연접층

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 연접 가군층
- 2.2. 스킴의 경우
3. 성질
4. 연접층의 기본 구조
5. 연접층의 국소적 성질
6. 선형 다발의 예
7. 세르 구성 및 선형 다발
8. 역사
9. 연접층 코호몰로지
참조

1. 개요

연접층은 환 달린 공간 위의 가군층으로, 특정 조건(유형성, 핵의 유형성)을 만족한다. 연접층은 항상 유한 표시 가능하며, 복소다양체의 정칙함수 층이나 뇌터 스킴의 구조층이 그 예시이다. 연접층은 아벨 범주를 형성하며, 핵, 상, 코핵 연접층 사상은 연접이다. 연접층의 부분 가군은 유한 타입인 경우 연접이다. 연접층의 개념은 국소환 달린 공간, 스킴, 아핀 스킴 등 다양한 공간에서 정의되며, 특히 스킴의 경우 준연접층과 밀접한 관련을 갖는다. 연접층은 선형 다발, 미분 형식, 표준 다발과 같은 기하학적 구조를 정의하는 데 사용되며, 세르 구성과 같은 중요한 기법의 기반이 된다. 연접층 코호몰로지는 대수 기하학에서 중요한 역할을 하며, 유한 차원성, 소멸 정리, 세르 쌍대성과 같은 결과를 포함한다. 연접층의 개념은 앙리 카르탕, 오카 기요시, 장피에르 세르 등에 의해 발전되었다.

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연접층
개요
분야	수학, 대수기하학
하위 분야	가환대수학, 층 이론
정의
영어	Coherent sheaf
프랑스어	Faisceau cohérent
설명	어떤 스킴 위에 정의된, 국소적으로 유한하게 표현되는 준연접층
성질
성질	연접층은 뇌터 스킴 위에서 연산에 닫혀 있고, 모든 준연접층의 국소 자유 분해를 허용한다. 모든 벡터 다발은 연접층이다. 모든 연접 아이디얼층은 연접층이다.
관련 개념	준연접층 층 스킴

2. 정의

환 달린 공간 $(X, \mathcal O_X)$ 위의 $\mathcal O_X$ -가군층 $\mathcal F$ 가 다음 두 조건을 만족하면 '''연접층'''이라고 한다.

# $\mathcal F$ 는 $\mathcal O_X$ 위에서 ''유형''이다. 즉, $X$ 의 모든 점은 $X$ 의 열린 근방 $U$ 를 가지며, 어떤 자연수 $n$ 에 대해 $\mathcal{O}_X^n|_{U} \to \mathcal{F}|_{U}$ 가 전사 사상이다.

# 임의의 열린 집합 $U\subseteq X$ 와 임의의 자연수 $n$ 및 $\mathcal O_X$ -가군의 사상 $\varphi: \mathcal{O}_X^n|_{U} \to \mathcal{F}|_{U}$ 에 대해, $\varphi$ 의 핵은 유한 유형이다.

환의 층 $\mathcal O_X$ 가 스스로 위의 가군층으로서 연접 가군층이면, $(X, \mathcal O_X)$ 를 '''연접 공간'''이라고 한다.

연접층은 항상 '''유한 표시 가능'''한 층이다. 다시 말해 $X$ 의 각 점 $x$ 는 열린 근방 $U$ 를 가지고, $F$ 의 $U$ 위로의 제한 $F|_U$ 가, 어떤 정수 $n, m$ 에 대해 사상 $O_X^n|_U \to O_X^m|_U$ 의 여핵과 동형이 되는 것이다. $O_X$ 가 연접층이면, 역도 성립한다. 즉, 유한 표시 가능한 $O_X$ 가군층은 연접층이다.^[24]

2. 1. 연접 가군층

국소환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의

\mathcal O_X

-가군층

\mathcal F

가 다음 조건들을 만족시키면 '''연접 가군층'''이라고 한다.^[28]^[29]

$\mathcal O_X$ -유한 생성 가군층이다.
임의의 열린집합 $U$ , 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 및 임의의 $\mathcal O_X$ -가군층 사상 $\phi\colon\mathcal O_X^n|_U\to\mathcal F|_U$ 에 대하여, (층으로서의) 핵 $\ker\phi$ 또한 $\mathcal O_X|_U$ -유한 생성 가군층이다.

위 정의는 장피에르 세르나 알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의는 조금 다르지만,^[30] 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

환 달린 공간(X, O_X) 위의 O_X-가군층 F가 '''연접층'''이라는 것은 다음 성질을 가질 경우를 말한다.^[24]

# F는 O_X 위에 '''유형'''이다. 즉, X의 임의의 점 x에 대해 열린 근방 U가 존재하고, F의 U로의 제한 F|_U가 유한 개의 단면으로 생성된다.^[25] (다시 말해, 전사 O_Xⁿ|_U → F|_U가 어떤 자연수 n에 대해 존재한다.)

# 임의의 X의 열린 집합 U, 자연수 n, O_X-가군의 사상 φ: O_Xⁿ|_U → F|_U에 대해, φ의 핵이 유형이다.

환의 층 O_X가 연접층이라는 것은, 그것 자신을 O_X-가군층으로 간주했을 때 연접인 것으로 한다. 환의 연접층의 중요한 예로, 복소다양체의 정칙함수의 싹의 층이나 뇌터 스킴^[26]의 구조층이 있다.

연접층은 항상 '''유한 표시 가능'''한 층이다. 다시 말해 X의 각 점 x는 열린 근방 U를 가지고, F의 U 위로의 제한 F|_U가, 어떤 정수 n, m에 대해 사상 O_Xⁿ|_U → O_X^m|_U의 여핵과 동형이 되는 것이다. O_X가 연접층이면, 역도 성립한다. 즉, 유한 표시 가능한 O_X 가군층은 연접층이다.

2. 2. 스킴의 경우

X

가 스킴인 경우, 일반적인 정의는 아래의 더 명시적인 정의와 같다.

\mathcal O_X

-가군 층

\mathcal F

가 준연접층이라는 것은, 각각의 열린 아핀 부분 스킴

U=\operatorname{Spec} A

위에서 그 제한

\mathcal F|_U

이

A

위의 가군

M=\Gamma(U, \mathcal F)

과 관련된 층

\tilde{M}

과 동형이라는 것과 같다.^[32]

X

가 국소 뇌터 스킴이면,

\mathcal F

가 연접층이라는 것은

\mathcal F

가 준연접층이고 위의 가군

M

을 유한 생성 가군으로 볼 수 있다는 것과 같다.

아핀 스킴

U = \operatorname{Spec} A

에서 가군

M

을 연관된 층

\tilde{M}

으로 가져가는 것은

A

-가군에서 준연접층으로 가는 범주 동치를 만든다. 역으로 가는 동치는

U

위의 준연접층

\mathcal F

를

\mathcal F

의 전역 단면의

A

-가군

\mathcal F(U)

로 가져간다.

다음은 스킴에 대한 준연접층의 몇 가지 추가 특성이다.^[33]

$\mathcal F$ 는 준연접층이다.
$X$ 의 각 열린 아핀 부분 스킴 $U$ 에 대해, $\mathcal F|_U$ 는 $\mathcal O_U$ -가군으로서 어떤 $\mathcal O(U)$ -가군 $M$ 에 연관된 층 $\tilde M$ 과 동형이다.
$X$ 의 열린 아핀 덮개 $\{U_\alpha \}$ 가 존재하여 덮개의 각 $U_\alpha$ 에 대해, $\mathcal F|_{U_\alpha}$ 는 어떤 $\mathcal O(U_\alpha)$ -가군에 연관된 층과 동형이다.
$X$ 의 각 열린 아핀 부분 스킴 쌍 $V\subseteq U$ 에 대해, 자연스러운 준동형사상
: $\mathcal O(V) \otimes_{\mathcal O(U)} \mathcal F(U) \to \mathcal F(V), \, f \otimes s \mapsto f\cdot s|_V$

: 은 동형사상이다.

$X$ 의 각 열린 아핀 부분 스킴 $U = \operatorname{Spec} A$ 와 각 $f\in A$ 에 대해, $U_f$ 를 $f$ 가 0이 아닌 $U$ 의 열린 부분 스킴이라 하면, 자연스러운 준동형사상
: $\mathcal F(U)\bigg[\frac{1}{f}\bigg] \to \mathcal F(U_f)$

: 은 동형사상이다. 이 준동형사상은 국소화의 보편 성질에서 나온다.

3. 성질

임의의 환 달린 공간 위에서, 연접 가군층은 유한 표시 가군층에 포함되며, 이는 다시 준연접층과 유한 생성 가군층의 교집합에 포함된다.^[29] 국소 자유 가군층은 준연접층에 포함된다.^[29]

국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 유한 계수 국소 자유 가군층은 연접 가군층과 같고, 이는 다시 유한 표시 가군층과 같으며, 준연접층과 유한 생성 가군층의 교집합과 같다.^[34]

국소 뇌터 스킴 $(X, \mathcal O_X)$ 위의 준연접층 $\mathcal F$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[30]

$\mathcal F$ 는 연접 가군층이다.
$X$ 의 어떤 아핀 열린 덮개에 대해, 각 열린 집합에서 유한 생성 가군으로부터 유도된 가군층과 동형이다.

스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 “거의 항상” 준연접층이지만, 연접성을 보존하려면 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

두 스킴

X

,

Y

와 스킴 사상

f\colon X\to Y

가 주어졌을 때,

f

에 대한 가군층의 밂

f_*

또는 당김

f^*

이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

	당김	밂
준연접층	항상 성립	준콤팩트 준분리 사상
연접 가군층	$X$ , $Y$ : 국소 뇌터 스킴	$X$ , $Y$ : 뇌터 스킴, $f$ : 유한 사상
유한 생성 가군층	항상 성립	유한형 사상
국소 자유 가군층	항상 성립	(없음)

3. 1. 아벨 범주

임의의 왼쪽 연접환

R

위의 연접 왼쪽 가군들의 범주

_R\operatorname{Coh}

는 아벨 범주이다.^[2] 임의의 환 달린 공간

(X, \mathcal O_X)

위의 연접 가군층들의 범주

\operatorname{Coh}(X)

역시 아벨 범주이다.^[2] 즉, 핵과 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다.^[2]

하지만 이는 (거의 항상) 완비 범주나 쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.^[2]

환 달린 공간에서 준연접층은 반드시 아벨 범주를 형성하지는 않는다. 반면에, 모든 스킴 위의 준연접층은 아벨 범주를 형성하며, 이 맥락에서 매우 유용하다.^[2]

(아핀, 혹은 사영적인) 대수다양체 X (혹은 더 일반적으로 준콤팩트하면서 준분리적인 스킴)이 주어지면, X 위의 준연접층의 범주는 매우 좋은 성질을 갖는 아벨 범주 (Grothendieck category|그로텐디크 범주^영어)가 된다. 특히, 준연접층의 범주는 (연접층의 범주와는 달리) enough injectives|충분한 단사 대상^영어을 갖는다. 따라서 준연접층의 범주를 고려함으로써 층의 코호몰로지 이론을 기능시킬 수 있다. 스킴 X는 동형을 제외하고, X 위의 준연접층의 아벨 범주에 의해 결정된다.

3. 2. 아핀 스킴 위의 연접층

뇌터 가환환

R

에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.

$R$ 위의 유한 생성 가군
$R$ 위의 유한 계수의 국소 자유 가군
$R$ 의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}R$ 위의 연접 가군층

또한,

R

위의 유한 생성 가군들의 범주

\operatorname{fgMod}(R)

와 연접 가군층의 범주

\operatorname{Coh}(X)

는 서로 동치이다.^[30]

구체적으로,

\mathcal F\in\operatorname{Coh}(X)

라면, 이에 대응하여

\mathcal F|_X

는

\mathcal O_X|_X\cong R

의 유한 생성 가군이다.

X

가 스킴일 때, 위의 일반적인 정의는 더 명시적인 정의와 동등하다.

\mathcal O_X

-가군의 층

\mathcal F

가 '''준연접'''일 필요충분조건은 각 열린 아핀 부분 스킴

U=\operatorname{Spec} A

에서 제한

\mathcal F|_U

가

A

위의 가군

M=\Gamma(U, \mathcal F)

에 연관된 층

\tilde{M}

과 동형인 것이다.

X

가 국소 뇌터 스킴일 때,

\mathcal F

가 '''연접'''일 필요충분조건은 준연접이고, 위의 가군

M

을 유한 생성 가군으로 택할 수 있다는 것이다.

아핀 스킴

U = \operatorname{Spec} A

에서

A

-가군으로부터 준연접 층으로의 범주의 동치가 있으며, 가군

M

을 연관된 층

\tilde{M}

으로 보낸다. 역 동치는

U

위의 준연접 층

\mathcal F

를

\mathcal F

의 전역 단면의

A

-가군

\mathcal F(U)

로 보낸다.

3. 3. 준연접층 범주

임의의 고정된 스킴에 대한 준연접층은 아벨 범주를 형성한다. 모든 스킴의 준연접층은 그로텐디크 범주를 형성하는데, 이는 오페르 가버가 증명하였다.^[35] 준콤팩트 준분리 스킴(예: 체에 대한 대수 다형체)은 그 스킴 위의 준연접층의 아벨 범주에 의해 동형사상을 기준으로 결정된다는 사실은 로젠버그가 피에르 가브리엘의 결과를 일반화하여 증명하였다.^[36]

4. 연접층의 기본 구조

환 달린 공간 $(X, \mathcal{O}_X)$ 위의 $\mathcal{O}_X$-가군 $\mathcal{F}$가 유한 랭크 국소 자유라는 것은 $X$의 모든 점에 대해 그 점을 포함하는 열린 이웃 $U$가 존재하여 $\mathcal{F}|_U$가 $\mathcal{O}_X|_U$의 복사본들의 유한 직합과 동형인 경우를 말한다. 만약 $\mathcal{F}$가 $X$의 모든 점 근처에서 같은 랭크 $n$을 가지면, 랭크 $n$의 선형 다발이라고 한다.^[37]

국소 자유 층은 표준 $\mathcal{O}_X$-가군 연산을 갖추어 벡터 다발로 만들 수 있다.

뇌터 환 $R$의 스펙트럼 $X = \operatorname{Spec}(R)$ 위의 선형 다발은 $R$ 위의 유한 생성 사영 가군과 연관된 층이다.^[38]

$R$이 $\mathbb{N}$-등급 뇌터 환이고, $X = \operatorname{Proj}(R)$가 뇌터 환 $R_0$ 위의 사영 스킴일 때, 각 $\mathbb{Z}$-등급 $R$-가군 $M$은 $X$ 위의 준연접층 $\mathcal{F}$를 결정한다. 이때 $\mathcal{F}|_{\{f \ne 0\}}$는 $R[f^{-1}]_0$-가군 $M[f^{-1}]_0$와 관련된 층이며, $f$는 $R$의 양의 차수 동차 원소이고 $\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}R[f^{-1}]_0$는 $f$가 영이 아닌 궤적이다.

예를 들어, 각 정수 $n$에 대해 $R(n)$이 $R(n)_l = R_{n+l}$로 주어지는 등급 $R$-가군일 때, 각 $R(n)$은 $X$ 위의 준연접층 $\mathcal{O}_X(n)$을 결정한다. 만약 $R$이 $R_1$에 의해 $R_0$-대수로 생성된다면, $\mathcal{O}_X(n)$은 $X$ 위의 선다발(가역 다발)이며, $\mathcal{O}_X(1)$의 $n$차 텐서곱이다. 특히, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$는 사영 $n$-공간에서 보편 선다발이라고 한다.

선형 다발이 아닌 $\mathbb{P}^2$ 위의 연접층의 예시는 다음 열에서 여핵으로 나타낼 수 있다.

: $\mathcal{O}(1) \xrightarrow{\cdot (x^2-yz,y^3 + xy^2 - xyz)} \mathcal{O}(3)\oplus \mathcal{O}(4) \to \mathcal{E} \to 0$

이는 두 다항식의 영점 궤적에 제한된 $\mathcal{E}$가 2차원 올을 갖고 다른 곳에서는 1차원 올을 가지기 때문이다.

아이디얼 층: $Z$가 국소적 뇌터 스킴 $X$의 닫힌 부분 스킴이면, $Z$에서 영인 모든 정규 함수들의 층 $\mathcal{I}_{Z/X}$는 연접층이다. 마찬가지로, $Z$가 복소 해석 공간 $X$의 닫힌 해석 부분 공간이면, 아이디얼 층 $\mathcal{I}_{Z/X}$는 연접층이다.

국소적 뇌터 스킴 $X$의 닫힌 부분 스킴 $Z$의 구조층 $\mathcal{O}_Z$는 $X$ 위의 연접층으로 볼 수 있다. 이는 포함 사상 $i: Z \to X$에 대한 직상 층 $i_*\mathcal{O}_Z$이다. 층 $i_*\mathcal{O}_Z$는 열린 집합 $X-Z$의 점에서 0차원 올을 가지고, $Z$의 점에서 1차원 올을 가진다. $X$ 위의 연접층의 짧은 완전열이 존재한다.

: $0\to \mathcal I_{Z/X} \to \mathcal O_X \to i_*\mathcal O_Z \to 0.$

환 달린 공간 $X$에서 두 연접층 $\mathcal{F}$와 $\mathcal{G}$의 텐서곱 층 $\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}$와 준동형 사상 층 $\mathcal{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})$은 연접층이다.^[39]

5. 연접층의 국소적 성질

連接層^일본어의 중요한 특징은 한 점 $x$ 에서의 성질이 $x$ 의 근방에서 連接層^일본어의 성질을 결정한다는 것이다. 예를 들어, 나카야마 보조정리에 따르면, 스킴 $X$ 위의 連接層^일본어 $\mathcal{F}$ 에 대해, 한 점 $x$ 에서 $F$ 의 올(fiber) $\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X,x}} k(x)$ (잉여체 $k(x)$ 위의 벡터 공간)이 0이면, $\mathcal{F}$ 는 $x$ 의 어떤 열린 근방에서 0이다.^[41]

이와 관련된 사실은 連接層^일본어의 올의 차원이 위쪽-반연속이라는 것이다.^[41] 즉, 連接層^일본어은 열린 집합에서 일정한 랭크를 갖는 반면, 낮은 차원의 닫힌 부분 집합에서는 랭크가 올라갈 수 있다.

비슷한 맥락에서, 스킴 $X$ 위의 連接層^일본어 $\mathcal{F}$ 가 선형 다발임과 $X$ 의 모든 점 $x$ 에 대해 줄기 $\mathcal{F}_x$ 가 국소 환 $\mathcal{O}_{X,x}$ 위의 자유 가군임이 동치이다.^[42]

일반적인 스킴에서는 連接層^일본어이 (줄기가 아닌) 올만으로는 선형 다발인지 여부를 결정할 수 없다. 그러나 축소된 국소적 뇌터 스킴에서 連接層^일본어은 랭크가 국소적으로 일정한 경우에만 선형 다발이다.^[43]

6. 선형 다발의 예

스킴 사상 $X\to Y$ 에 대해 $X$ 가 $Y$ 위에서 분리되어 있으면, 닫힌 몰입인 대각 사상 $\Delta: X\to X\times_Y X$ 를 생각할 수 있다. $X\times_Y X$ 안에서 $X$ 의 이데알 층을 $\mathcal I$ 라 하면, '''미분 형식 층''' $\Omega^1_{X/Y}$ 은 $\mathcal I$ 를 $X$ 로 당긴 $\Delta^*\mathcal I$ 으로 정의된다.

만약 $X$ 가 체 $k$ 에 대해 국소적으로 유한 유형이면, $\Omega^1_{X/k}$ 는 $X$ 에서 연접층이 된다. $X$ 가 $k$ 위에서 매끄러우면, $\Omega^1$ 은 $X$ 위의 선형 다발이고, $X$ 의 '''여접다발'''이라고 부른다. 그러면 '''접다발''' $TX$ 는 쌍대 다발 $(\Omega^1)^*$ 로 정의된다.

$k$ 위에서 매끄럽고 모든 곳에서 $n$ 차원인 $X$ 에 대해 접다발은 랭크 $n$ 을 갖는다. $Y$ 가 $k$ 위의 매끄러운 스킴 $X$ 의 매끄러운 닫힌 부분 스킴이면, 다음과 같은 $Y$ 위에서 선형 다발의 짧은 완전열이 존재한다.

: $0\to TY \to TX|_Y \to N_{Y/X}\to 0,$

여기서 $N_{Y/X}$ 는 $X$ 안에서 $Y$ 에 대한 '''법다발'''이다.

체 $k$ 위에서 매끄러운 스킴 $X$ 와 자연수 $i$ 에 대해, $X$ 위의 제 $i$ 미분 형식의 선형 다발 $\Omega^i$ 은 $i$ -여접다발의 외승, $\Omega^i = \Lambda^i \Omega^1$ 과 같이 정의된다.

$R$ 이 가환환이고 $n$ 을 자연수라 하자. 각 정수 $j$ 에 대해, $R$ 위에서 사영 공간 $\mathbb P^n$ 에 선형 다발의 중요한 예 $\mathcal O(j)$ 가 있다.

6. 1. 미분 형식 층

스킴 사상

X\to Y

에 대해, 미분 형식 층

\Omega^1_{X/Y}

은 대각 사상

\Delta: X\to X\times_Y X

과 관련된 아이디얼 층

\mathcal I

의 당김

\Delta^*\mathcal I

으로 정의된다.^[44] 이 층의 단면은

Y

위의

X

의 제1 미분 형식이라고 하며, 국소적으로 정규 함수

f_j

,

g_j

들의 유한합

\textstyle\sum f_j\, dg_j

으로 쓸 수 있다.

체

k

에 대해 국소적으로 유한 유형인

X

에서

\Omega^1_{X/k}

는 연접층이다.

X

가

k

위에서 매끄러우면,

\Omega^1_{X/k}

는

X

위의 선형 다발이고,

X

의 여접다발이라고 부른다. 접다발

TX

는 쌍대 다발

(\Omega^1)^*

로 정의된다.

6. 2. 표준 다발

체 $k$ 위에서 $n$차원 매끄러운 다양체 $X$에 대해, '''표준 다발''' $K_X$는 $n$차 미분 형식의 선형 다발 $\Omega^n$이다.^[44]^[45] 표준 다발의 단면은 $X$에 대한 부피 형식의 대수 기하학적 유사물이다. 예를 들어, $k$ 위에서 아핀 공간 $\mathbb A^n$의 표준 다발 단면은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$f(x_1,\ldots,x_n) \; dx_1 \wedge\cdots\wedge dx_n,$

여기서 $f$는 계수가 $k$의 원소인 다항식이다.

6. 3. 사영 공간의 선형 다발

각 정수 ''j''에 대해, 사영 공간 에는 선다발 가 존재한다.^[14] 이를 정의하기 위해, 어떤 ''R''-스킴 사상 을 고려한다. 이는 좌표로 표현하면 으로 주어진다. 그러면 ℙ^''n''의 열린 부분 집합 ''U'' 위의 의 단면은 위에서 ''j''차 동차 정규 함수 ''f''로 정의된다. 이는 위의 정규 함수로서 가 성립함을 뜻한다. 모든 정수 ''i'', ''j''에 대해, ℙ^''n'' 위의 선다발의 동형 이 있다.

특히, ''R'' 위에서 모든 ''j''차 동차다항식은 ℙ^''n'' 위에서 의 전역 단면으로 볼 수 있다. 사영 공간의 모든 닫힌 부분 스킴은 동차 다항식의 어떤 모임의 영점 집합으로 정의될 수 있으므로 선다발 의 어떤 단면의 영점 집합으로 정의될 수 있다.^[14]

세르는 사영 공간의 모든 연접층에 대한 대수적 설명을 제공했다. 이 뇌터 환이라 하고, 각각이 1등급인 등급환으로서 다항식 환 를 고려하자. 그러면 모든 유한 생성 등급 ''S''-가군 ''M''은 연관된 ''R'' 위의 ℙ^''n''에서의 연접층 을 가지고 있다. ℙ^''n''에서의 모든 연접층은 유한 생성 등급 ''S''-가군 ''M''에서 이러한 방식으로 발생한다. 하지만 ℙ^''n'' 위에서 주어진 연접층을 생성하는 ''S''-가군 ''M''은 유일하지 않고, ''M''을 기껏해야 유한하게 많은 등급에서만 0이 아닌 임의의 등급 가군으로 바꾼 것들을 동치로 보았을 때 유일하다.^[15]

체 위의 사영 공간 ℙ^''n''의 접다발은 선다발 의 측면에서 설명할 수 있다. 즉, 다음 짧은 완전열인 오일러 수열이 있다.

:

6. 4. 초곡면의 선형 다발

체 $k^한국어$ 위의 사영 공간 $\mathbb{P}^n$의 접다발은 선다발 $\mathcal{O}(1)$을 사용하여 설명할 수 있다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열인 오일러 수열이 존재한다.^[45]^[15]

:

0\to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\to \mathcal{O}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb{P}^n\to 0.

표준 다발 $K_{\mathbb{P}^n}$(접다발의 행렬식 다발의 쌍대)는 $\mathcal{O}(-n-1)$과 동형이다. 예를 들어, 표준 다발이 풍부한 선다발 $\mathcal{O}(1)$의 음의 배수라는 사실은 사영 공간이 파노 다형체임을 의미한다. 복소수에 대해 이것은 사영 공간에 양의 리치 곡률을 갖는 켈러 계량이 있음을 의미한다.^[45]^[15]

d^한국어차 동차 다항식 f^한국어에 의해 정의된 매끄러운 d^한국어차원 초곡면 $X \subset \mathbb{P}^n$을 고려하면, 다음과 같은 완전열이 존재한다.

:

0 \to \mathcal{O}_X(-d) \to i^*\Omega_{\mathbb{P}^n} \to \Omega_X \to 0

여기서 두 번째 사상은 미분 형식의 당김이고 첫 번째 사상은

:

\phi \mapsto d(f\cdot \phi)

이다. 이 열은 $\mathcal{O}(-d)$가 $\mathbb{P}^n$에서 $X$의 여법층임을 알려준다. 이를 쌍대화하면 완전열

:

0 \to T_X \to i^*T_{\mathbb{P}^n} \to \mathcal{O}(d) \to 0

이 생성된다. 따라서 $\mathcal{O}(d)$는 $\mathbb{P}^n$에서 $X$의 법다발이다. 랭크 $r_1$, $r_2$, $r_3$ 선형 다발들의 완전열

:

0 \to \mathcal{E}_1 \to \mathcal{E}_2 \to \mathcal{E}_3 \to 0

이 주어지면 다음과 같은 선다발 동형사상이 있다.

:

\Lambda^{r_2}\mathcal{E}_2 \cong \Lambda^{r_1}\mathcal{E}_1\otimes \Lambda^{r_3}\mathcal{E}_3

그러면, 동형사상

:

i^*\omega_{\mathbb{P}^n} \cong \omega_X\otimes \mathcal{O}_X(-d)

이 있음을 알 수 있다. 이는

:

\omega_X \cong \mathcal{O}_X(d - n -1)

를 보여준다.^[44]^[14]

7. 세르 구성 및 선형 다발

세르 구성은 랭크 2 선형 다발과 여차원 2인 부분 다양체 사이의 대응 관계를 설정하는 방법이다.^[46]^[47] 이는 Ext 군 계산을 이용하여 선형 다발의 안정성 등을 연구하는 데 사용될 수 있다.
대응 관계 (한 방향):매끄러운 사영 다형체 $X$ 위의 랭크 2 선형 다발 $\mathcal{E}$ 의 단면 $s \in \Gamma(X,\mathcal{E})$ 에 대해, 그 영점 궤적 $V(s) \subset X$ 를 생각할 수 있다. 만약 $V(s)$ 가 여차원 2인 부분 다형체라면, 다음이 성립한다.

# $V(s)$ 는 국소적 완전 교차점이다. 즉, 아핀 좌표 조각 $U_i \subset X$ 에서 $s|_{U_i} \in \Gamma(U_i,\mathcal{E})$ 는 함수 $s_i:U_i \to \mathbb{A}^2$ 로 표현되며, $s_i(p) = (s_i^1(p), s_i^2(p))$ 이고 $V(s)\cap U_i = V(s_i^1,s_i^2)$ 이다.

# 선다발 $\omega_X\otimes \wedge^2\mathcal{E}|_{V(s)}$ 는 $V(s)$ 위의 표준 다발 $\omega_{V(s)}$ 과 동형이다.
대응 관계 (다른 방향):^[48]

여차원 2인 부분 다형체 $Y \subset X$ 와 선다발 $\mathcal{L} \to X$ 가 다음 조건을 만족한다고 하자.

# $H^1(X,\mathcal{L}) = H^2(X,\mathcal{L}) = 0$

# $\omega_Y \cong (\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y$

그러면 다음 표준 동형사상이 존재한다.

: $\text{Hom}((\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y,\omega_Y) \cong \text{Ext}^1(\mathcal{I}_Y\otimes\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)$

이는 여차원 2인 부분 다형체 포함 사상에 대해 함자적이다. 또한, 왼쪽에 주어진 모든 동형은 오른쪽 확장의 중간에 국소 자유 층에 해당한다. 즉, 동형사상 $s \in \text{Hom}((\omega_X\otimes\mathcal{L})|_Y,\omega_Y)$ 에 해당하는 다음 짧은 완전열에 맞는 랭크 2 국소 자유 다발 $\mathcal{E}$ 가 존재한다.

: $0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{I}_Y\otimes\mathcal{L} \to 0$

이러한 구성을 통해 얻어진 선형 다발 $\mathcal{E}$ 는 코호몰로지 불변량을 사용하여 안정성 여부를 판별할 수 있으며, 주극화된 아벨 다형체^[47]와 K3 곡면 등의 경우 안정적인 선형 다발의 모듈라이 공간 연구에 활용된다.^[49]

8. 역사

앙리 카르탕이 1944년경 다변수 복소해석학에서 연접 가군층의 개념을 도입하였다. 1946년 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.^[50]

1955년 장피에르 세르는 논문 〈대수적 연접층〉^[28]에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

9. 연접층 코호몰로지

연접층 코호몰로지는 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 1950년대에 도입되었지만, 연접층에 적용된 층 코호몰로지를 통해 많은 이전의 대수 기하학 기법들이 명확해졌다. 연접층 코호몰로지는 특정 성질을 가진 함수를 만드는 방법으로 볼 수 있으며, 선다발 또는 더 일반적인 층의 단면은 일반화된 함수로 볼 수 있다.^[32]

연접층 코호몰로지의 주요 결과는 다음과 같다:

코호몰로지의 유한 차원성
다양한 경우에 코호몰로지가 사라지는 소멸 정리
세르 쌍대성 등의 쌍대성 정리
호지 이론과 같이 위상 수학과 대수 기하학의 관계
리만-로흐 정리와 같은 연접층의 오일러 지표 공식^[32]

연접층의 층 계수 코호몰로지 이론은 연접 코호몰로지라고 불린다. 프레셰 공간의 콤팩트 작용소 정리를 사용하여, 카르탕과 세르는 콤팩트한 복소다양체 위에서 임의의 연접층의 코호몰로지가 유한 차원 벡터 공간이 됨을 증명했다. 이는 고다이라 구니히코가 콤팩트 켈러 다양체 위의 국소 자유층에 대해 증명했던 결과를 확장한 것이며, GAGA 동치성 증명에 중요한 역할을 한다.^[32]

그로텐디크는 세르의 결과를 상대적인 버전으로 확장하여, f가 스킴의 고유 사상일 때 연접층 F의 고차 순상 Rⁱf_*F가 연접층이 됨을 보였다. (이 함자 Rⁱ f_*는 층의 순상 f_*의 오른쪽 유도 함자이다.)^[32]

세르 쌍대성을 확장한 스킴 이론의 쌍대성은 coherent duality|연접 쌍대성^영어 (혹은 그로텐디크 쌍대성)이라고 불린다. 대수다양체 위의 켈러 미분 층 Ω¹_X는 연접층이며, 다양체가 매끄러울 때 Ω¹_X는 국소 자유층이고 대응하는 벡터 번들은 X의 여접 번들이다. 세르 쌍대성에 따르면, 차원이 n인 매끄러운 사영 다양체 X에 대해, 가장 높은 차수의 외적 Ωⁿ_X = ΛⁿΩ¹_X는 연접층 코호몰로지에 대해 쌍대 대상으로 작용한다.^[32]

참조

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