고정단 모멘트

1. 개요

고정단 모멘트는 고정단 지지보에 작용하는 하중으로 인해 발생하는 모멘트이다. 등분포 하중, 선형분포 하중, 집중 하중, 모멘트와 같은 다양한 하중 조건에 대해 고정단 모멘트를 계산하는 방법을 설명한다. 각 하중 조건별로 적분을 통해 고정단 모멘트 값을 구하며, 시계 방향 모멘트를 양(+)으로, 반시계 방향 모멘트를 음(-)으로 정의한다.

2. 예제

시계 방향 모멘트를 양으로 할 때, 다양한 하중 조건에 따른 고정단 모멘트 예시는 다음과 같다. 지점부의 수직 반력은 정역학으로 구할 수 있다.

2.1. 등분포 하중

단위길이당 세기 q인 등분포 하중이 작용하는 경우, 빔의 왼쪽 끝에서 $x$만큼 떨어진 무한히 작은 부분 $dx$는 크기 $qdx$의 집중 하중을 받는 것으로 간주할 수 있다. 시계 방향의 모멘트를 양으로 할 때 고정단 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

:$M\_\{\backslash mathrm\{right\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash frac\{q\; dx\; \backslash ,\; x^2\; (L-x)\}\{L^2\}\; =\; \backslash frac\{q\; L^2\}\{12\}$
:$M\_\{\backslash mathrm\{left\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash left\; \backslash \{\; -\; \backslash frac\{q\; dx\; \backslash ,\; x^2\; (L-x)\; \}\{L^2\}\; \backslash right\; \backslash \}=\; -\; \backslash frac\{q\; L^2\}\{12\}$

여기서 적분식의 우변 내의 표현식은 집중 하중 $qdx$에 의해 발생한 고정단 모멘트이다.

2.2. 선형분포 하중

최대 세기가 $q\_0$인 선형 분포 하중이 작용하는 경우, 고정단 모멘트는 다음과 같이 계산된다.

:$M\_\{\backslash mathrm\{right\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; q\_0\; \backslash frac\{x\}\{L\}\; dx\; \backslash frac\{\; x^2\; (L-x)\}\{L^2\}\; =\; \backslash frac\{q\_0\; L^2\}\{20\}$
:$M\_\{\backslash mathrm\{left\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash left\; \backslash \{\; -\; q\_0\; \backslash frac\{x\}\{L\}\; dx\; \backslash frac\{x\; (L-x)^2\}\{L^2\}\; \backslash right\; \backslash \}\; =\; -\; \backslash frac\{q\_0\; L^2\}\{30\}$

여기서,
* $M\_\{\backslash mathrm\{right\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}$는 오른쪽 끝단에서의 고정단 모멘트,
* $M\_\{\backslash mathrm\{left\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}$는 왼쪽 끝단에서의 고정단 모멘트,
* $q\_0$는 분포 하중의 최대 세기,
* $L$은 부재의 길이,
* $x$는 왼쪽 끝단에서부터의 거리이다.

2.3. 집중 하중

아래의 예에서, 시계 방향의 모멘트를 양으로 한다. 크기 P인 집중 하중이 작용하는 경우 고정단 모멘트는 다음과 같다.

2.4. 모멘트

아래의 예에서, 시계 방향 모멘트는 양으로 표시한다.

2.5. 유도 과정

시계 방향 모멘트가 양의 값으로 간주된다.

분포 하중이 있는 두 경우 모두 적분을 통해 집중 하중의 경우에서 유도할 수 있다. 예를 들어, 보에 강도 $q$의 균일 분포 하중이 작용하는 경우, 이 보의 왼쪽 끝에서 $x$만큼 떨어진 무한히 작은 부분 $dx$는 크기 $qdx$의 집중 하중을 받는 것으로 간주할 수 있다. 그러면,

:$M\_\{\backslash mathrm\{right\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash frac\{q\; dx\; \backslash ,\; x^2\; (L-x)\}\{L^2\}\; =\; \backslash frac\{q\; L^2\}\{12\}$
:$M\_\{\backslash mathrm\{left\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash left\; \backslash \{\; -\; \backslash frac\{q\; dx\; \backslash ,\; x^2\; (L-x)\; \}\{L^2\}\; \backslash right\; \backslash \}=\; -\; \backslash frac\{q\; L^2\}\{12\}$

여기서 적분식의 우변 내의 표현식은 집중 하중 $qdx$에 의해 발생한 고정단 모멘트이다.

최대 강도 $q\_0$의 선형 분포 하중의 경우,

:$M\_\{\backslash mathrm\{right\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; q\_0\; \backslash frac\{x\}\{L\}\; dx\; \backslash frac\{\; x^2\; (L-x)\}\{L^2\}\; =\; \backslash frac\{q\_0\; L^2\}\{20\}$
:$M\_\{\backslash mathrm\{left\}\}^\{\backslash mathrm\{fixed\}\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{L\}\; \backslash left\; \backslash \{\; -\; q\_0\; \backslash frac\{x\}\{L\}\; dx\; \backslash frac\{x\; (L-x)^2\}\{L^2\}\; \backslash right\; \backslash \}\; =\; -\; \backslash frac\{q\_0\; L^2\}\{30\}$