbb R}(G/H)$	물리적 해석
일반 상대성 이론	$\operatorname{GL}(D;\mathbb R)$ (일반선형군)	$\operatorname O(1,D-1)$ (로런츠 군)	$D(D+1)/2$	로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$ (중력장)
이중 장론 ( $D=2d$ )	$\operatorname O(d,d)$ (부정부호 직교군)	$\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$	$d^2$	$d$ 차원 계량 텐서 및 $d$ 차원 2차 미분 형식 (캘브-라몽 장)

일반 상대성 이론은 $D$ 차원 시공간을 다루며, 전체 대칭성은 일반선형군 $\operatorname{GL}(D;\mathbb R)$ 으로, 국소 대칭성은 로런츠 군 $\operatorname O(1,D-1)$ 으로 주어진다. 이 경우 동차 공간 $G/H$ 의 차원( $D(D+1)/2$ )은 대칭적인 계량 텐서 $G_{MN}$ 의 독립적인 성분 수와 일치한다. 즉, 일반 상대성 이론은 시공간의 기하학적 구조인 중력장만을 기본 장으로 다룬다.

반면, 이중 장론은 시공간의 차원을 $D=2d$ 로 두 배로 늘린 확장된 공간을 고려하고, 전체 대칭군으로 부정부호 직교군 $\operatorname O(d,d)$ 를 사용한다. 국소 대칭성을 나타내는 부분군 $H$ 는 두 개의 로런츠 군의 곱 $\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$ 이다. 이 경우 동차 공간 $G/H$ 의 차원은 $d^2$ 이다. 이 $d^2$ 개의 자유도는 물리적으로 두 종류의 장으로 나뉜다.

$d(d+1)/2$ 개의 성분: $d$ 차원 공간의 계량 텐서(중력장)에 해당 (대칭 행렬)
$d(d-1)/2$ 개의 성분: 캘브-라몽 장(B-장)이라고 불리는 2차 미분 형식 장에 해당 (반대칭 행렬)

결과적으로 이중 장론은 일반 상대성 이론의 중력장뿐만 아니라 끈 이론에서 중요한 역할을 하는 캘브-라몽 장까지 통합하여 다루는, 더 확장된 기하학적 구조를 제공한다. 이러한 확장은 끈 이론의 T-쌍대성과 밀접하게 연관된

\operatorname O(d,d)

대칭성을 시공간의 기본 대칭성으로 간주하려는 시도에서 비롯된다. 요약에서 언급된 '와인딩 모드에 해당하는 좌표'는 이

\operatorname O(d,d)

구조를 통해 자연스럽게 나타나는 추가적인 자유도, 즉 캘브-라몽 장과 관련된 자유도를 의미하는 것으로 해석될 수 있다.

3. 2. 필바인과 계량 텐서

필바인

E

는 매끄러운 다양체

M

의 접다발

\mathrm TM

과, 비퇴화 이차 형식

\eta

가 주어진

D

차원 실수 벡터 공간

V

사이의 국소적 동형 사상으로 이해할 수 있다. 이는

\mathrm TM

의 구조군을 어떤 리 군

G

에서 그 부분군

H

로 축소하는 과정에서 정의된다. 지표를 사용하면 필바인은

E^A_M

으로 표기되며, 각 점

x \in M

에서 접벡터

X^M \in \mathrm T_xM

를 벡터 공간

V

의 원소

E_M^A X^M

으로 대응시키는 역할을 한다.

이 필바인

E^A_M

과 벡터 공간의 이차 형식

\eta_{AB}

를 이용하면, 다양체

M

위에 준 리만 다양체 구조, 즉 계량 텐서

G_{MN}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

G_{MN} = \eta_{AB}E^A_ME^B_N

이 계량 텐서의 부호수는

\eta

의 부호수와 동일하다.

필바인에는

H

-게이지 대칭이 적용될 수 있다. 즉,

M

위의 함수

T(x) \in H

에 대해 필바인이 다음과 같이 변환하는 것을 허용한다.

:

E^A{}_M(x) \mapsto T^A{}_B(x) E^B_M(x)

이 변환 하에서 필바인은 물리적으로 동차 공간

G/H

의 원소로 해석될 수 있다. 만약

H

가

\eta

를 보존하는 변환들의 부분군(

H \le \operatorname O(V,\eta)

)이라면, 위에서 정의된 계량 텐서

G_{MN}

는 이 게이지 변환에 대해 불변이다.

이러한 필바인과 계량 텐서의 구성은 다양한 물리 이론에서 나타나며, 특히 일반 상대성 이론과 이중 장론에서 중요한 역할을 한다.

이론	$G$	$H$	$\dim_{\mathbb R}(G/H)$	물리적 해석
일반 상대성 이론 ( $D$ 차원)	$\operatorname{GL}(D;\mathbb R)$	$\operatorname O(1,D-1)$	$D(D+1)/2$	로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$
이중 장론 ( $D=2d$ 차원 다양체)	$\operatorname O(d,d)$	$\operatorname O(1,d-1)\times \operatorname O(1,d-1)$	$d^2$	$d$ 차원 계량 텐서 및 $d$ 차원 캘브-라몽 장 (2차 미분 형식)

일반 상대성 이론에서는 필바인이 동차 공간 $\operatorname{GL}(D)/\operatorname O(1,D-1)$ 의 원소에 해당하며, 이는 $D$ 차원 시공간의 로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$ 를 결정한다.

이중 장론은 $D=2d$ 차원 다양체 $M$ 을 다루며, 이때 필바인은 동차 공간 $\operatorname O(d,d)/(\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1))$ 의 원소이다.^[13] 이 공간의 차원은 $d^2$ 이며, 이는 $d \times d$ 대칭 행렬(중력장) 성분( $d(d+1)/2$ 개)과 $d \times d$ 반대칭 행렬(캘브-라몽 장) 성분( $d(d-1)/2$ 개)의 수를 합한 것과 같다. 즉, 이중 장론의 필바인 $E^A_M$ 으로부터 정의되는 계량 텐서 $G_{MN} = \eta_{AB}E_M^AE_N^B$ 는 물리적으로 $d$ 차원 중력장과 $d$ 차원 캘브-라몽 장을 통합적으로 나타낸다.

계산의 편의를 위해, $\operatorname O(d,d)$ 군의 정의에 사용되는 이차 형식 $\eta_{AB}$ 를 다음과 같은 블록 행렬 형태로 나타내는 게이지를 선택하는 경우가 많다.

: $\eta = \begin{pmatrix} 0 & 1_{d\times d} \\ 1_{d\times d} & 0 \end{pmatrix}$

이러한 게이지에서 $\operatorname O(d,d)$ 군의 원소는 $d \times d$ 중력장 $g$ 와 캘브-라몽 장 $b$ 를 이용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $H^N{}_P = \begin{pmatrix} g^{-1} & -g^{-1}b \\ bg^{-1} & g - b g^{-1} b \end{pmatrix} \in \operatorname O(d,d)$

이중 장론의 필바인 $E$ 는 구체적으로 $\operatorname O(d,d)$ 군의 원소인 대표원 $E^A_M$ 으로 표현될 수 있으며, 이는 국소 로런츠 군 $\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$ 에 해당하는 게이지 변환을 겪는다.

: $E^A_M \mapsto L^A{}_BE^A_M\qquad(L^A{}_B \in\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1))$

여기서 $A,B$ 등은 $d+d$ 차원 벡터 공간 $V$ 의 지표(필바인 지표)이다. 이 필바인과 $\operatorname O(d,d)$ 불변 이차 형식 $\eta_{AB}$ 를 통해 정의된 계량 텐서 $G_{MN} = \eta_{AB}E^A_M E^B_N$ 는 앞서 언급했듯이 게이지 불변이다.

필바인이 주어지면, '''일반화 바이첸뵈크 접속'''(generalized Weitzenböck connection^영어) $\Omega_{ABC}$ 이라는 양을 다음과 같이 정의할 수 있다.^[13]

: $\Omega_{ABC} = -\Omega_{ACB} = E_A{}^M\partial_M(E_B{}^NE_C{}^P\eta_{PN})$

하지만 이중 장론의 시공간에서는 일반 상대성 이론에서처럼 레비치비타 접속과 같이 물리적으로 유일하게 결정되는 코쥘 접속을 정의하기 어렵다. $\eta$ 및 $H$ 와 호환되는 접속을 도입할 수는 있지만, 그 접속의 일부 성분들은 물리 법칙만으로는 결정되지 않아 임의의 선택이 필요하다. 이는 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과의 차이점이며, 리만 곡률과 같은 기하학적 양들의 계산에도 영향을 미친다.^[13]

3. 3. 게이지 대칭과 동차 공간

일반적으로,

D

차원 실수 벡터 공간

V

와 그 위의 비퇴화 이차 형식

\eta

, 그리고 두 리 군

H \le G \le \operatorname{GL}(V;\mathbb R)

를 생각할 수 있다. 이때

H

는

\eta

를 보존하는 변환들의 부분군, 즉

\operatorname O(V,\eta)

의 부분군이라고 가정한다. 또한

D

차원 매끄러운 다양체

M

의 접다발

\mathrm TM

이

G

를 구조군으로 가지며, 이 구조가 다시 부분군

H

로 축소 가능하다고 가정한다. 이는

H

-주다발

F_H

와 벡터 다발 동형 사상

E\colon F_H\times_HV \to \mathrm TM

이 존재함을 의미한다. 이

E

는 종종 필바인 또는 피어바인과 유사한 역할을 한다.

M

의 접다발 지표(좌표 지표)를

M,N,\dotsc

,

V

의 지표(국소 관성계 지표 또는 필바인 지표)를

A,B,\dotsc

로 표기하면,

E

는 각 점

x \in M

에서 국소적으로 선형 변환

E^A_M(x)

으로 표현된다. 이는 각 점의 접공간

\mathrm T_xM

에서 벡터 공간

V

로 가는 사상이다.

:

\mathrm T_xM \to V

:

X^M \mapsto E_M^AX^M

이 필바인

E

를 이용하여

M

위에 준 리만 다양체 구조, 즉 계량 텐서

G_{MN}

를 다음과 같이 정의할 수 있다. 이 계량 텐서의 부호수는

V

에 주어진 이차 형식

\eta

의 부호수와 같다.

:

G_{MN} = \eta_{AB}E^A_ME^B_N

이제 필바인

E

에 다음과 같은

H

-게이지 대칭을 부여한다. 이는 국소적으로

H

군의 원소

T(x)

를 이용한 변환이다.

:

E^A{}_M(x) \mapsto T^A{}_B(x) E^B_M(x) \qquad (T(x) \in H)

이러한 게이지 대칭 하에서, 필바인

E

는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

\frac GH

의 원소를 나타낸다고 해석할 수 있다.

H

가

\eta

를 보존하는 변환들의 부분군(

H \le \operatorname O(V,\eta)

)이므로, 위에서 정의한 계량 텐서

G_{MN}

는 이

H

-게이지 변환에 대해 불변이다.

이러한 수학적 구성은 물리 이론에서 중요한 역할을 하며, 대표적인 예시는 다음과 같다.

이론	$G$	$H$	동차 공간 $G/H$ 의 차원	물리적 해석 (동차 공간의 원소)
일반 상대성 이론	$\operatorname{GL}(D;\mathbb R)$ (일반 선형 군)	$\operatorname O(1,D-1)$ (로런츠 군)	$D(D+1)/2$	로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$
이중 장론 ( $D=2d$ )	$\operatorname O(d,d)$ (직교군)	$\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$	$d^2$	$d$ 차원 계량 텐서 및 $d$ 차원 B-장 (2차 미분 형식)

일반 상대성 이론의 경우, 동차 공간 $G/H=\operatorname{GL}(D)/\operatorname O(1,D-1)$ 의 원소는 $D$ 차원 시공간의 필바인에 해당한다. 이는 $D(D+1)/2$ 개의 독립적인 성분을 가지며, 물리적으로 로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$ 를 결정한다.

반면, 이중 장론에서는 동차 공간 $G/H=\operatorname O(d,d)/\left(\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)\right)$ 를 다룬다. 이 공간의 차원은 $d^2$ 이다. 이는 $d\times d$ 대칭 행렬로 표현되는 중력장(계량 텐서)의 성분 $d(d+1)/2$ 개와 $d\times d$ 반대칭 행렬로 표현되는 캘브-라몽 장(B-field)의 성분 $d(d-1)/2$ 개의 합과 같다 ( $d(d+1)/2 + d(d-1)/2 = d^2$ ).

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 이중 장론에서도 필바인 $E$ 를 도입할 수 있다.^[13] 이 필바인은 동차 공간

: $E \in \frac{\operatorname O(d,d)}{\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)}$

의 원소로 기술된다. 여기서 분모의 $\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)$ 은 $\operatorname O(d,d)$ 군 내에서 두 개의 $\operatorname O(1,d-1)$ 블록으로 구성된 부분군을 의미하며, 이는 국소 로런츠 변환에 해당한다.

구체적으로, 필바인은 $\operatorname O(d,d)$ 행렬 $E^A_M$ 으로 표현되며, 다음과 같은 국소 로런츠 게이지 변환을 따른다.

: $E^A_M \mapsto L^A{}_B E^B_M\qquad(L^A{}_B \in\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1))$

여기서 $A,B,\dotsc$ 는 $2d$ 차원의 평탄한(flat) 필바인 지표를 나타낸다. 이 필바인을 사용하여 이중 장론의 일반화된 계량 텐서 $H_{MN}$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $H_{MN} = E^A{}_M H_{AB} E^B{}_N$

여기서 $H_{AB}$ 는 $\operatorname O(d,d)$ 군의 작용에 대해 불변인 상수 계량 텐서(예: $\begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}$ 형태)이다. 이 $H_{MN}$ 은 일반 상대성 이론의 계량 텐서와 유사한 역할을 하지만, $\operatorname O(d,d)$ 대칭성을 내재하고 있다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 '''일반화 바이첸뵈크 접속'''(generalized Weitzenböck connection^영어)을 정의할 수 있다.^[13]

: $\Omega_{ABC} = -\Omega_{ACB} = E_A{}^M\partial_M(E_B{}^NE_C{}^P\eta_{PN})$

3. 4. 계량의 분해 (O(d,d) 게이지)

이중 장론의 구성에서

G=\operatorname O(d,d)

이고

H=\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1)

인 경우, 물리적으로 의미 있는 자유도는 동차 공간

G/H=\operatorname O(d,d)/(\operatorname O(1,d-1)\times\operatorname O(1,d-1))

의 원소로 표현된다. 이 공간의 차원은

d^2

이며, 이는

d

차원 중력장(

d\times d

대칭 행렬)과

d

차원 캘브-라몽 장(

d\times d

반대칭 행렬)의 성분 수와 같다.

필바인에 해당하는

E_M^A

를 이용하여 다음과 같이

\operatorname O(d,d)

계량 텐서

G_{MN}

를 정의할 수 있다.

:

G_{MN} = \eta_{AB}E_M^AE_N^B

여기서

\eta_{AB}

는

\operatorname O(d,d)

군을 정의하는 비퇴화 이차 형식이다. 이 계량 텐서

G_{MN}

는 물리적으로 중력장과 캘브-라몽 장의 정보를 담고 있다.

계산을 편리하게 하기 위해,

\eta_{AB}

를 다음과 같은 블록 행렬 형태로 만드는 특정 게이지를 선택할 수 있다.

:

\eta = \begin{pmatrix}0 & 1_{d\times d} \\1_{d\times d} & 0\end{pmatrix}

이러한 형태의

\eta

는 벡터 공간

V

를 두 개의

d

차원 부분 공간

V_+

와

V_-

의 직합으로 분해하는 것을 의미한다.

:

V = V_+ \oplus V_-

:

\dim V_+ = \dim V_- = d

이 분해는

\eta

를 통해

V_\pm

와 그 쌍대 공간

V_\mp^*

사이의 동형 사상

\eta_\pm\colon V_\pm \to V_\mp^*

를 정의한다.

벡터 공간

V

는 매끄러운 다양체

M

의 각 점에서의 접공간

\mathrm T_xM

의 국소적 모델이므로, 위와 같은 게이지 선택은 각 점의 접공간 또한 유사하게 분해시킨다.

:

\mathrm TM = \mathrm T^+M\oplus \mathrm T^-M

이러한 게이지 조건 하에서,

\operatorname O(d,d)

군의 원소인 일반화된 계량 텐서

H^N{}_P

는 다음과 같이

d

차원 중력장

g

와 캘브-라몽 장

b

(2차 미분 형식)로 구체적으로 표현될 수 있다.

:

H^N{}_P \in \operatorname O(d,d)

:

\eta_{MN}H^N{}_P = \begin{pmatrix}g^{-1} & -g^{-1}b \\bg^{-1} & g - b g^{-1} b\end{pmatrix}

여기서

g

는

d \times d

대칭 행렬이고,

b

는

d \times d

반대칭 행렬이다. 이 행렬이

\operatorname O(d,d)

의 원소라는 조건(

H^T \eta H = \eta

)을 만족함은 계산을 통해 확인할 수 있다.

3. 5. 일반화 바이첸뵈크 접속

일반 상대성 이론에서와 같이, 필바인을 도입할 수 있다.^[13] 필바인은 특정 동차 공간의 원소로 볼 수 있으며, 대표원

E^A_M \in \operatorname O(d,d)

으로 표현된다. 이 대표원은 특정 게이지 변환을 겪으며, 이에 대응하는 리만 계량 텐서는 다음과 같이 정의된다.

:

H_{MN} = E^A{}_MH_{AB}E^B{}_N

필바인이 주어졌을 때, 다음과 같은 '''일반화 바이첸뵈크 접속'''(generalized Weitzenböck connection^영어)을 정의할 수 있다.^[13]

:

\Omega_{ABC} = -\Omega_{ACB} = E_A{}^M\partial_M(E_B{}^NE_C{}^P\eta_{PN})

3. 6. 작용과 장방정식

이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.^[13]

:

S = \int\mathrm d^{2D}x\,\exp(-2\phi)(S_1+S_2)

여기서 각 항은 다음과 같다.

:

S_1 = 9\Omega_{[ABC]}\Omega_{[DEF]}\left( \frac14H^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF} -\frac1{12}H^{AD}H^{BE}H^{CF} -\frac16\eta^{AD}\eta^{BE}\eta^{CF} \right) + \exp(2\phi)(\eta^{AB}-H^{AB})

:

S_2 = F_AF_B(\eta^{AB}-H^{AB})

:

F_A = \eta^{BC}\Omega_{BCA} + 2E_A{}^M\partial_M\phi

위 식에서

\phi

는 딜라톤 스칼라장이다. 이 작용은

M

위의,

\operatorname O(d,d)

구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

3. 7. 단면 조건

M

위의 장들은

2d

차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은

d

차원이므로, 올바른 수의 물리적 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 '''단면 조건'''(section condition^영어)이라고 하며, 스칼라장

\Phi

에 대하여 다음과 같은 꼴이다.^[13]

:

\eta^{MN}\partial_M\partial_N\Phi = 0

4. 끈 이론과 이중 장론의 관계

이중 장론은 끈 이론, 특히 닫힌 끈 이론에서 나타나는 T-쌍대성이라는 중요한 대칭성을 설명하기 위해 개발된 이론적 틀이다. T-쌍대성은 특정 배경 공간(토러스 등) 위에서 끈의 운동량 모드와 와인딩 모드를 서로 교환해도 물리 법칙이 변하지 않는 현상을 말한다. 이중 장론은 이러한 T-쌍대성을 이론 내에 명시적으로 구현하기 위해, 기존의 시공간을 확장한 이중 시공간 개념을 도입한다.^[6]^[7]

이중 시공간에서는 일반적인 좌표 외에 와인딩 모드에 해당하는 추가적인 좌표를 고려한다. 닫힌 끈의 물리적 상태를 결정하는 레벨 일치 조건을 어떻게 부과하느냐에 따라(강한 제약 조건 또는 약한 제약 조건), 이 추가 좌표의 물리적 의미와 이론의 형태가 달라진다. 강한 제약 조건 하에서는 이중 장론이 기존의 초중력 이론을 T-쌍대성이 명확히 드러나도록 재구성한 형태에 가까워지는 반면, 약한 제약 조건 하에서는 운동량 모드와 와인딩 모드를 모두 동등하게 다룰 수 있는 가능성을 열어준다.

이러한 이론적 배경을 바탕으로 이중 장론은 끈 이론의 다양한 측면을 탐구하는 데 유용하게 활용된다. 예를 들어, 고차원 이론을 저차원으로 축소하는 칼루자-클라인 절단 문제^[9]^[10], 끈 이론의 플럭스 배경 연구^[11], 그리고 우주론이나 블랙홀 물리학과 관련된 알파-프라임(α') 보정 효과 연구 등에 응용되고 있다.

4. 1. T-쌍대성과 이중 시공간

이중 장론은 토러스 배경 위에서 닫힌 끈의 운동량 모드와 와인딩 모드를 서로 교환하는 T-쌍대성 변환을 명시적으로 구현하는 이론이다. 이 이론에서 T-쌍대 변환은 이중 시공간에서의 일반화된 좌표 변환으로 나타난다. 이중 시공간의 좌표 중 한 세트는 운동량 모드에 쌍대되고, 다른 한 세트는 와인딩 모드에 쌍대되는 것으로 해석된다. 와인딩 모드에 해당하는 좌표 세트가 물리적인 의미를 가지는지는, 닫힌 끈의 레벨 일치 조건을 이론 내에서 어떻게 구현하는지에 따라 결정된다. 이는 약한 제약 조건 또는 강한 제약 조건을 통해 이루어진다.

1993년 워렌 시겔이 제안한 강하게 제약된 이중 장론에서는, 강한 제약 조건으로 인해 장(field)들이 이중 좌표 중 오직 한 세트에만 의존하게 된다.^[6]^[7] 이 이론은 닫힌 끈 이론에서 질량이 없는 장들, 즉 중력자, 칼브-라몽 B-장, 그리고 딜라톤을 설명한다. 그러나 와인딩 모드를 직접 포함하지는 않으며, 초중력 이론을 T-쌍대성이 명확히 드러나도록 재구성한 형태로 볼 수 있다.

반면, 2009년 크리스 헐과 바톤 즈비바흐가 도입한 약하게 제약된 이중 장론은 장들이 전체 이중 시공간에 의존하는 것을 허용한다. 따라서 이 이론은 끈의 실제 운동량 모드와 와인딩 모드를 모두 포함하여 기술할 수 있다.

이중 장론은 다음과 같은 다양한 끈 이론의 특성을 연구하는 데 활용되었다.

고차원 초중력 이론을 저차원 이론으로 축소하는 일관된 칼루자-클라인 절단 방법 연구^[9]^[10]
일반화된 플럭스 연구^[11]
우주론 및 블랙홀과 관련된 맥락에서 끈 이론의 알파-프라임 보정 효과 연구

4. 2. 끈 이론의 응용

이중 장론에서는 토러스 배경 위에서 운동량 모드와 와인딩 모드를 교환하는 T-쌍대 변환을 이중 시공간에서의 일반화된 좌표 변환으로 해석한다. 이 이중 시공간의 좌표 중 한 세트는 운동량 모드에, 다른 한 세트는 닫힌 끈의 와인딩 모드에 대응하는 것으로 본다. 두 번째 좌표 세트가 물리적 의미를 가지는지는 닫힌 끈의 레벨 일치 조건을 어떻게 구현하는지에 따라 달라지는데, 약한 제약 조건 또는 강한 제약 조건을 통해 구현될 수 있다.

1993년 워렌 시겔이 도입한 강하게 제약된 이중 장론에서는 강한 제약 조건으로 인해 장(field)들이 이중 좌표 중 한 세트에만 의존하게 된다.^[6]^[7] 이 이론은 닫힌 끈 이론의 질량이 없는 장인 중력자, 칼브-라몽 B-장, 딜라톤을 설명하지만, 와인딩 모드는 포함하지 않는다. 주로 초중력 이론을 T-쌍대성에 대해 불변하도록 재구성하는 역할을 한다.

반면, 2009년 크리스 헐과 바톤 즈비바흐가 도입한 약하게 제약된 이중 장론은 장들이 전체 이중 시공간에 의존하는 것을 허용한다. 따라서 이 이론은 끈의 실제 운동량 모드와 와인딩 모드를 모두 포함하여 설명할 수 있다.

이중 장론은 다양한 끈 이론의 특성을 연구하는 데 활용되고 있다. 예를 들어, 고차원 초중력 이론을 저차원 이론으로 일관성 있게 축소하는 칼루자-클라인 절단^[9]^[10], 일반화된 플럭스^[11], 그리고 우주론이나 블랙홀과 관련된 끈 이론의 알파-프라임(α') 보정 등을 연구하는 데 사용된다.

참조

_[1] 논문 Double field theory: a pedagogical review 2013-08-21
_[2] 논문 Duality symmetric string and M-theory 2015-03
_[3] 논문 Generalized metric formulation of double field theory 2010-08
_[4] 논문 The spacetime of double field theory: Review, remarks, and outlook 2013-10
_[5] 서적 Strings and Fundamental Physics Springer 2012
_[6] 논문 Two-vierbein formalism for string-inspired axionic gravity 1993-06-15
_[7] 논문 Superspace duality in low-energy superstrings 1993-09-15
_[8] 논문 Double field theory 2009-09-23
_[9] 논문 Consistent Pauli reduction on group manifolds 2016-01
_[10] 논문 Consistent truncations and dualities https://link.springe[...] 2023-04-03
_[11] 논문 Exploring double field theory 2013-06
_[12] 논문 Doubled α ′-geometry 2014-02
_[13] 논문 Double field theory: a pedagogical review 2013
_[14] 논문 Superspace duality in low-energy superstrings 1993
_[15] 논문 Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity 1993

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