페르미 문제

3. 유명한 추정

페르미 추정으로 특히 잘 알려진 것은 '''"미국 시카고에는 몇 명의 피아노 조율사가 있을까?"'''를 추정하는 것이다. 이는 페르미가 직접 시카고 대학교 학생들에게 출제했다고 전해진다.

이 문제에 대해, 예를 들어 다음과 같이 대략적으로 추정할 수 있다.

우선 다음 데이터를 가정한다.

• 시카고 인구는 300만 명으로 한다.
• 시카고에서는 1가구당 인원이 평균 3명 정도라고 한다.
• 10가구당 1대의 비율로 피아노를 보유하고 있는 가구가 있다고 한다.
• 피아노 1대의 조율은 평균적으로 1년에 1번 한다고 한다.
• 조율사가 1일에 조율하는 피아노의 대수는 3대라고 한다.
• 주 5일 근무를 하며, 조율사는 연간 약 250일 일한다고 한다.

3. 1. 트리니티 폭발력

3. 2. 시카고의 피아노 조율사 수

이러한 가정을 바탕으로 다음과 같이 대략적인 숫자를 추론할 수 있다.

• 조율사 1명이 1년에 조율하는 횟수는 하루 8시간, 주 5일, 1년에 50주간, 2시간씩 계산하여 1000대가 된다.

4. 페르미 추정의 활용 및 의의

과학자들은 정교한 계산에 앞서 페르미 추정을 통해 결과에 대한 검증을 수행한다. 이를 통해 계산 과정의 오류나 잘못된 가정을 발견할 수 있다. 페르미 추정은 간단한 계산으로 예상되는 답의 규모를 파악하고, 계산 방법의 최적 선택을 돕는다.

예를 들어, 구조물의 내부 응력이 선형 탄성으로 충분히 설명되는지, 또는 구조물이 추정치보다 몇 배 더 큰 하중을 견딜 수 있도록 설계될 것인지 등을 페르미 추정을 통해 알 수 있다.

페르미 추정은 복잡한 현실 문제를 단순화하여 분석하는 데 유용하며, 제한된 정보 속에서도 합리적인 의사 결정을 내리는 데 도움을 준다. 특히, 컨설팅, 금융, 엔지니어링 분야에서 문제 해결 능력을 평가하는 데 자주 활용된다. 1980년대와 90년대 미국의 기업 채용 활동에서 페르미 추정을 모방한 케이스 스터디 테스트가 자주 시행되었다.

'''미국 시카고에는 몇 명의 피아노 조율사가 있을까?'''를 추정하는 문제는 페르미 추정으로 가장 잘 알려진 사례이다. 엔리코 페르미가 시카고 대학교 학생들에게 직접 출제했다고 전해진다.

다음은 시카고의 피아노 조율사 수를 추정하는 예시이다.

따라서 시카고에는 약 130명의 피아노 조율사가 있다고 추정할 수 있다. 그러나 페르미 추정에서는 전제나 추론 방법에 따라 결론에 상당한 오차가 발생할 수 있다.

5. 페르미 추정의 한계와 비판

페르미 추정은 그 간결함과 유용성에도 불구하고, 몇 가지 한계점과 비판을 받는다.
1. 초기 가정의 오류 가능성:페르미 추정은 초기 가정에 크게 의존한다. 만약 초기 가정이 부정확하거나 편향된 정보를 기반으로 한다면, 최종 결과는 실제 값과 크게 달라질 수 있다. 예를 들어, 특정 지역의 인구 밀도를 과대평가하거나, 특정 제품의 시장 점유율을 잘못 가정하는 경우, 추정 결과는 신뢰성을 잃게 된다.
2. 불확실성의 누적:페르미 추정은 여러 단계의 추정을 거치면서 불확실성이 누적되는 경향이 있다. 각 단계에서 작은 오차가 발생하더라도, 이러한 오차들이 곱해지면서 최종 결과에는 큰 영향을 미칠 수 있다. 특히, 추정 단계가 많아질수록 불확실성은 더욱 커진다.
3. 정보 부족 문제:페르미 추정은 제한된 정보를 바탕으로 이루어지기 때문에, 중요한 변수를 고려하지 못하거나, 현실 세계의 복잡성을 충분히 반영하지 못할 수 있다. 예를 들어, 특정 제품의 수요를 예측할 때, 경쟁 제품의 출시나 경제 상황의 변화와 같은 외부 요인을 고려하지 않으면, 추정 결과는 부정확해질 수 있다.
4. 주관적 판단 개입:페르미 추정 과정에는 추정자의 주관적인 판단이 개입될 여지가 있다. 예를 들어, 특정 사건의 발생 확률을 추정할 때, 추정자의 경험이나 직관에 따라 결과가 달라질 수 있다. 이는 추정 결과의 객관성을 저해하는 요인이 된다.
5. 검증의 어려움:페르미 추정은 실제 값을 알 수 없는 상황에서 사용되는 경우가 많기 때문에, 추정 결과의 정확성을 검증하기 어렵다는 한계가 있다. 이는 페르미 추정의 신뢰성에 대한 의문을 제기하는 요인이 된다.

이러한 한계점에도 불구하고, 페르미 추정은 제한된 정보와 시간 속에서 합리적인 의사 결정을 내리는 데 유용한 도구로 활용될 수 있다. 다만, 페르미 추정의 결과를 활용할 때에는 이러한 한계점을 인지하고, 추정 결과를 비판적으로 검토하는 자세가 필요하다.

6. 드레이크 방정식과 페르미 역설

드레이크 방정식은 은하계에 존재하는 지적 생명체의 수를 추정하는 데 사용되는 페르미 문제의 대표적인 예시이다. 드레이크 방정식에 따르면 외계 문명이 존재할 가능성은 있지만, "만약 그렇다면 왜 인류는 아직까지 다른 문명을 만나지 못했는가?"라는 질문이 제기되는데, 이를 페르미의 역설이라고 한다.^[6]

7. 페르미 추정의 설명

페르미 추정은 일반적으로 개별 항의 추정치가 정확한 값에 근접하고 과대 평가와 과소 평가가 서로 상쇄되기 때문에 유효하다. 즉, 일관된 편향이 없는 경우, 여러 개의 추정된 요소(예: 시카고의 피아노 조율사의 수)의 곱셈을 포함하는 페르미 계산은 처음 생각하는 것보다 더 정확할 것이다.

자세히 말하면, 추정치를 곱하는 것은 그 로그를 더하는 것에 해당한다. 따라서 임의 보행^영어을 로그 척도에서 얻는다. 이산적인 측면에서 과대 평가의 수에서 과소 평가의 수를 뺀 값은 이항 분포를 갖는다. 연속적인 측면에서, 만약 한 사람이 ''n''단계의 페르미 추정을 수행하고, 각 단계가 실제 값에서 로그 척도로 ''σ'' 단위의 표준 편차를 갖는다면, 전체 추정치는 표준 편차 $\backslash sigma\backslash sqrt\{n\}$을 갖게 되는데, 그 이유는 합의 표준 편차가 더하는 수의 $\backslash sqrt\{n\}$으로 축척되기 때문이다.

예를 들어, 9단계의 페르미 추정을 수행하고, 각 단계에서 정확한 수치를 2배(또는 표준 편차 2)로 과대 또는 과소 평가한다면, 9단계 후에 표준 오차는 $\backslash sqrt\{9\}\; =\; 3$의 로그 팩터로 증가할 것이므로 2³ = 8이 된다. 따라서 정확한 값의 1/8 에서 8배 이내, 즉 차수 내에서 예상할 수 있으며, 2⁹ = 512(약 2.71차수)로 잘못 판단하는 최악의 경우보다 훨씬 적다. 만약 더 짧은 체인을 가지거나 더 정확하게 추정한다면, 전체 추정치는 그에 따라 더 좋아질 것이다.

참조

_[1] 학술지 A Backward Glance: Eyewitnesses to Trinity https://www.lanl.gov[...] Los Alamos National Laboratory 2022-10-27
_[2] 학술지 How Fermi Would Have Fixed It 1988-09
_[3] 서적 The Fermi Solution: Essays on Science Dover Publications 2001
_[4] 웹사이트 Fermi Questions https://www.lions.od[...] Old Dominion University. 2022-10-27
_[5] 문서 Fermi Questions 2001
_[6] 서적 The Great Silence: Science and Philosophy of Fermi's Paradox Oxford University Press 2018-05-10
_[7] 웹인용 How Fermi Would Have Fixed It http://sci.mercer.ed[...] 2012-01-31