극점 (기하학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. k-차원 극점
6. 역사
참조

1. 개요

극점(Extreme point)은 실수 벡터 공간의 볼록 집합에서 특정 조건을 만족하는 점을 의미한다. 볼록 집합 S의 부분 집합 F가 공집합이 아니고, S의 임의의 두 점 x, y와 0
극점은 볼록 집합의 중요한 특징을 나타내며, 크레인-밀만 정리, 밀만 정리, 쇼케 정리 등 여러 정리와 관련되어 연구된다. 크레인-밀만 정리는 콤팩트 볼록 집합이 극점들의 볼록 폐포와 일치한다는 내용을 담고 있으며, 밀만 정리는 콤팩트 볼록 집합의 부분 집합 T를 포함하는 최소 볼록 닫힌 집합이 K일 때 K의 모든 극점이 T의 폐포에 속한다는 것을 보여준다. 쇼케 정리는 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합에서 극점의 집합이 보렐 집합이며, 각 점을 무게 중심으로 갖는 확률 측도가 존재한다는 것을 의미한다.

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극점 (기하학)
개요
정의	어떤 집합에서 다른 두 점 사이의 선분 위에 놓이지 않는 점
관련 분야	선형 계획법 볼록 집합
상세 내용
선형 계획법에서의 역할	최적해 탐색에 중요
볼록 집합에서의 역할	볼록 집합의 성질 규명에 중요
성질	유일성: 유일한 극점 존재 가능 존재성: 모든 집합이 극점을 갖는 것은 아님
관련 정리	크레인-밀만 정리 (Krein–Milman theorem) 조케 정리 (Choquet’s theorem)

2. 정의

실수 벡터 공간에서 정의되는 볼록 집합과 그 극점에 대한 내용은 다음과 같다.

면(Face), 극점(Extreme Point), 극점 계수(Extreme Rank)의 개념이 정의되어 있다.
극점은 0-극점과 동일하며, 극점 계수에 따라 n-극점으로 분류된다.

하위 섹션에서 면, 극점, 극점 계수에 대한 정의를 다루고 있으므로, 여기서는 간략하게 개념만 언급한다.

2. 1. 면 (Face)

실수 벡터 공간

V

속의 볼록 집합

S

의 부분 집합

F\subseteq S

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''면'''(face^영어)이라고 한다.^[6]

공집합이 아니다.
임의의 두 $x,y\in S$ 및 $0 에 대하여, 만약 tx+(1-t)y\in F 라면, x,y\in F 이다.$

2. 2. 극점 (Extreme Point)

실수 벡터 공간

V

속의 볼록 집합

S

의 점

x\in S

가

S

의 면

\{x\}

를 가지면,

x

를

S

의 '''극점'''이라고 한다.^[6]^[7]^[8]

S

의 극점 집합은

\mathcal E(S)

로 표기한다.

X

가 실수 또는 복소수 벡터 공간일 때, 임의의

p, x, y \in X

에 대해

x \neq y

이고

0 < t < 1

이 존재하여

p = t x + (1-t) y

이면,

p

는

x

와

y

'''사이'''에 있다고 한다.

K

가

X

의 부분집합이고

p \in K

일 때,

p

가

K

의 두 서로 다른 점 사이에 있지 않으면

K

의 '''극점'''이라고 한다. 즉,

x, y \in K

이고,

0 < t < 1

이며,

x \neq y

이고

p = t x + (1-t) y

인 경우가 존재하지 않으면 극점이다.

K

의 모든 극점 집합은

\operatorname{extreme}(K)

로 표시한다.

벡터 공간의 부분집합

S

에서, 0차원 지지 다양체를

S

의 극점이라고 한다.

2. 3. 극점 계수 (Extreme Rank)

실수 벡터 공간

V

속의 볼록 집합

S

속의 점

x\in S

의 '''극점 계수'''(extreme rank^영어)는 다음과 같은 자연수이다.

:

\operatorname{ext}(x)=\min\left\{k\colonx=\sum_{i=0}^kt_iy_i,\;k\in\mathbb Z^+,\;y_0,\dotsc,y_k\in S,\;(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)\right\}

여기서, 임의의 양의 정수

k\in\mathbb Z^+

에 대하여

:

\operatorname{int}(\Delta^k)\subseteq(\mathbb R^+)^{k+1}

:

(t_0,\dotsc,t_k)\in\operatorname{int}(\Delta^k)\overset{\text{def}}\iff t_0+\dotsb+t_k=1

는

k

차원 단체의 내부이다. 특히,

\operatorname{int}(\Delta^0)=\{1\}

이며, 임의의

x\in S

는

x=1x

로 나타내어지므로 항상

\operatorname{ext}(x)\ge0

이다.

이 경우, 만약

\operatorname{ext}(x)=n

이라면

x

를 '''

n

-극점'''이라고 한다. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.

어떤 볼록 집합 ''S'' 내의 점은

k

차원 볼록 집합 내부에 위치하지만

S

내의

k + 1

차원 볼록 집합 내부에는 위치하지 않는 경우 '''

k

-극점'''이라고 한다. 따라서 극점은

0

-극점이기도 하다.

S

가 다면체인 경우,

k

-극점은 정확히

S

의

k

차원 면의 내부 점이다. 더 일반적으로, 임의의 볼록 집합

S

에 대해

k

-극점은

k

차원 열린 면으로 분할된다.

민코프스키(Minkowski)에 의해 증명된 유한 차원 크레인-밀만 정리(Krein–Milman theorem)는

k

-극점의 개념을 사용하여 빠르게 증명할 수 있다. 만약

S

가 닫혀 있고, 유계이며,

n

차원이고,

p

가

S

내의 점이면,

p

는

k \leq n

에 대해

k

-극점이다. 이 정리는

p

가 극점의 볼록 조합임을 주장한다. 만약

k = 0

이면 즉시 성립한다. 그렇지 않으면

p

는

S

내의 선분 위에 있으며, 이는 최대로 확장될 수 있다(왜냐하면

S

는 닫혀 있고 유계이기 때문이다). 선분의 끝점이

q

와

r

이면, 그들의 극점 순위는

p

의 극점 순위보다 작아야 하며, 이 정리는 귀납법에 의해 성립한다.

3. 성질

실수 벡터 공간의 볼록 집합의 면들의 교집합은 공집합이 아니면 항상 면이다. 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합의 닫힌 면에는 그 면에 속하는 극점이 적어도 하나 이상 존재한다.^[6]

콤팩트 볼록 집합의 극점은 (부분 공간 위상을 갖는) 베어 공간을 형성하지만, 이 집합이 닫혀있지 않을 수도 있다.

크레인-밀만 정리는 극점에 관한 가장 잘 알려진 정리 중 하나이다. 크레인-밀만 정리에 따르면, 국소 볼록 위상 벡터 공간에서 볼록하고 콤팩트인 집합은 극점의 닫힌 볼록 폐포이다. 특히, 이러한 집합은 극점을 갖는다.

요람 린덴스트라우스의 정리에 따르면, 라돈-니코딤 성질을 갖는 바나흐 공간에서, 비어있지 않은 닫힌 유계 집합은 극점을 갖는다. (무한 차원 공간에서, 콤팩트성의 성질은 닫혀있고 유계라는 두 성질을 합친 것보다 더 강하다.^[2])

위상 벡터 공간의 닫힌 볼록 부분 집합에서 모든 (위상적) 경계점이 극점일 경우, 이 집합을 강볼록 집합이라고 한다. 모든 힐베르트 공간의 단위 구는 강볼록 집합이다.

3. 1. 면의 교집합

임의의 실수 벡터 공간

V

의 볼록 집합

K\subseteq V

의 면들의 족

(F_i)_{i\in I}

에 대하여, 그 교집합

\textstyle\bigcap_{i\in I}F_i

이 공집합이 아니라면 항상 면이다.

3. 2. 극점의 존재성

하우스도르프 실수 국소 볼록 공간

V

속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합

\varnothing\ne K\subseteq V

의 닫힌 면

F\subseteq K

에 대하여,

F

에 속하는

K

의 극점이 적어도 하나 이상 존재한다.^[6]

3. 3. 극점의 볼록 폐포

크레인-밀만 정리에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.^[6]^[8]

'''증명:'''

:

K=\varnothing

은 자명하므로

K\ne\varnothing

이라고 가정한다.

K

의 극점 집합

\mathcal E(K)\subseteq K

를 생각한다. 자명하게

\operatorname{co}(\mathcal E(K))\subseteq K

이다. (여기서

\operatorname{co}(-)

는 볼록 폐포이다.) 따라서

K\subseteq\operatorname{co}(\mathcal E(K))

를 보이면 충분하다.

귀류법을 사용하여,

x\in K\setminus\operatorname{co}(\mathcal E(K))

라고 가정한다. 한-바나흐 정리에 의하여,

\{x\}

와

\operatorname{co}(\mathcal E(K))

를 분리하는, 즉

:

\inf_{e\in\operatorname{co}(\mathcal E(K))}\phi(e)>\phi(x)

가 성립하는 실수 값 선형 범함수

:

\phi\colon\mathbb R^n\to\mathbb R

가 존재한다.

K

가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상

\phi(K)

역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간

[s,t]\subseteq\mathbb R

이며,

s\le\phi(e)c\le t

이다. 즉,

F=\phi^{-1}(t)

는

K

의 닫힌 면이며, 정의에 따라

F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))=\varnothing

이다. 그런데

F

에 속하는

K

의 극점이 존재한다. 즉,

\varnothing\ne F\cap \mathcal E(K)\subseteq F\cap\operatorname{co}(\mathcal E(K))

이며, 이는 모순이다.

체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.

또한, '''에드거 정리'''(Edgar’s theorem^영어)에 따르면, 반사 바나흐 공간 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합은 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)

'''밀만 정리'''(Milman’s theorem^영어)에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 속의 콤팩트 볼록 집합의 부분 집합에 대하여, 만약 그 부분 집합을 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 원래의 콤팩트 볼록 집합과 같다면, 원래 콤팩트 볼록 집합의 모든 극점은 그 부분 집합의 폐포에 속한다.^[6]

3. 4. 극점 위의 측도

하우스도르프 실수 국소 볼록 공간

V

와

V

속의 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합

K\subseteq V

가 주어졌을 때, '''쇼케 정리'''(Choquet’s theorem^영어)에 따르면 다음이 성립한다.^[6]

$K$ 의 극점의 집합 $\mathcal E(K)$ 는 $K$ 의 보렐 집합이다.
임의의 $x\in K$ 에 대하여, $x$ 를 무게 중심으로 갖는 확률 측도 $\mu\colon\operatorname{Baire}(\mathcal E(K))\to[0,1]$ 가 존재한다.

4. 예시

유클리드 공간에서 닫힌 공의 0-극점은 초구이고, 나머지 점(열린 공)은 1-극점이다. $a < b$ 인 두 실수 $a$ , $b$ 는 구간 $[a, b]$ 의 극점이지만, 열린 구간 $(a, b)$ 는 극점이 없다.^[1]

$\R$ 의 모든 열린 구간은 극점이 없지만, $\R$ 과 같지 않은 비퇴화 닫힌 구간은 극점(닫힌 구간의 끝점)을 갖는다. 유한 차원 유클리드 공간 $\R^n$ 의 모든 열린 집합은 극점이 없다.

$\R^2$ 에서 닫힌 단위 원판의 극점은 단위 원이다. 평면 상의 모든 볼록 다각형의 둘레는 해당 다각형의 면이고,^[1] 꼭짓점은 해당 다각형의 극점이다.

단사 선형 사상 $F : X \to Y$ 는 볼록 집합 $C \subseteq X$ 의 극점을 볼록 집합 $F(X)$ 의 극점으로 보낸다.^[1] 이는 단사 아핀 사상에도 적용된다.

4. 1. 한원소 집합

한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.

4. 2. 유클리드 공간

유클리드 공간

\mathbb R^n

에서 닫힌 공

:

\operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\mathbb R^n}(\vec 0,1))=\left\{\vec v\in\mathbb R^n\colon \|\vec v\|\le1\right\}

의 0-극점들은 초구

:

\mathbb S^{n-1}=\{\vec v\in\mathbb R^n\colon\|\vec v\|=1\}

이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다. 만약

a < b

가 두 실수라면

a

와

b

는 구간

[a, b]

의 극점이다. 하지만 열린 구간

(a, b)

는 극점을 갖지 않는다.^[1]

\R

의 모든 열린 구간은 극점을 갖지 않지만,

\R

과 같지 않은 비퇴화 닫힌 구간은 극점(즉, 닫힌 구간의 끝점)을 갖는다. 더 일반적으로, 유한 차원 유클리드 공간

\R^n

의 모든 열린 집합은 극점을 갖지 않는다.

\R^2

에서 닫힌 단위 원판의 극점은 단위 원이다. 평면 상의 모든 볼록 다각형의 둘레는 해당 다각형의 면이다.^[1] 평면

\R^2

의 모든 볼록 다각형의 꼭짓점은 해당 다각형의 극점이다.

단사 선형 사상

F : X \to Y

는 볼록 집합

C \subseteq X

의 극점을 볼록 집합

F(X)

의 극점으로 보낸다.^[1] 이는 단사 아핀 사상에도 적용된다.

4. 3. 비유계 집합

실수선

\mathbb R

속의 닫힌 반직선

:

\mathbb R_{\ge}=\{t\in\mathbb R\colon t\ge0\}

은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점은

0\in\mathbb R_{\ge}

밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점이다. 이 경우

\{0\}

의 볼록 폐포는

\{0\}\ne\mathbb R_{\ge}

이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.

보다 일반적으로,

n

차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간

:

\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1}\subseteq\mathbb R^n

은

k\le n-2

일 경우

k

-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점

:

x\in\partial(\mathbb R_{\ge}\times\mathbb R^{n-1})=\{0\}\times\mathbb R^{n-1}

은

n-1

-극점이며, 나머지 점들은

n

-극점이다.

4. 4. 비(非) 국소 볼록 공간

완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간 중에는 크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는 경우가 있다.^[9]

5. k-차원 극점

어떤 볼록 집합 $S$ 내의 점이 $k$ 차원 볼록 집합의 내부에는 속하지만, $k+1$ 차원 볼록 집합의 내부에는 속하지 않으면, 그 점을 ''' $k$ -차원 극점''' (또는 줄여서 ''k''-극점)이라고 한다. 따라서 극점은 0-차원 극점이기도 하다. $S$ 가 폴리토프이면, 그 $k$ -차원 극점 전체는 $S$ 의 $k$ -차원 면의 내점 전체와 정확히 일치한다. 보다 일반적으로, 임의의 볼록 집합 $S$ 에 대해, 그 $k$ -극점 전체가 이루는 집합은 $k$ -차원 열린 면으로 분할할 수 있다.

민코프스키에 의한 유한 차원 크레인-밀만의 정리는 ''k''-극점의 개념을 사용하여 빠르게 증명할 수 있다. ''S''가 닫혀 있고, 유계이며, ''n''-차원이고, ''p''가 ''S'' 내의 어떤 점이라면, 어떤 ''k'' < ''n''에 대해 ''p''는 ''k''-극점이 된다. 이 정리는 ''p''가 극점의 볼록 결합임을 주장한다. ''k'' = 0이면, 이것은 명백히 참이다. 그렇지 않은 경우, ''p''는 ''S'' 내의 (''S''는 닫혀 있고 유계이므로) 최대까지 확장할 수 있는 선분 위에 있다. 그 선분의 종점을 ''q''와 ''r''이라고 할 때, 그것들의 단점으로서의 랭크는 ''p''보다 작아야 한다. 이후, 귀납적으로 정리를 증명할 수 있다.

6. 역사

헤르만 민코프스키는 20세기 초에 유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리를 증명하였다.^[10]

마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(Дави́д Пи́нхусович Ми́льман|다비트 핀후소비치 밀만^ru)은 1940년에 바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리를 증명하였다.^[11]

밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.^[12]

쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(Gustave Choquet|귀스타브 쇼케^프랑스어)가 증명하였다.

참조

_[1] 웹사이트 What is the difference between corner points and extreme points in linear programming problems? https://www.quora.co[...]
_[2] 논문 Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points
_[3] 간행물 A noncompact Choquet theorem. https://www.ams.org/[...] Proceedings of the American Mathematical Society 1975
_[4] 논문 Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points
_[5] 논문 Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points
_[6] 서적 Convexity: an analytic viewpoint Cambridge University Press 2011
_[7] 서적 Convex analysis: an introductory text Wiley 1984
_[8] 서적 Linear algebra Addison-Wesley 1970
_[9] 저널 A compact convex set with no extreme points http://matwbn.icm.ed[...] 1977
_[10] 서적 Geometrie der Zahlen https://archive.org/[...] Druck und Verlag von B. G. Teubner 1910
_[11] 저널 On extreme points of regular convex sets http://matwbn.icm.ed[...] 1940
_[12] 저널 Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества 1947

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