절대 수렴

3. 노름 공간 위의 급수

아벨 군 위에 정의된 음이 아닌 실숫값 함수가 다음 조건을 만족할 때, 이 함수를 노름이라고 부른다.

# 가 의 단위 원소일 때, 그리고 그 때에만 이다.

# 모든 에 대해, 이다.

# 모든 에 대해, 이다.

이 때, 는 에 거리 공간의 구조(특히 위상)를 유도한다.

• 값 급수는 일 때, '''절대 수렴한다'''고 정의한다.

3. 1. 정의

3. 2. 성질

4. 위상 벡터 공간 위의 급수

아벨 군 위에서 정의된 음이 아닌 실숫값 함수 가 다음 조건을 만족할 때, 는 노름이라고 불린다.

# 가 의 단위 원소 일 때, 그리고 그 때에만

# 모든 에 대해

# 모든 에 대해

이때 는 에 거리 공간의 구조(특히 위상)를 이끈다.

이로 인해, -값 급수는 일 때, '''절대 수렴한다'''고 정의한다.

특히, 실수 또는 복소 급수의 경우에는, 절댓값 을 노름으로 하여 이러한 주장이 모두 만족된다.

4. 1. 정의

4. 2. 성질

5. 무조건 수렴과의 관계

노름 아벨 군 $G$의 값을 갖는 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$과 자연수의 순열 $\backslash sigma$가 주어졌을 때, $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_\{\backslash sigma(n)\}$은 원래 급수의 재배열이라고 불린다. 임의의 재배열이 (순열의 선택에 관계없이) 같은 값으로 수렴할 때, 이 급수는 무조건 수렴한다고 한다.

$G$가 완비이면 절대 수렴으로부터 무조건 수렴이 유도된다. 즉, 노름 아벨 군 $G$가 노름에 관해 완비라고 하면, $G$상의 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$은 절대 수렴하면 무조건 수렴한다.

실수 또는 복소수열에 대해서는, 리만 급수 정리의 대우로서, 무조건 수렴으로부터 절대 수렴이 유도된다. 즉, 실수 또는 복소수열에 대해서는 무조건 수렴과 절대 수렴은 동치이다.

일반적인 노름 아벨 군 $G$ 상의 수열에서는 절대 수렴과 무조건 수렴은 구별된다. 완비 노름 공간에서도 무조건 수렴으로부터 절대 수렴이 유도되지 않는다. 예를 들어 힐베르트 공간 $\backslash ell^2$에서, $\backslash \{e\_n\backslash \}\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}$를 직교 기저로 하는 수열 $a\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; e\_n$에 의한 급수는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다. 더 일반적으로, Dvoretzky–Rogers 정리에 따르면, 모든 무한 차원 바나흐 공간에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.^[3]

6. 급수의 곱과 절대 수렴

두 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; =\; A$, $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n\; =\; B$가 모두 절대 수렴하면, 곱셈과 덧셈의 분배 법칙이 성립한다.^[1]

6. 1. 분배 법칙

6. 2. 코시 곱

7. 절대 수렴과 무한곱

복소수열의 급수 ∑_i=1^∞ a_i가 절대 수렴하면, 무한곱 ∏_i=1^∞(1 + a_i)도 수렴한다.^[1]

8. 적분의 절대 수렴

적분에서, 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수 $\backslash int\_A\; f(x)\backslash ,dx$가 를 만족하면 '''절대 수렴'''한다고 한다. 이 때, $f$는 '''절대 적분 가능'''하다고도 한다. 절대 적분 가능성은 리만 적분, 르베그 적분, 쿠르츠바일-헨스톡 적분 (게이지 적분) 중 어느 것을 고려하는지에 따라 달라진다.

$A\; =\; [a,b]$가 유계인 구간일 때, 모든 연속 함수는 유계이고 (리만) 적분 가능하며, $f$가 연속이면 $|f|$도 연속이므로 모든 연속 함수는 절대 적분 가능하다. $f$가 (고유하게) 적분 가능하고 $g$가 연속이면 $[a,b]$에서 $g\backslash circ\; f$가 리만 적분 가능하므로, $f$가 고유하게 리만 적분 가능하면 $|f|=|\backslash cdot|\backslash circ\; f$도 고유하게 리만 적분 가능하다.

그러나 $[a,b]$에서 절대 적분 가능한 함수가 일반적으로 적분 가능하다는 것은 성립하지 않는다. 비가측 부분 집합 $S\; \backslash subset\; [a,b]$에 대해 $f\; =\; \backslash chi\_S\; -\; 1/2,$를 생각하면, $f$는 르베그 가측이 아니므로 적분 가능하지 않지만, $|f|\; \backslash equiv\; 1/2$는 상수 함수이므로 적분 가능하다.

일반적으로, $f$가 리만 적분 가능 (또는 르베그 적분 가능)이면 $|f|$도 마찬가지이다.

하지만, 함수 $f$가 쿠르츠바일-헨스톡 적분 가능(게이지 적분 가능)하더라도 $|f|$가 그렇지 않을 수 있다. 여기에는 부적절하게 리만 적분 가능한 함수가 포함된다.

무한 구간에서는 절대 적분 가능하지 않은 이상 리만 적분 가능 함수가 존재한다. 예를 들어 $f:[1,\backslash infty)\; \backslash to\; \backslash R\; :\; x\; \backslash mapsto\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$는 무한 영역에서 부적절하게 리만 적분 가능하지만 절대 적분 가능하지 않다.

$$\backslash int\_1^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\backslash ,dx\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash bigl[\backslash pi\; -\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{Si\}(1)\backslash bigr]\; \backslash approx\; 0.62,\; \backslash text\{\; but\; \}\; \backslash int\_1^\backslash infty\; \backslash left|\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\backslash right|\; dx\; =\; \backslash infty.$$

일반적으로, $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n$과 같은 수열에 대해 $f\_a([n,n+1))\; =\; a\_n$로 정의되는 계단 함수 $f\_a:\; [0,\backslash infty)\; \backslash to\; \backslash R$를 고려할 수 있다. 그러면 $\backslash int\_0^\backslash infty\; f\_a\; \backslash ,\; dx$는 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n.$의 수렴성에 따라 절대 수렴, 조건부 수렴 또는 발산한다.

르베그 적분에서는 $|f|$의 적분이 무한대이면 $f$도 르베그 적분 가능하지 않다. $f$가 가측인 경우, $f$는 $|f|$가 (르베그) 적분 가능한 경우에만 (르베그) 적분 가능하다.

모든 측도 공간 $A$에서 실수 값을 갖는 함수의 르베그 적분은 양수 및 음수 부분에 따라 정의되므로,

# $f$ 적분 가능은 $|f|$ 적분 가능을 의미한다.

# $f$ 가측, $|f|$ 적분 가능은 $f$ 적분 가능을 의미한다.

는 르베그 적분 정의에 포함된다. 계수 측도를 집합 $S$에 적용하면, 넷을 사용하여 개발된 수열의 비순서 합산 개념이 복구된다. $S\; =\; \backslash N$인 경우 르베그 적분 가능성, 비순서 합산 가능성 및 절대 수렴은 모두 일치한다.

바나흐 공간에서 값을 갖는 적분에도 위 내용이 적용된다. 바나흐 값 리만 적분의 정의는 일반적인 정의를 수정한 것이다. 르베그 적분의 경우, 함수 해석적 접근 방식인 Daniell의 접근 방식을 사용하여 양수와 음수 부분으로의 분해를 피하여 보흐너 적분을 얻어야 한다.

9. 비가산 집합에 대한 절대 수렴

$X$를 가산 또는 비가산 집합으로 하고, $f\; :\; X\; \backslash to\; \backslash R$를 함수라고 하자. 이때 '''$X$에 대한 $f$의 합이 절대 수렴한다'''는 것은 다음을 의미한다.^[4]

:

$X$에 대한 $f$의 합이 절대 수렴하면, $f$는 최대 가산 집합에서 0이 아닌 값을 갖는다는 정리가 있다. 따라서 합이 절대 수렴할 때 $X$에 대한 $f$의 합은 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash sum\_\{x\; \backslash in\; X\}\; f(x)\; :=\; \backslash sum\_\{x\; \backslash in\; X\; :\; f(x)\; \backslash neq\; 0\}\; f(x).$$

여기서 최종 수열은 가산 집합에 대한 수열의 정의를 사용한다.

참조

_[1] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 An introduction to Banach space theory Springer-Verlag
_[3] 논문 Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces
_[4] 서적 Analysis I Hindustan Book Agency
_[5] 서적 The Way of Analysis Jones & Bartlett Learning
_[6] 서적 An introduction to Banach space theory Springer-Verlag
_[7] 서적 Topological Vector Spaces and Their Applications Springer 2017
_[8] 서적 Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence Birkhäuser 1997
_[9] 서적 Topological Vector Spaces Springer 1999