0\le\langle u,u\rangle-\frac2. 1. 일반적인 경우
내적 공간 의 벡터 '''u'''와 '''v'''에 대해 다음 부등식이 성립한다.\left |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right |^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \langle \cdot, \cdot \rangle 는 내적이다. 내적의 예시에는 실수 및 복소수 점곱이 포함된다. 모든 내적은 유클리드 \ell_2 노름을 생성하며, 이를 정규 또는 유도된 노름이라고 하며, 벡터 \mathbf{u} 의 노름은 다음과 같이 표기하고 정의한다.\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle} \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle 는 항상 음수가 아닌 실수이다 (내적이 복소수 값을 갖는 경우에도).|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \mathbf{u} 와 \mathbf{v} 가 선형 종속일 때에만 같다. 즉, 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배일 때 성립한다.영어 , y영어 가 실수 또는 복소수 내적 공간 (X,\langle \cdot,\cdot\rangle) 의 원소일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 나타낸다.\langle x,y\rangle^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle 영어 , y영어 가 선형 종속일 때, 즉 x영어 , y영어 의 한쪽이 0이거나, 그렇지 않으면 평행할 때 성립한다. 내적에서 유도되는 노름 \|x\|^2:=\langle x,x\rangle 을 사용하면 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.|\langle x,y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert 영어 에 대한 연속 범함수 \langle x,\cdot\rangle 또는 \langle \cdot,x\rangle 를 정의할 수 있다. 또한 벡터 x영어 에 범함수 x^* \colon y \mapsto \langle y,x\rangle 를 작용시키면 등거리 작용소가 되는 것도 따른다.내적 노름 에 관한 삼각 부등식 \Vert x+y \Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert 영어 와 y영어 의 한쪽이 다른 쪽의 음이 아닌 실수배일 때 성립한다.2. 2. 부정부호의 경우
일반적으로, 부정부호 에르미트 형식의 경우 코시-슈바르츠 부등식은 성립하지 않는다. 다만, 민코프스키 공간 의 시간꼴 벡터의 경우 다음이 성립한다.실수 벡터 공간 V V 위의 쌍선형 형식 \langle,\rangle . 또한, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle<0\}\cup\{0\} 은 1차원 부분 벡터 공간이다.\forall u,v\in V\colon \min\{\langle u,u\rangle,\langle v,v\rangle\}\le0\implies |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V 민코프스키 공간 의 경우는 위와 같은 조건을 생략할 수 있다. 구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.실수 벡터 공간 V V 위의 쌍선형 형식 \langle,\rangle . 또한, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle<0\}\cup\{0\} 은 1차원 이하 부분 벡터 공간이며, \{v\in V\colon\langle v,v\rangle>0\}\cup\{0\} 역시 1차원 이하 부분 벡터 공간이다.\forall u,v\in V\colon |\langle u,v\rangle|^2\ge \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle\qquad\forall u,v\in V
3. 증명
코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 증명할 수 있다.\mathbf{u} , \mathbf{v} 가 선형 종속이면, 즉 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라 배이면 \mathbf{u} = c \mathbf{v} (c는 스칼라)로 나타낼 수 있다. 이 경우,|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \mathbf{v} = c \mathbf{u} 인 경우도 마찬가지로 유도할 수 있다.\mathbf{u} 나 \mathbf{v} 중 하나가 영벡터이면, 두 벡터는 선형 종속이므로 (예: \mathbf{u} = \mathbf{0} 이면 \mathbf{u} = 0\mathbf{v} ) 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.\mathbf{v} \neq \mathbf{0} 라고 가정한다.증명 1: \mathbf{z} = \mathbf{u} - \frac {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v} 로 정의하면, 내적의 선형성에 의해 \langle \mathbf{z}, \mathbf{v} \rangle = 0 이 성립한다. 즉, \mathbf{z} 는 \mathbf{v} 에 직교한다.\mathbf{u}= \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v} + \mathbf{z} 에 적용하면,\|\mathbf{u}\|^2
4. 특수한 경우
수 벡터 공간에서 표준 내적을 사용할 때 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.\left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) \left( \int f(x)g(x)^*\,dx \right)^2 \leq \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int \left|g(x)\right|^2\,dx
4. 1. 세드라키안 부등식 (Sedrakyan's lemma)
세드라키안 부등식은 베르그스트룀 부등식, 엥겔의 형태, 티투의 보조 정리(또는 T2 보조 정리)라고도 알려져 있으며, 실수 u_1, u_2, \dots, u_n 과 양의 실수 v_1, v_2, \dots, v_n 에 대해 다음과 같이 나타낸다.\frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n} \leq \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n}, \biggl(\sum_{i=1}^n u_i\biggr)^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n v_i \,\leq\, \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i}. u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i\vphantom{t}}} 및 v_i' = {\textstyle \sqrt{v_i\vphantom{t}}} 를 대입하여 \R^n 에 대한 내적을 사용함으로써 얻을 수 있다. 이 형태는 분자가 제곱수인 분수가 포함된 부등식에 특히 유용하다.4. 2. 2차원 유클리드 공간 (R^2)
유클리드 평면의 단위 원에서의 코시-슈바르츠 부등식 \R^2 는 2차원 평면을 나타낸다. 이는 내적이 점곱인 2차원 유클리드 공간 이기도 하다.\mathbf{u} = (u_1, u_2) 이고 \mathbf{v} = (v_1, v_2) 라면, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = \bigl(\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta\bigr)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2, \theta 는 \mathbf{u} 와 \mathbf{v} 사이의 각도이다.u_1 , u_2 , v_1 및 v_2 로 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.\left(u_1 v_1 + u_2 v_2\right)^2 \leq \left(u_1^2 + u_2^2\right) \left(v_1^2 + v_2^2\right), \left(u_1, u_2\right) 가 벡터 \left(v_1, v_2\right) 와 같은 방향 또는 반대 방향에 있거나, 둘 중 하나가 영벡터인 경우에만 성립한다.4. 3. n차원 유클리드 공간 (R^n)
n차원 유클리드 공간에서 표준 내적을 사용할 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.\biggl(\sum_{i=1}^n u_i v_i\biggr)^2 \leq \biggl(\sum_{i=1}^n u_i^2\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n v_i^2\biggr). (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \biggl(\sum_i u_i^2\biggr) x^2 + 2 \biggl(\sum_i u_i v_i\biggr) x + \sum_i v_i^2. \biggl(\sum_i u_i v_i\biggr)^2 - \biggl(\sum_i {u_i^2}\biggr) \biggl(\sum_i {v_i^2}\biggr) \leq 0. \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {y_i}^2 \right) (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) 4. 4. n차원 복소 공간 (C^n)
표준 복소 내적을 사용하는 n차원 복소 공간에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.\bigl|u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n\bigr|^2 \leq \bigl(|u_1|{}^2 + \cdots + |u_n|{}^2\bigr) \bigl(|v_1|{}^2 + \cdots + |v_n|{}^2\bigr). \mathbb C^n 에서 두 벡터 \mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n) , \mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n) 에 대한 표준 복소 내적 \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n} (여기서 윗줄 표시는 복소 켤레 )을 사용하여 다음과 같이 더 명시적으로 나타낼 수 있다.\bigl|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\bigr|^2 V=\mathbb K^n 일 때, 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.\left|\bar a_1b_1+\bar a_2b_2+\dotsb+\bar a_nb_n\right|^2\le n=2 인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻는다.|\bar ac+\bar bd|^2\le(|a|^2+|b|^2)(|c|^2+|d|^2)\qquad\forall a,b,c,d\in\mathbb K 4. 5. 르베그 공간 (L^2)
가측 공간 X 위의 p=2 르베그 공간 V=\operatorname L^2(X;\mathbb K) 은 \mathbb K -힐베르트 공간 을 이룬다. 이 경우 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.\left|\int \overline{f(x)}g(x)\,dx\right|^2\le \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx\qquad\forall f,g\in\operatorname L^2(X;\mathbb K) \left|\int_{\R^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\R^n} \bigl|f(x)\bigr|^2\,dx \int_{\R^n} \bigl|g(x)\bigr|^2 \,dx. \left( \int f(x)g(x)^*\,dx \right)^2 \leq \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int \left|g(x)\right|^2\,dx 4. 6. C* 대수
C* 대수 A 위의 상태 f\colon A\to\mathbb C 가 주어졌을 때, \langle a,b\rangle=f(a^*b)\qquad\forall a,b\in A 는 A 위의 양의 준정부호 에르미트 형식을 이룬다. 이에 대한 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다.|f(a^*b)|^2\le f(a^*a)f(b^*b)\qquad\forall a,b\in A
5. 응용
코시-슈바르츠 부등식은 여러 분야에서 활용된다.해석학 에서 모든 내적 공간 의 삼각 부등식 은 코시-슈바르츠 부등식의 결과이다.위상 에서 연속 함수 임을 증명하는 데 사용된다.기하학 에서는 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수 내적 공간 으로 확장할 수 있게 해준다.힐베르트 공간 이 유클리드 공간 의 일반화라는 개념을 뒷받침한다.확률론 에서 두 확률 변수 X 와 Y 에 대한 공분산 부등식\operatorname{Var}(X) \geq \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)^2}{\operatorname{Var}(Y)}.
5. 1. 해석학
모든 내적 공간 에서 삼각 부등식 은 코시-슈바르츠 부등식의 결과이다.\begin{alignat}{4} \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|. 위상 에 대해 연속 함수 임을 증명하는 데 사용된다.5. 2. 기하학
코시-슈바르츠 부등식은 "두 벡터 사이의 각도" 개념을 임의의 실수 내적 공간 으로 확장할 수 있게 해준다.\cos\theta_{\mathbf{u} \mathbf{v}} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}. 힐베르트 공간 이 단순히 유클리드 공간 의 일반화라는 개념을 정당화한다. 또한 복소수 내적 공간 에서 우변의 절댓값 또는 실수부를 취함으로써 각도를 정의하는 데에도 사용될 수 있다.5. 3. 확률론
두 확률 변수 X 와 Y 에 대해, 공분산 부등식\operatorname{Var}(X) \geq \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)^2}{\operatorname{Var}(Y)}. \langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(X Y). \bigl|\operatorname{E}(XY)\bigr|^2 \leq \operatorname{E}(X^2) \operatorname{E}(Y^2). \mu = \operatorname{E}(X) 와 \nu = \operatorname{E}(Y) 라고 할 때,\begin{align} \operatorname{Var} 는 분산 을, \operatorname{Cov} 는 공분산 을 나타낸다.
6. 일반화
코시-슈바르츠 부등식은 여러 형태로 일반화될 수 있다. 횔더 부등식은 이를 L^p 노름으로 일반화하며, 바나흐 공간 상의 선형 연산자 노름 정의의 특수한 경우로 해석될 수 있다(공간이 힐베르트 공간 인 경우).L^2(m) 에서 m 이 유한 측도일 때, 표준 내적은 \varphi (g) = \langle g, 1 \rangle 에 의해 양의 범함수 \varphi 를 생성한다. 반대로, L^2(m) 에서 모든 양의 선형 범함수 \varphi 는 \langle f, g \rangle _\varphi := \varphi\left(g^* f\right) 로 내적을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 여기서 g^* 는 g 의 점별 복소 켤레이다.연산자 이론 과 칼레보트 부등식 등 다양한 일반화가 존재한다.
6. 1. 횔더 부등식 (Hölder's inequality)
코시-슈바르츠 부등식은 횔더 부등식의 특수한 경우이다. 횔더 부등식은 제곱 적분 가능 복소수 값 함수의 내적 공간에 대해 다음 부등식이 성립한다는 내용을 일반화한 것이다.\left|\int_{\R^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\R^n} \bigl|f(x)\bigr|^2\,dx \int_{\R^n} \bigl|g(x)\bigr|^2 \,dx. 6. 2. 연산자 이론
바나흐 공간 상의 선형 연산자의 노름, 연산자 볼록 함수, 연산자 대수 등으로 일반화된다.L^2(m) 에서, m 이 유한 측도일 때, 표준 내적은 \varphi (g) = \langle g, 1 \rangle 에 의해 양의 범함수 \varphi 를 생성한다. 이때 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같이 표현된다.\bigl|\varphi(g^* f)\bigr|^2 \leq \varphi\left(f^* f\right) \varphi\left(g^* g\right) A 상의 양의 선형 범함수 \varphi 에 대해, 모든 a, b \in A 에 대해 다음이 성립한다.\left|\varphi\left(b^*a\right)\right|^2 \leq \varphi\left(b^*b\right) \varphi\left(a^*a\right) \varphi 에 대해, 그 정의역에 있는 모든 정규 원소 a 에 대해, 다음이 성립한다.\varphi(a^*a) \geq \varphi\left(a^*\right) \varphi(a) \varphi\left(a^*a\right) \geq \varphi(a) \varphi\left(a^*\right) \varphi 에 대해, 정의역에 있는 모든 a, b 에 대해 다음이 성립한다.\varphi(a)^*\varphi(a) \leq \Vert\varphi(1)\Vert \varphi\left(a^*a\right) \Vert\varphi\left(a^* b\right)\Vert^2 \leq \Vert\varphi\left(a^*a\right)\Vert \cdot \Vert\varphi\left(b^*b\right)\Vert 6. 3. 칼레보트 부등식 (Callebaut's inequality)
칼레보트 부등식은 실수 0 \leq s \leq t \leq 1 에 대해 다음과 같이 표현된다.\begin{align}
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