리에나르-비헤르트 퍼텐셜

{c}를 통해 계산할 수 있다. 로렌츠 게이지에서, 전위와 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.

:$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\; q\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\; r(1-\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}/c)\}$

:$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\{\backslash mu\_0q\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}\}\{4\backslash pi\; r(1-\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}/c)\}$.

여기서

:$\backslash hat\{\backslash mathbf\; r\}=(\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\})/\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}\backslash Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\backslash mathbf\; x$를 가리키는 단위벡터이고,

:$r=\backslash Vert\backslash mathbf\; x-\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}\backslash Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\backslash mathbf\; y\_\backslash text\{ret\}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\backslash mathbf\; x$까지의 거리다. $c$는 빛의 속도이고, $\backslash epsilon\_0$은 진공의 유전율이고, $\backslash mu\_0$은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 ($\backslash dot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}=\backslash mathbf0$) 입자의 퍼텐셜은 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

:$\backslash phi(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash frac\; q\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r\}$

:$\backslash mathbf\; A(t,\backslash mathbf\; x)=\backslash mathbf0$.

리에나르-비헤르트 퍼텐셜 $\backslash varphi$(스칼라 퍼텐셜) 및 $\backslash mathbf\{A\}$(벡터 퍼텐셜)은 위치 $\backslash mathbf\{r\}\_s$에서 속도 $\backslash mathbf\{v\}\_s$로 이동하는 원천 점전하 $q$에 대해 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash epsilon\_0\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\}\{(1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|\}\; \backslash right)\_\{t\_r\}$

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\},t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0c\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s\}\{(1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|\}\; \backslash right)\_\{t\_r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t\_r)\}\{c\}\; \backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},\; t)$

여기서

• $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\_s(t)\}\{c\}$는 광속의 비율로 표현된 원천의 속도이다.
• $$

는 원천으로부터의 거리이다.

$\backslash mathbf\{n\}\_s\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s\}$

는 원천에서 향하는 단위 벡터이고,

기호 $(\backslash cdots)\_\{t\_r\}$는 괄호 안의 양을 지체 시간 $t\_r\; =\; t\_r(\backslash mathbf\{r\},t)$에서 평가해야 함을 의미한다.^[4]

2. 1. 지체 시간 (Retarded Time)

지체 시간은 전자기장이 광속으로 전파되기 때문에 발생하는 시간 지연을 나타내는 개념이다. 어떤 지점의 전자기장은 그 지점에서 떨어진 곳에 있는 전하의 현재 상태가 아니라 과거의 상태에 의해 결정된다. 이때 과거의 시간을 지체 시간이라고 한다.

:$t\_r(\backslash mathbf\{r\},\backslash mathbf\{r\_s\},\; t)\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|,$

여기서 $\backslash mathbf\{r\}$은 관측점이고, $\backslash mathbf\{r\}\_s$는 원천 전하와 전류가 변화하는 지점이다.

움직이는 점전하 $q$의 궤적이 $\backslash mathbf\{r\_s\}(t)$로 주어질 때, $\backslash mathbf\{r\_s\}$는 더 이상 고정된 값이 아니고 지체 시간 자체의 함수가 된다. 따라서 $q$의 궤적을 따르면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:$t\_r\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s(t\_r)|,$

이 식은 지체 시간 $t\_r$을 현재 시간과 주어진 궤적의 함수로 나타낸다.

:$t\_r\; =\; t\_r(\backslash mathbf\{r\},t)$.

이 식은 암시적 방정식이며, 주로 반복법으로 계산된다.^[4] 지체 시간은 전자기장 효과가 유한한 속도로 전파되기 때문에 발생하며, 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 계산에 사용된다.

3. 리에나르-비헤르트 장 (Liénard–Wiechert Field)

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 '''리에나르-비헤르트 장'''(Liénard–Wiechert field^영어)이라고 하며, 다음과 같이 표현된다.^[5]:639[6]

:$\backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =$

\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left(

\frac{q(\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta})}{\gamma^2 (1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|^2}

+ \frac{q \boldsymbol{n} \times \big((\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big)}{c(1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}

\right)_{t_\mathrm{r}}

:$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =$

\frac{\mu_0}{4 \pi} \left(

\frac{q c(\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{n})}{\gamma^2 (1-\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|^2}

+ \frac{q \boldsymbol{n} \times \Big(\boldsymbol{n} \times \big((\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}}\big) \Big)}{(1 - \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\beta})^3 |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}

\right)_{t_\mathrm{r}}

= \frac{\boldsymbol{n}(t_\mathrm{r})}{c} \times \mathbf{E}(\boldsymbol{r}, t)

\,.

여기서 $\backslash gamma(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; |\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}(t)|^2\}\}$는 로런츠 인자이다.

원거리장(far field^영어)은 입자의 뒤처진 가속도 $\backslash ddot\{\backslash mathbf\; y\}\_\backslash text\{ret\}$에 비례한다. 전하의 가속도($\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\}$)가 0이면, 전자기파와 관련된 두 번째 항의 값은 0이 되고 전하는 복사를 방출하지 않는다.

관측 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}$에서 전기장 $\backslash boldsymbol\{E\}(\backslash boldsymbol\{r\},t)$를 관측할 때, 전하와 관측점을 잇는 방향에 직교하도록 전하가 가속될 때 복사 항이 관측된다. 이 복사 항의 전자기장 방향은 지연 시간에서의 전하 위치를 향한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

3. 1. 정지장 (Static Field)

전하가 일정한 속도로 움직일 때 전하의 정적장과 관련된 항은 다음과 같다.^[5]:639[6]

:$\backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash varepsilon\_0\}\; \backslash left(\backslash frac\{q(\backslash mathbf\{n\}\_s\; -\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)\}\{\backslash gamma^2\; (1\; -\; \backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)^3\; |\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|^2\}\backslash right)\_\{t\_r\}$

:$\backslash mathbf\{B\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\; \backslash pi\}\; \backslash left(\backslash frac\{q\; c(\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s\; \backslash times\; \backslash mathbf\{n\}\_s)\}\{\backslash gamma^2\; (1-\backslash mathbf\{n\}\_s\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s)^3\; |\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s|^2\}\backslash right)\_\{t\_r\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{n\}\_s(t\_r)\}\{c\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}(\backslash mathbf\{r\},\; t)$

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{v\}\_s(t)\}\{c\}$, $\backslash mathbf\{n\}\_s(t)\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_s(t)\}$

이고, $\backslash gamma(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; |\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s(t)|^2\}\}$ (로렌츠 인자)이다.

만약 전하가 일정한 속도 $c\backslash boldsymbol\backslash beta$로 운동하는 경우, 속도 인자의 시간 미분 $\backslash dot\{\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\}(t)=\backslash frac\{d\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}(t)\}\{dt\}$는 0이 되므로, 전기장은 $\backslash boldsymbol\{n\}-\backslash boldsymbol\backslash beta$ 항만 남는다. 이때 전기장의 방향은 $\backslash boldsymbol\{n\}-\backslash boldsymbol\backslash beta$에 의해 결정된다. 이 항($\backslash mathbf\{n\}\_s\; -\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s$)은 전하가 $c\; \backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_s$의 일정한 속도로 계속 움직인다면, 전기장의 방향을 전하의 순간적인 위치 쪽으로 업데이트하는 것으로 전하의 전자기장의 "정적" 부분과 관련이 있다.

전기장의 첫 번째 항은, 특히 속도 인자가 0 ($\backslash boldsymbol\backslash beta(t)=0$)일 때 남는 부분은, 전하 $q$의 점전하 주위의 정전기장과 일치하고, 전하가 가져오는 전자기장의 정적인 성분으로 간주된다.

속도가 광속에 매우 가까울 때, 전기장은 $1/\backslash gamma$의 개구각을 가진 "팬케이크"와 비슷하게 횡단면에서 거의 평평해진다.

4. 유도

외부 전자기장 원천이 없는 경계 조건에서, 비균질 파동 방정식에 대한 전자기 퍼텐셜의 지연 해는 로렌츠 게이지를 사용하여 유도된다. 전하 밀도 $\backslash rho(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$ 및 전류 밀도 $\backslash boldsymbol\{J\}(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$를 원천으로 하는 경우, 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.^[4]

:$$

\varphi(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}', t_\mathrm{r}')}

d^3\boldsymbol{r}'



:$$

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}', t_\mathrm{r}')}

d^3\boldsymbol{r}'



여기서 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}\; =\; t\; -\; \backslash frac\{1\}\{c\}|\backslash boldsymbol\{r\}\; -\; \backslash boldsymbol\{r\}\text{'}|$는 지연 시간이다.

원천이 되는 점전하의 궤적이 시간의 함수 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$로 주어지는 경우, 전하 밀도와 전류 밀도는 다음과 같다.

:$$

\rho(\boldsymbol{r}', t') = q \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \,,



:$$

\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}', t') = q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t'))\,.



여기서 $\backslash delta^3$는 3차원 디랙 델타 함수이고, $\backslash boldsymbol\{v\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$는 점전하의 속도이다.

위의 전하 밀도와 전류 밀도를 대입하면, 전자기 퍼텐셜은 다음과 같이 표현된다.

:$$

\varphi(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{q \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t_\mathrm{r}'))}

d^3\boldsymbol{r}'



:$$

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t_\mathrm{r}') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t_r'))}

d^3\boldsymbol{r}'



이 적분을 간단히 하기 위해, 델타 함수 $\backslash delta(t\text{'}\; -\; t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'})$를 사용하여 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$를 $t\text{'}$로 치환하고, $t\text{'}$의 적분으로 바꾼다. 적분의 순서를 바꾸면 다음 식을 얻는다.

:$$

\varphi(\boldsymbol{r}, t)

= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')}

q\delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \, d^3\boldsymbol{r}' dt'\,,



:$$

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)

= \frac{\mu_0}{4\pi} \iint \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')}

q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \delta^3(\boldsymbol{r'} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')) \, d^3\boldsymbol{r}' dt'\,.



델타 함수에 의해 $\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}\; =\; \backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$가 되는 항만 남고, 안쪽 적분이 간단해진다. $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$는 $\backslash boldsymbol\{r\}\text{'}$의 함수이므로, $t\_\backslash mathrm\{r\}\; =\; t\_\backslash mathrm\{r\}(\backslash boldsymbol\{r\}\_s(t\text{'}),\; t\text{'})$로 다시 쓰고 적분을 수행한다.

:$$

\varphi(\boldsymbol{r}, t) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int q\frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')}

dt'\,,



:$$

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int q\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t') \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r}')}

\, dt'\,.



지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}\text{'}$ 및 원천의 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$는 $(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$의 함수이며, 따라서 $t\text{'}$에 의존한다. 이 적분을 계산하기 위해 다음과 같은 항등식을 이용한다.

:$\backslash delta(f(t\text{'}))\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash frac\{\backslash delta(t\text{'}\; -\; t\_i)\}$

여기서 $t\_i$는 각각 함수 $f(t\text{'})$가 0이 되는 점이다. 주어진 시공간 좌표 $(\backslash boldsymbol\{r\},\; t)$와 원천 궤적 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}(t\text{'})$에 대해, 지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}$는 유일하게 결정되므로, 델타 함수는 다음과 같이 간단히 할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\delta(t' - t_\mathrm{r}')

&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{\frac{\partial}{\partial t'}(t' - t_\mathrm{r}')|_{t' = t_\mathrm{r}}}\\

&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{\frac{\partial}{\partial t'}(t' - (t - \frac{1}{c}|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')|))|_{t' = t_\mathrm{r}}}\\

&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{1 +\frac{1}{c}(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t'))/|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}_\mathrm{s}(t')|\cdot (-\boldsymbol{v}_\mathrm{s}(t')) |_{t' = t_r}}\\

&= \frac{\delta(t' - t_\mathrm{r})}{1 - \boldsymbol{\beta}_\mathrm{s} \cdot (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{s})/|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{s}|}

\end{align}

여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_\backslash mathrm\{s\}\; =\; \backslash boldsymbol\{v\}\_\backslash mathrm\{s\}/c$이고, $\backslash boldsymbol\{\backslash beta\}\_\backslash mathrm\{s\}$ 및 $\backslash boldsymbol\{r\}\_\backslash mathrm\{s\}$는 지연 시간 $t\_\backslash mathrm\{r\}$에서 평가되며, 항등식 $|\backslash boldsymbol\{x\}|\text{'}\; =\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{x\}\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{v\}$를 사용했다. 마지막으로, 델타 함수에서 $t\text{'}\; =\; t\_\backslash mathrm\{r\}$이 되는 점을 추출하면,

:$$

\varphi(\boldsymbol{r}, t)

= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left(

\frac{q}

\right)_{t_r} \,,



:$$

\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}, t)

= \frac{\mu_0}{4\pi} \left(

\frac{q\boldsymbol{v}}

\right)_{t_\mathrm{r}}\,.



가 된다. 이것이 리에나르-비헤르트 퍼텐셜이다.

5. 영향

고전 전자기학 연구는 알베르트 아인슈타인의 특수 상대성 이론 발전에 중요한 역할을 했다. 전자기파의 운동과 전파 분석은 시공간에 대한 특수 상대성 이론적 설명으로 이어졌다. 리에나르-비헤르트 공식은 상대론적 운동하는 입자에 대한 더 깊이 있는 분석으로 나아가는 중요한 발판이다.^[7]

리에나르-비헤르트 공식은 크고 독립적으로 움직이는 입자에 대해 정확하며, 항상 두 가지 해를 제공한다. 진행파는 전하에 의해 흡수되고 지연파는 방출된다.

플랑크가 발견한 영점장을 고려하는 것은 중요하다.^[8] 이것은 아인슈타인의 "A" 계수를 대체하며 고전적 전자가 리드베리의 고전 궤도에서 안정적임을 설명한다. 또한 영점장의 요동을 도입하면 윌리스 람의 수소 원자 준위 수정이 발생한다.

양자 전기역학은 복사 현상과 양자 제약 조건을 통합하는 데 기여했다.

6. 한계

거시적으로 서로 독립적으로 운동하는 입자에 대해서는 리에나르-비헤르트 공식에 의한 기술이 정확하지만, 입자의 운동이 양자론적이 되는 영역에서는 정확하지 않게 된다.

양자역학에서는 입자의 전자기 방사에 대해 제한이 추가된다. 입자의 방사 현상에 관한 고전적인 기술은 실험 결과와 명확하게 어긋난다. 예를 들어 원자를 구성하는 전자는 고전론에서 예측하는 것과 같은 방사 현상을 일으키지 않고, 원자는 안정적으로 존재할 수 있다. 이것은 전자의 에너지 상태가 양자화되는 것에 의해 설명된다.

방사를 이해하기 위해서는 전자기장을 양자화할 필요가 있으며, 이는 양자전기역학으로서 20세기 후반에 구축되었다.

참조

_[1] 저널 Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un point et animée d'un mouvement quelconque http://cnum.cnam.fr/[...]
_[2] 저널 Elektrodynamische Elementargesetze https://zenodo.org/r[...]
_[3] 웹사이트 Some Aspects in Emil Wiechert http://verplant.org/[...]
_[4] 웹사이트 David Tong: Lectures on Electromagnetism http://www.damtp.cam[...]
_[5] 서적 CERN Accelerator School: Synchrotron radiation https://cds.cern.ch/[...]
_[6] 서적 INTRODUCTION TO WAKEFIELDS AND WAKE POTENTIALS https://inspirehep.n[...]
_[7] 저널 Zur Quantentheorie der Strahlung https://babel.hathit[...]
_[8] 저널 Eine neue Strahlungshypothese https://babel.hathit[...]
_[9] 웹사이트 Some Aspects in Emil Wiechert's Scientific Work http://verplant.org/[...]
_[10] 저널 Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d’un movement quelconque
_[11] 저널 Elektrodynamische Elementargesetze

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