일차 함수

3. 성질

일차 함수 $f(x)\; =\; ax\; +\; b$의 그래프는 데카르트 좌표계에서 수직이 아닌 직선으로 나타난다. 특히, 정비례 함수 $f(x)\; =\; ax$의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.^[3]

• 기울기 ($a$):
• $a$가 양수이면 그래프는 우상향하고, 음수이면 우하향한다.
• $a$의 절댓값이 클수록 기울기가 더 가파르다.
• $a\; =\; 0$이면, 상수 함수 $f(x)\; =\; b$가 되어 수평선이 된다.
• $y$절편 ($b$):
• 그래프가 $y$축과 만나는 점의 $y$좌표이다.
• $b$가 증가하면 직선은 위로, 감소하면 아래로 평행 이동한다.
• $x$절편:
• $a\; \backslash ne\; 0$일 때, 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표로, $x\; =\; -\backslash tfrac\{b\}\{a\}$이다.
• $f(x)$의 영점 또는 방정식 $f(x)\; =\; 0$의 해이다.

3. 1. 기울기

3. 2. 절편

3. 3. 단조성

3. 4. 아핀성과 선형성

• 임의의 $x,y,t\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, $f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)$
• 임의의 도함수 $g\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여, $f\backslash circ\; g$ 역시 도함수이다.
• $f$는 일차 함수이다.

• 임의의 $x,y,c\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여, $f(cx+y)=cf(x)+f(y)$
• $f$는 정비례 함수이다.

4. 표현 형식

일차 함수 $f(x)$는 여러 가지 표준 공식으로 나타낼 수 있다. 가장 간단한 형태는 '''기울기-절편 형식'''이다.

:$f(x)=\; ax+b$

이 식으로부터 기울기 ''a''와 초기값 $f(0)=b$를 즉시 알 수 있으며, 이는 그래프 $y=f(x)$의 ''y'' 절편이다.^[3]

기울기 ''a''와 한 점 $(x\_0,y\_0)$가 주어지면, '''점-기울기 형식'''을 다음과 같이 쓴다.

:$f(x)\; =\; a(x-x\_0)+y\_0$

이는 기울기 ''a''를 가지고 점 $(x\_0,y\_0)$을 지나는 직선 $y=f(x)$를 나타낸다.

두 점 $(x\_0,y\_0)$와 $(x\_1,y\_1)$가 주어지면, '''두 점 형식'''은 다음과 같다.

:$f(x)\; =\; \backslash tfrac\{y\_1-y\_0\}\{x\_1-x\_0\}(x-x\_0)\; +\; y\_0$

이 그래프 $y=f(x)$는 두 점 $(x\_0,y\_0),\; (x\_1,y\_1)$을 지나는 유일한 직선이다.

5. 선형 방정식과의 관계

일차 함수는 일반적으로 선형 방정식 ''Ax'' + ''By'' = ''C''를 따르는 변수 ''x'', ''y''를 포함하는 문제에서 발생한다. 만약 $B\backslash neq\; 0$이면, 이 방정식을 ''y''에 대해 풀어서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $y\; =\; -\backslash tfrac\{A\}\{B\}x\; +\backslash tfrac\{C\}\{B\}=ax+b$

여기서 $a=-\backslash tfrac\{A\}\{B\}$와 $b=\backslash tfrac\{C\}\{B\}$로 표기한다. 즉, 일차 함수를 통해 독립 변수(입력) ''x''로부터 얻어지는 종속 변수(출력) ''y''를 고려할 수 있다. : $y\; =\; f(x)\; =\; ax+b$. ''xy''-좌표 평면에서 $(x,y)$의 가능한 값들은 함수 $f(x)$의 그래프인 선을 형성한다. 만약 원래 방정식에서 $B=0$이면, 결과적인 선 $x=\backslash tfrac\{C\}\{A\}$는 수직이며 $y=f(x)$로 쓸 수 없다.

일차 함수가 나타내는 직선의 식은 기울기와 ''y''-절편을 제공하여 고유하게 결정되는 "기울기-절편(표준)형"이다. 좌표 평면에서 직선을 나타내는 식으로는 "점-기울기(표준)형"

: $y-y\_0\; =\; a(x-x\_0)$

(점 $(x\_0,\; y\_0)$를 지나는, 단 하나의 기울기 $a$의 직선) 및 "일반형"

: $Ax+By+C=0$

(이 자체는 두 변수의 일차 방정식이다) 등이 있다.^[1] 평면에서의 직선의 표준형도 참조.

일반형은 평면상의 모든 직선을 나타낼 수 있으며, 여기에는 ''x''-축에 수직(''y''-축에 평행)인 직선 $x\; =\; c$ 등도 포함되지만, 이 종류의 직선의 기울기는 정해지지 않으므로 기울기를 명시적으로 사용하는 표준형으로는 나타낼 수 없으며, 일차 함수는커녕 함수도 아니다. 또한, ''x''-축에 평행한 기울기 $0$의 직선은 상수 함수에 해당하므로, 일차 함수 $y\; =\; ax\; +\; b$의 정의에 $a\; \backslash ne\; 0$을 가정한다면, 이것 역시 일차 함수로는 나타낼 수 없게 된다.^[1]

6. 다른 함수와의 관계

일차 함수는 변수의 차수가 1인 다항식으로 표현되거나, 변수의 계수가 0일 경우 상수 함수로 표현된다. 상수 함수는 차수가 0인 다항식 함수이기도 하다.

직선은 다른 종류의 좌표계로 나타내면 다른 함수를 표현할 수 있다.

예를 들어, 값이 로그 척도로 표현될 때 일차 함수는 지수 함수를 나타낼 수 있다. 즉, log(g(x))가 x의 일차 함수일 때, 함수 g는 지수 함수이다. 일차 함수의 경우, 입력값을 1단위 증가시키면 출력값도 고정된 양만큼 증가하는데, 이는 함수의 그래프의 기울기이다. 지수 함수의 경우, 입력값을 1단위 증가시키면 출력값이 고정된 배수만큼 증가하는데, 이를 지수 함수의 밑이라고 한다.

만약 함수의 인수와 값 ''모두'' 로그 척도에 있다면(즉, log(y)가 log(x)의 일차 함수일 때), 직선은 멱법칙을 나타낸다.

: $\backslash log\_r\; y\; =\; a\; \backslash log\_r\; x\; +\; b\; \backslash quad\backslash Rightarrow\backslash quad\; y\; =\; r^b\backslash cdot\; x^a$

7. 해석학적 성질

일차 함수는 연속 함수이며 미분 가능하다. 일차 함수 $f(x)\; =\; ax\; +\; b$의 도함수는 $f\text{'}(x)\; =\; a$라는 상수 함수이며, 그보다 고계의 도함수는 항상 0이 된다. 특히 기울기 $a$는 $a\; =\; f\text{'}(0)$으로 구할 수 있다. $b\; =\; f(0)$이므로 이 일차 함수를

:$f(x)\; =\backslash frac\{\; f\text{'}(0)x\}\{1!\}\; +\backslash frac\{f(0)\}\{0!\}$

의 형태로 쓰면, 이는 일차 함수의 테일러 전개와 다름없다. 또한 전개의 중심을 $x\; =\; x\_0$로 변경하면

:$f(x)\; =\; f\text{'}(x\_0)(x-x\_0)\; +f(x\_0)$

가 된다. f의 원시 함수 중 하나는

:$F(x)\; :=\; \backslash frac\{ax^2\}\{2\}\; +\; bx$

로 주어진다.^[3]

8. 연산

계수는 적절한 체 또는 정역 로 한다. 두 일차 함수 에 대해, 그들의 합 를 점별 값의 합

: $(f+g)(x)\; :=\; f(x)\; +\; g(x)\; =\; (a+c)x\; +\; (b+d)$

로 정의하면, 이는 다시 일차 함수가 된다. 일차 함수 전체는 가환군을 이룬다. 또한, 상수배 를

: $(\backslash lambda\; f)(x)\; :=\; \backslash lambda(f(x))\; =\; \backslash lambda\; ax\; +\; \backslash lambda\; b$

로 주면, 일차 함수 전체가 과 가 생성하는 2차원 벡터 공간이 됨을 알 수 있다. 한편, 점별 곱

: $(f\backslash cdot\; g)(x)\; :=\; f(x)g(x)\; =\; acx^2\; +\; (ad+bc)x\; +\; bd$

는 또는 중 어느 하나가 상수 함수가 아닌 한 일차 함수가 아니지만, 합성

: $(f\backslash circ\; g)(x)\; :=\; f(g(x))\; =\; acx\; +\; (ad\; +\; b)$

는 다시 일차 함수이다. 특히 이라면 일차 함수 는 의 역함수가 된다.

9. 일반화

다변수 일차 다항식이 정하는 함수

: $f\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\};\backslash \; (x\_1,\backslash cdots,x\_n)\; \backslash mapsto\; a\_1x\_1+\backslash cdots+a\_nx\_n+b$

도 일차 함수라고 한다. 일 때는 '''제차 일차 함수''' 또는 '''일차 형식'''(linear form)이라고 한다. 이 함수의 그래프

:$\backslash \{(x\_1,\backslash cdots,x\_n,y)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{n+1\}\; \backslash mid\; y\; =\; f(x\_1,\backslash cdots,x\_n)\backslash \}$

는 -차원 유클리드 공간 에서 초평면(여차원 의 아핀 부분 공간)을 그린다.

더 일반적으로, '''' 차원 벡터 공간 ''''^''''에서 '''' 차원 벡터 공간 ''''^''''으로의 일차 함수를 생각할 수도 있다. ''''를 ''''-차원 벡터 값 변수, ''''를 ''''-차원 정벡터, ''''를 ''''행 ''''열의 행렬이라고 할 때,

: $V^n\; \backslash to\; V^m;\backslash \; x\; \backslash mapsto\; Ax\; +\; b$

를 아핀 사상이라고 한다. 특히, '''' = 0일 때, 그리고 그 때에만 합과 스칼라 곱을 보존하는 선형 사상이 된다.

참조

_[1] 백과사전 一次関数 平凡社 1988
_[2] 서적 函数概論 https://books.google[...] 共立社書店
_[3] 웹사이트 https://www.try-it.j[...]