레비치비타 접속

3. 정의 및 성질

일반화 리만 다양체(리만 다양체 또는 유사 리만 다양체) $(M,g)$에서 '''레비치비타 접속''' $\backslash nabla$은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 아핀 접속이다.

• (계량 텐서와의 호환성) $\backslash nabla\; g=0$.
• (비틀림의 부재) 임의의 벡터장 $X$와 $Y$에 대하여, $\backslash nabla\_XY-\backslash nabla\_YX=[X,Y]$. 여기서 $[\backslash cdot,\backslash cdot]$은 리 괄호이다.

4. 리만 기하학의 기본 정리

리만 다양체 또는 유사 리만 다양체 $(M,g)$에서, 레비치비타 접속 $\backslash nabla$은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 아핀 접속이다.

• (계량 텐서와의 호환성) $\backslash nabla\; g=0$.
• (비틀림의 부재) 임의의 벡터장 $X$와 $Y$에 대하여, $\backslash nabla\_XY-\backslash nabla\_YX=[X,Y]$. 여기서 $[\backslash cdot,\backslash cdot]$은 리 괄호이다.

5. 평행 이동

레비-치비타 접속은 곡선을 따라 벡터장을 평행하게 이동시키는 방법을 제공한다. 이는 접공간 사이의 선형 동형 사상이며, 계량을 보존한다.

레비-치비타 접속에 따른 곡선에 대한 평행 이동은 곡선상의 점에서의 접선 공간 사이의 동형 사상을 정의한다. 만약 접속이 레비-치비타 접속이라면, 이 동형 사상은 직교군 – 즉, 다양한 접선 공간에서의 내적을 보존한다.

평행 이동은 경로에 따라 결과가 달라질 수 있는데, 이러한 현상을 '''홀로노미'''(holonomy^영어)라고 한다.^[25] 예를 들어, 구면 위의 한 점에서 시작하여 대원을 따라 벡터를 평행 이동시키면, 원래 위치로 돌아왔을 때 벡터의 방향이 달라질 수 있다.

6. 측지선

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 곡선 $c(t)$에 대해, 다음의 '''측지선 방정식'''을 항등적으로 만족하는 것을 '''측지선'''이라고 한다.^[33]

:$\{\backslash nabla\; \backslash over\; dt\}\{d\; \backslash over\; dt\}c(t)=0$

2계 미분은 물리적으로 가속도이므로, 측지선은 가속도가 항등적으로 0인 곡선, 즉 유클리드 공간에서의 직선을 일반화한 개념으로 볼 수 있다.

리만 다양체 위의 곡선에서 호의 길이 매개변수에 대한 "2계 미분"의 길이

:$\backslash left\backslash |\{\backslash nabla\; \backslash over\; ds\}\{d\; c\backslash over\; ds\}\backslash right\backslash |$

을 $c(s)$의 '''측지선 곡률'''(geodesic curvature)^[34], 또는 단순히 '''곡률'''(curvature)이라고 한다. 따라서 측지선은 곡률이 0인 곡선이라고 바꿔 말할 수 있다.

상미분 방정식의 국소해의 존재와 유일성에 따라, 점 $P\; \backslash in\; M$에서의 접벡터 $v\backslash in\; T\_PM$에 대해 어떤 $\backslash varepsilon\; >\; 0$가 존재하여 다음을 만족하는 측지선 $c(t)$가 $(-\backslash varepsilon,\backslash varepsilon)$ 상에서 유일하게 존재한다.

:$c(0)=P$, $\backslash tfrac\{dc\}\{dt\}(0)=v$

이 측지선을 $\backslash exp(tv)$라고 쓴다.

하지만 측지선은 임의의 길이로 연장할 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 $\backslash mathbb\{R\}^2\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$(에 통상의 유클리드 공간으로서의 계량을 넣은 공간)에서, 측지선 $c(t)=(1-t,0)$는 까지만 연장할 수 있다. 임의의 측지선을 얼마든지 연장할 수 있을 때, 리만 다양체는 '''측지선 완비'''라고 한다.^[35]

측지선이 $\backslash mathbb\{R\}$ 전체로 확장할 수 있는지에 관해서는 다음과 같은 정리가 알려져 있다.

측지선의 개념은 완전히 다른 관점에서 특징지을 수도 있다. 이를 나타내기 위해 몇 가지 기호를 도입한다. $(M,g)$를 리만 다양체, $\backslash nabla$를 $(M,g)$ 위의 레비치비타 접속으로 한다. $U\backslash subset\; M\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^m$을 $M$의 국소 좌표로 한다. 이하 $U$ 위에서만 논의하며, 논의를 간단하게 하기 위해 $U$를 $\backslash mathbb\{R\}^m$의 부분 집합과 동일시한다.

$U$ 위의 매끄러운 곡선 $P(t)$의 좌표 표현을 $x~:~[a,b]\; \backslash to\; U\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^m$, $P(t)=x(t)=(x^1(t),\backslash ldots,x^m(t))$로 한다. 또한 $\backslash eta~:~[a,b]\; \backslash to\; U\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^m$를 $\backslash eta(a)=\backslash eta(b)=0$을 만족하는 매끄러운 사상이라 하고, $\backslash varepsilon>0$에 대해 곡선

:$x\_\{\backslash varepsilon,\; \backslash eta\}(t):=x(t)+\backslash varepsilon\; \backslash eta(t)$

을 생각한다. 여기서 합과 상수 배는 $x(t)$, $\backslash eta(t)$를 $\backslash mathbb\{R\}^m$의 원으로 볼 때의 합과 상수 배이다.

그리고,

:$L(x,v):=\backslash sqrt\{g\_x(v,v)\}$

로 정의하고 호의 길이 적분

:$S\_\{x,\backslash eta\}(\backslash varepsilon):=\backslash int\_a^b\; L\backslash left(x\_\{\backslash varepsilon,\backslash eta\}(t),\backslash tfrac\{d\; x\_\{\backslash varepsilon,\backslash eta\}\}\{dt\}(t)\backslash right)dt$

을 생각한다. "정류 곡선"은 직관적으로 매끄러운 곡선 전체의 공간에서 "미분"이 0이 된다는 것이다.

변분법의 일반적인 논의로부터 다음이 성립한다.

\right)

=\frac{\partial L}{\partial x_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)

for $j=1,\backslash ldots,m$}}

곡선 $x(t)$의 호의 길이

:$s=\backslash int\_a^t\; \backslash sqrt\{g\_x\backslash left(\{dx\backslash over\; dt\},\{dx\backslash over\; dt\}\backslash right)\}dt$

에 의해 $x(t)$를 매개변수화하는 것을 '''호의 길이 매개변수''' 표시라고 한다. 사실 다음이 성립한다.

\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)

=

\frac{\partial }{\partial v_{\ell}}\sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}

=

{1 \over \sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}}g_{i\ell}\dot{x}^i

=

g_{i\ell}

{dx^i \over ds}



에서,

:$$

{d\over dt}\frac{\partial L}{\partial v_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)

=

{ds \over dt}{d \over ds}\left(

g_{i\ell}{dx^i \over ds}

\right)

=

{ds \over dt}

\left(

{\partial g_{i\ell} \over \partial x^j}

{dx^i \over ds}

{dx^j \over ds}

+

g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}

\right)



이다. 한편 우변은

:$$

\frac{\partial L}{\partial x_{\ell}}\left(x(t), \frac{d x}{dt}(t)\right)

=

{1 \over 2\sqrt{g(\dot{x},\dot{x})}}

{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}\dot{x}^j\dot{x}^k

=

{1 \over 2}

{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}

{dx^j \over ds}

{dx^k \over ds}

{ds \over dt}



이다. 따라서 양변을 비교함으로써,

:$$

{\partial g_{i\ell} \over \partial x^j}

{dx^i \over ds}{dx^j \over ds}

+

g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}

=

{1\over 2}

{\partial g_{jk}\over \partial x^{\ell}}

{dx^j \over ds}

{dx^k \over ds}



좌변 첫 번째 항의 첨자를 k로 대체하여 정리하면,

:$$

g_{i\ell}{d^2x^i \over ds^2}

+

{1\over 2}

\left(

{2\partial g_{k\ell} \over \partial x^j}

7. 곡률

curvature tensor^영어는 다양체의 "굽어진 정도"를 측정하는 텐서로, 레비치비타 접속 $\nabla$에 대해 다음과 같이 정의된다.^[45]

:$R(X,Y)Z\; :=\; \backslash nabla\_X\backslash nabla\_YZ\; -\; \backslash nabla\_Y\backslash nabla\_XZ\; -\; \backslash nabla\_\{[X,Y]\}Z$

여기서 $[X,Y]$는 벡터장의 Lie bracket이다. R은 X, Y, Z에 대해 $C^\{\backslash infty\}(M)$-선형이므로, 각 점 P에서

:$R\_P~:~(X,Y,Z)\; \backslash in\; T\_PM\; \backslash times\; T\_PM\; \backslash times\; T\_PM\; \backslash mapsto\; R(X,Y)Z\; \backslash in\; T\_PM$

인 텐서로 볼 수 있다.

곡률 텐서는 다음과 같은 성질을 만족한다.^[47]

• $g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)$
• $g(R(X,Y)Z,W)=g(R(Z,W)X,Y)$
• '''비앙키 제1 항등식'''：$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
• '''비앙키 제2 항등식'''^[48]：$(\backslash nabla\_XR)(Y,Z)+(\backslash nabla\_YR)(Z,X)+(\backslash nabla\_ZR)(X,Y)=0$

• {\partial \Gamma^i{}_{k j} \over \partial x^{\ell}}

• \Gamma^i{}_{\ell m}\Gamma^m{}_{k j}

• {\partial \over \partial x^j}{\partial \over \partial x^k}g_{i\ell}
• {\partial \over \partial x^i}{\partial \over \partial x^{\ell}}g_{jk}\Big)

• '''단면 곡률'''(sectional curvature): 점 P에서 v, w에 관한 단면 곡률은 다음과 같이 정의된다.^[53]

• '''리치 곡률'''(Ricci curvature): 점 P에서 v, w에 관한 리치 곡률은 다음과 같이 정의된다.^[54]

• '''스칼라 곡률'''(scalar curvature): 점 P에서의 스칼라 곡률은 다음과 같이 정의된다.^[54]

8. 텐서의 공변 미분

레비치비타 접속을 이용하면 벡터장뿐만 아니라 일반적인 텐서장에 대해서도 공변 미분을 정의할 수 있다. 텐서장의 공변 미분은 라이프니츠 규칙을 만족하도록 정의된다.^[57] 2차 공변 미분은 두 번의 공변 미분을 합성하여 얻어지며, 리치의 공식을 통해 곡률 텐서와 관련된다.^{[59][63][64][65]}

1-형식 의 '''공변 미분'''은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash nabla\_X\; \backslash alpha\; :=\; (\backslash nabla\_X\; \backslash alpha^\{\backslash sharp\})^\{\backslash flat\}$

여기서 $X$는 위의 벡터장이다. 그러면 위의 벡터장 $Y$에 대해 라이프니츠 규칙

:$X(\backslash alpha(Y))\; =\; (\backslash nabla\_X\; \backslash alpha)(Y)\; +\; \backslash alpha(\backslash nabla\_XY)$

이 성립하고, 국소 좌표 $(x^1,\backslash ldots,x^m)$로 쓰면,

:$\backslash nabla\_X\; \backslash alpha=\backslash left(X^j\{\backslash partial\; \backslash alpha\_k\; \backslash over\; \backslash partial\; x^j\}$

• \alpha_i X^j \Gamma^i_{jk}\right)dx^k

• $\backslash nabla^2\_\{X,Y\}\; f\; -\; \backslash nabla^2\_\{Y,X\}\; f\; =\; 0$
• $\backslash nabla^2\_\{X,Y\}\; Z\; -\; \backslash nabla^2\_\{Y,X\}\; Z\; =\; R(X,Y)Z$
• $(\backslash nabla^2\_\{X,Y\}\; \backslash alpha\; -\; \backslash nabla^2\_\{Y,X\}\; \backslash alpha)Z\; =\; -\backslash alpha(R(X,Y)Z)$

9. 리만 다양체 위의 벡터 해석

기울기, 발산, 라플라시안 등 유클리드 공간에서의 벡터 해석 연산자들을 리만 다양체 위로 일반화할 수 있다.

리만 다양체 위의 벡터 해석을 위해 호지 작용소와 여미분을 정의한다. 을 의 차원이라고 하고, 이 가향 가능할 때, 위에 리만 계량 로부터 정해지는 체적 형식을 라고 한다. 미분 형식 $\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash wedge^k\; T^*M$에 대해, $*\backslash alpha\; \backslash in\; \backslash wedge^\{m-k\}\; T^*M$는 $\backslash alpha\backslash wedge\; \backslash beta$

= \langle *\alpha,\beta\rangle dV 가 임의의 $\backslash beta\; \backslash in\; \backslash wedge^\{m-k\}\; T^*M$에 대하여 성립한다. $*\backslash alpha$를 의 '''호지 쌍대'''라고 하며, 에 $*\backslash alpha$를 대응시키는 작용소 "$*$"를 '''호지 작용소'''라고 한다^[68]。

의 '''여미분'''은

: $\backslash delta\backslash alpha\; :=\; (-1)^\{m(i+1)+1\}*d*\backslash alpha$

으로 정의된다^[69]。 여기서 는 외미분이다.

외미분 및 여미분은 레비-치비타 접속에 의한 공변 미분과 관련이 있다. $e\_1,\backslash ldots,e\_m$을 의 국소적인 정규 직교 기저라고 하고, $\backslash theta^1,\backslash ldots,\backslash theta^m$을 그 쌍대 기저라고 할 때, 임의의 미분 형식 에 대해 다음이 성립한다^[70]：

• $d\backslash alpha\; =\; \backslash theta^i\; \backslash wedge\; \backslash nabla\_\{e\_i\}\backslash alpha$
• $\backslash delta\; \backslash alpha\; =\; -\; \backslash sum\_i\; \backslash iota\_\{e\_i\}\backslash nabla\_\{e\_i\}\backslash alpha$