인식 논리

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 인식의 구조화 방법
- 3.1. 논리적 방법
- 3.2. 확률론적 방법
4. 표준 가능세계 모델
- 4.1. 구문론 (Syntax)
- 4.2. 의미론 (Semantics)
5. 지식의 속성 (S5 속성)
6. 공리계 (Axiom Systems)
7. 다중 에이전트 시스템
8. 가능세계 모델 및 지식의 양상 모델의 문제점
참조

1. 개요

인식 논리는 지식과 믿음을 형식화하고 추론하는 데 사용되는 논리 체계이다. 1950년대에 시작되어 가능세계 의미론을 사용하여 인식을 구조화하는 방법과 사건의 개념을 이용하는 방법으로 발전했다. 인식 논리는 양상 논리를 기반으로 하며, 지식의 속성(S5 속성)을 정의하고 공리계를 통해 다양한 시스템을 구축한다. 다중 에이전트 시스템에서 각 에이전트의 지식과 공통 지식을 모델링하는 데 사용되며, 철학, 인공지능, 게임 이론 등 다양한 분야에 응용된다. 그러나 가능세계 모델은 논리적 전지성 문제를 야기하며, 인식적 오류와 관련된 문제점도 가지고 있다.

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인식 논리
개요
유형	모달 논리학

2. 역사적 배경

1950년대에 지식 논리에 관한 여러 논문이 발표되었으나, 인식 논리의 시작은 핀란드 철학자 G. H. 폰 라이트가 1951년에 발표한 논문 '양상 논리학 에세이'로 여겨진다. 이후 1962년, 또 다른 핀란드 철학자인 힌티카는 '지식과 믿음'이라는 책을 통해 양상 논리에서 일반적으로 다루는 진리 명제 대신, 지식의 의미론을 포착하기 위해 양상성을 사용할 것을 제안했다. 이 저서는 인식 논리 분야의 중요한 토대를 마련했으며, 이후 많은 연구가 진행되었다.

최근에는 인식 논리가 동적 논리의 아이디어와 결합하여 동적 인식 논리로 발전했다. 이는 다중 에이전트 시스템에서 정보가 어떻게 변화하고 교환되는지를 명확히 설명하고 추론하는 데 사용될 수 있다. 이 분야의 발전에 기여한 주요 연구자로는 플라자, 반 벤텀, 발타그, 모스, 솔레키 등이 있다.

3. 인식의 구조화 방법

인식(앎)의 양상을 구조화하는 데에는 크게 두 가지 접근 방식이 사용된다. 하나는 가능세계 의미론과 같은 논리적 방법을 사용하는 것이고, 다른 하나는 확률론적 '사건' 개념을 이용하는 방법이다.

논리적 방법은 기본적으로 가능세계의 집합을 인식자의 앎과 양립 가능한 것과 그렇지 않은 것으로 나누는 방식이며, 이는 크립키 의미론으로 형식화된다. 반면, 확률론적 방법에서는 사건들을 가능세계의 집합으로 보고 앎을 사건에 대한 작용소로 다루며, 이는 아우만 구조에 기반하고 양상 논리 식을 사용하지 않는다. 이 접근법은 특히 게임 이론 등에서 응용된다. 두 방법은 서로 관련이 있지만 형식화 방식 등에서 차이가 있다.

3. 1. 논리적 방법

일반적으로 인식(앎)의 양상을 구조화하는 데에는 논리적 방법인 가능세계 의미론이 쓰인다. 이 방법은 기본적으로 가능세계의 집합을 인식 주체의 앎과 양립할 수 있는 세계와 그렇지 않은 세계로 나누는 것을 바탕으로 한다. 이는 일반적인 직관과 크게 다르지 않은 개념이다.

이러한 논리적 방법은 크립키 의미론을 통해 형식적으로 표현된다. 인식의 구조화에는 논리적 방법 외에 확률론적 '사건' 개념을 이용하는 방법도 존재한다. 사건적 방법은 가능세계를 사건들의 집합으로 보고 앎을 사건에 대한 작용소로 다루며, 게임 이론 등에서 활용된다. 하지만 이 방법은 아우만 구조에 기반하며 양상 논리식을 사용하지 않는다는 점에서 크립키 의미론을 사용하는 논리적 방법과 차이가 있다. 이 글에서는 양상 논리적 접근, 즉 논리적 방법에 대해 주로 설명한다.

3. 2. 확률론적 방법

확률론적 접근 방식에서는 확률론의 '사건' 개념을 활용한다. 가능세계의 집합을 사건으로 간주하고, '앎'을 이러한 사건에 대한 작용소로 정의한다. 이 방법은 아우만이 제시한 아우만 구조에 기반을 두고 있으며, 전통적인 양상 논리의 형식적 표현은 사용하지 않는 특징이 있다. 이러한 접근법은 특히 게임 이론과 같은 분야에서 중요한 분석 도구로 응용된다.

4. 표준 가능세계 모델

지식 모델링의 대부분은 가능세계 모델에 기반한다. 이 접근 방식에서는 기본적으로 가능세계의 집합을 특정 인식자(agent)의 지식과 양립할 수 있는 세계와 그렇지 않은 세계로 나누어 구조화한다. 예를 들어, 오늘이 금요일 또는 토요일이라는 것을 안다면, 목요일은 현재 지식과 양립 불가능한 세계가 된다. 내 지식과 양립하는 가능한 세계 중 목요일인 경우는 없는데, 왜냐하면 이 모든 세계에서 금요일 또는 토요일이기 때문이다.^[6]^[1]^[5]

인식의 구조화에는 가능세계 모델 외에도 확률론적 사건 개념을 이용하는 방법도 있다. 이 경우, 사건은 가능세계의 집합으로 정의되며, 지식은 사건에 대한 작용소로 취급된다. 두 접근 방식은 밀접하게 관련되어 있지만, 다음과 같은 중요한 차이점이 존재한다.^[6]^[1]^[5]

수학적 모델: 논리 기반 접근 방식(가능세계 모델)은 주로 크립키 의미론 또는 크립키 구조를 사용하지만, 사건 기반 접근 방식은 집합론에 기반한 아우만 구조를 사용한다.
논리식 사용: 논리 기반 접근 방식은 양상 논리 체계를 사용하는 반면, 사건 기반 접근 방식에서는 논리식을 전혀 사용하지 않는다.

일반적으로 논리 기반 접근 방식은 철학, 논리학, 인공지능 분야에서 주로 활용되며, 사건 기반 접근 방식은 게임 이론이나 수리 경제학과 같은 분야에서 더 자주 사용된다. 이 문서에서는 주로 논리 기반 접근 방식, 즉 가능세계 모델을 중심으로 설명한다.^[6]^[1]^[5]

논리에 기반하는 접근은 가능세계적 모델(possible worlds model)에 근거하여 구성되는데, 이는 크립키 모델(Kripke model)로써 형식화된다. 이 모델에서 핵심 요소 중 하나는 '가능성 관계'(possibility relation) 또는 '접근가능성 관계'(accessibility relation)

\mathcal{K}_i

이다. 이 관계는 인식자

i

가 현재 상태에서 어떤 다른 상태들을 가능한 것으로 간주하는지를 나타낸다. 즉, 인식자의 지식 상태에 따라 배제되지 않는 대안적인 세계들을 의미한다. 이 관계는 종종 동치관계(반사성, 대칭성, 추이성 만족)로 가정되기도 하지만, 모델링하는 대상이나 목적에 따라 다른 성질을 가질 수도 있다.^[6]^[1]^[5]

4. 1. 구문론 (Syntax)

인식논리의 기본 양상 작용소(modal operator)는 흔히

K

로 표기하며, "~ 라는 것이 알려져 있다", "~ 라는 것이 인식론적으로 필연이다", "~ 의 부정은 알려진 바와 일치하지 않는다" 정도로 해석된다.^[6]^[1]^[5] 여기에 인식 주체(agent)를 나타내기 위해 아래첨자를 작용소에 덧붙여 (

\mathit{K}_1

,

\mathit{K}_2

등) 어떤 인식 주체에 대해 서술하는 것인지를 나타낼 수 있다. 따라서

K_a \varphi

는 "인식 주체

a

는

\varphi

를 안다"고 해석할 수 있다. 이처럼 인식 논리는 지식 표현에 적용되는 다중 양상 논리의 한 예시가 된다.^[6]^[1]^[5]

일반 양상논리의

\Diamond

및

\Box

와 같이 ''K'' 와 쌍대를 이루는 작용소도 존재한다. 이는 일반적으로 정해진 표기는 가지고 있지 않으나

\neg K_a \neg \varphi

로 표시되며, "인식 주체

a

는

\varphi

가 아니라는 것을 알지 않는다" 또는 "

a

는

\varphi

라는 가능성을 가지고 있다" (

a

의 지식으로는

\varphi

가 가능함과 일치한다)고 해석될 수 있다. "

a

는

\varphi

인지 아닌지를 모른다"는 문장은

\neg K_a\varphi \land \neg K_a\neg\varphi

라고 표현한다.

여기에 공통 지식과 분배 지식을 표현하기 위하여 세 종류의 양상 작용소가 더 추가될 수 있다.^[6]

$\mathit{E}_\mathit{G} \varphi$ : "그룹 G에 속하는 모든 인식자가 φ를 알고 있다" (상호 지식).
$\mathit{C}_\mathit{G} \varphi$ : "φ는 G에 속하는 모든 인식자의 공통 지식이다".
$\mathit{D}_\mathit{G} \varphi$ : "φ는 G에 속하는 모든 인식자의 분배 지식이다".

만약

\varphi

가 이 언어의 논리식이라면

\mathit{E}_G \varphi

,

\mathit{C}_G \varphi

,

\mathit{D}_G \varphi

도 논리식이다.^[6]^[1]^[5]

\mathit{K}

의 아래첨자는 인식 주체가 하나만 있을 경우 생략할 수 있는 것처럼,

\mathit{E}

,

\mathit{C}

,

\mathit{D}

의 아래첨자도 그룹이 전체 인식 주체의 집합일 경우 생략할 수 있다.^[1]^[5]

4. 2. 의미론 (Semantics)

인식 논리의 의미론은 주로 가능세계론 모델, 특히 솔 크립키가 제안한 크립키 구조(Kripke structure) 또는 크립키 모델(Kripke model)을 사용하여 형식화된다.

\Phi

라는 명제 집합에 대해

n

명의 인식자(에이전트)를 다루는 크립키 모델

M

은 튜플

(S, \pi, \mathcal{K}_1, ..., \mathcal{K}_n)

로 정의된다. 각 요소는 다음과 같은 의미를 가진다.

$S$ : '상태' 또는 '가능세계'라고 불리는 비어 있지 않은 집합이다. 각 상태는 특정 시점의 세계를 나타낸다.
$\pi$ : '해석' 또는 '진리값 할당' 함수이다. $S$ 에 속하는 각 상태 $s$ 와 $\Phi$ 에 속하는 기초 명제 $p$ 에 대해, $\pi(s)(p)$ 는 상태 $s$ 에서 명제 $p$ 의 진리값(참 또는 거짓)을 결정한다. 즉, 어떤 명제가 특정 상태에서 참인지 거짓인지를 알려준다.
$\mathcal{K}_1, ..., \mathcal{K}_n$ : $n$ 명의 인식자 각각에 대한 이항관계이다. 각 $\mathcal{K}_i$ 는 인식자 $i$ 의 '가능성 관계'(possibility relation) 또는 '접근가능성 관계'(accessibility relation)를 나타낸다. 상태 $s$ 에서 $t$ 로의 관계( $s \mathcal{K}_i t$ 또는 $(s, t) \in \mathcal{K}_i$ )는 인식자 $i$ 가 현재 상태 $s$ 에 있을 때, 상태 $t$ 를 가능한 상태로 간주한다는 의미이다. 즉, 인식자 $i$ 가 가진 정보로는 상태 $t$ 가 실제 세계일 가능성을 배제할 수 없다는 뜻이다. 이러한 $t$ 들을 인식자 $i$ 에 대한 인식적 대안(epistemic alternatives)이라고 한다.

주의할 점은, 양상 연산자

K_i

(인식자

i

가 안다)와 접근가능성 관계

\mathcal{K}_i

는 다른 개념이라는 것이다.

어떤 모델

M

의 특정 상태

s

에서 논리식

\varphi

가 참이라는 것을 나타낼 때는

(M,s) \models \varphi

라고 표기한다. 이는 "

\varphi

는

(M,s)

에서 참이다" 또는 "

(M,s)

는

\varphi

를 만족시킨다"라고 읽는다. 진리값은 모델의 구조뿐만 아니라 현재 고려하는 상태(세계)에 따라 달라진다. 한 상태에서 참인 명제가 다른 상태에서도 반드시 참인 것은 아니다.

가능성 관계

\mathcal{K}_i

는 인식자

i

가 어떤 상태들을 가능한 것으로 여기는지를 나타낸다. 이 관계는 종종 동치관계로 가정되기도 한다. 동치관계는 다음 세 가지 성질을 만족하는 관계이다.

반사성: 모든 상태 $s$ 에 대해 $s \mathcal{K}_i s$ 이다. (인식자는 현재 상태를 항상 가능한 상태로 간주한다.)
대칭성: 만약 $s \mathcal{K}_i t$ 이면, $t \mathcal{K}_i s$ 이다. (상태 $s$ 에서 $t$ 를 가능하다고 생각하면, $t$ 에서도 $s$ 를 가능하다고 생각한다.)
추이성: 만약 $s \mathcal{K}_i t$ 이고 $t \mathcal{K}_i u$ 이면, $s \mathcal{K}_i u$ 이다. (상태 $s$ 에서 $t$ 를, $t$ 에서 $u$ 를 가능하다고 생각하면, $s$ 에서도 $u$ 를 가능하다고 생각한다.)

\mathcal{K}_i

를 동치관계로 가정하는 것은 지식의 이상적인 모델(예: 완벽한 추론 능력과 무한한 기억력을 가진 인식자)을 다룰 때 유용하며, 가장 강력한 형태로서 많은 응용 분야에서 적합하다. 하지만 모든 경우에 동치관계여야 하는 것은 아니다. 예를 들어, 지식(knowledge)이 아닌 신념(belief)을 모델링할 때는 다른 성질을 가진 관계가 사용될 수 있다.

인식 논리의 의미론을 다루는 다른 접근 방식으로 사건 기반 접근 방식도 존재한다. 이는 주로 게임 이론이나 수리 경제학 분야에서 사용되며, 집합론과 아우만 구조를 기반으로 한다. 반면, 여기서 설명하는 논리 기반 접근 방식은 철학, 논리학, 인공지능 분야에서 주로 사용되며, 크립키 구조와 양상 논리를 사용한다.

5. 지식의 속성 (S5 속성)

인지 가능성 관계 $\mathcal{K}_i$ 를 동치 관계로 가정하고, 인지자(agent)가 완전한 이성(완벽한 추론자)을 갖추었다고 가정하면, '지식'의 여러 속성을 도출할 수 있다. 이러한 속성들은 특정 공리 체계인 S5와의 관련성 때문에 흔히 '''S5 속성'''이라고 불린다. 이는 인지자를 이상적인 존재로 가정할 때 성립하는 지식의 특징들을 나타내며, 구체적인 공리들은 하위 섹션에서 설명된다.

5. 1. 분배 공리 (Distribution Axiom, '''K''')

분배 공리(distribution axiom)는 일반적인 양상 논리에서 '''K'''로 불리는 공리에 해당한다. 인식론적으로 이 공리는 인지자

i

가

\varphi

라는 사실을 알고,

\varphi

가

\psi

를 함의한다는 것(

\varphi \implies \psi

)을 안다면, 그 인지자는

\psi

라는 사실 또한 안다는 것을 의미한다.

:

(K_i\varphi \land K_i(\varphi \implies \psi)) \implies K_i\psi

이 공리는 관계 의미론에서 모든 프레임에 대해 유효하며, 인식적으로 가능한 모든 세계에 대해 추론 규칙으로서 modus ponens를 논리적으로 확립하는 역할을 한다.

5. 2. 지식 일반화 규칙 (Knowledge Generalization Rule, '''N''')

지식 일반화 규칙(knowledge generalization rule)은 어떤 명제

\varphi

가 타당하다면(valid), 즉 모든 가능한 상황에서 참이라면, 인지자

i

가 그 명제를 안다는 것(

K_i\varphi

) 역시 성립한다는 규칙이다. 이는 단순히

\varphi

가 현실 세계에서 참일 때 인지자

i

가

\varphi

를 안다는 뜻이 아니다. 그보다는, 인지자

i

가 가능하다고 생각하는 모든 세계에서

\varphi

가 참이라면, 그 인지자는 자신이 생각하는 모든 가능 세계에서

\varphi

를 알고 있다는 의미이다. 이 규칙은 일반적으로 '''N'''이라고 불리며, 필연화 규칙(Necessitation Rule)이라고도 한다.

수식으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: If

M \models \varphi

then

M \models K_i \varphi

또는, 타당성을 이용하여 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

\text{if }\models \varphi\text{ then }M \models K_i \varphi.\,

이 규칙은 관계적 의미론에서 항상 진실성을 보존하는 특징을 가진다.

5. 3. 지식 공리 (Knowledge Axiom) 또는 진리 공리 (Truth Axiom, '''T''')

지식 공리(knowledge axiom) 또는 진리 공리(truth axiom)는 일반적으로 '''T'''로 불리는 공리이다. 이는 어떤 인지자

i

가 어떤 사건

\varphi

를 안다면(

K_i \varphi

), 그 사건

\varphi

는 반드시 참이라는 의미를 갖는다.

:

K_i \varphi \implies \varphi

이 공리는 양상논리에서 '지식'과 '신념'을 구별하는 핵심적인 특징으로 여겨진다. 인지자는 거짓인 명제를 '알' 수는 없지만, '믿을' 수는 있다는 점에서 지식과 신념의 중요한 차이가 드러난다.

이 공리의 대우는 다음과 같이 표현할 수 있으며, 이는 에이전트가 거짓인 진술을 알 수 없다는 것을 의미한다.

:

\varphi \implies \neg K_i \neg \varphi

지식 공리 '''T'''는 모든 반사적 프레임에서 타당하다.

어떤 공리들을 채택하느냐에 따라 다양한 양상 논리가 만들어진다. 예를 들어, KT45는 '''K''', '''T''', '''4''', '''5''' 및 지식 일반화 공리를 조합한 양상 논리를 의미하며, 이는 S5라고도 불린다. 이 때문에 지식 공리 '''T'''와 같은 지식의 속성을 S5 속성이라고 부르기도 한다.

인식 논리는 지식뿐만 아니라 신념도 다룬다. 신념을 다룰 때는 기본 양상 연산자로 ''K'' 대신 ''B''를 사용한다. 신념의 경우, 지식 공리 '''T'''는 성립하지 않는다. 즉, 에이전트가 믿는 것이 반드시 참이라고 할 수는 없다. 대신, 신념 체계에서는 보통 다음과 같은 일관성 공리 '''D'''를 사용한다.

:

\neg B_i \bot

이는 에이전트가 모순(거짓으로 판단되는 것)을 믿지 않는다는 의미이다. S5 체계에서 '''T'''를 '''D'''로 대체하면 KD45 체계가 된다. 신념 체계에서는 접근 가능성 관계가 반사적이지 않을 수 있는데, 이는 에이전트가 실제로는 참이 아닌 것을 참이라고 믿을 수 있기 때문이다. 신념을 다루는 논리를 신념 논리(Doxastic logic)라고 부른다.

5. 4. 양의 자성 공리 (Positive Introspection Axiom, '''4''', KK 공리)

양의 자성 공리(positive introspection axiom)는 '''KK 공리''' 또는 공리 '''4'''로도 불린다. 이는 인지자가 자신이 어떤 사실

\varphi

를 알고 있다면(

K_i \varphi

), 자신이 그 사실을 알고 있다는 것 자체도 알고 있다(

K_i K_i \varphi

)는 의미를 가진다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다.

:

K_i \varphi \implies K_i K_i \varphi

이 공리는 에이전트(인지자)가 자신의 지식 상태에 대해 스스로 성찰할 수 있음을 나타내는 속성 중 하나이다. 부정적 내성 공리(공리 '''5''')와 함께 에이전트의 자기 지식에 대한 내성(introspection)을 다룬다.

동등하게 이 공리는 에이전트가 "자신이 안다고 알지 못하는 것"은 "알지 못한다"는 것을 의미하기도 한다.

:

\neg K_i K_i \varphi \implies \neg K_i \varphi

양의 자성 공리는 다른 기본 공리들에 비해 그 타당성이 명확하지 않다는 비판이 있다. 철학자 티모시 윌리엄슨은 그의 저서 ''지식과 그 한계''에서 이 공리를 지식의 기본 원리로 받아들이는 것에 대해 강하게 반대한 바 있다.

논리적으로, 양의 자성 공리는 모든 추이적(transitive) 틀에서 타당하다. 이 공리는 다른 지식 공리들과 결합하여 다양한 인식 논리 체계를 구성하는 데 사용된다. 예를 들어, S5 체계는 기본 공리 '''K'''와 함께 공리 '''T''' (지식 공리), 공리 '''4''' (양의 자성 공리), 공리 '''5''' (부정적 자성 공리) 등을 포함한다.

5. 5. 음의 자성 공리 (Negative Introspection Axiom, '''5''')

음의 자성 공리(negative introspection axiom)는 인지자가 자신이 모르는 것에 대해 모른다는 것을 스스로 알고 있다는 의미를 가진다.^[1]^[2] 수학적으로는 다음과 같이 표현된다.

:

\neg K_i \varphi \implies K_i \neg K_i \varphi

이는 모달 공리 '''5'''에 해당하며,^[3] 다음과 같이 동등하게 표현할 수도 있다.

:

\neg K_i \neg K_i \varphi \implies K_i \varphi

이 공리는 모든 유클리드 프레임에서 유효하다.^[3]

음의 자성 공리 '''5'''는 다른 지식 관련 공리들(예: '''K''', '''T''', '''4''')과 결합하여 다양한 인식 논리 체계를 구성하는 데 사용된다. 예를 들어, '''K''', '''T''', '''4''', '''5''' 공리와 지식 일반화 공리를 모두 채택한 체계를 KT45라고 하며, 이는 S5라고도 불린다.^[1]

인식 논리는 지식뿐만 아니라 신념(belief)도 다루는데, 이때는 기본 연산자로 ''K'' 대신 ''B''를 사용한다. 신념의 경우, 에이전트가 믿는 것이 반드시 참은 아니므로 지식 공리 '''T'''가 성립하지 않는다. 대신 일관성 공리 '''D'''를 사용하는 경우가 많다.

:

\neg B_i \bot

이는 에이전트가 모순되는 것이나 거짓으로 판단되는 것을 믿지 않는다는 의미이다.^[1] S5 체계에서 공리 '''T'''를 '''D'''로 대체하면 KD45 체계가 된다. 신념을 다루는 논리는 신념 논리(Doxastic logic)라고 부른다.^[1]

6. 공리계 (Axiom Systems)

인식 논리에서 사용하는 여러 공리들을 어떻게 조합하느냐에 따라 다양한 양상 논리 체계가 만들어질 수 있다. 이러한 체계들은 주로 사용된 주요 공리들의 이름을 따서 명명되지만, 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, 공리 '''K''', '''T''', '''4''', '''5''' 및 지식 일반화 규칙을 모두 사용하는 공리계 KT45는 일반적으로 S5라고 불린다. 이 때문에 S5는 인식 논리의 표준적인 체계 중 하나로 여겨지며, 앞서 설명된 지식의 속성들을 S5 속성이라고 부르기도 한다.

인식 논리는 지식뿐만 아니라 신념(belief)에 대해서도 다룰 수 있다. 신념을 다룰 때는 기본 양상 연산자로 ''K''(knows) 대신 ''B''(believes)를 사용한다. 하지만 신념의 경우, 에이전트가 믿는 것이 항상 참이라고 할 수는 없기 때문에, 지식에 대한 공리 '''T'''( $K_i \varphi \implies \varphi$ )는 일반적으로 성립하지 않는다. 대신, 신념 논리에서는 에이전트가 모순되는 것을 믿지 않는다는 의미의 일관성 공리(consistency axiom) '''D'''를 사용하는 경우가 많다.

: $\neg B_i \bot$ (에이전트 ''i''는 거짓(모순)을 믿지 않는다)

만약 S5 체계에서 공리 '''T'''를 공리 '''D'''로 대체하면, 그 결과로 나오는 시스템은 KD45라고 불린다. 이러한 신념을 다루는 논리를 신념 논리(doxastic logic)라고 한다. 신념 논리에서는 접근 가능성 관계 $\mathcal{K}_i$ 의 성질도 달라질 수 있는데, 예를 들어 에이전트가 실제로는 참이 아닌 것을 참이라고 믿는 시스템에서는 이 관계가 반사적이지 않을 수 있다.

7. 다중 에이전트 시스템

인식 논리에서는 여러 명의 인식자, 즉 에이전트(agent)가 존재하는 상황을 다룰 수 있다. 이때 각 인식자 $a$ 가 특정 명제 $\varphi$ 를 안다는 것을 $K_a \varphi$ 와 같이 아래첨자를 사용하여 표현한다. 이는 지식표현에 적용되는 다중 양상논리의 한 형태가 된다.^[6]

여러 에이전트가 상호작용하는 시스템에서는 개별 에이전트의 지식뿐만 아니라 그룹 전체의 지식 상태를 나타내는 개념도 중요하다. 이를 위해 다음과 같은 양상 작용소들이 추가될 수 있다.

모두의 지식 (Everyone Knows): $\mathit{E}_\mathit{G} \varphi$ 는 그룹 G에 속하는 모든 인식자가 $\varphi$ 를 안다는 의미이다.
공통 지식 (Common Knowledge): $\mathit{C}_\mathit{G} \varphi$ 는 $\varphi$ 가 그룹 G의 공통 지식임을 나타낸다. 이는 단순히 '모든 구성원이 $\varphi$ 를 아는 것'( $\mathit{E}_\mathit{G} \varphi$ )을 넘어, '모든 구성원이 $\varphi$ 를 모두가 안다는 사실( $\mathit{E}_\mathit{G} \mathit{E}_\mathit{G} \varphi$ )을 아는 것', 그리고 '모든 구성원이 [ $\varphi$ 를 모두가 안다는 사실을 모두가 안다는 사실]을 아는 것'( $\mathit{E}_\mathit{G} \mathit{E}_\mathit{G} \mathit{E}_\mathit{G} \varphi$ ) 등이 무한히 이어지는 상태를 의미한다.
분배 지식 (Distributed Knowledge): $\mathit{D}_\mathit{G} \varphi$ 는 그룹 G의 구성원들이 각자 가진 지식을 모두 합쳤을 때 알 수 있는 지식이 $\varphi$ 라는 뜻이다. 즉, 개별적으로는 아무도 $\varphi$ 를 모르더라도, 정보를 교환하고 추론하면 그룹 전체로서는 $\varphi$ 를 알 수 있는 경우를 나타낸다.

여러 에이전트가 존재하는 시스템을 분석할 때는 각 에이전트 ''i''의 인식 상태를 나타내는 연산자

K_i

에 대한 공리 체계뿐만 아니라, 에이전트들의 합리성에 대한 가정도 필요하다. 일반적으로 이러한 시스템에서는 각 에이전트가 합리적이라는 사실 자체가 공통 지식으로 간주된다. 즉, 모든 에이전트는 다른 모든 에이전트가 합리적으로 사고하고 행동할 것이라고 믿으며, 이러한 믿음 자체가 시스템 내에서 공유된다고 가정하는 것이다.

8. 가능세계 모델 및 지식의 양상 모델의 문제점

가능 세계 모델을 지식에 적용할 경우, 인식 주체 ''a''가 자신의 신념의 모든 논리적 결과를 안다는 논리적 전지성(logical omniscience)^[2] 문제가 발생한다. 만약 'Q'가 'P'의 논리적 결과라면, 'P'는 참이지만 'Q'는 거짓인 가능 세계는 존재하지 않는다. 따라서 ''a''가 'P'가 참임을 안다면, ''a''의 신념과 일치하는 모든 가능 세계에서 'P'의 모든 논리적 결과 역시 참이 되므로, ''a''는 'Q'도 알게 된다는 결론에 이른다. 즉, ''a''가 'P'를 아는 상황에서 'not-Q'는 인식적으로 불가능하다는 것이다. 이러한 문제 때문에 로버트 스탈네이커는 이차원주의를 발전시켰는데, 이를 통해 우리가 아는 명제가 참이면서 그 결과는 거짓인 세계가 없더라도, 신념의 모든 논리적 결과를 알지 못할 수 있음을 설명하려 했다.^[3]

이러한 문제는 가능 세계 의미론을 사용하지 않고 공리적 시스템만 고려해도 여전히 나타난다. 일반적인 양상 논리의 기본 공리인 '''K'''(분배 규칙)와 '''N'''(지식 일반화 규칙)을 사용하면, 우리가 믿는 것의 모든 논리적 결과를 안다는 것을 증명할 수 있다. 만약 'Q'가 'P'의 논리적 결과라면 (즉, 'P이면 Q이다'가 항진명제라면), '''N''' 규칙을 통해 'a는 P이면 Q임을 안다' (Ka(P → Q))를 유도할 수 있다. 그리고 공리 '''K'''와 조건 증명을 이용하면 'a가 P를 안다면 a는 Q를 안다' (KaP → KaQ)를 유도할 수 있다. 이를 풀어 설명하면, 'Q'가 'P'의 논리적 결과라는 것을 ''a''가 알고 있고, ''a''가 'P'를 안다면, ''a''는 'Q'도 안다는 의미이다. 결국 ''a''는 모든 명제의 모든 논리적 결과를 알게 된다.

이는 모든 고전적 양상 논리에서 필연적으로 참이지만, 현실과는 거리가 멀다. 예를 들어, ''a''가 '소수는 자기 자신과 1로만 나누어 떨어지는 수'라는 정의를 안다고 해서, '8683317618811886495518194401279999999'라는 매우 큰 수가 소수인지 즉시 아는 것은 아니다(이 수는 실제로 소수이다). 지식의 양상적 해석에 따르면, ''a''는 소수의 정의를 알기 때문에 이 큰 수가 소수라는 것도 알아야 한다. 더 나아가 어떤 이론의 모든 공리를 안다면, 그 이론에서 증명 가능한 모든 정리도 알아야 한다는 결론에 이른다. 만약 이것이 사실이라면, P 대 NP 문제나 골드바흐 추측과 같은 미해결 문제가 수학에 존재할 수 없을 것이다. 따라서 인식적 양상 논리는 실제 인간의 주관적 지식이 아닌, 이상화된 객관적 지식을 설명하는 모델이라고 볼 수 있다.^[4]

철학적 논리학에서는 가면 남자 오류(masked-man fallacy) 또는 내포적 오류(intensional fallacy), 인식적 오류(epistemic fallacy)라는 문제도 지적된다. 이 오류는 논증 과정에서 라이프니츠의 법칙(동일한 것은 동일한 속성을 갖는다는 원칙)을 부적절하게 사용할 때 발생한다. 특히, 대상에 대한 주체의 '지식'과 '대상 자체'를 동일시하여, 라이프니츠의 법칙이 내포적 맥락(믿음, 지식 등 주관적 태도와 관련된 맥락)에서는 성립하지 않을 수 있다는 점을 간과하는 데서 비롯된다.

참조

_[1] 서적 Matematikai logika Műszaki könyvkiadó 2002
_[2] 간행물 Epistemic Logic https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2022-03-06
_[3] 문서 Propositions Yale UP 1976
_[4] 웹사이트 Logic for Philosophy http://homepages.nyu[...]
_[5] 서적 Matematikai logika Műszaki könyvkiadó 2002
_[6] 서적 Matematikai logika Műszaki könyvkiadó 2002

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