조밀 집합

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
4. 예
5. 관련 개념
- 5.1. 거리 공간에서의 조밀성
참조

1. 개요

조밀 집합은 위상 공간의 부분 집합으로, 이 집합의 폐포가 전체 공간과 같거나, 모든 열린 집합과의 교집합이 공집합이 아닌 경우를 의미한다. 조밀 집합은 위상 공간의 여러 성질을 결정하며, 하우스도르프 공간에서의 연속 함수는 조밀 집합에서의 값에 의해 결정된다. 유리수 집합은 실수 집합에서 조밀하며, 모든 위상 공간은 자기 자신의 조밀 집합이다.

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조밀 집합
정의
위상 공간	위상 공간 X의 부분 집합 E에 대해, E의 폐포가 X와 같을 때, 즉 cl(E) = X일 때, E를 X의 조밀 집합이라고 한다.
거리 공간	거리 공간 (M, d)의 부분 집합 A에 대해, M의 모든 점이 A의 점의 극한일 때, 즉 M의 모든 x에 대해 A의 점들의 수열 (xn)이 존재하여 xn → x일 때, A를 M의 조밀 집합이라고 한다.
성질
조밀성의 필요 충분 조건	A가 X에서 조밀할 필요 충분 조건은 X의 모든 비어 있지 않은 열린 집합이 A의 점을 포함한다는 것이다.
분해 가능 공간	분해 가능 공간은 가산 조밀 부분 집합을 갖는 위상 공간이다.
분해 가능 거리화 가능 공간	분해 가능 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간이다.
분해 가능 힐베르트 공간	분해 가능 공간은 분해 가능 힐베르트 공간이다.
분해 가능 국소 콤팩트 하우스도르프 공간	분해 가능 공간은 분해 가능 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
분해 가능 완비 거리 공간	분해 가능 공간은 분해 가능 완비 거리 공간이다.
베르 공간	완비 거리 공간은 베르 공간이다.
분해 가능 베르 공간	분해 가능 베르 공간은 가산개의 조밀 집합의 교집합이다.
예시
실수 집합	실수 집합 R에서 유리수 Q의 집합은 조밀하다. 모든 실수는 유리수의 극한이기 때문이다.
칸토어 집합	실수의 부분 집합인 칸토어 집합은 완전하지만 어디에서도 조밀하지 않다.
유리 함수	주어진 구간에서 정의된 연속 함수의 공간에서 균등 수렴의 위상을 부여하면, 유리 함수는 조밀하다.
스톤-바이어슈트라스 정리	스톤-바이어슈트라스 정리는 함수 대수가 균등 수렴 위상에서 조밀한 조건을 제공한다.
스톤-바나흐 정리	스톤-바나흐 정리는 모든 분리 가능한 거리 공간이 힐베르트 공간의 조밀 부분 집합과 등거리 동형임을 보여준다.
같이 보기
조밀 순서	조밀 순서
어디서나 조밀하지 않은 집합	어디서나 조밀하지 않은 집합

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $D\subseteq X$ 가 다음 동치 조건들을 만족시키면 '''조밀 집합'''이라고 한다.

임의의 열린집합 $U$ 에 대하여, 만약 $U\subseteq X\setminus D$ 라면 $U=\varnothing$ 이다.
임의의 닫힌집합 $C$ 에 대하여, 만약 $D\subseteq C\subseteq X$ 라면 $C=X$ 이다.
$\operatorname{cl}(D)=X$ .^[7] 여기서 $\operatorname{cl}$ 은 폐포이다.
$\operatorname{int}(X\setminus D)=\varnothing$ . 여기서 $\operatorname{int}$ 는 내부이다.
모든 $x\in X$ 및 $x$ 의 모든 근방 $U\ni x$ 에 대하여, $D\cap U\ne\varnothing$ .
$X$ 의 모든 점들은 $D$ 의 원소이거나 $D$ 의 극한점이다.^[8]

위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''A''가 ''X''에서 '''조밀'''하다는 것은, ''X''의 각 원소 ''x''에 대해, ''x''의 임의의 근방이 ''A''의 원소를 적어도 하나 포함하는 것을 말한다.

거리 공간의 조밀 집합에는 다른 정의 방법도 있다. ''X''의 위상이 거리에 의해 유도될 때, ''X''의 부분 집합 ''A''의 폐포

\overline{A}

는 ''A'' 및 ''A'' 내의 극한점 전체로 구성된 집합의 합으로

:

\overline{A} = A \cup \{\ \lim_n a_n;\ a_n \in A\ \ \forall\ n \ge 0\ \}

로 주어진다. 이때, ''A''가 ''X''에서 '''조밀'''하다는 것은

\overline{A}

= ''X''를 만족하는 것을 말한다.

2. 1. 동치 조건

위상 공간

X

의 부분 집합

D\subseteq X

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''조밀 집합'''이라고 한다.^[7]^[8]

$D$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이 $X$ 자신이다.
$D$ 의 $X$ 에서의 폐포는 $X$ 와 같다. 즉, $\operatorname{cl}_X D = X.$
$D$ 의 여집합의 내부가 공집합이다. 즉, $\operatorname{int}_X (X \setminus D) = \varnothing.$
$X$ 의 모든 점은 $D$ 에 속하거나 $D$ 의 극한점이다.
모든 $x \in X$ 에 대해, $x$ 의 모든 근방 $U$ 는 $D$ 와 교차한다. 즉, $U \cap D \neq \varnothing.$
$D$ 는 $X$ 의 모든 비어있지 않은 열린 부분 집합과 교차한다.

\mathcal{B}

가

X

의 위상에 대한 기저이면, 다음 조건이 추가된다.

모든 $x \in X$ 에 대해, $x$ 의 모든 기저 근방 $B \in \mathcal{B}$ 는 $A$ 와 교차한다.
$A$ 는 모든 비어있지 않은 $B \in \mathcal{B}$ 와 교차한다.

3. 성질

임의의 위상 공간은 자신의 부분 집합으로서 조밀하다. 이산 위상을 부여했을 때는 전체 집합만이 유일한 조밀 부분 집합이 된다. 밀착 위상을 부여했을 때는 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀해지며, 반대로 공집합이 아닌 임의의 부분 집합이 조밀해지는 위상 공간은 밀착 공간이어야 한다.

조밀성은 추이 관계를 가진다. 즉, 위상 공간 ''X''의 부분 집합 ''A'', ''B'', ''C'' (''A'' ⊆ ''B'' ⊆ ''C'')에 대해, ''A''가 ''B''에서, ''B''가 ''C''에서 각각 (상대 위상에 관한) 조밀 부분 집합이라면, ''A''는 ''C''에서도 조밀해진다.

조밀 부분 집합의 전사 함수인 연속 함수의 상은 (함수의 공역에서) 조밀 부분 집합이 된다. 특히, 위상 공간의 조밀성은 위상 불변량이다.

연결 공간인 조밀 부분 집합을 갖는 위상 공간은, 필연적으로 자기 자신이 연결 공간이 된다.

하우스도르프 공간으로의 연속 함수는 그 조밀 부분 집합에서의 값에 의해 결정된다. 즉, 하우스도르프 공간 ''Y''로 향하는 두 연속 함수 ''f'', ''g'': ''X'' → ''Y''가 ''X''의 조밀 부분 집합에서 일치한다면, ''X'' 전체에서 일치한다.

3. 1. 연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간

X

속의 조밀 집합

D\subseteq X

와

D\subseteq E\subseteq X

에 대하여,

E

역시

X

의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족은

X

의 멱집합 속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합

D

와 조밀 열린집합

U

가 주어졌을 때, 그 교집합

D\cap U

는 조밀 집합이다.

:임의의 열린집합

V\subseteq X

가 주어졌으며,

V\ne\varnothing

이라고 하자. 그렇다면

U

가 조밀 열린집합이므로

U\cap V\ne\varnothing

이며, 따라서

D\cap(U\cap V)\ne\varnothing

이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간

X

,

Y

사이의 전사 연속 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌을 때, 조밀 집합

D\subseteq X

의 상

f[D]\subseteq Y

역시 조밀 집합이다.^[1]

:임의의

y\in Y

에 대하여,

f

가 전사 함수이므로

f(x)=y

인

x\in X

가 존재하며,

D

가 조밀 집합이므로

x

로 수렴하는 그물

(x_i)_{i\in I}\subseteq D

가 존재하며,

f

가 연속 함수이므로

f(x_i)\to f(x)=y

이다. 따라서

f[D]

는

Y

의 조밀 집합이다.

3. 2. 조밀성의 추이성

X \subseteq Y \subseteq Z

이고,

X

가

Y

의 조밀 집합이고

Y

가

Z

의 조밀 집합이면

X

는

Z

의 조밀 집합이다.

'''증명:'''

U\subseteq Z

가

Z

의 열린집합이며

U\subseteq Z\setminus X

라고 하자. 그렇다면

U\cap Y

는

Y

의 열린집합이며,

U\cap Y\subseteq Y\setminus X

이다.

X

가

Y

의 조밀 집합이므로

U\cap Y=\varnothing

이다. 즉,

U\subseteq Z\setminus Y

이다.

Y

가

Z

의 조밀집합이므로

U=\varnothing

이다.

조밀성은 추이 관계를 가진다. 위상 공간

X

의 세 부분 집합

A, B

및

C

가

A \subseteq B \subseteq C \subseteq X

를 만족하고,

A

가

B

에서 조밀 집합이고,

B

가

C

에서 조밀 집합(각각의 부분 공간 위상)이면

A

는

C

에서도 조밀 집합이다.^[1]

3. 3. 함의 관계

모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

: 조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

3. 4. 연속 함수의 결정

하우스도르프 공간으로의 연속 함수는 조밀 집합에서의 값에 의해 결정된다. 즉, 하우스도르프 공간

Y

로 향하는 두 연속 함수

f, g : X \to Y

가

X

의 조밀 집합에서 일치한다면, 그들은

X

전체에서 일치한다.

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 위상 공간

X

와 하우스도르프 공간

Y

, 조밀 집합

D\subseteq X

, 그리고 두 연속 함수

f,g\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 만약

f

를

D

에 제한한 함수와

g

를

D

에 제한한 함수가 같다면(

f\restriction D=g\restriction D

),

f=g

이다. (여기서

\restriction

은 함수의 제한을 뜻한다.)

D

에 속하지 않는 임의의

x

에 대하여,

f=g

임을 보이면 충분하다.

D

가 조밀 집합이므로,

x

로 수렴하는,

D

속의 점들로 구성된 그물

(x_i)_{i\in I}

가 존재한다.

f

가 연속 함수이므로

:

g(x_i)=f(x_i)\to f(x)

:

f(x_i)=g(x_i)\to g(x)

이며,

Y

가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서

f(x)=g(x)

이다.

4. 예

위상 공간은 스스로의 조밀 집합이다. 자기 조밀 T₁ 공간에서, 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

이산 공간의 유일한 조밀 집합은 전체 공간이다. 비이산 공간에서는 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이다.

실수선 $\mathbb R$ 에서 유리수 집합 $\mathbb Q$ 와 무리수 집합 $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ 는 조밀 집합이다.

바이어슈트라스 근사 정리에 따르면, 폐구간에서 정의된 복소수 값을 갖는 연속 함수 공간에서 다항 함수는 조밀 집합을 이룬다.

모든 거리 공간은 자신의 완비화(거리 공간)에서 조밀하다.

5. 관련 개념

고립점과 자기 조밀: 위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A$ 의 점 $x$ 가 $x$ 의 모든 근방이 $x$ 자체 외에도 $A$ 의 점을 포함하면 $A$ 의 극한점이고, 그렇지 않으면 고립점이다. 고립점이 없는 부분 집합은 자기 조밀 집합이다.^[5]^[6]
희소 집합: 위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $A$ 가 $X$ 에서 조밀한 근방이 없으면 희소 집합이다.^[4] 이는 그 폐포의 내부가 공집합인 것과 동치이다.^[4] 희소 집합의 여집합의 내부는 항상 조밀하며, 닫힌 희소 집합의 여집합은 조밀 열린 집합이다.
분해 가능 공간: 가산 조밀 부분 집합을 가진 위상 공간은 분리 가능 공간이다.^[6] 가산 개의 조밀 열린 집합의 교집합이 항상 조밀하면 베어 공간이다. 서로소인 두 조밀 집합의 합집합으로 표현될 수 있으면 분해 가능 공간이다. 기수 κ에 대해 κ개의 쌍별로 서로소인 조밀 집합을 포함하면 κ-분해 가능하다.
콤팩트화: 위상 공간 $X$ 의 콤팩트 공간으로의 매장 중 조밀한 부분 집합으로서의 매장은 $X$ 의 콤팩트화이다.
조밀하게 정의된 연산자: 위상 선형 공간 $X$ 와 $Y$ 사이의 선형 연산자의 정의역이 $X$ 의 조밀 부분 집합이고 치역이 $Y$ 에 포함되면 조밀하게 정의된 연산자이다. 연속 선형 확장도 참조.
초연결 공간: 모든 비어 있지 않은 열린 집합이 $X$ 에서 조밀하면 초연결 공간이다.
준최대 공간: 모든 조밀한 부분 집합이 열려 있으면 준최대 공간이다.

5. 1. 거리 공간에서의 조밀성

거리 공간의 경우 조밀 집합에 대한 다른 정의는 다음과 같다. ''X''의 위상이 거리에 의해 주어지면, ''X''에서 ''A''의 폐포

\overline{A}

는 ''A''와 ''A''의 원소의 모든 수열의 극한 집합(즉, ''극한점'')의 합집합이다.

:

\overline{A} = A \cup \{\ \lim_n a_n;\ a_n \in A\ \ \forall\ n \ge 0\ \}

그러면 ''A''는 다음이 성립할 때 ''X''에서 조밀하다.

:

\overline{A} = X.

{''U''_''n''}을 완비 거리 공간 ''X''의 조밀 열린 집합열이라고 하면,

:

\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n

또한 ''X''에서 조밀하다. 이 사실은 베어 범주 정리의 동치 표현 중 하나이다.

참조

_[1] 서적 Counterexamples in Topology Dover
_[2] 문서
_[3] 학술지 A generalized Banach-Mazur theorem 1969
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall
_[8] 서적 Counterexamples in topology Springer 1978

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