형식의 법칙들

3. 책의 철학적 배경 및 영향

''형식의 법칙들(LoF)''은 신비주의적이고 웅변적인 산문과 역설에 대한 애정으로 인해 모든 독자에게 도전적인 읽을거리를 제공한다. 저자인 스펜서 브라운은 비트겐슈타인과 R. D. 레잉의 영향을 받았다. ''LoF''는 또한 찰스 샌더스 퍼스, 버트런드 러셀, 알프레드 노스 화이트헤드의 저작에서 나타나는 여러 주제를 반영한다.

이 책은 일부 독자들에게 특이한 영향을 미쳤다. 예를 들어, 책 전체가 ''to be'' 동사를 사용하여 어떤 것이 "있는 것"을 직접적으로 말하기보다 독자에게 지침을 제공하는 방식으로 쓰였으며, 스펜서 브라운이 역설에 관심을 가졌다는 점에 근거하여, 어떤 것이 "있다"고 명시적으로 진술하는 유일한 문장은 이 책에서 그러한 진술이 사용되지 않는다고 말하는 문장뿐이라는 주장이 제기되기도 했다.^[3] 이 주장은 더 나아가 이 한 문장을 제외하면 책 전체가 E-Prime의 예시로 간주될 수 있다고 주장한다. 그러나 이러한 주장의 근거나 타당성은 명확하지 않은데, 왜냐하면 이 책은 원문에서 볼 수 있듯이 모든 문법적 형태로 동사 ''to be''를 일상적으로 자연스럽게 사용하기 때문이다.^[4]

겉으로는 형식 수학과 철학에 관한 저작처럼 보이지만, ''LoF''는 일종의 컬트 클래식이 되었다. 하인츠 폰 푀르스터는 ''전체 지구 카탈로그''에 기고한 서평에서 이 책을 높이 평가했다.^[5] 이 책을 긍정적으로 평가하는 사람들은 ''LoF''가 수수께끼 같은 ''의식의 수학''을 구현하며, 그 대수적 기호들이 인지의 근본적인 능력, 즉 ''구별''하는 능력을 포착한다고 주장한다. ''LoF''는 그 기본 대수학이 논리, 불 대수, 산술, 그리고 언어 철학과 정신 철학 사이에 놀라운 연관성을 드러낸다고 제시한다.

스태포드 비어는 ''네이처''에 기고한 서평에서 "러셀이 60년 전에 ''수학 원리''를 쓰기 위해 겪었던 모든 고난과, 우리 독자들이 그 방대한 세 권의 책과 씨름하면서 겪었던 모든 어려움을 생각하면, 거의 슬프기까지 하다"라고 언급하며 이 책의 간결함과 깊이를 높이 평가했다.^[6]

한편, 바나셰프스키(Banaschewski, 1977)는 ''LoF''의 기본 대수학이 두 원소 불 대수 '''2'''를 위한 새로운 표기법에 불과하다고 비판적으로 보았다.^[7] 실제로 '''2'''는 기본 대수학의 의도된 해석으로 간주될 수 있다. 그러나 ''LoF''의 기본 대수학 표기법은 다음과 같은 특징을 가진다.

• 쌍대성을 완전히 활용하여 불 대수뿐만 아니라 모든 격자를 특징짓는다.
• 논리와 '''2'''에서 구문론적으로 다른 명제가 동일한 의미론을 가질 수 있음을 강조한다.
• 불 대수 계산과 명제 논리 및 삼단 논법의 증명을 극적으로 단순화한다.

4. 기본 산술 (Primary Arithmetic)

"표시"(mark) 또는 "십자"(cross)라고 불리는 이 기호는 형식의 법칙의 핵심적인 특징이다. 스펜서-브라운은 이 표시가 인지의 근원, 즉 "이것"과 "이것 ''외의'' 모든 것"을 구별하는 이원적 능력을 상징한다고 설명한다.

''형식의 법칙들''(''LoF'')에서 십자는 "구분"을 그리는 행위를 의미하며, 다음 세 가지 의미를 동시에 가진다고 볼 수 있다.

• 무언가 주위에 경계를 그려 다른 모든 것과 분리하는 행위
• 경계를 그림으로써 모든 것과 구별되는 대상 자체
• 경계의 한쪽에서 다른 쪽으로 건너가는 행위

• 원자 표현: 두 가지 원자 표현이 존재한다.
• * 비어 있는 십자 기호 --
• * 빈 페이지의 전부 또는 일부 ("공백")
• 귀납적 규칙: 두 가지 귀납적 규칙이 있다.
• * 십자 기호 --는 모든 표현 위에 쓸 수 있다.
• * 임의의 두 표현은 결합될 수 있다.

• A1. 호출의 법칙 (The Law of Calling): 한 상태에서 두 번 호출하는 것은 한 번 호출하는 것과 구별할 수 없다. 즉, 두 번 구별하는 것은 한 번 구별하는 것과 같은 효과를 가진다. 예를 들어, "빛이 있으라"고 두 번 말하는 것은 한 번 말하는 것과 같다. 공식적으로는 다음과 같다.

• A2. 교차의 법칙 (The Law of Crossing): 표시되지 않은 상태에서 표시된 상태로 교차한 후, 다시 표시된 상태에서 교차("재교차")하면 표시되지 않은 상태로 돌아간다. 따라서 재교차는 원래의 교차를 무효화한다. 공식적으로는 다음과 같다.

• 모든 유한 표현식은 고유한 단순화를 가진다. (''LoF''의 T3)
• 초기 표시 또는 표시되지 않은 상태에서 시작하여 A1과 A2를 유한 번 반복 적용하여 표현식을 "복잡하게" 만들어도, 초기 상태와 다른 단순화 결과를 갖는 표현식을 생성할 수는 없다. (''LoF''의 T4)

• 널 알파벳(null alphabet)을 가진 다이크 언어
• 촘스키 위계에서 가장 간단한 유형의 문맥 자유 언어
• 강하게 정규화되고 합류하는 재작성 시스템

4. 1. 정전 (Canon)

중요한 명령 구조를 때때로 "정전"이라고 부른다. 정전은 지침이 별자리로 그룹화되는 방식이며, 따라서 서로 독립적이지 않다. 정전은 (즉, 설명) 구축 중인 시스템 외부에 있다는 특징을 가지지만, (예: '구분을 그리는') 구축 명령은 아무리 중요하더라도 정전이 아니다. 정전은 구축하거나 만들지 않고 허용하거나 허가하는 명령 또는 일련의 명령이다. (''LoF'', 제2장 주석)

...수학적 의사소통의 주요 형태는 설명이 아니라 지침이다... 음악도 비슷한 형태의 예술이며, 작곡가는 자신이 생각하는 일련의 소리, 더 나아가 그 소리를 통해 발생하는 일련의 감정을 설명하려 시도조차 하지 않으며, 연주자가 복종하면 청취자에게 작곡가의 원래 경험을 재현할 수 있는 일련의 명령을 기록한다. (''LoF'', 제2장 주석)

5. 기본 대수 (Primary Algebra)

''기본 대수''는 1933년 헌팅턴이 지적한 점, 즉 불 대수는 하나의 단항 연산과 하나의 이항 연산만 필요하다는 것을 구체화한다. 따라서 불 대수가 마그마(과거에는 군체라고 불림)라는 사실은 거의 언급되지 않는다. 기본 대수는 가환적이라는 점에 주목할 필요가 있다.

• 반군: 기본 대수의 인접(나란히 쓰는 연산)은 교환 법칙과 결합 법칙을 따른다.
• 단위적: '''J0''' 규칙에 의해 항등원 --을 갖는다. (자세한 내용은 초기값 섹션 참조)

• '''G1'''. ''abc'' = ''acb'' (왼쪽부터 결합한다고 가정)
• '''G2'''. --
• '''G3'''. --

• 기본 대수의 공리 '''A2'''에 따르면, -- ≠ --이다. 만약 기본 대수가 군이라면, 이 두 항등원이 같아야 하며,   -- ''a'' = --   또는   ''a'' -- = ''a''   중 하나가 성립해야 한다. 군론에서 요구하는 것처럼 --와 --는 서로 기본 대수적 보수 관계이므로, $\backslash overline\{\backslash \; \backslash overline\{\backslash \; \backslash overline\{\backslash \; \backslash \; |\}\; \backslash \; \backslash Big|\}\; \backslash \; \backslash Bigg|\}\; =\; \backslash overline\{\backslash \; \backslash \; |\}$ (즉, 보수의 보수는 원래 값)라는 관계는 군론과 기본 대수 모두에서 성립한다.
• 기본 대수의 초기값 '''C2'''는 격자를 정의하는 흡수 법칙과 불 대수의 핵심인 분배 법칙을 증명할 수 있게 해준다. 이 점이 기본 대수를 다른 마그마와 가장 명확하게 구별하는 특징이다. (자세한 내용은 초기값 섹션 참조)

5. 1. 논리적 동등성 규칙

• '''R1''', 동등성의 치환: 공식 ''C''에서 하위 공식 ''A''의 하나 이상의 인스턴스를 ''B''로 대체하여 공식 ''E''를 생성한다. 만약 ''A''=''B''이면, ''C''=''E''이다.
• '''R2''', 균일한 치환: 공식 ''C''와 ''D''에서 하위 공식 ''A''의 모든 인스턴스를 ''B''로 대체한다. 이때 ''C''는 ''E''가 되고 ''D''는 ''F''가 된다. 만약 ''C''=''D''이면, ''E''=''F''이다. 이 경우, ''A''=''B''일 필요는 없다.

5. 2. 초기값 (Initials)

| A

|}

|}

=

|}

|-

| '''J2''' || 분배 (Distribution) ||

{| style="border-top: 2px solid black; border-right: 2px solid black;"

|-

|

{|

|-

|

|

|}

|}

| C

=

{|style="border-top: 2px solid black; border-right: 2px solid black;"

|-

|

{|

|-

|

|

|}

|}

|}

|}

'''J2'''는 명제 논리와 부울 대수에서 사용되는 익숙한 분배 법칙과 유사하다.

계산에 더 적합한 초기값 집합은 다음과 같다:

{| class="wikitable"

|-

! 이름 !! 설명 !! 수식

|-

| '''J0''' || 위치 (Position) ||

{| style="border-top: 2px solid black; border-right: 2px solid black;"

|-

|

{| style="border-top: 2px solid black; border-right: 2px solid black;"

|-

|

|}

|}

| A

= A

|}

|-

| '''J1a''' || 초월 (Transposition) ||

{|

|-

|

| A

|}

=

{| style="border-top: 2px solid black; border-right: 2px solid black;"

|-

|

|}

|}

|}

|-

| '''C2''' || 생성 (Generation) / 반복 (Iteration) || A

= A

|}

'''C2''' 덕분에 ''기본 대수''는 격자가 된다. '''J1a'''에 의해, 그것은 보완 격자이며, 상한은 --|]]이다. '''J0'''에 의해, --|]]|]]는 해당하는 하한이자 항등원이다. '''J0'''은 또한 ''LoF''의 공리 A2의 대수적 버전이며, --가 빈 페이지와 동의어라는 의미를 명확히 한다.

''LoF''의 정리 T13은 '''C2'''를 다음과 같이 일반화한다: 모든 ''기본 대수'' (또는 명제 논리) 공식 ''B''는 가지가 있는 순서 트리로 볼 수 있다. 이때, 부분 수식 ''A''는 ''A''와 그 사본이 ''B''의 같은 가지에 있는 한, ''A''보다 깊이가 큰 ''B''의 어느 깊이에도 자유롭게 복사(생성)할 수 있다. 또한, ''B''의 같은 가지에 ''A''의 여러 인스턴스가 주어지면, 가장 얕은 것을 제외한 모든 인스턴스는 삭제(중복 제거)될 수 있다.

'''C2''' 또는 그와 동등한 것은 다음과 같이 불리기도 한다:

• ''LoF''에서는 "생성(generation)"
• Johnson (1892)에서는 "배제(exclusion)"
• William Bricken의 작업에서는 "침투(penetration)"

5. 3. 증명 이론 (Proof Theory)

• '''귀결'''(Consequence): ''증명''에 의해 검증된 ''기본 대수''의 방정식이다. 증명은 여러 단계로 이루어지며, 각 단계는 미리 정의된 '초기 귀결'이나 이전에 증명된 귀결을 근거로 한다.
• '''정리'''(Theorem): 메타언어로 작성된 진술로, 수학자나 논리학자가 인정하는 증명을 통해 검증된다.
• '''초기값'''(Initial): 증명 과정에서 공리처럼 사용되는 기본적인 가정을 의미한다.

• '''J1a''': `(A)A = ()` (빈 공간 만들기, `Image:Laws of Form - (A)A=().png`)
• '''J2''': `((A)(B)) = AB` (드 모르간의 법칙 유사 형태, `Image:Laws of Form - ((A)(B))=AB.png`)
• '''C1''': `((A)) = A` (이중 부정 제거 유사 형태, `Image:Laws of Form - ((A))=A.png`)
• '''C2''': `A(AB) = A(B)` (분배 법칙 유사 형태, `Image:Laws of Form - A(AB)=A(B).png`)
• '''C3''' (귀결): `()A = ()` (빈 공간과의 연산, `Image:Laws of Form - ()A=().png`)
• '''C5''' (귀결): `AA = A` (멱등 법칙)

• '''완전성'''(Completeness): ''기본 대수''의 모든 귀결은 초기값들로부터 증명될 수 있다 (T17).
• '''독립성'''(Independence): 초기값 '''J1'''은 '''J2'''로부터 증명될 수 없으며, 그 반대도 마찬가지이다 (T18).

5. 4. 해석 (Interpretations)

• 두 원소 불 대수 ('''2'''): 기본 대수의 연산(기호 나열, 십자 기호 씌우기)을 불 대수의 연산(논리합, 논리곱, 부정)과 대응시켜 해석할 수 있다.
• 명제 논리: 명제의 참/거짓 값을 기본 대수의 상태와 연결하고, 논리 연산자(NOT, OR, AND 등)를 기본 대수의 기호 조작으로 표현하여 해석할 수 있다.
• 삼단논법: 전통적인 삼단논법의 구조와 타당성을 기본 대수의 식으로 변환하고 그 식의 단순화를 통해 검증하는 방식으로 해석할 수 있다.

5. 4. 1. 두 원소 불 대수 2

• 부울 결합(+) 또는 만남(×)은 표현식들의 연결(juxtaposition)로 해석된다.
• ''A''의 보수(¬''A'')는 ''A'' 위에 십자 표시를 한 --로 해석된다.
• 0 또는 1은 빈 마크(공백)로 해석된다. 연결을 결합(+)으로 해석하면 빈 마크는 0이 되고, 만남(×)으로 해석하면 1이 된다. 이는 피연산자가 없는 이항 연산은 해당 연산의 항등원과 같다고 간주하는 원리와 같다.

5. 4. 2. 명제 논리

• 빈 페이지(공백) = 거짓
• 십자 기호(¬) = 참 = not 거짓
• 이중 십자 기호(¬¬) = Not 참 = 거짓

• 변수 a 위에 십자 기호(¬a)는 Not A를 의미한다.
• 변수 a와 b를 나란히 쓴 표현(ab)은 A Or B를 의미한다.
• 십자 기호 안에 a가 있고 그 옆에 b가 있는 표현(¬a b)은 Not A Or B 또는 If A Then B를 의미한다.
• 십자 기호 안에 (십자 기호 안의 a)와 (십자 기호 안의 b)가 나란히 있는 표현(¬(¬a ¬b))은 Not (Not A Or Not B) 또는 Not (If A Then Not B) 또는 A And B를 의미한다.
• 몇 가지 다른 복잡한 표현 방식들은 모두 A if and only if B 또는 'A는 B와 논리적 동치이다'를 의미한다.

5. 4. 3. 삼단논법

6. 이차 방정식 (Equations of the Second Degree)

''형식의 법칙들'' 제11장에서는 "이차 방정식"이라는 개념을 소개하는데, 이는 "무한" 깊이를 가진 것으로 해석될 수 있는 재귀 공식을 다룬다. 어떤 재귀 공식들은 표시된 상태나 표시되지 않은 상태로 단순화된다. 반면 다른 공식들은 깊이가 짝수인지 홀수인지에 따라 두 상태 사이를 무한히 "진동"한다. 특히, 특정 재귀 공식은 연속적인 시간 간격 동안 '''참'''과 '''거짓''' 사이에서 진동하는 것으로 볼 수 있으며, 이 경우 해당 공식은 "허수" 진리 값을 가진다고 여겨진다. 이를 통해 시간의 개념이 ''기본 대수''에 도입될 수 있다.

터니(Turney)는 1986년 연구에서 이러한 재귀 공식을 알론조 처치의 제한된 재귀 산술(RRA, Restricted Recursive Arithmetic)을 통해 어떻게 해석할 수 있는지 보여주었다. 처치는 1955년에 유한 오토마타를 공리적으로 형식화하기 위해 RRA를 도입했다. 터니는 이차 방정식을 처치의 RRA로 변환하는 일반적인 방법을 제시했으며, ''형식의 법칙들'' 11장의 공식 '''E1''', '''E2''', '''E4'''를 예시로 들어 설명했다. RRA로의 변환은 스펜서-브라운이 '''E1'''과 '''E4'''에 붙인 이름, 즉 '''메모리'''와 '''카운터'''의 의미에 대한 통찰을 제공한다. 결과적으로 RRA는 ''형식의 법칙들''에서 제시된 허수 진리 값 개념을 형식화하고 명확하게 해준다.

7. 관련 연구 및 영향

고트프리트 라이프니츠는 19세기 말과 20세기 초에 출판된 메모를 통해 부울 대수를 사실상 발명했으며, 이는 형식의 법칙(LoF)의 중요한 선구 작업으로 평가받는다. 그의 표기법은 연결을 논리곱으로, "non-(''X'')"를 ''X''의 논리 부정으로 읽는 등 LoF의 표기법과 동형 관계에 있다. 라이프니츠의 대수 논리 연구는 초기에 일부 학자들에 의해 언급되었으나, 1980년대 볼프강 렌첸의 연구를 통해 그 중요성이 완전히 재조명되었다.

찰스 샌더스 퍼스 (1839–1914)는 여러 측면에서 LoF의 기본 대수를 예견했다.

# 1886년에 작성된 두 편의 논문에서 퍼스는 LoF의 '표시'(십자 기호)와 거의 동일한 단일 기호, 즉 '스트리머'를 사용하는 논리 대수를 제안했다. 스트리머의 의미는 아래에 아무것도 쓰지 않는다는 점을 제외하면 LoF의 표시와 같다. 이 논문의 일부는 1976년에 출판되었고, 전체 내용은 1993년에 공개되었다.^[9]

# 1902년 백과사전 기사에서,^[10] 퍼스는 부울 대수와 명제 논리를 표기할 때, 수식의 깊이에 따라 둥근 괄호와 네모 괄호를 번갈아 사용하는 방식을 제안했다.

# 그의 알파 존재 그래프는 논리곱으로 읽히는 병렬 연결과 논리 부정으로 읽히는 타원형의 묶음으로 구성된다.^[11] 기본 대수의 연결을 논리곱으로 해석하면, 이 그래프는 기본 대수와 동형이다.

LoF는 퍼스의 저작 중 위의 (2)와 (3)에 해당하는 내용을 담고 있는 ''수집된 논문'' 제4권을 인용하고 있다. 그러나 퍼스의 연구, 특히 (1)의 내용은 LoF가 집필되던 시기 영국에서는 거의 알려지지 않았다. 퍼스의 기호학은 LoF의 철학적 측면을 이해하는 데 도움을 줄 수 있지만, LoF 자체에서는 직접적으로 다루지 않는다.

루이스 카우프만은 버트런드 러셀의 제자인 장 니코가 1917년에 발표한 논문에서도 LoF와 유사한 표기법이 사용되었음을 지적했다.

라이프니츠, 퍼스, 니코의 연구와 LoF의 기본 대수는 모두 글자와 괄호(또는 다른 묶는 장치)로 구문이 제한되는 경계 수학(boundary mathematics)의 예시로 볼 수 있다. 이러한 최소한의 구문을 사용하는 표기법을 "경계 표기법"이라고 하며, 집합론에서 사용하는 중괄호 `{}`도 일종의 경계 표기법이다. 경계 표기법에는 중간 연산자나 폴란드 표기법, 역폴란드 표기법 같은 연산자 기호가 없다.

다만 라이프니츠, 퍼스, 니코의 연구는 명제 논리의 완전성 증명이나 모델 이론을 이용한 공리 독립성 증명 방법이 확립되기 이전에 이루어졌기 때문에, 메타이론이 부족하다는 한계가 있다.

윌리엄 크레이그는 1979년 연구에서 세계와 인간이 세계를 인식하고 상호작용하는 방식 자체가 풍부한 부울 구조를 가지고 있다고 주장했다. 그는 정통 논리학자이자 대수 논리 분야의 권위자였다.

LoF 출판 이후인 1970년대에 등장한 2세대 인지 과학 연구에서도 LoF와의 연관성을 찾아볼 수 있다. 레이코프와 누녜스(Núñez)는 인지 과학과 부울 대수, 논리, 집합론의 관련성을 탐구했지만, 그들의 저작에서 LoF를 직접 인용하지는 않았다.

생물학자이자 인지 과학자인 움베르토 마투라나와 그의 제자 프란시스코 바렐라는 "구분"(distinction)을 기본적인 인지 행위로 보고 LoF를 논의했다. 버클리 대학의 심리학자이자 인지 과학자인 엘레노어 로쉬 역시 이와 밀접하게 관련된 범주화 개념에 대해 연구했다.

기본 대수와 유사성을 가지는 다른 형식 시스템들은 다음과 같다.

• 유명론: 일반적으로 부울 대수와 유사한 격자 구조를 가진다. 일부 학자들은 유명론을 부울 대수의 모델 이론으로 간주하기도 하며, 이 경우 기본 대수의 모델 이론이기도 하다.
• 유명위상학: 부울 대수보다 더 복잡한 구조를 가진다.
• 화이트헤드의 1934년 시스템: "지시"(indication)를 기본 원시 개념으로 사용한다.

• 람다 대수
• 두 개('''S''', '''K''') 또는 단 하나의('''X''') 원시 결합자만을 사용하는 조합 논리
• 콰인의 시스템: 단일 연결사(NAND), 보편 양화사, 그리고 집합 멤버십을 나타내는 단일 이항 관계라는 세 가지 원시 개념만으로 수학적 논리를 구성한다. 셰퍼 스트로크의 기본 대수 번역은 A와 B 위에 줄이 그어진 형태(A NAND B) 또는, 이중적으로, A 위에 줄과 B 위에 줄이 각각 그어진 형태(NOT A NAND NOT B)와 같다.
• 퍼스의 베타 존재 그래프: 집합 멤버십을 나타내는 단일 이항 술어를 사용한다. 알파 그래프는 베타 그래프의 특수한 경우이다. 이 부분은 아직 충분히 탐구되지 않았다.

8. 한국적 관점 및 사회적 함의 (별도 추가)

주어진 원본 자료에는 요청하신 '한국적 관점 및 사회적 함의' 섹션에 해당하는 내용이 포함되어 있지 않습니다. 해당 섹션을 작성하기 위해서는 관련 내용이 포함된 새로운 원본 자료가 필요합니다. 원본 자료는 '기본 대수'의 수학적 구조와 불 대수, 군, 반군 등과의 관계를 설명하는 내용으로 구성되어 있으며, 한국적 맥락이나 사회적 함의와는 관련이 없습니다.

참조

_[1] 서적 Spencer Brown, G. (2021). Design with the NOR. In Roth et al. (Eds.) ''George Spencer Brown's "Design with the NOR": With Related Essays'' https://www.emerald.[...] 2021
_[2] 서적 "George Spencer Brown: Eine Einführung in die ''Laws of Form'', 2. Auflage" VS Verlag für Sozialwissenschaften 2009
_[3] 서적 Die Form der Paradoxie Carl-Auer Verlag 2005
_[4] 서적 Laws of form George Allen and Unwin 1969
_[5] 논문 Computing a Reality Heinz von Foerster's Lecture at the A.U.M Conference in 1973 https://constructivi[...] 2008
_[6] 논문 Maths Created 1969
_[7] 논문 On G. Spencer Brown's Laws of Form https://projecteucli[...] 1977-07
_[8] 문서 For a sympathetic evaluation 2001
_[9] 간행물 "Qualitative Logic" Indiana University Press 1886
_[10] 간행물 Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Vol. 4 Harvard University Press 1933
_[11] 간행물 Collected Papers, Vol. 4 Harvard University Press 1933