이차 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 형태
5. 그래프
- 5.1. 꼭짓점
  - 5.1.1. 최대 및 최소
6. 반복
7. 이변수 이차 함수
참조

1. 개요

이차 함수는 최고차항의 차수가 2인 다항 함수로, 일반적으로 f(x) = ax² + bx + c (a≠0) 형태로 표현된다. 그래프는 포물선이며, 이차항 계수 a의 값에 따라 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 형태를 갖는다. 이차 함수는 일반형, 표준형, 인수분해형 등 다양한 형태로 나타낼 수 있으며, 그래프의 꼭짓점, 대칭축, 최댓값 또는 최솟값, 영점 등 다양한 성질을 갖는다. 이변수 이차 함수는 2차 다항식으로, 이차 곡면을 나타내며, 계수의 값에 따라 타원 포물면, 쌍곡 포물면, 포물선 기둥 등의 형태를 갖는다.

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이차 함수
개요
이차 함수 그래프의 예시
함수 종류	다항 함수
변수 개수	한 개
차수	2차
일반적인 형태
함수식	f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)
변수	x
계수	a, b, c
그래프
형태	포물선
대칭축	x = -b / 2a
꼭짓점	(-b / 2a, f(-b / 2a))
근
판별식	D = b^2 - 4ac
실근 개수	D > 0: 2개 D = 0: 1개 (중근) D < 0: 0개
근의 공식	x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
관련 개념
관련 함수	일차 함수 삼차 함수
관련 방정식	이차 방정식

2. 정의

'''이차 함수'''는 최고차항의 차수가 2인 다항 함수이다.

일반적으로, 실수 또는 복소수 범위에서 정의되는 일변수 이차 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

:f(x)=ax^2+bx+c^영어

(단, 는 0이 아니다.)

이변수 이차 함수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

:f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f^영어

(단, , , 중 적어도 하나는 0이 아니다.)

다변수 이차 함수는 더 많은 변수를 포함할 수 있으며, 행렬과 벡터를 사용하여 표현할 수도 있다.

3. 성질

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다. 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같은 모양이다.

일변수 이차 함수

f(x) = ax^2 + bx + c

의 그래프는 포물선이다.^[2]

$a > 0$ 이면, 포물선은 위로 열린다.
$a < 0$ 이면, 포물선은 아래로 열린다.

계수

a

는 그래프의 곡률 정도를 제어하며,

|a|

가 클수록 그래프는 더 닫힌(더 날카롭게 굽어진) 모양을 보인다.

계수

b

와

a

는 함께 포물선의 대칭축의 위치 (꼭짓점의

x

좌표)를 제어하며, 다음 위치에 있다.

:

x = -\frac{b}{2a}.

계수

c

는 포물선의 높이를 제어한다. 더 구체적으로는,

y

-축과 교차하는 지점에서의 포물선의 높이이다.

3. 1. 방정식

이차 함수는 다음과 같은 세 가지 형태로 나타낼 수 있다.^[2]

'''일반형''': $y=ax^2+bx+c\qquad(a\ne0)$
'''표준형''': $y=a(x-p)^2+q\qquad(a\ne0)$
'''인수 분해형''': $y=a(x-\alpha)(x-\beta)\qquad(a\ne0)$

일반형은 이차방정식의 y절편인 c와 볼록한 쪽을 나타내는 a의 부호 외에는 얻을 정보가 없다. 따라서 표준형이나 인수분해형으로 바꿔서 풀 필요가 있다.

표준형에서는 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 것과 a의 부호를 통해 볼록한 쪽을 알 수 있다.

인수 분해형에서는 두 근 α, β를 알 수 있다.

일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.

:

\begin{align}y&=ax^2+bx+c\\&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\\&=a\left(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\end{align}

표준형에서 이차 함수의 꼭짓점의 좌표는

(x, \, y) = \left( -\frac{b}{2a}, \, -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \right)

이다.

일반형

f(x) = ax^2 + bx + c

는 다항식의 일반론을 적용할 때 편리하며, 표준형

f(x) = a(x - p)^2 + q

이나 인수분해형

f(x) = a(x - s)(x - t)

은 좌표 평면에 그려지는 포물선을 통해 이차 함수의 성질을 조사할 때 편리하다.

3. 2. 볼록성

이차 함수

f

의 이차항 계수

a

에 따라 그래프의 볼록성이 결정된다.

$a>0$ 이면, 그래프는 아래로 볼록하며, $f$ 는 엄격 볼록 함수이다.
$a<0$ 이면, 그래프는 위로 볼록하며, $f$ 는 엄격 오목 함수이다.

또한,

|a|

가 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. 즉, 그래프가 더 뾰족해진다.

3. 3. y절편

이차 함수

f

의

y

절편은

f(0)=c

이다. 즉,

f

의 그래프는

y

축과 점

(0,c)

에서 만난다.

3. 4. 대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값

이차 함수

f

의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.

:

x=-\frac b{2a}

이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.

:

\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)

꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다.

a

의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.

$a>0$ 이라면, $f$ 는 $\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]$ 에서 엄격 감소하며, $\left[-\frac b{2a},\infty\right)$ 에서 엄격 증가한다. 따라서, $f$ 의 최솟값은 $f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
$a<0$ 이라면, $f$ 는 $\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]$ 에서 엄격 증가하며, $\left[-\frac b{2a},\infty\right)$ 에서 엄격 감소한다. 따라서, $f$ 의 최댓값은 $f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

이차 함수의 꼭짓점은 이차 함수가 꺾이는 지점이며, 따라서 변곡점이라고도 불린다.

꼭짓점을 지나는 수직선

:

x=h=-\frac{b}{2a}

은 또한 포물선의 대칭축이다.

$x^2$ , $\frac{x^2}{2}-10$ , $-2x^2+60$ , $(x-10)^2$ 의 그래프

3. 5. 영점 · 판별식 · 비에트 정리

이차 함수

f

의 영점은 그래프와

x

축의 교점의

x

좌표이며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.

:

\alpha,\beta=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

이차 함수의 판별식

b^2-4ac

의 값에 따라 다음과 같이 나뉜다.

$b^2-4ac>0$ 이면, $f$ 는 서로 다른 두 실근 $\alpha\ne\beta$ 를 가진다. 이때 그래프는 $x$ 축과 두 개의 교점을 가지며, $x$ 축은 그래프의 할선이다.
$b^2-4ac=0$ 이면, $f$ 는 서로 겹치는 두 실근 $\alpha=\beta=-\frac{b}{2a}$ 를 가진다. 이를 $f$ 의 '''이중근'''이라고 한다. 이때 그래프는 $x$ 축과 유일한 교점을 가지며, $x$ 축은 그래프의 접선이다.
$b^2-4ac<0$ 이면, $f$ 는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 허근 $\alpha\ne\beta$ 를 가진다. 이때 그래프는 $x$ 축과 만나지 않는다.

이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

:

\alpha+\beta=-\frac ba

:

\alpha\beta=\frac ca

계수 a, b, c가 실수 또는 복소수일 때 근은 다음과 같다.

:

r_1=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a},

:

r_2=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

이차 방정식

ax^2+bx+c=0

의 근의 절댓값은

\frac{\max(|a|, |b|, |c|)}

\times \phi를 넘을 수 없으며, 여기서

\phi

는 황금비

\frac{1+\sqrt{5}}{2}

이다.^[3]

4. 형태

이차 함수는 다음과 같은 세 가지 형태로 나타낼 수 있다.^[2]

일반형: (다항식 연산에 편리)
표준형: (꼭짓점의 좌표를 쉽게 알 수 있음)
인수분해형: (x축과의 교점을 쉽게 알 수 있음, 가 실수인 경우)

일반형은 다항식의 일반론을 적용할 때 편리하며, 표준형이나 인수분해형은 좌표 평면에 그려지는 포물선을 통해 이차 함수의 성질을 조사할 때 편리하다.

세 가지 형태는 서로 변환 가능하다. 일반형을 제곱 완성하면 표준형을 얻을 수 있고, 일반형을 인수분해하면 인수분해형을 얻을 수 있다. 표준형이나 인수분해형을 전개하면 일반형을 얻을 수 있다.

5. 그래프

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다.

thumb

thumb

thumb

일변수 이차 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 의 그래프는 포물선이며, 이변수 이차 방정식 $y = ax^2 + bx + c$ 의 그래프와 같다.

$a > 0$ 이면, 포물선은 위로 열린다.
$a < 0$ 이면, 포물선은 아래로 열린다.

계수

a

는 그래프의 곡률 정도를 제어하며,

a

의 절댓값이 클수록 그래프는 더 닫힌 모양을 보인다.

계수

b

와

a

는 함께 포물선의 대칭축의 위치(꼭짓점의

x

좌표)를 결정하며, 대칭축은 다음 위치에 있다.

:

x = -\frac{b}{2a}.

계수

c

는 포물선의 높이를 제어하며, 더 구체적으로는

y

-축과 교차하는 지점에서의 포물선의 높이이다.

이차 함수는

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)

의 형태로 표현되며, 그래프는 좌표계에서 포물선을 그린다.

일반형(

f(x) = ax^2 + bx + c

)은 다항식의 일반론을 적용할 때 편리하며, 표준형(

f(x) = a(x - p)^2 + q

)이나 인수분해형(

f(x) = a(x - s)(x - t)

)은 좌표 평면에 그려지는 포물선을 통해 이차 함수의 성질을 조사할 때 편리하다.

y = a(x - p)^2 + q

형태의 포물선 축은

x = p

이며, 꼭짓점의 좌표는

(p, q)

이다.

y = a(x - s)(x - t)

형태의 포물선은

s

,

t

가 실수라면

x

축과

x = s

,

x = t

에서 교차한다. 특히

s = t

라면 포물선은

x

축에 접한다.

5. 1. 꼭짓점

이차 함수

f

의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.

:

x=-\frac b{2a}

이 대칭축과 그래프의 교점이 꼭짓점이며, 좌표는 다음과 같다.

:

\left(-\frac b{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)

꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다.

a

의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.

$a>0$ 이라면, $f$ 는 $\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]$ 에서 엄격 감소하며, $\left[-\frac b{2a},\infty\right)$ 에서 엄격 증가한다. 따라서, $f$ 의 최솟값은 $f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
$a<0$ 이라면, $f$ 는 $\left(-\infty,-\frac b{2a}\right]$ 에서 엄격 증가하며, $\left[-\frac b{2a},\infty\right)$ 에서 엄격 감소한다. 따라서, $f$ 의 최댓값은 $f\left(-\frac b{2a}\right)=-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

이차 함수의 꼭짓점은 꺾이는 지점이며, '''변곡점'''이라고도 불린다. 이차 함수가 꼭짓점 형태, 즉

f(x) = a(x - h)^2 + k

일 경우, 꼭짓점은

(h, k)

이다. 일반형

f(x) = a x^2 + b x + c

는 완전 제곱 방법을 사용하여 다음과 같이 바꿀 수 있다.

:

\begin{align}f(x) &= a x^2 + b x + c \\&= a (x - h)^2 + k \\&= a\left(x - \frac{-b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right),\\\end{align}

따라서 일반형 이차 함수의 꼭짓점

(h, k)

는

\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)

이다. 이차 함수가 인수분해 형태

f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)

일 경우, 두 근의 평균

\frac{r_1 + r_2}{2}

이 꼭짓점의

x

좌표이며, 꼭짓점은

\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f\left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)\right)

이다.

꼭짓점을 지나는 수직선

x=h=-\frac{b}{2a}

은 포물선의 '''대칭축'''이다.

5. 1. 1. 최대 및 최소

미분 적분학을 사용하여 함수의 최대 또는 최소가 되는 꼭짓점은 도함수의 근을 구하여 얻을 수 있다.^[1]

:

f(x)=ax^2+bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b

x^영어는 f (x)^영어의 근이며, f (x) = 0^영어이다.^[1]

결과적으로,

:

x=-\frac{b}{2a}

에 해당하는 함수 값은

:

f(x) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = c-\frac{b^2}{4a},

이므로 꼭짓점 좌표 (h, k)^영어는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

\left (-\frac {b}{2a}, c-\frac {b^2}{4a} \right).

6. 반복

$f(x)=ax^2+bx+c$ 형태의 이차 함수를 반복 적용하는 것은, 한 번의 반복에서 얻은 출력을 다음 반복의 입력으로 사용하는 것을 의미한다. 이러한 반복은 복잡한 동역학계를 생성할 수 있다.

$f^{(n)}(x)$ (즉, $f(x)$ 의 ''n''번째 반복)의 해석적 형태를 항상 추론할 수 있는 것은 아니다. 그러나 분석적으로 처리 가능한 경우가 몇 가지 존재한다.

예를 들어, 반복 방정식 $f(x)=a(x-c)^2+c$ 는 $f(x)=h^{(-1)}(g(h(x)))$ 로 표현될 수 있다. 여기서 $g(x)=ax^2$ 이고 $h(x)=x-c$ 이다. 귀납법을 통해 $f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))$ 를 얻을 수 있으며, $g^{(n)}(x) = a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}$ 로 쉽게 계산된다. 따라서 최종 해는 $f^{(n)}(x)=a^{2^n-1}(x-c)^{2^n}+c$ 이다.

''f''와 ''g''의 관계는 위상적 켤레를, 일반적인 반복의 혼돈적 행동은 복소 이차 다항식을 참조하면 된다.

로지스틱 맵 $x_{n+1} = r x_n (1-x_n), \quad 0\leq x_0<1$ 은 매개변수 2<''r''<4인 경우에 대해 일부 해를 구할 수 있다. ''r''=4인 혼돈적인 경우, 해는 $x_{n}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)$ 이다. 여기서 초기 조건 매개변수 $\theta$ 는 $\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})$ 로 주어진다. 유리수 $\theta$ 에 대해 $x_n$ 은 유한 번 반복 후 주기적인 시퀀스로 매핑되지만, 거의 모든 $\theta$ 는 무리수이며, 이 경우 $x_n$ 은 반복되지 않고 비주기적이며 초기 조건에 대한 민감한 의존성을 보인다. 이를 혼돈적이라고 한다.

''r''=2일 때 로지스틱 맵의 해는 $x_0 \in [0,1)$ 에 대해 $x_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^{n}}$ 이다. $(1-2x_0)\in (-1,1)$ 이므로 $(1-2x_0)^{2^{n}}$ 항은 ''n''이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하고, $x_n$ 은 안정적인 고정점 $\tfrac{1}{2}$ 로 수렴한다.

7. 이변수 이차 함수

'''이변수 이차 함수'''는 다음과 같은 형태의 2차 다항식이다.

: $f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F,$

여기서 ''A, B, C, D'' 및 ''E''는 고정된 계수이고 ''F''는 상수항이다. 이러한 함수는 이차 곡면을 나타낸다. $f(x,y)$ 를 0으로 설정하면 곡면과 평면 $z=0$ 의 교차점을 나타내며, 이는 궤적이며 원뿔 곡선과 동일한 점들의 집합이다.

$4AB-E^2 <0$ 이면, 함수는 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않으며, 그래프는 쌍곡 포물면을 형성한다.

$4AB-E^2 >0$ 이면, 함수는 $A>0$ 과 $B>0$ 이 모두 참일 때 최솟값을 가지며, $A<0$ 과 $B<0$ 이 모두 참일 때 최댓값을 가진다. 그래프는 타원 포물면을 형성한다. 이 경우, 최솟값 또는 최댓값은 $(x_m, y_m)$ 에서 발생하며, 여기서:

:

x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2},

:

y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}.

$4AB- E^2 =0$ 이고 $DE-2CB=2AD-CE \ne 0$ 이면, 함수는 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않으며, 그래프는 포물선 기둥을 형성한다.

$4AB- E^2 =0$ 이고 $DE-2CB=2AD-CE =0$ 이면, 함수는 선에서 최댓값/최솟값을 가지며, ''A''>0일 때 최솟값, ''A''<0일 때 최댓값을 가진다. 그래프는 포물선 기둥을 형성한다.

참조

_[1] 웹사이트 Quadratic Equation https://mathworld.wo[...] 2013-01-06
_[2] 서적 College Algebra John Wiley & Sons Inc.
_[3] 간행물 Golden Bounds for the Roots of Quadratic Equations https://doi.org/10.2[...] 2007-11-01

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