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가우스함수 적분표

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목차

1. 개요

가우스 함수 적분표는 표준 정규 분포 함수를 포함하는 다양한 함수의 부정적분과 정적분 공식을 담고 있다. 이 표는 가우스 함수, 다항 함수, 지수 함수, 누적 분포 함수 등을 조합한 형태의 적분 공식을 제공하며, 무한 구간 및 유한 구간에서의 적분 결과를 포함한다.

2. 부정적분

표준 정규 분포의 확률 밀도 함수 \phi(x)와 누적 분포 함수 \Phi(x)를 포함하는 다양한 함수의 부정적분 공식들이 존재한다. 이 공식들은 확률론, 통계학, 물리학 등 여러 분야에서 유용하게 사용된다. 구체적인 공식 목록은 아래 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

2. 1. 기본 공식

:\int \phi(x) \, dx = \Phi(x) + C

:\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C

:\int x^2 \phi(x) \, dx = \Phi(x) - x\phi(x) + C

:\int x^{2k+1} \phi(x) \, dx = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C[2]

:\int x^{2k+2} \phi(x) \, dx = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C

여기서 ''n''!!은 이중 계승으로, ''n''이 짝수이면 그 값이 2부터 ''n''까지의 모든 짝수를 곱한 값과 같고, 홀수이면 1부터 ''n''까지의 모든 홀수를 곱한 값과 같다. 한편 0!! = (-1)!! = 1로 계산한다.

: \int \phi(x)^2 \, dx = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \frac{1}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(tx + \frac{ab}{t}\right) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}[3]

: \int x\phi(a+bx) \, dx = -\frac{1}{b^2}\left (\phi(a+bx) + a\Phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b^3} \left ((a^2+1)\Phi(a+bx) + (a-bx)\phi(a+bx) \right ) + C

: \int \phi(a+bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}} \Phi\left(\sqrt{n}(a+bx)\right) + C

: \int \Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b} \left ((a+bx)\Phi(a+bx) + \phi(a+bx)\right) + C

: \int x\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{2b^2}\left((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{3b^3}\left((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^n \Phi(x) \, dx = \frac{1}{n+1}\left( \left (x^{n+1}-nx^{n-1} \right )\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \right) + C

: \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(xt + \frac{ab}{t}\right) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int \Phi(x)^2 \, dx = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{e^{\frac{c^2}{2nb^2}}}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}\Phi \left (\frac{b^2xn-c }{b\sqrt{n}} \right ) + C, \qquad b\ne 0, n>0

2. 2. 다항 함수와 결합된 형태

:\int \phi(x) \, dx = \Phi(x) + C

:\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C

:\int x^2 \phi(x) \, dx = \Phi(x) - x\phi(x) + C

:\int x^{2k+1} \phi(x) \, dx = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C[2]

:\int x^{2k+2} \phi(x) \, dx = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C

여기서 ''n''!!은 이중 계승으로, ''n''이 짝수이면 그 값이 2부터 ''n''까지의 모든 짝수를 곱한 값과 같고, 홀수이면 1부터 ''n''까지의 모든 홀수를 곱한 값과 같다. 한편 0!! = (-1)!! = 1로 계산한다.

: \int \phi(x)^2 \, dx = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \frac{1}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(tx + \frac{ab}{t}\right) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}[3]

: \int x\phi(a+bx) \, dx = -\frac{1}{b^2}\left (\phi(a+bx) + a\Phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b^3} \left ((a^2+1)\Phi(a+bx) + (a-bx)\phi(a+bx) \right ) + C

: \int \phi(a+bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}} \Phi\left(\sqrt{n}(a+bx)\right) + C

: \int \Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b} \left ((a+bx)\Phi(a+bx) + \phi(a+bx)\right) + C

: \int x\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{2b^2}\left((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{3b^3}\left((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^n \Phi(x) \, dx = \frac{1}{n+1}\left( \left (x^{n+1}-nx^{n-1} \right )\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \right) + C

: \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(xt + \frac{ab}{t}\right) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int \Phi(x)^2 \, dx = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{e^{\frac{c^2}{2nb^2}}}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}\Phi \left (\frac{b^2xn-c }{b\sqrt{n}} \right ) + C, \qquad b\ne 0, n>0

2. 3. 지수 함수와 결합된 형태

:\int \phi(x) \, dx = \Phi(x) + C

:\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C

:\int x^2 \phi(x) \, dx = \Phi(x) - x\phi(x) + C

:\int x^{2k+1} \phi(x) \, dx = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C[2]

:\int x^{2k+2} \phi(x) \, dx = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C

위 공식들에서 ''n''!!는 이중 계승을 나타낸다. ''n''이 짝수이면 2부터 ''n''까지 모든 짝수의 곱이고, 홀수이면 1부터 ''n''까지 모든 홀수의 곱이다. (0!! = (−1)!! = 1로 정의한다.)

: \int \phi(x)^2 \, dx = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \frac{1}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(tx + \frac{ab}{t}\right) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}[3]

: \int x\phi(a+bx) \, dx = -\frac{1}{b^2}\left (\phi(a+bx) + a\Phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b^3} \left ((a^2+1)\Phi(a+bx) + (a-bx)\phi(a+bx) \right ) + C

: \int \phi(a+bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}} \Phi\left(\sqrt{n}(a+bx)\right) + C

: \int \Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b} \left ((a+bx)\Phi(a+bx) + \phi(a+bx)\right) + C

: \int x\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{2b^2}\left((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{3b^3}\left((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^n \Phi(x) \, dx = \frac{1}{n+1}\left( \left (x^{n+1}-nx^{n-1} \right )\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \right) + C

: \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(xt + \frac{ab}{t}\right) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int \Phi(x)^2 \, dx = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{e^{\frac{c^2}{2nb^2}}}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}\Phi \left (\frac{b^2xn-c }{b\sqrt{n}} \right ) + C, \qquad b\ne 0, n>0

2. 4. 누적 분포 함수와 결합된 형태

표준 정규 분포의 확률 밀도 함수 \phi(x)와 누적 분포 함수 \Phi(x)가 포함된 부정적분은 다음과 같다.

:\int \phi(x) \, dx = \Phi(x) + C

:\int x \phi(x) \, dx = -\phi(x) + C

:\int x^2 \phi(x) \, dx = \Phi(x) - x\phi(x) + C

:\int x^{2k+1} \phi(x) \, dx = -\phi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C[2]

:\int x^{2k+2} \phi(x) \, dx = -\phi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!!\,\Phi(x) + C

위 공식에서 n!!는 이중 계승을 나타낸다. n이 짝수이면 2부터 n까지 모든 짝수의 곱이고, n이 홀수이면 1부터 n까지 모든 홀수의 곱이다. 0!! = (-1)!! = 1로 정의한다.

: \int \phi(x)^2 \, dx = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int \phi(x)\phi(a + bx) \, dx = \frac{1}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(tx + \frac{ab}{t}\right) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}[3]

: \int x\phi(a+bx) \, dx = -\frac{1}{b^2}\left (\phi(a+bx) + a\Phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b^3} \left ((a^2+1)\Phi(a+bx) + (a-bx)\phi(a+bx) \right ) + C

: \int \phi(a+bx)^n \, dx = \frac{1}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}} \Phi\left(\sqrt{n}(a+bx)\right) + C

: \int \Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{b} \left ((a+bx)\Phi(a+bx) + \phi(a+bx)\right) + C

: \int x\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{2b^2}\left((b^2x^2 - a^2 - 1)\Phi(a+bx) + (bx-a)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^2\Phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{3b^3}\left((b^3x^3 + a^3 + 3a)\Phi(a+bx) + (b^2x^2-abx+a^2+2)\phi(a+bx)\right) + C

: \int x^n \Phi(x) \, dx = \frac{1}{n+1}\left( \left (x^{n+1}-nx^{n-1} \right )\Phi(x) + x^n\phi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \right) + C

: \int x\phi(x)\Phi(a+bx) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(xt + \frac{ab}{t}\right) - \phi(x)\Phi(a+bx) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int \Phi(x)^2 \, dx = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x)\phi(x) - \frac{1}{\sqrt{\pi}}\Phi\left(x\sqrt{2}\right) + C

: \int e^{cx}\phi(bx)^n \, dx = \frac{e^{\frac{c^2}{2nb^2}}}{b\sqrt{n(2\pi)^{n-1}}}\Phi \left (\frac{b^2xn-c }{b\sqrt{n}} \right ) + C, \qquad b\ne 0, n>0

3. 정적분

표준 정규 분포의 확률 밀도 함수 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}와 누적 분포 함수 \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t) dt를 포함하는 다양한 함수의 정적분은 확률론, 통계학, 물리학 등 여러 분야에서 중요하게 활용된다. 아래 하위 섹션에서는 무한 구간, 유한 구간 또는 특정 함수 형태를 포함하는 다양한 경우의 가우스 함수 관련 정적분 공식을 구체적으로 다룬다.

3. 1. 무한 구간 적분

: \int_{-\infty}^\infty x^2\phi(x)^n \, dx = \frac{1}{\sqrt{n^3(2\pi)^{n-1}}}

: \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)

: \int_{-\infty}^0 \phi(ax)\Phi(bx)dx = \frac{1}{2\pi |a|}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{b}

\right)\right)

: \int_0^{\infty} \phi(ax)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\pi |a|}\left(\frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{b}

\right)\right)

: \int_0^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \left( 1 + \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \right)

: \int_0^\infty x^2\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \left(\frac{b}{1+b^2} + \arctan(b) \right)

: \int_{-\infty}^\infty x \phi(x)^2\Phi(x) \, dx = \frac{1}{4\pi\sqrt{3}}

: \int_0^\infty x \phi(x)^2\Phi(x) \, dx = \frac{1}{4\pi\sqrt{3}}

: \int_0^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \frac{1}{2\pi}\left( \arctan(b) + \arctan \sqrt{1+2b^2} \right)

: \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \Phi\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}} \right)-2T\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+2b^2}} \right)

: \int_{-\infty}^{\infty} x \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \frac{2b}{\sqrt{1+b^2}} \phi\left(\frac{a}{t}\right) \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+2b^2}}\right)[4]

: \int_{-\infty}^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \frac{1}{\pi}\arctan \sqrt{1+2b^2}

: \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}}

: \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx)^2 \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}}

: \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)

: \int_{-\infty}^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right), \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int_0^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx =\frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(-\frac{ab}{t}\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(a), \qquad t = \sqrt{1+b^2}

: \int_{-\infty}^\infty \ln(x^2) \frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) \, dx = \ln(\sigma^2) - \gamma - \ln 2 \approx \ln(\sigma^2) - 1.27036

3. 2. 유한 구간 적분

3. 3. 특수 함수 형태


  • \int_{-\infty}^\infty x^2\phi(x)^n \, dx = \frac{1}{\sqrt{n^3(2\pi)^{n-1}}}
  • \int_{-\infty}^\infty \phi(x)\phi(a+bx) \, dx = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)
  • \int_{-\infty}^0 \phi(ax)\Phi(bx)dx = \frac{1}{2\pi |a|}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\left(\frac{b}

\right)\right)
  • \int_0^{\infty} \phi(ax)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\pi |a|}\left(\frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{b}

    • \right)\right)
  • \int_0^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \left( 1 + \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \right)
  • \int_0^\infty x^2\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \left(\frac{b}{1+b^2} + \arctan(b) \right)
  • \int_{-\infty}^\infty x \phi(x)^2\Phi(x) \, dx = \frac{1}{4\pi\sqrt{3}}
  • \int_0^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \frac{1}{2\pi}\left( \arctan(b) + \arctan \sqrt{1+2b^2} \right)
  • \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \Phi\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}} \right)-2T\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+2b^2}} \right) (여기서 T는 오언 T 함수이다)
  • \int_{-\infty}^{\infty} x \Phi(a+bx)^2 \phi(x) \,dx = \frac{2b}{\sqrt{1+b^2}} \phi\left(\frac{a}{t}\right) \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}\sqrt{1+2b^2}}\right)[4]
  • \int_{-\infty}^\infty \Phi(bx)^2 \phi(x) \, dx = \frac{1}{\pi}\arctan \sqrt{1+2b^2}
  • \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x\phi(x)\Phi(bx)^2 \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}}
  • \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)
  • \int_{-\infty}^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx = \frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right), \qquad t = \sqrt{1+b^2}
  • \int_0^\infty x\Phi(a+bx)\phi(x) \, dx =\frac{b}{t}\phi\left(\frac{a}{t}\right)\Phi\left(-\frac{ab}{t}\right) + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(a), \qquad t = \sqrt{1+b^2}
  • \int_{-\infty}^\infty \ln(x^2) \frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) \, dx = \ln(\sigma^2) - \gamma - \ln 2 \approx \ln(\sigma^2) - 1.27036 (여기서 \gamma는 오일러-마스케로니 상수이다)

    • 참조

    [1] 서적
    [2] 논문
    [3] 논문
    [4] 논문


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