준연접층

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

준연접층은 환 달린 공간 위의 가군층으로, 특정 조건을 만족하는 가군층을 말한다. 구체적으로, 임의의 점에 대해 완전열을 만족하는 열린 근방과 기수가 존재한다. 연접층, 유한 생성 가군층, 국소 자유 가군층 등은 준연접층과 관련된 개념이며, 스킴 위에서 준연접 가군층이 되기 위한 필요충분 조건이 존재한다. 스킴 사상에 대한 당김과 밂 역시 준연접층의 성질을 보존하며, 준연접 가군층의 범주는 아벨 범주가 아닐 수 있지만 스킴일 경우 그로텐디크 아벨 범주가 된다. 가환환 위의 가군의 범주와 환의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주는 동치 관계에 있다. 닫힌 부분 스킴에 대응하는 아이디얼 층, 체의 스펙트럼 위의 준층, 이산 값매김환의 스펙트럼 등은 준연접층의 예시이다.

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준연접층
개요
유형	대수 기하학의 개념
분야	수학, 대수기하학
관련 항목	층 가군층 연접층 대수적 벡터다발
정의
정의	스킴 위의 가군층이 국소적으로 준연접 가군층들의 꼴로 표현될 수 있다면, 이를 준연접층이라 한다.
추가 설명	아핀 스킴의 경우, 준연접층은 가군과 동일하게 취급될 수 있다.
성질
성질	준연접층은 대수기하학에서 중요한 역할을 하며, 스킴의 연구에 필수적인 도구로 활용된다.
추가 설명	준연접층은 스킴의 국소적인 성질을 파악하는 데 유용하며, 스킴 사이의 사상을 연구하는 데에도 활용된다.
예시
예시	스킴 X 위의 임의의 가군층 F에 대해, F가 준연접층이 되기 위한 필요충분조건은 F가 X의 모든 아핀 열린 부분집합 U에 대해 준연접층이라는 것이다. 아핀 스킴 Spec A 위의 가군층은 A-가군과 일대일 대응한다.
참고 문헌
참고 문헌	(영어) Atiyah, Michael Francis; Ian G. Macdonald (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Publishing Company. pp. 119–120. ISBN 0-201-00361-9. (영어) Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. MR 0463157.

2. 정의

환 달린 공간 $(X,\mathcal O_X)$ 위의 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal F$ 가 다음 조건을 만족시키면 '''준연접 가군층'''(準連接加群層, quasicoherent sheaf of modules^영어, faisceau de modules quasi-cohérent^프랑스어) 또는 단순히 '''준연접층'''이라고 한다.^[1]

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $\mathcal O_X^{\oplus\kappa}|_U\to\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U\ni x$ 와 기수 $\kappa,\lambda$ 가 존재한다.

환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건을 만족시키면 '''국소 단면 생성 가군층'''(局所斷面生成加群層, sheaf of modules locally generated by sections^영어)이라고 한다.

임의의 $x\in X$ 에 대하여, 층의 완전열 $\mathcal O_X^{\oplus\lambda}|_U\to\mathcal F|_U\to0$ 이 존재하게 되는 열린 근방 $U\ni x$ 와 기수 $\lambda$ 가 존재한다.

국소 단면 생성 가군층/준연접 가군층의 정의에서, 기수

\kappa,\lambda

가 자연수이어야 한다는 조건을 추가하면 각각 유한 생성 가군층/유한 표시 가군층의 개념을 얻는다.

3. 성질

임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[1]

포함 관계
연접층 ⊆ 유한 표시 가군층 ⊆ 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접 가군층^[1]

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[2]

포함 관계 (국소 뇌터 스킴)
유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆^[1] 연접층 = 유한 표시 가군층 = 준연접 가군층 ∩ 유한 생성 가군층

스킴 $X$ 위의 가군층 $\mathcal F$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$\mathcal F$ 는 준연접 가군층이다.
임의의 아핀 열린 부분 스킴 $\operatorname{Spec}R\subseteq X$ 에 대하여, $\mathcal F|_{\operatorname{Spec}R}$ 는 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}$ -가군층으로서 어떤 $R$ -가군으로부터 유도된 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}$ -가군층과 동형이다.
$X$ 의 어떤 아핀 열린 덮개 $\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}$ 에 대하여, $\mathcal F|_{\operatorname{Spec}R_i}$ 는 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}$ -가군층으로서 어떤 $R_i$ -가군으로부터 유도된 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}R_i}$ -가군층과 동형이다.

다음이 주어졌다고 하자.

두 스킴 $X$ , $Y$
스킴 사상 $f\colon X\to Y$

그렇다면,

Y

위의 준연접층

\mathcal F

의 당김

f^*\mathcal F

는

X

위의 준연접층이다. 반대로,

X

위의 준연접층

\mathcal E

가 주어졌으며,

f

가 준콤팩트 준분리 사상이라면

\mathcal E

의 밂

f_*\mathcal F

는

Y

위의 연접층이다.

일반적 환 달린 공간 위의 준연접 가군층의 범주

\operatorname{QCoh}(X)

는 일반적으로 아벨 범주가 아니다. 하지만, 만약

X

가 스킴일 경우는 이는 다음 조건들을 만족시킨다.

그로텐디크 아벨 범주이다. 특히, 이는 단사 대상을 충분히 가지는 완비 쌍대 완비 아벨 범주이다.
포함 함자 $I\colon \operatorname{QCoh}(X)\to\mathcal O_X\text{-Mod}$ 는 오른쪽 수반 함자 $Q\colon \mathcal O_X\text{-Mod}\to\operatorname{QCoh}(X)$ 를 가진다.
* 따라서, $I$ 는 모든 쌍대 극한을 보존하며 오른쪽 완전 함자이다. (모든 가군층의 범주 $\mathcal O_X\text{-Mod}$ 역시 그로텐디크 아벨 범주이며 특히 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.)
* 따라서, $Q$ 는 모든 극한을 보존하며 왼쪽 완전 함자이다.

즉,

\operatorname{QCoh}(X)

에서의 쌍대 극한은 가군층으로서의 쌍대 극한과 같다.

\operatorname{QCoh}(X)

에서의 유한 극한은 가군층으로서의 극한과 같지만, 무한 극한은 가군층의 극한과 일반적으로 다르며, 가군층에서의 극한에

Q

를 가한 것이다.

가환환

R

위의 다음과 같은 두 범주는 서로 동치이다.

$R$ -가군의 범주 $\operatorname{Mod}_R$
$R$ 의 스펙트럼 위의 준연접 가군층의 범주 $\operatorname{QCoh}(\operatorname{Spec}R)$

구체적으로,

R

-가군

M

에 대응하는 준연접 가군층은 다음 조건을 만족시키는 유일한 가군층

\tilde M

이다.

임의의 $r\in R$ 에 대하여, $\Gamma(\operatorname{Spec}(R_r);\tilde M)=R_r\otimes_RM$

여기서

:

R_r=(\{1,r,r^2,\dots\})^{-1}R

는

r

로 생성되는 곱셈 모노이드에서의 국소화이며, 그 스펙트럼은

\operatorname{Spec}R

의 열린집합을 정의한다.

반대로,

\operatorname{Spec}R

위의 준연접 가군층

\mathcal F

에 대응하는

R

-가군은

\Gamma(\operatorname{Spec}R;\mathcal F)

이다.

4. 예

스킴 $X$ 의 닫힌 부분 스킴 $Y\subseteq X$ 에 대응하는 아이디얼 층은 준연접 가군층이다.^[1] 특히, $X$ 전체에 대응하는 영 준연접층 $0$ 은 (자명하게) 준연접층이며, 공집합 $\varnothing$ 에 대응하는 구조층 $\mathcal O_X$ 역시 준연접층이다.

체 $K$ 의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}K$ 위에서는 준층과 층과 준연접층의 개념이 일치하며, 이들은 모두 $K$ -벡터 공간으로 주어진다. (이 가운데 연접층은 유한 차원 $K$ -벡터 공간이다.)

이산 값매김환 $(D,\mathfrak m,\kappa=D/\mathfrak m)$ 의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}D$ 는 시에르핀스키 공간이며, 이는 두 개의 점으로 구성된다. 이 경우, 닫힌점은 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 에 대응하며, 이는 잉여류체 $\kappa$ 에 해당한다. 닫힌점이 아닌 점은 영 아이디얼 $0$ 에 대응하며, 이는 분수체 $\operatorname{Frac}D = K$ 에 해당한다.

시에르핀스키 공간 위에서는 열린집합의 부분 순서 집합이 (크기 3의) 전순서 집합이며, 특히 두 열린집합의 합집합을 취하여 더 큰 열린집합을 만들 수 없다. 따라서, 이 경우 모든 준층이 층을 이룬다.

$\operatorname{Spec}D$ 위의 임의의 가군 (준)층 $\mathcal F$ 는 따라서 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Gamma(\mathcal F,\operatorname{Spec}D) = M$ . 이는 $D$ -가군이다.
$\Gamma(\mathcal F,\{0\}) = N$ . 이는 $K$ -벡터 공간이다.
$\operatorname{Spec}D \to \{0\}$ 의 제약 사상 $\phi \colon M \otimes_DK \to N$ . 이는 $K$ -선형 변환이다.

즉,

\operatorname{Spec}D

위의 가군층은 위와 같은

(M,N,\phi)

로 주어진다.

아핀 스킴

\operatorname{Spec}D

위의 준연접 가군층은

D

-가군

M

만으로 주어진다. 이 경우,

\{0\}

의 단면은 (가군에 대응하는 준연접층의 정의에 따라)

M\otimes_AK

이다. 즉,

\operatorname{Spec}D

-가군층

(M,N,\phi)

가운데 준연접층인 것은

\phi

가

K

-벡터 공간의 동형 사상인 것이다.

참조

_[1] 저널 Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas http://www.numdam.or[...] 2019-01-27
_[2] 웹사이트 Stacks project: 29.9 http://stacks.math.c[...]

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