중력 퍼텐셜

3. 위치 에너지와 중력 퍼텐셜

어떤 위치에서의 중력 퍼텐셜(''V'')은 그 위치에서의 단위 질량당 퍼텐셜 에너지(''U'')이다.

:V^영어 = U/m^영어

여기서 ''m''은 물체의 질량이다. 퍼텐셜 에너지는 무한대에서부터 주어진 공간 위치로 물체를 이동시키는 중력장에 의해 수행된 일과 크기는 같고 부호는 반대이다. 만약 물체의 질량이 1킬로그램이라면, 그 물체에 할당되는 퍼텐셜 에너지는 중력 퍼텐셜과 같다. 따라서 퍼텐셜은 무한대에서 단위 질량을 이동시키는 중력장에 의해 수행된 일의 음수로 해석될 수 있다.

일부 상황에서는 위치에 거의 독립적인 장을 가정하여 방정식을 단순화할 수 있다. 예를 들어, 지구 표면 근처에서는 중력 가속도 ''g''가 일정하다고 간주할 수 있다. 이 경우, 한 높이에서 다른 높이로의 퍼텐셜 에너지 차이는 높이 차이에 대해 근사적으로 선형 관계를 갖는다.

:ΔU^영어 ≈ mgΔh^영어

중력 퍼텐셜은 단위 질량당의 위치 에너지와 같으므로, 위치 '''r'''^영어에 있는 질량 ''m''의 입자가 갖는 위치 에너지 U^영어 ('''r'''^영어)는, 그 점의 중력 퍼텐셜 Φ^영어 ('''r'''^영어)과

:U^영어 ('''r'''^영어) = mΦ^영어 ('''r'''^영어)

라는 관계가 있다. 따라서, 이 입자에 작용하는 힘 '''F'''^영어 ('''r'''^영어)은

:'''F'''^영어 ('''r'''^영어) = - ∇U^영어 ('''r'''^영어) = - m∇Φ^영어 ('''r'''^영어)^[12]

으로 쓸 수 있다. 즉 중력 퍼텐셜의 기울기의 -1배는 그 점에서의 중력 가속도 '''g'''^영어와 같다.^[13]

:'''g'''^영어 ('''r'''^영어) = - ∇Φ^영어 ('''r'''^영어)

반대로, 중력 퍼텐셜 Φ^영어는 기준점 (통상 무한 원점)에서 공간 내의 주어진 위치로 물체가 중력만의 작용으로 이동했을 때 획득하는 단위 질량당 에너지 (즉 중력이 하는 일)의 부호를 반전시킨 것이라고 해석할 수도 있다.^[14]

:Φ^영어 ('''r'''^영어) = - 1/m^영어 ∫_∞^{'''r'''영어} '''F'''^영어 ('''r'''^'영어) · d'''r'''^'영어

예를 들어, 균일 중력장 내에서는, 중력 가속도의 방향을 z축 음의 방향으로 선택할 때 (즉, 연직 상방을 z축으로 할 때), 중력 퍼텐셜 Φ^영어는

:Φ^영어 (z^영어) = gz^영어[15]

에 의해 주어진다. 따라서 고도차 Δh^영어의 두 점 간의 질량 ''m''의 물체의 위치 에너지의 차 ΔU^영어는 ΔU = mgΔh^영어로 쓸 수 있다.

3. 1. 탈출 속도와 원궤도 속도

4. 구면 대칭계

구각 정리에 의해 구면 대칭 질량 분포는 분포 외부의 관찰자에게 모든 질량이 중심에 집중된 것처럼 행동하며, 효과적으로 점 질량으로 작용한다.^[7] 지구 표면에서 가속도는 표준 중력 ''g''로 주어지며, 대략 9.8 m/s²이다. 하지만 이 값은 위도와 고도에 따라 약간씩 달라진다. 지구는 타원체이기 때문에 가속도의 크기는 적도보다 극지방에서 약간 더 크다.

구면 대칭 질량 분포 내에서는 구면 좌표계에서 푸아송 방정식을 풀 수 있다. 반경 ''R'', 밀도 ρ, 질량 ''m''인 균일한 구형 물체 내에서 구 내부의 중력 ''g''는 중심으로부터의 거리 ''r''에 따라 선형적으로 변하며, 구 내부의 중력 퍼텐셜은 다음과 같다.^[7][8]

:$$V(r)\; =\; \backslash frac\; \{2\}\{3\}\; \backslash pi\; G\; \backslash rho\; \backslash left[r^2\; -\; 3\; R^2\backslash right]\; =\; \backslash frac\{Gm\}\{2R^3\}\; \backslash left[r^2\; -3\; R^2\backslash right],\; \backslash qquad\; r\; \backslash leq\; R,$$

이것은 구 외부의 퍼텐셜 함수에 미분 가능하게 연결된다.

구면 대칭 질량 분포 $\backslash rho\; =\; \backslash rho\; (\; r\; )$의 경우 중력 퍼텐셜 $\backslash Phi$ 역시 구면 대칭성을 가지며 동경 $r$만의 함수가 된다. 이 때 중력 퍼텐셜에 관한 푸아송 방정식은 라플라시안의 구면 좌표 표시 공식에 의해

:$\backslash frac\{\; 1\; \}\{\; r^2\; \}\; \backslash frac\{\; d\; \}\{\; d\; r\; \}\; \backslash left(\; r^2\; \backslash frac\{\; d\; \backslash Phi\; \}\{\; d\; r\; \}\; \backslash right)\; =\; 4\; \backslash pi\; G\; \backslash rho$

로 다시 쓸 수 있다. 이는 즉시 적분되어 중력 가속도 $g\; =\; -\; \backslash partial\_r\; \backslash Phi$ 및 중력 퍼텐셜 $\backslash Phi$가

:$g\; (\; r\; )\; =\; -\; \backslash frac\{\; G\; M\; (\; r\; )\; \}\{\; r^2\; \}\; ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash Phi\; (\; r\; )\; =\; -\; \backslash int\_r^\backslash infty\; \backslash frac\{\; G\; M\; (\; r\text{'}\; )\; \}\{\; r\text{'}^2\; \}\; dr\text{'}$

로 구해진다^[17]。 여기에 $M\; (\; r\; )$은 동경 $r$ 이내의 질량

:$M\; (\; r\; )\; =\; \backslash int\_0^r\; 4\; \backslash pi\; r\text{'}^2\; \backslash rho\; (\; r\text{'}\; )\; dr\text{'}$

이다. 특히 이 중력 가속도 $g\; (\; r\; )$의 표기는 원점 $r\; =\; 0$에 질량 $M\; (\; r\; )$의 질점이 존재할 때 생기는 중력 가속도와 같다^[21]。

반지름 $R$의 균일 밀도 $\backslash rho$를 갖는 구의 경우 중력 퍼텐셜 $\backslash Phi$에 관한 적분을 실행할 수 있으며

:

을 얻을 수 있다^[22]。

5. 다중극 전개

질량 분포가 유계인 영역에 한정될 때, 그 외부의 진공 영역에서의 중력 퍼텐셜은 구면 조화 함수를 사용하여 다중극 전개 형태로 나타낼 수 있다.^[23][24] 특히 축대칭인 계의 경우, 중력 퍼텐셜은 르장드르 다항식을 사용하여 표현할 수 있다.^[25]

구면 좌표 $(\; r,\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )$를 사용하면, 다중극 전개는 다음과 같다.

:$\backslash Phi\; (\; r,\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )\; =\; -\; G\; \backslash sum\_\{l\; =\; 0\}^\backslash infty\; \backslash sum\_\{m\; =\; -\; l\}^l\; \backslash frac\{\; 4\; \backslash pi\; \}\{\; 2\; l\; +\; 1\; \}\; \backslash frac\{\; Q\_\{l\; m\}\; \}\{\; r^\{l+1\}\; \}\; Y\_\{l\; m\}\; (\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )$

여기서 $Y\_\{l\; m\}$은 구면 조화 함수이며, $Q\_\{l\; m\}$은 질량 분포의 다중극 모멘트(스토크스 계수)이다.

:$Q\_\{l\; m\}\; =\; \backslash int\; r^l\; \backslash rho\; (\; r,\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )\; Y\_\{l\; m\}^*\; (\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )\; \backslash ,\; r^2\; dr\; \backslash ,\; \backslash sin\; \backslash theta\; d\backslash theta\; \backslash ,\; d\backslash varphi$

0차 다중극 모멘트 $Q\_\{0\; 0\}$은 계의 전체 질량 $M$과 같고, 질량 분포의 무게 중심을 좌표 원점으로 선택할 때 $Q\_\{1m\}\; =\; 0$이다.^[23] 따라서, 다중극 전개는 뉴턴 퍼텐셜 $-\; G\; M\; /\; r$에 사중극 모멘트 $Q\_\{2\; m\}$ 등의 고차 모멘트에 의한 보정을 더한 것으로 해석할 수 있다.

특히 지구와 같이 축대칭인 계의 경우, 다중극 모멘트 $Q\_\{l\; m\}$은 $m\; \backslash neq\; 0$일 때 0이 되고, 중력 퍼텐셜은 르장드르 다항식 $P\_l$을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.^[25]

:$\backslash Phi\; (\; r,\; \backslash theta,\; \backslash varphi\; )\; =\; -\; \backslash frac\{\; G\; M\; \}\{\; r\; \}\; \backslash left\backslash \{\; 1\; -\; \backslash sum\_\{l\; =\; 2\}^\backslash infty\; J\_l\; \backslash left(\; \backslash frac\{\; R\; \}\{\; r\; \}\; \backslash right)^l\; P\_l\; (\; \backslash cos\; \backslash theta\; )\; \backslash right\backslash \}$

6. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 중력 퍼텐셜은 계량 텐서로 대체된다. 중력장이 약하고 근원들이 빛의 속도에 비해 매우 느리게 움직일 때, 일반 상대성 이론은 뉴턴 중력으로 축소되며, 계량 텐서는 중력 퍼텐셜의 관점에서 전개될 수 있다.^[9]

일반 상대성 이론에서 중력장은 계량 텐서에 의해 표시된다. 중력장이 약하고, 또한 중력원의 속도가 광속보다 충분히 느린 극한에서 일반 상대성 이론은 뉴턴 중력을 재현하며, 계량 텐서와 중력 포텐셜은 다음과 같은 관계를 가진다.^[26]

:$ds^2\; =\; -\; \backslash left(\; 1+\backslash frac\{2\backslash Phi\}\{c^2\}\; \backslash right)\; c^2\; dt^2\; +\; \backslash left(\; 1-\backslash frac\{2\backslash Phi\}\{c^2\}\; \backslash right)\; (dx^2\; +dy^2\; +dz^2)$

이 결과, 일반 상대성 이론에서 중력 포텐셜은 시간 지연이나 중력 적색 편이^[27], 중력 렌즈^[28]와 같은 효과를 일으킨다.

일반 상대성 이론에서, 계량 텐서가 민코프스키 공간에 매우 가깝고, 계량 텐서가 느리게 변하고, 시험 입자가 느리게 움직이는 경우 측지방정식은 만유인력의 법칙으로 수렴한다. 이 경우 중력 퍼텐셜 $\backslash Phi$는 계량 텐서의 성분 $g\_\{tt\}$와 다음과 같은 관계를 가진다.

:$g\_\{tt\}=-1+2\backslash Phi$.

예를 들어, 슈바르츠실트 계량의 경우

:$g\_\{tt\}=-1-2GM/r$

이므로, 뉴턴 역학의 공식 $\backslash Phi=-GM/r$을 재현함을 알 수 있다.

7. 수치 값

다음 표는 지구, 태양, 은하수의 중력에 대한 여러 위치에서의 중력 퍼텐셜의 절대값을 나타낸다. 즉, 지구 표면에 있는 물체는 지구의 중력장을 "탈출"하기 위해 60MJ/kg이, 태양의 중력장까지 탈출하려면 900MJ/kg이, 그리고 은하수의 중력장을 탈출하려면 130GJ/kg 이상이 필요하다. 퍼텐셜은 탈출 속도의 제곱의 절반이다.

참조

_[1] 서적 Electrostatics and magnetostatics of polarized ellipsoidal bodies: the depolarization tensor method Free Scientific Information
_[2] 서적 Classical Dynamics of particles and systems https://archive.org/[...] Harcourt Brace & Company
_[3] 서적 Mathematical Methods For Physicists International Student Edition https://books.google[...] Academic Press
_[4] 서적 Cambridge International AS and A Level Physics Coursebook https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 서적 A-level Physics https://books.google[...] Nelson Thornes
_[6] 서적 The Theory of the Potential Dover Press
_[7] 서적 A Student's Guide to Geophysical Equations https://books.google[...] Cambridge University Press
_[8] 서적 An Introduction to Planetary Atmospheres https://books.google[...] CRC Press
_[9] 서적 Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[10] 서적 Advanced Engineering Mathematics https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1960
_[11] 간행물 gravitational-potential
_[12] 서적 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」 日本評論社
_[13] 서적 Galactic Dynamics Princeton University Press
_[14] 서적 力学 (物理入門コース1) 岩波書店
_[15] 서적 力学 (物理入門コース1) 岩波書店
_[16] 간행물 宇宙速度
_[17] 서적 Galactic Dynamics Princeton University Press
_[18] 서적 力学 (基幹講座物理学) 東京図書
_[19] 서적 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」 日本評論社
_[20] 서적 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」 日本評論社
_[21] 서적 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」 日本評論社
_[22] 서적 Galactic Dynamics Princeton University Press
_[23] 서적 Galactic Dynamics Princeton University Press
_[24] 서적 「シリーズ現代の天文学13 天体の位置と運動」 日本評論社
_[25] 서적 天体と軌道の力学 東京大学出版会
_[26] 서적 深化する一般相対論 ブラックホール・重力波・宇宙論 丸善出版
_[27] 서적 場の古典論 東京図書
_[28] 서적 Gravitational Lenses (Astronomy and Astrophysics Library) Springer
_[29] 뉴스 라플라스의 악마 https://news.naver.c[...] 한국일보 2016-03-23