리만 적분

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 연산에 대한 닫힘
- 3.2. 미적분학의 기본 정리
4. 관련 개념
5. 예시
6. 한계 및 다른 적분과의 비교
참조

1. 개요

리만 적분은 주어진 함수의 리만 합의 극한으로, 함수의 적분 값을 정의하는 방법이다. 함수 f가 구간 [a, b]에서 리만 적분 가능하려면, 리만 합의 분할을 세분화할 때 그 극한이 존재해야 하며, 이 극한값을 f의 리만 적분이라고 한다. 리만 적분은 유계 함수와 유계 구간에서 정의되며, 연속 함수, 유한 개의 불연속점을 가진 함수, 단조 함수 등 다양한 함수에 적용할 수 있다. 리만 적분은 선형성을 가지며, 미적분학의 기본 정리를 통해 부정적분과 정적분 사이의 관계를 설명한다. 하지만, 모든 함수에 대해 정의되지 않고, 이상 적분이나 르베그 적분과 같은 다른 적분법에 비해 한계를 갖는다.

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리만 적분
개요
함수 f의 그래프와 x축 사이 영역의 부호 있는 넓이를 나타내는 리만 적분의 기하학적 해석
분야	실해석학
이름의 유래	베른하르트 리만
정의	함수 그래프 아래 영역의 넓이의 극한
기호	∫
선행	미적분학의 기본정리
후행	르베그 적분
상세 정보
형식	리만 합 달부 합
적분 함수	리만 적분 가능 함수
관련 항목	미적분학 이상 적분 다변수 미적분학 스틸체스 적분 다르부 적분 구적법
같이 보기
관련 항목	미분 미적분학의 기본정리 르베그 적분 미분적분학 수학 분석

2. 정의

함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb R$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 실수 $I\in\mathbb R$ 가 존재한다면, $f$ 를 $[a,b]$ 위에서 '''리만 적분 가능 함수'''라고 하고, $I$ 를 $f$ 의 $[a,b]$ 위에서의 '''리만 적분'''이라고 한다.

$\lim_{\lambda(P)\to0}\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=I$

이는 일반적인 의미의 극한은 아니다. 왜냐하면

\lambda(P)

의 한 값에 여러 가지 리만 합이 대응되기 때문이다. 즉, 이 극한은 다음 조건과 동치이다.

임의의 $\epsilon>0$ 에 대하여, $\delta(\epsilon)>0$ 이 존재하여, 임의의 분할 $a=x^P_0 및 태그 (t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1} 에 대하여, \lambda(P)<\delta(\epsilon) 이면, \left|\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)-I\right|<\epsilon 이다.$

리만 적분 값

I

는

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx

와 같이 표기하며, 리만 적분 가능 함수의 집합은

\mathcal R([a,b];\mathbb R)

와 같이 표기한다.

적분 상한이 적분 하한보다 작지 않은 경우의 리만 적분은 다음과 같이 추가 정의한다.

:

\int_a^af(x)\mathrm dx=0\qquad(a\in\mathbb R,\;f\colon\{a\}\to\mathbb R)

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=-\int_b^af(x)\mathrm dx\qquad(a>b,\;f\in\mathcal R([b,a];\mathbb R))

어떤 곡선이 그래프 위에 있고, 그 곡선이 두 점 a와 b 사이에서 x축 위에 있다고 가정했을 때, a에서 b까지, 그 곡선 아래의 면적이 우리가 구하려는 것이다. 이 면적은 a ≤ x ≤ b (x 좌표는 a와 b 사이)이고 0 < y < f(x) (y 좌표는 0과 곡선 f(x)의 높이 사이)인 모든 점 (x, y)의 집합으로 집합-구성 기호를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

S = \left \{ (x, y)\,: \,a \leq x \leq b\,,\, 0 < y < f(x) \right \}.

이 면적을 측정하기 위해 '''리만 적분'''을 사용하며 다음과 같이 표기한다.

\int_a^b f(x)\,dx.

이 표기는 "a에서 b까지 f(x)의 적분"을 의미하며, x = a와 x = b 사이에서 f(x) 곡선 아래 x축 위의 정확한 면적을 나타낸다.

리만 적분은 면적을 작은 직사각형과 같은 모양으로 나누고, 그 면적을 더한 다음 직사각형을 점점 작게 만들어 더 나은 추정치를 얻는 방식이다. 결국, 직사각형이 무한히 작아지면 합계는 정확한 면적을 제공하며, 이는 적분이 나타내는 것이다.

곡선이 x축 아래로 내려가면 적분은 '''부호 있는 면적'''을 제공한다. 이것은 적분이 x축 위의 부분을 양수로 더하고 x축 아래의 부분을 음수로 뺀다는 것을 의미한다. 따라서

\int_a^b f(x)\,dx

의 결과는 곡선의 얼마나 많은 부분이 x축 위에 또는 아래에 있는지에 따라 양수, 음수 또는 0이 될 수 있다.

2. 1. 구간의 분할

닫힌구간

[a,b]

의 '''분할'''은

\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]

인 유한 집합이다. 즉, a와 b를 포함하여 구간 내의 점들을 유한 개 선택하여 크기 순서대로 나열한 것이다. 편의상 그 원소들을 다음과 같이 표기한다.

:

a=x^P_0

이는 닫힌구간

[a,b]

를 내부가 쌍마다 서로소인 닫힌구간

[x^P_i,x^P_{i+1}]

들로 분할하는 방법에 대응한다.

P

의 '''메시'''(mesh)

\lambda(P)

는 분할된 구간들의 최대 길이이다. 즉, 다음과 같다.

:

\lambda(P)=\max_{0\le i\le n_P-1}(x^P_{i+1}-x^P_i)

닫힌구간

[a,b]

의 두 분할

P

,

Q

가

P\subseteq Q

를 만족시키면,

Q

가

P

의 '''세분'''(refinement)이라고 한다. 즉, 이는

Q

가

P

를 더 잘게 분할하여 얻을 수 있는지를 나타낸다.

P

와

Q

의 '''공통 세분'''

P\cup Q

은 두 분할 모두의 세분인 분할 가운데 가장 잘지 않은 하나이다.

예를 들어, 닫힌구간

[0,1]

을 3등분하는 분할 0 < 1/3 < 2/3 < 1은 각 구간의 길이가 1/3이므로 메시가 1/3이며, 2등분 분할 0 < 1/2 < 1과의 공통 세분은 0 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1이다.

2. 2. 리만 합

닫힌구간

[a,b]

에서 정의된 실수 값을 갖는 함수

f

와 다음이 주어졌다고 하자.

분할 $a=x^P_0$
태그 $(t_i\in[x^P_i,x^P_{i+1}])_{i=0}^{n_P-1}$

이때,

f

의 분할

P

및 태그

t

에 대한 '''리만 합'''(Riemann合, Riemann sum^영어)은 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

\sum_{i=0}^{n_P-1}f(t_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)=f(t_0)(x^P_1-x^P_0)+f(t_1)(x^P_2-x^P_1)+\cdots+f(t_{n_P-1})(x^P_{n_P}-x^P_{n_P-1})

이는 각 부분구간에서 선택된 점

t_i

에서의 함수값

f(t_i)

와 그 부분구간의 길이

(x^P_{i+1}-x^P_i)

를 곱한 값들의 총합이다. 주어진 함수의 주어진 분할에 대한 리만 합은 태그 선택에 따라 달라지므로 유일하지 않다.

리만 합의 각 항은 주어진 점에서의 함수값과 구간의 길이의 곱으로, 높이가

f(t_i)

이고 너비가

x_{i+1}-x_i

인 직사각형의 (부호가 있는) 면적을 나타낸다. 따라서, 리만 합은 이 직사각형들의 (부호가 있는) 면적의 합이다.

예를 들어, 다음과 같은 리만 합들을 정의할 수 있다.

'''왼쪽 리만 합'''(왼쪽Riemann合, left Riemann sum^영어): 각 구간의 왼쪽 끝점을 태그로 선택한다. 즉, $\sum_{i=0}^{n_P-1}f(x^P_i)(x^P_{i+1}-x^P_i)$ 이다.
'''오른쪽 리만 합'''(오른쪽Riemann合, right Riemann sum^영어): 각 구간의 오른쪽 끝점을 태그로 선택한다. 즉, $\sum_{i=0}^{n_P-1}f(x^P_{i+1})(x^P_{i+1}-x^P_i)$ 이다.
'''가운데 리만 합'''(가운데Riemann合, middle Riemann sum^영어): 각 구간의 중간점을 태그로 선택한다. 즉, $\sum_{i=0}^{n_P-1}f\left(\frac{x^P_i+x^P_{i+1}}2\right)(x^P_{i+1}-x^P_i)$ 이다.
$n$ 등분 분할에 대한 리만 합: $\frac{b-a}n\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)$ . 여기서 $t_i\in\left[a+i\frac{b-a}n,a+(i+1)\frac{b-a}n\right]$ 이다.

리만 합의 예시. 오른쪽 위의 숫자는 회색 직사각형들의 총 면적으로, 함수의 적분값에 수렴한다.

2. 3. 다르부 적분

다르부 적분은 리만 적분과 동등한 또 다른 적분법으로, 다르부 상합과 다르부 하합을 이용하여 정의된다.

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

와 분할

P

(

a=x^P_0)에 대해, f 의 P 에 대한 '''(다르부) 상합'''((Darboux)上合, upper (Darboux) sum

^영어)

U(f,P)

은 다음과 같다. (여기서

\sup

와

\inf

는 각각 상한과 하한의 기호이다.)

:

U(f,P)=\sum_{i=0}^{n_P-1}\sup_{x\in[x^P_{i+1},x^P_i]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)

마찬가지로, 함수

f

의 분할

P

에 대한 '''(다르부) 하합'''((Darboux)下合, lower (Darboux) sum^영어)

L(f,P)

은 다음과 같다.

:

L(f,P)=\sum_{i=0}^{n_P-1}\inf_{x\in[x^P_{i+1},x^P_i]}f(x)(x^P_{i+1}-x^P_i)

다르부 상합은 각 부분구간에서 함수값의 상한(supremum)을, 다르부 하합은 하한(infimum)을 이용하여 계산한다.

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

의

[a,b]

위의 '''(다르부) 상적분'''((Darboux)上積分, upper (Darboux) integral^영어)은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.

:

\overline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\inf_{\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]}^{|P|<\aleph_0}U(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}U(f,P)

마찬가지로,

f

의

[a,b]

위의 '''(다르부) 하적분'''((Darboux)下積分, lower (Darboux) integral^영어)은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.

:

\underline{\int_a^b}f(x)\mathrm dx=\sup_{\{a,b\}\subseteq P\subseteq[a,b]}^

3. 성질

리만 적분은 선형 변환이다. 즉, 함수 f와 g가 닫힌 구간 [a, b]에서 리만 적분 가능하고 α와 β가 상수이면, 다음이 성립한다.^[3]:

\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx.

함수의 리만 적분은 하나의 수이므로, 이는 리만 적분이 리만 적분 가능 함수 전체가 이루는 벡터 공간 상의 선형 범함수가 됨을 보여준다.^[3]

콤팩트 구간 [a, b]에서 정의된 유계 함수는 연속 함수가 거의 어디서나일 때 (즉, 불연속점의 집합이 르베그 측도의 의미에서 측도 0을 가질 때) 리만 적분 가능하다. 이를 '''르베그-비탈리 정리'''라고 한다. 이 정리는 1907년에 주세페 비탈리와 앙리 르베그에 의해 독립적으로 증명되었으며, 측도 0의 개념을 사용하지만 르베그의 일반적인 측도나 적분을 사용하지는 않는다.^[4]^[5]^[6]^[7]

특히, 가산 이하의 모든 집합은 르베그 측도 0을 가지므로, 유한하거나 가산적으로 많은 불연속점을 가진 (콤팩트 구간에서) 유계 함수는 리만 적분 가능하다.

디리클레 함수

:

D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}

는 [0,1] 위에서 리만 적분 가능 함수가 아니다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

리만 적분 가능 함수는 다음과 같은 연산들에 대하여 닫혀있다.

(합) $f,g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)\implies f+g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)$
(곱) $f,g\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)\implies fg\in\mathcal R([a,b];\mathbb R)$
(함수의 제한) $f\in\mathcal R([a,b];\mathbb R),\;[c,d]\subseteq[a,b]\implies f|_{[c,d]}\in\mathcal R([c,d];\mathbb R)$

또한, 닫힌구간

I

위의 리만 적분 가능 함수

f,g\colon I\to\mathbb R

및 정의역 속 점들

a,b,c\in I

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\int_a^bf(x)+g(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_a^bg(x)\mathrm dx

:

\int_a^bkf(x)\mathrm dx=k\int_a^bf(x)\mathrm dx\qquad(k\in\mathbb R)

:

\int_a^cf(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_b^cf(x)\mathrm dx

\{f_n\}

을 닫힌 구간

I

위의 균등 수렴 열로, 그 극한을

f

라고 할 때, 모든

f_n

이 리만 적분 가능하다면,

f

도 또한 리만 적분 가능하며 다음이 성립한다.

:

\int_I f\, dx = \int_I(\lim_{n\to\infty} f_n)dx = \lim_{n\to\infty} \int_I f_n\, dx

3. 2. 미적분학의 기본 정리

미적분학의 기본 정리에 따르면 리만 적분에 대한 미적분학의 제1 기본 정리는 다음과 같다. 리만 적분 가능 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

에 대한 다음 함수를 생각하자.

:

F\colon[a,b]\to\mathbb R

:

F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt

그렇다면,

F

는 립시츠 연속 함수이다. 따라서,

F

는 거의 어디서나 미분 가능 함수이며, 모든 미분 가능점에서

F'(x)=f(x)

이다. 만약 추가로

f

가 연속 함수라면,

F

는 연속 미분 가능 함수이며, 임의의

x\in[a,b]

에 대하여

F'(x)=f(x)

를 만족시킨다, 즉,

f

의 원함수이다.

리만 적분에 대한 미적분학의 제2 기본 정리는 다음과 같다. 함수

f\colon[a,b]\to\mathbb R

가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

(부정적분 가능 함수) $F'(x)=f(x)\forall x\in[a,b]$
(리만 적분 가능 함수) $\int_a^bf(x)\mathrm dx\in\mathbb R$

그렇다면, 다음이 성립한다.

:

\int_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)=F(x)|_a^b

리만 적분에 대한 미적분학 제2 기본 정리는 적분 가능 함수를 전제하여야 한다. 즉, 부정적분 가능 함수는 리만 적분 가능 함수일 필요가 없다.

4. 관련 개념

리만 적분은 유계 함수와 유계 구간을 전제로 하지만, 이상 적분은 무계 함수와 무계 구간에 대한 적분을 일부 허용하여 리만 적분의 정의를 확장한다. 예를 들어, 다음과 같이 극한을 사용하여 정의할 수 있다.

: $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty \atop b \to \infty}\int_a^b f(x)\,dx.$

그러나 이 정의는 코시 주요값을 계산하는 것과 항상 동등하지 않다는 점에 유의해야 한다.

리만 중적분은 여러 변수로 이루어진 함수에 대한 적분을 다룬다. 리만 적분은 임의의 n에 대해 유클리드 벡터 공간 $\R^n$ 값을 갖는 함수로 쉽게 확장할 수 있다. 복소수는 실수 벡터 공간이므로, 복소수 값을 갖는 함수의 적분도 가능하다.

항등 함수의 미분 대신 임의의 증가 함수의 미분소를 사용하면, 리만-스틸티어스 적분을 얻는다.^[1] 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하면, 르베그 적분을 얻는다.^[1] 실수 함수의 예를 들면, 함수가 나타내는 영역을 '세로로' 잘게 쪼개 적분을 구하는 리만 적분과는 달리, 르베그 적분은 함수가 나타내는 영역을 '가로로' 잘게 쪼개 적분을 구한다.^[1]

리만 적분을 직접 일반화한 것으로 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 있다.^[1]

4. 1. 이상 적분

Improper integral^영어(이상 적분)은 유계 함수와 유계 구간이 전제되어야 하는 리만 적분의 정의를 확장하여, 무계 함수와 무계 구간에 대한 적분을 일부 허용한다. 리만 적분은 유계 구간에서만 정의되며, 비유계 구간으로 잘 확장되지 않는다. 이를 극복하기 위해 극한을 사용하여 이상 적분을 정의한다. 예를 들어 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty \atop b \to \infty}\int_a^b f(x)\,dx.

그러나 이 정의는 코시 주요값을 계산하는 것과 항상 동등하지 않다는 미묘한 점이 있다. 예를 들어 부호 함수를 생각해보자. 이 함수는 x=0 에서 0이고, x>0 에서 1, x<0 에서 −1이다. 대칭성에 의해,

:

\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0

이 항상 a에 관계없이 성립한다. 그러나 적분 구간이 실수선을 채우도록 확장되는 방법은 여러 가지가 있으며, 다른 방법은 다른 결과를 생성할 수 있다. 즉, 다변수 극한은 항상 존재하지 않는다.

일반적으로 이 이상 리만 적분은 정의되지 않는다. 심지어 구간이 실수선에 접근하는 방식을 표준화하는 것도 작동하지 않는데, 이는 놀랍도록 직관적이지 않은 결과를 초래하기 때문이다.

이상 리만 적분은 충분히 강력하지 않다는 문제점이 있다. 특히, 이상 리만 적분과 함수의 극한을 교환하는 데 적용할 수 있는 널리 사용 가능한 정리가 없다. 푸리에 급수와 같은 응용 분야에서 함수의 적분을 함수 근사의 적분을 사용하여 근사할 수 있는 것이 중요하지만, 이상 리만 적분에서는 이것이 보장되지 않는다.

더 나은 방법은 르베그 적분을 위해 리만 적분을 포기하는 것이다. 르베그 적분의 정의는 명백하게 리만 적분의 일반화가 아니지만, 모든 리만 적분 가능 함수는 르베그 적분 가능하고 두 적분 값이 둘 다 정의될 때 일치한다는 것을 증명하는 것은 어렵지 않다.

4. 2. 차원의 일반화

리만 중적분은 여러 변수로 이루어진 함수에 대한 적분을 다룬다. 리만 적분은 임의의 n에 대해 유클리드 벡터 공간

\R^n

값을 갖는 함수로 쉽게 확장될 수 있다. 적분은 성분별로 정의된다. 즉, '''f''' = (''f''₁, ..., ''f''_''n'')이면,

\int\mathbf{f} = \left(\int f_1,\,\dots, \int f_n\right).

이다. 특히, 복소수는 실수 벡터 공간이므로, 복소수 값을 갖는 함수의 적분도 가능하다.

다변수 미적분학에서

\R^n\to\R

함수에 대한 리만 적분은 중적분이다.

\R^n

위의 리만 적분을 정의하기 위해 몇 가지 개념을 정의한다.

\R^n

의 부분집합 I가

:

I=[a_1,b_1]\times\cdots\times [a_n,b_n]

형태로 나타낼 수 있는 것을 (유계 폐) 구간이라 하며, I의 '''지름''' diam(I)와 (''n'' 차원) '''체적''' v(I)를 다음과 같이 정의한다.

:

\operatorname{diam}(I) = \max_{i=1,\ldots,n}(b_i-a_i),\quad v(I)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

I를 구간이라고 할 때, 다음 성질을 만족하는 구간의 집합 D를 I의 '''분할'''이라고 한다.

:

a_i = x_{i,0} < x_{i,1} <  \cdots < x_{i,m_i} = b_i

를 만족하는 실수들의 집합

\{x_{i,j}\}

가 존재하고,

J_{i,j} \coloneqq [x_{i,j}, x_{i,j+1}]

일 때, D는

:

J_{1,j_1}\times\cdots\times J_{n,j_n}

형태로 나타낼 수 있는 구간 전체의 집합이다.

또한, "임의의

J \in D

에 대해

\xi_J \in J

"를 만족하는 집합

\xi=\{\xi_J\}_{J\in D}

를 D의 '''대표계'''라고 하며, I의 분할 D와 그 대표계

\xi

의 쌍 (D,

\xi

)를 I의 '''점 찍힌 분할'''이라고 한다.

f: \R^n \to \R

을 함수, I를

\R^n

내의 구간, (D,

\xi

)를 I의 점 찍힌 분할이라고 할 때, '''리만 합'''

S_f(D,\xi)

는 다음과 같이 정의된다.

:

S_f(D,\xi)=\sum_{J\in D}f(\xi_J)v(J).

다음 성질을 만족하는 실수 a가 존재할 때, f는 I 위에서 '''리만 적분 가능'''하다고 하며, a를 f의 I 위의 '''적분값'''이라고 하고,

\int_I f(x)\,dx

로 표기한다. 임의의

\varepsilon > 0

에 대해 어떤

\delta > 0

가 존재하여, I의 모든 점 찍힌 분할 (D,

\xi

)에 대해,

:

\max_{J\in D}\operatorname{diam}(J)<\delta\implies \left|S_f(D,\xi)-a\right|<\varepsilon.

가 성립한다.

리만 적분의 정의는 임의의 n차원 유클리드 공간

\R^n

에 값을 갖는 함수로 쉽게 확장할 수 있다. 선형성에 기초하여, '''f''' = (''f''₁, …, ''f''_n)에 대하여

:

\int\mathbf{f} = \left(\int f_1,\,\dots, \int f_n\right)

으로 정의한다. 복소수는 실수 벡터 공간이므로, 복소수 값 함수의 적분도 가능하다.

4. 3. 측도의 일반화

항등 함수의 미분 대신 임의의 증가 함수의 미분소를 사용하면, 리만-스틸티어스 적분을 얻는다.^[1] 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하면, 르베그 적분을 얻는다.^[1] 실수 함수의 예를 들면, 함수가 나타내는 영역을 '세로로' 잘게 쪼개 적분을 구하는 리만 적분과는 달리, 르베그 적분은 함수가 나타내는 영역을 '가로로' 잘게 쪼개 적분을 구한다.^[1]

리만 적분을 직접 일반화한 것으로 헨스톡-쿠르츠바일 적분이 있다.^[1]

리만 적분을 일반화하는 또 다른 방법은 리만 합의 정의에서 인자를 다른 것으로 대체하는 것이다.^[1] 대략적으로 말하면, 이것은 적분 구간에 다른 길이 개념을 부여하는 것이다.^[1] 리만-스틸티어스 적분은 이러한 접근 방식을 취한다.^[1]

5. 예시

제곱 함수 $x^2$ 의 0에서 1까지의 리만 적분은 오른쪽 리만 합을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

: $\int_0^1x^2\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac13$

제곱 함수 $x^2$ 는 연속 함수이므로, 부정적분 가능 함수이자 리만 적분 가능 함수이다. 따라서, 그 리만 적분을 미적분학의 기본 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.^[1]

: $\int_0^1x^2\mathrm dx=\left.\frac13x^3\right|_0^1=\frac13$

함수 $f:[0,1]\to\R$ 가 모든 점에서 값 1을 갖는다고 하자. $[0, 1]$ 에서 $f$ 의 모든 리만 합은 1의 값을 갖게 되므로, $[0, 1]$ 에서 $f$ 의 리만 적분은 1이다.^[1]

디리클레 함수 $I_{\Q}:[0,1]\to\R$ 는 구간 [0, 1]에 포함된 유리수 전체의 집합의 지시 함수로, 유리수에서 1, 무리수에서 0이 되는 함수이다. 이 함수는 리만 적분을 갖지 않는다.^[1]

$C$ 를 스미스-볼테라-칸토어 집합이라고 하고, $I_C$ 를 그 지표 함수라고 하자. $C$ 가 조르당 가측이 아니기 때문에, $I_C$ 는 리만 적분 가능하지 않다. 게다가, $I_C$ 와 동등한 함수 $g$ 는 리만 적분 가능하지 않다.^[1]

6. 한계 및 다른 적분과의 비교

리만 적분은 모든 함수에 대해 정의되지 않는다. 특히, 불연속점이 많은 함수에 대해서는 적분값을 정의하기 어렵다. 예를 들어, 디리클레 함수

: $D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\0&x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q\end{cases}$

는 [0,1] 구간에서 리만 적분이 불가능하다. 아무리 구간을 잘게 나누어도 각 구간 안에 유리수와 무리수가 모두 존재하기 때문에, 리만 합의 극한값이 존재하지 않는다.^[4]^[5]^[6]^[7]

볼테라 함수의 도함수처럼, 유계 함수이지만 리만 적분이 불가능한 경우도 있다.

르베그 적분은 리만 적분보다 더 일반적인 적분법으로, 더 넓은 범위의 함수에 대해 적분값을 정의할 수 있다. 예를 들어 디리클레 함수는 리만 적분은 불가능하지만 르베그 적분은 가능하다. 르베그 적분에서 디리클레 함수의 적분값은 0인데, 이는 함수가 거의 모든 곳에서 0이기 때문이다.

다르부 적분은 리만 적분과 동등하지만, 개념적으로 더 단순하여 교육적인 목적으로 활용될 수 있다. 어떤 함수가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 다르부 적분 가능하다는 것이다.

일부 미적분학 교과서에서는 "좌측", "우측" 리만 합 또는 구간의 정규 세분만을 사용하여 리만 적분을 정의하기도 한다. 이러한 제한은 그 자체로는 문제가 되지 않지만, 이들을 결합하여 사용하는 것은 위험할 수 있다. 예를 들어, 정규 세분된 구간에서 좌측 또는 우측 리만 합만 사용하면 지시 함수 $I_{\Q}$ 가 [0, 1]에서 적분값이 1인 것으로 나타날 수 있다.

콤팩트 구간에서 정의된 유계 함수가 리만 적분 가능할 필요충분조건은 연속 함수가 거의 어디서나(불연속점의 집합이 르베그 측도의 의미에서 측도 0을 가질 때) 연속이라는 것이다. 이를 르베그 적분 가능 조건이라 한다.

리만 적분은 이상 적분으로 확장될 수 있지만, 코시 주요값과 항상 동등하지 않다는 점 등 몇 가지 미묘한 점을 내포하고 있다. 또한, 리만 적분은 함수의 극한과 적분 기호의 순서를 바꾸는 것이 르베그 적분보다 어렵다.

참조

_[1] 논문 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe https://books.google[...] Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1868
_[2] 서적 Real Analysis and Foundations https://www.worldcat[...] Chapman & Hall/CRC 2005
_[3] 서적 Measure Theory and Integration https://books.google[...] American Mathematical Society
_[4] 간행물
_[5] 학술지 A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability 1936-09
_[6] 서적 Basic real analysis https://books.google[...]
_[7] 문서 Introduction to Real Analysis http://ramanujan.mat[...] 2010-04
_[8] 웹사이트 Lebesgue’s Condition http://unapologetic.[...] 2009-12-15
_[9] 웹사이트 Jordan Content Integrability Condition http://unapologetic.[...] 2009-12-09
_[10] 학술지 On Riemann Integrability https://www.jstor.or[...] 1971
_[11] 학술지 Taking limits under the integral sign http://www.maa.org/p[...]
_[12] 웹사이트 An Open Letter to Authors of Calculus Books https://math.vanderb[...] 2014-02-27
_[13] 간행물 Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe https://books.google[...]
_[14] 서적 ルベーグ積分岩波全書
_[15] 간행물
_[16] 학술지 A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability 1936-09
_[17] 서적 Basic real analysis https://books.google[...]
_[18] 문서 Introduction to Real Analysis http://ramanujan.mat[...] 2010-04
_[19] 웹사이트 Lebesgue’s Condition http://unapologetic.[...] 2009-12-15
_[20] 웹사이트 Jordan Content Integrability Condition http://unapologetic.[...] 2009-12-09
_[21] 웹사이트 http://planetmath.or[...]

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