크레인-밀만 정리

3. 크레인-밀만 정리

Hausdorff^영어 국소 볼록 공간 $X$의 콤팩트 볼록 부분집합 $K$는 극점들의 닫힌 볼록 껍질과 같다. 즉, $K\; =\; \backslash overline\{\backslash operatorname\{co\}\}(\backslash operatorname\{extreme\}(K))$이다.

벡터 공간에서 임의의 원소 $x$와 $y$에 대해, 집합 $[x,\; y]\; :=\; \backslash \{tx\; +\; (1-t)y\; :\; 0\; \backslash leq\; t\; \backslash leq\; 1\backslash \}$를 $x$와 $y$ 사이의 '''폐선분''' 또는 '''폐구간'''이라고 한다. $x$와 $y$ 사이의 '''개선분''' 또는 '''개구간'''은 $x\; =\; y$일 때는 $(x,\; y)\; :=\; \backslash varnothing$이고, $x\; \backslash neq\; y$일 때는 이다. 점 $x$와 $y$는 이러한 구간의 '''endpoints'''라고 하며, endpoints가 서로 다르면 해당 구간을 '''비퇴화'''라고 한다.

$K$가 $X$의 부분 집합이고 $p\; \backslash in\; K$이면, $p$는 $K$의 '''극점'''이라고 하며, $K$의 두 개의 다른 점 사이에 있지 않다. 즉, $x,\; y\; \backslash in\; K$와 이 존재하여 $x\; \backslash neq\; y$이고 $p\; =\; tx\; +\; (1-t)\; y$인 경우가 없다. $K$의 모든 극점 집합은 $\backslash operatorname\{extreme\}(K)$로 표시된다.

예를 들어, 평면 $\backslash R^2$에서 임의의 볼록 다각형의 꼭짓점은 그 다각형의 극점이다. $\backslash R^2$에서 폐단위 원판의 극점은 단위 원이다.

집합 $S$가 임의의 두 점 $x,\; y\; \backslash in\; S$에 대해 선분 $[x,\; y]$를 포함하면 '''볼록'''이라고 한다. $S$를 포함하는 가장 작은 볼록 집합을 $S$의 '''볼록 껍질'''이라고 하며, $\backslash operatorname\{co\}\; S$로 표시한다. 집합 $S$의 '''폐볼록 껍질'''은 $\backslash overline\{\backslash operatorname\{co\}\}(S)$로 표시하며, $S$를 포함하는 가장 작은 닫힌 볼록 집합이다.

$K$의 극점의 볼록 폐포는 $K$의 볼록 부분 집합을 형성하므로, 증명의 주요 부담은 볼록 폐포가 $K$ 전체를 덮을 수 있도록 극점이 충분히 많다는 것을 보이는 것이다. 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간의 모든 비어있는 콤팩트 볼록 부분 집합은 극점을 가진다.

체르멜로-프렝켈 집합론('''ZF''')의 공리적 틀 내에서, 선택 공리('''AC''')는 크레인-밀만 정리를 증명하기에 충분하다. 선택 공리는 불 대수 소 아이디얼 정리('''BPI''')를 함의하지만, BPI와 동치는 아니며, BPI는 바나흐-알라오글루 정리와 동치이다. 크레인-밀만 정리와 BPI를 함께 사용하면 선택 공리가 도출된다.^[6]

크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비드 밀만에 의해 증명된 원래의 명제는 여기에서 언급된 형태보다 다소 덜 일반적이었다.^[7] 그보다 앞서 헤르만 민코프스키는 $X$가 3차원인 경우 $K$가 극점 집합의 볼록 폐포와 같다는 것을 증명했다.^[8] 이 주장은 에른스트 슈타이니츠에 의해 임의의 유한 차원 경우로 확장되었다.^[9] 크레인-밀만 정리는 이를 임의의 국소 볼록 공간 $X$로 일반화한다.

3. 1. 강한 크레인-밀만 정리 (존재성)

4. 일반적인 경우

주변 공간의 국소 볼록성에 대한 가정은 필요하다. 제임스 로버츠는 1977년에 더 일반적인 공간의 반례를 제시했기 때문이다.^[2]

선형성 역시 필요하다. 니콜라스 모노가 2016년에 증명했듯이 CAT(0) 공간의 약한 콤팩트 볼록 집합에 대해서는 이 정리가 성립하지 않기 때문이다.^[3] 그러나 테오 뷔흘러는 2006년에 크레인-밀만 정리가 ''계량적으로'' 콤팩트한 CAT(0) 공간에 대해서는 성립함을 증명했다.^[4][10][11]

5. 관련 결과

$K$가 하우스도르프 국소 볼록 위상 벡터 공간의 콤팩트 부분 집합이고, $T$가 $K$의 부분집합이며, $T$의 닫힌 볼록 껍질이 $K$ 전체라면, $K$의 모든 극점은 $T$의 폐포에 속한다. 이 결과는 크레인-밀만 정리의 ''밀만의 (부분) 역''이다.^[5]

쇼케–비숍–드 류 정리는 $K$의 모든 점이 $K$의 극점 집합에서 지지되는 확률 측도의 바리센터라고 말한다.

6. 선택 공리와의 관계

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 선택 공리 또는 그 약한 형태인 불 소 아이디얼 정리를 사용하여 크레인-밀만 정리를 증명할 수 있다.^[1] 크레인-밀만 정리와 불 소 아이디얼 정리를 함께 사용하면 선택 공리를 증명할 수 있다.

7. 역사

헤르만 민코프스키는 3차원 공간에서 K가 극점 집합의 볼록 껍질과 같음을 증명했다.^[8] 에른스트 슈타이니츠는 이를 유한 차원으로 확장했다.^[9] 마르크 크레인과 다비드 밀만은 이 결과를 국소 볼록 공간으로 일반화했다. 그러나 유한 차원에서 무한 차원 공간으로 일반화하려면 폐포를 사용해야 한다.

참조

_[1] 학술지 On the Relationship Between the Boolean Prime Ideal Theorem and Two Principles in Functional Analysis https://publish.uwo.[...] 1971
_[2] 간행물 A compact convex set with no extreme points https://eudml.org/do[...]
_[3] 간행물 Extreme points in non-positive curvature
_[4] 간행물 The Krein–Mil'man theorem for metric spaces with a convex bicombing
_[5] 간행물
_[6] 학술지 A geometric form of the axiom of choice http://matwbn.icm.ed[...] 1972
_[7] 간행물 On extreme points of regular convex sets https://eudml.org/do[...]
_[8] 간행물 Gesammelte Abhandlungen Teubner
_[9] 간행물 Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme VI, VII
_[10] 웹사이트 The Krein-Mil'man Theorem for Metric Spaces with a Convex Bicombing, Theo Buehler, 2006. https://arxiv.org/ab[...] 2014-10-31
_[11] 웹인용 The Krein-Mil'man Theorem for Metric Spaces with a Convex Bicombing, Theo Buehler, 2006. http://arxiv.org/abs[...]