오일러-마스케로니 상수

1. 개요

오일러-마스케로니 상수는 1734년 레온하르트 오일러가 처음 정의한 수학 상수이다. 이 상수는 조화 급수와 자연 로그의 차이의 극한으로 정의되며, 약 0.57721의 값을 갖는다. 오일러-마스케로니 상수는 감마 함수, 리만 제타 함수 등 다양한 수학적 개념과 관련이 있으며, 유리수인지 무리수인지 여부는 아직 밝혀지지 않았다. 이 상수는 슈틸티예스 상수, 오일러의 일반화된 상수 등으로 일반화될 수 있으며, 오일러-레머 상수와 마세르-그라맹 상수와 같은 관련 상수들도 존재한다. 현재까지 소수점 아래 수억 자리까지 계산되었다.

2. 역사

레온하르트 오일러가 1734년에 〈조화급수에 대한 고찰〉(De Progressionibus harmonicis observationes^라틴어)이라는 논문에서 오늘날 오일러-마스케로니 상수로 불리는 수를 최초로 정의하였다. 오일러는 이 상수를 C 또는 O로 표시했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니(Lorenzo Mascheroni^{이탈리아어})도 1790년 이 수를 언급하였고, A 또는 a라는 기호를 사용하였다.

오일러-마스케로니 상수는 보통 소문자 감마 γ로 표기된다. 이 기호는 오일러나 마스케로니의 저서에는 등장하지 않으나, 이후 이 수가 대문자 감마로 표기되는 감마 함수와 깊은 관계를 가진다는 사실이 발견되면서 소문자 감마가 사용되게 되었다. 소문자 감마 기호가 사용된 최초의 논문은 1835년에 작성되었고, 1837년 출판되었다.

오일러는 처음 이 상수의 값을 소수점 6자리까지 계산했다. 1781년에는 소수점 16자리까지 계산했다. 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니는 이 상수를 소수점 32자리까지 계산하려 했지만, 20~22번째와 31~32번째 소수점에서 오류를 범했다. 그는 20번째 자리부터 ...1811209008239로 계산했지만, 실제 값은 ...0651209008240이다. 1809년에는 요한 게오르크 폰 졸트너가 소수점 아래 22자리까지 계산을 수행했으며, 기호 H를 사용했다.

독일 수학자 카를 안톤 브레치나이더는 1835년에 기호 γ를 사용했고, 오거스터스 드 모건은 1836년부터 1842년까지 부분적으로 출판된 교과서에서 이를 사용했다.

인도의 수학자 스리니바사 라마누잔도 오일러-마스케로니 상수에 관한 연구를 진행하여 1917년에 논문을 발표했다. 다비트 힐베르트는 γ의 무리성을 "접근할 수 없는" 미해결 문제로 언급했고, 영국 수학자 고드프리 하디는 이를 증명하는 사람에게 옥스퍼드의 사빌 의장직을 넘겨주겠다고 제안했다고 한다.

3. 정의

Euler–Mascheroni constant^영어 \(\gamma\)(감마)는 다음과 같은 극한으로 정의된다.

:\(\gamma = \lim_{n\to\infty } \left(\sum_{k=1}^n\frac1k - \ln n\right)=\int_1^\infty\left(\frac1{\lfloor x\rfloor}-\frac1x\right)\,dx\)

그 값은 다음과 같다.

:0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

레온하르트 오일러는 유한항의 조화 급수의 근사식에 대한 관심에서 조화 급수의 증가가 극한에서 로그 함수와 같다는 것을 증명했다. 즉, 조화 급수와 로그 함수의 차이는 어떤 상수로 수렴하며, 그것이 나중에 오일러-마스케로니 상수로 불리게 되었다. 오일러는 이 값을 소수점 6자리까지 구했다. 그 후 로렌초 마스케로니가 32번째 자리까지 구했고 (단, 정확했던 것은 20번째 자리까지), \(\gamma\) 기호로 나타냈다.

4. 성질

오일러-마스케로니 상수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다. 연분수 분석에 따르면, 만약 이 상수가 유리수라면 그 분모는 적어도 10²⁴²⁰⁸⁰ 이상이다.

4.1. 감마 함수와의 관계

감마 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.
:$\backslash gamma\; =\; -\backslash lim\_\{z\backslash to\; 0\}\; \backslash left\backslash \{\backslash Gamma(z)\; -\; \backslash frac1\{z\}\; \backslash right\backslash \}$
= -\lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z) + \frac1{z} \right\}.
디감마 함수 $\backslash Psi(z)$는 감마 함수의 로그 도함수이며, $z=1$에서 $\backslash Psi(1)\; =\; -\backslash gamma$이다.

4.2. 리만 제타 함수와의 관계

리만 제타 함수와는 다음과 같은 관계가 있다.
:
&= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m} \\
&= \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right ) = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) \end{align}

다음은 오일러-마스케로니 상수와 관련된 추가적인 관계들이다.
* 감마 함수와 바르네스 G-함수에 대한 바이어슈트라스 곱 공식.
* $\backslash Gamma(1/x)$의 점근 전개.
* 유리수 값에서의 디감마 함수의 값 평가.
* 리만 제타 함수의 로랑 급수 전개에서 슈틸체스 상수의 첫 번째 값.
* 리만 제타 함수의 미분 및 디리클레 베타 함수의 미분 값.
* 라플라스 변환 및 멜린 변환과의 관련성.
* 조화 급수를 유한 값으로 정규화/재정규화하는 데 사용.
* 지수 적분 및 로그 적분 함수를 포함하는 식.
* 코사인 적분의 정의.
* 베셀 함수와의 관련성.
* 수정된 스트루베 함수의 점근 전개.
* 다른 특수 함수와의 관련성.
* 오일러 피 함수에 대한 부등식.
* 약수 함수의 성장률.
* 리만 가설의 공식.
* 메르텐스 정리의 세 번째 정리.
* 마이셀-메르텐스 상수의 계산.
* 특정 소수 간격에 대한 하한.
* 1부터 주어진 n까지의 모든 수의 평균 약수 개수에 대한 근사.
* 메르센 소수의 빈도에 관한 렌스트라-포머란스-와그스태프 추측.
* 유클리드 호제법의 효율성에 대한 추정.
* 뫼비우스 함수와 폰 망골트 함수를 포함하는 합.

4.3. 적분 표현

다음 적분 식으로도 오일러-마스케로니 상수를 얻을 수 있다.

:
&= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\
&= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\
&= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0.\end{align}

:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \{e^\{-x^2\}\; \backslash ln\; x\}\backslash ,dx\; =\; -\backslash frac\{(\backslash gamma+2\backslash ln\; 2)\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}\{4\}$
:$\backslash int\_0^\backslash infty\; \{e^\{-x\}\; \backslash ln^2\; x\}\backslash ,dx\; =\; \backslash gamma^2\; +\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}\; .$

오일러-마스케로니 상수의 값은 다음 정적분으로도 구할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}\backslash gamma$
&=-\Gamma'(1)\\
&=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log{t}dt\\
&=-\int_{0}^{1}\log\log\frac{1}{u}du\qquad(u=e^{-t})\\
&=-\int_{-\infty}^{\infty}ue^{u-e^u}du\qquad(u=\log{t})\\
\end{align}

또는

:$\backslash begin\{align\}\backslash log\{t\}$
&=\int_{1}^{t}\frac{1}{s}ds\\
&=\int_{1}^{t}\int_{0}^{\infty}e^{-su}duds\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{1}^{t}e^{-su}dsdu\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}-e^{-tu}}{u}du\\
\end{align}

를 사용하면

:$\backslash begin\{align\}\backslash gamma$
&=-\int_{0}^{\infty} e^{-t} \log{t}dt\\
&=-\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}-e^{-tu}}{u}du\;e^{-t}dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-tu}-e^{-u}}{u}du\;e^{-t}dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t(u+1)}}{u}dt-\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-u}e^{-t}}{u}dt\right)du\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{u(u+1)}-\frac{e^{-u}}{u}\right)du\\
\end{align}

가 되고, $\backslash delta\backslash to+0$일 때

:$\backslash begin\{align\}\backslash left|\backslash int\_\{\backslash delta\}^\{e^\backslash delta-1\}\backslash frac\{1\}\{u(u+1)\}du\backslash right|$
&\le\left|\int_{\delta}^{e^\delta-1}\frac{1}{\delta}du\right|\\
&=O(\delta)\\
\end{align}

이므로

:$\backslash begin\{align\}\backslash gamma$
&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\left(\frac{1}{u(u+1)}-\frac{e^{-u}}{u}\right)du\\
&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{1}{u(u+1)}du-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\
&=\lim_{\delta\to+0}\int_{e^\delta-1}^{\infty}\frac{1}{u(u+1)}du-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\
&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^t}{(e^t-1)e^t}dt-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\qquad(u=e^t-1)\\
&=\lim_{\delta\to+0}\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}dt-\int_{\delta}^{\infty}\frac{e^{-s}}{s}ds\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t}\right)dt
\end{align}

가 된다.

4.4. 급수 표현

오일러 상수는 다음과 같은 급수 표현을 갖는다. 여기서 $\backslash zeta(s)$는 리만 제타 함수이다.

:$\backslash gamma\; =\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\backslash zeta(n)\}\{n\}$
:$\backslash gamma\; =\; 1\; -\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash zeta(n)-1\}\{n\}$
:$\backslash gamma\; =\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(n-1)(\backslash zeta(n)-1)\}\{n\}$
:$\backslash gamma\; =\; \backslash ln\; 2\; -\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash zeta(2n+1)\}\{2^\{2n\}(2n+1)\}$
:$\backslash gamma\; =\; \backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\backslash zeta(n)\}\{m^\{n-1\}n\}-m\backslash ln\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{m+1\}\{m\}\backslash right)$ (여기서 $m\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{0,-1,-\backslash dfrac\{1\}\{k+1\}\backslash \; (k\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash setminus\backslash \{-1\backslash \})\backslash right\backslash \}$)
:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{m\backslash rightarrow0\}\backslash left(\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\backslash zeta(n)\}\{m^\{n-1\}n\}-m\backslash ln\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{m+1\}\{m\}\backslash right)\backslash right)$
:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{m\backslash rightarrow\; -1\}\backslash left(\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\backslash zeta(n)\}\{m^\{n-1\}n\}-m\backslash ln\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{m+1\}\{m\}\backslash right)\backslash right)$
:$\backslash gamma\; =\; \backslash lim\_\{m\backslash rightarrow(-1)/(k+1)\}\backslash left(\backslash displaystyle\backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\backslash zeta(n)\}\{m^\{n-1\}n\}-m\backslash ln\backslash Gamma\backslash left(\backslash frac\{m+1\}\{m\}\backslash right)\backslash right)$ (여기서 $k\backslash in\backslash mathbb\{Z\}\backslash setminus\backslash \{-1\backslash \}$)
:$\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\; -\; \backslash ln\; 2\; -\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n\; (n\; -\; 1)(\backslash zeta(n)-1)\}\{n\}$
:$\backslash gamma\; =\; 1\; -\; \backslash ln\; 2\; +\; \backslash sum\_\{n=2\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{(-1)^n(\backslash zeta(n)-1)\}\{n\}$

5. 알려진 자릿수

레온하르트 오일러는 이 상수의 값을 소수점 아래 여섯 자리까지 처음으로 계산했다. 1781년, 오일러는 소수점 아래 16자리까지 계산했다. 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니는 소수점 아래 32자리까지 계산을 시도했지만, 20~22번째 자리와 31~32번째 자리에서 오류를 범했다. 마스케로니는 20번째 자리부터 ...1811209008239로 계산했으나, 올바른 값은 ...0651209008240이었다.

6. 일반화

는 디감마 함수 와 관련이 있으며, 따라서 두 함수 모두 1에서 평가될 때 감마 함수 의 도함수와도 관련이 있다. 따라서 다음이 성립한다.

:$$-\backslash gamma\; =\; \backslash Gamma\text{'}(1)\; =\; \backslash Psi(1).$$

이는 다음 극한과 같다.

:

추가적인 극한 결과는 다음과 같다.

:
\lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)}\right) &= \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. \end{align}

베타 함수와 관련된 극한 (감마 함수로 표현됨)은 다음과 같다.

:
&= \lim\limits_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\log\big(\Gamma(k+1)\big). \end{align}

6.1. 슈틸티예스 상수

6.2. 오일러-레머 상수

Euler–Lehmer constant^영어인 오일러-레머 상수는 공통 합동식의 역수의 합으로 주어진다.

:

기본적인 성질은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
&\gamma(0,q) = \frac{\gamma -\log q}{q}, \\
&\sum_{a=0}^{q-1} \gamma(a,q)=\gamma, \\
&q\gamma(a,q) = \gamma-\sum_{j=1}^{q-1}e^{-\frac{2\pi aij}{q}}\log\left(1-e^{\frac{2\pi ij}{q}}\right),
\end{align}

만약 최대공약수 이면,

:$$q\backslash gamma(a,q)\; =\; \backslash frac\{q\}\{d\}\backslash gamma\backslash left(\backslash frac\{a\}\{d\},\backslash frac\{q\}\{d\}\backslash right)-\backslash log\; d.$$

6.3. 마세르-그라맹 상수

오일러 상수의 2차원 일반화는 마세르-그라맹 상수이다. 이는 복소 평면에서 최소 k개의 가우스 정수를 포함하는 원반의 최소 반지름 $r\_k$를 이용하여 다음과 같은 극한 차이로 정의된다.

:$\backslash delta\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash left(\; -\backslash log\; n\; +\; \backslash sum\_\{k=2\}^n\; \backslash frac\{1\}\{\backslash pi\; r\_k^2\}\; \backslash right)$

현재까지 알려진 바로는, 이다.