가상일

3. 정의

위치가 $\backslash mathbf\; x\_1,\backslash dots,\backslash mathbf\; x\_n$인 입자들로 이루어지고, 구속 조건 $f\_i(\backslash mathbf\; x\_1,\backslash dots,\backslash mathbf\; x\_n)=0$, $i=1,\backslash dots,k$을 받는 역학계의 각 입자에 힘 $\backslash mathbf\; F\_i$이 각각 가해진다고 가정한다. 구속 조건을 만족하는 가상 변위 $\backslash delta\backslash mathbf\; x\_1,\backslash dots,\backslash delta\backslash mathbf\; x\_n$에 대한 '''가상일''' $\backslash delta\; W$는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash delta\; W=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash mathbf\; F\_i\backslash cdot\backslash delta\backslash mathbf\; x\_i$.

즉, 가상 변위 방향으로 계가 실제로 움직였다면 계에 가해진 힘들이 했을 총 일이다.

4. 가상일의 원리

principle of virtual work^영어는 정역학에서 계가 정적 평형 상태를 유지하기 위한 조건 중 하나이다. 이에 따르면, 계가 정적 평형 상태에 있으려면 모든 가상변위에 대한 가상일이 0이어야 한다. 구속력은 가상일을 할 수 없다.

가상일의 원리는 최소 작용 원리가 적용된 형태이다. 입자가 실제로 따르는 경로는 이 경로와 인접한 다른 경로 사이의 일의 차이가 0인(1차까지) 경로라는 것을 명시한다.

t=t₀에서 r(t) = A이고 t=t₁에서 r(t) = B인 함수 r(t)로 기술되는 경로를 따라 이동하는 입자를 가정한다. 이때, δr(t)는 r(t)의 변분이며 δr(t₀) = δr(t₁) = 0이라는 조건을 만족한다. 이 변분의 스칼라 성분 δr₁(t), δr₂(t), δr₃(t)를 가상 변위라고 한다.

가상일은 기계 시스템이 일련의 가상 변위를 통해 이동할 때 작용하는 힘과 관성력에 의해 수행된 총 일이다. 정적 평형 상태에 있는 물체에 작용하는 힘을 고려할 때, 최소 작용의 원리는 이러한 힘의 가상일이 0이어야 함을 요구한다.

입자 P가 궤적 r(t)를 따라 점 A에서 점 B로 이동하는 동안 힘 F(r(t))가 작용한다고 가정하면, 힘 F가 한 일 W는 다음 적분으로 주어진다.

$$W\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbf\{r\}(t\_0)=A\}^\{\backslash mathbf\{r\}(t\_1)=B\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{r\}\}\{dt\}~dt\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; ~\; dt,$$

여기서 dr은 곡선(P의 궤적)을 따라가는 미소 요소이고, v는 속도이다.

이제 입자 P가 점 A에서 점 B로 이동하지만, 변분 δr(t) = εh(t)만큼 차이나는 근접한 궤적을 따라 이동한다고 가정한다. (ε는 충분히 작은 스케일링 상수, h(t)는 h(t₀) = h(t₁) = 0을 만족하는 함수) 힘 F(r(t) + εh(t))가 F(r(t))와 같다고 가정하면, 힘이 한 일은 다음 적분으로 주어진다.

$$\backslash bar\{W\}\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbf\{r\}(t\_0)=A\}^\{\backslash mathbf\{r\}(t\_1)=B\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; d(\backslash mathbf\{r\}+\backslash varepsilon\; \backslash mathbf\{h\})\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{d(\backslash mathbf\{r\}(t)\; +\; \backslash varepsilon\backslash mathbf\{h\}(t))\}\{dt\}~\; dt\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\{v\}\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{h\}\})\; ~\; dt\; .$$

이 경로와 관련된 일의 변분 δW는 가상일로 알려져 있으며, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash bar\{W\}-W\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; (\backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash varepsilon\; \backslash dot\{\backslash mathbf\{h\}\})\; ~dt.$$

만약 n개의 일반화 좌표 qᵢ(t) (i = 1,...,n)를 정의하고, 일반화 좌표를 이용하여 r(t)와 δr = εh(t)를 표현하면, 변분 δr = εh(t)의 도함수는 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash delta\; \backslash mathbf\{r\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash varepsilon\backslash mathbf\{h\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{h\}\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash varepsilon\; \backslash dot\{q\}\_i,$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{h\}\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash varepsilon\; \backslash dot\{q\}\_i\backslash right)\; dt\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\backslash int\_\{t\_0\}^\{t\_1\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{h\}\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; \backslash varepsilon\backslash dot\{q\}\_i\; ~dt\backslash right).$$

임의의 변분 δr(t) = εh(t)에 대해 가상일이 0이라는 요구 사항은 다음 요구 사항과 동일하다.

$$Q\_i\; =\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{h\}\}\{\backslash partial\; q\_i\}\; =\; 0,\; \backslash quad\; i=1,\; \backslash ldots,\; n.$$

여기서 Qᵢ는 가상 변위 δr과 관련된 일반화 힘이라고 한다.

정적 평형은 계에 작용하는 알짜힘과 알짜토크가 모두 0인 상태이다. 가상일의 원리는 "계가 정적 평형에서 모든 가상 이동에 대해 작용하는 힘의 가상일은 0이다"라고 명시한다.

3차원 회전을 포함하도록 일반화하면, 정적 평형에서 계의 모든 가상 이동에 대해 작용하는 힘과 모멘트의 가상일은 0이다. 즉,

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash mathbf\{r\}\_i\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\; =\; 0\; ,$$

여기서 '''F'''_i, i = 1, 2, ..., m 및 '''M'''_j, j = 1, 2, ..., n은 각각 작용하는 힘과 작용하는 모멘트이고, δ'''r'''_i, i = 1, 2, ..., m 및 δ'''φ'''_j, j = 1, 2, ..., n은 각각 가상변위와 가상 회전이다.

f개의 일반화 좌표 q_k, k = 1, 2, ..., f를 정의하여 가상일은 일반화 좌표에 의해 다시 매개변수화될 수 있다.

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^f\; \backslash left[\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_i\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; \backslash right)\; \backslash delta\; q\_k\; \backslash right]\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^f\; Q\_k\; \backslash delta\; q\_k\; ,$$

여기서 일반화 힘 Q_k는 다음과 같이 정의된다.

$$Q\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_i\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; ,\; \backslash quad\; k\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; f\; .$$

가상일의 원리는 힘 '''F'''_''i''와 모멘트 '''M'''_''j''에 의해 계에 가해지는 가상일이 평형 상태라면 0이 되어야 한다고 요구한다. 따라서 일반화 힘 ''Q''_''k''는 0이다. 즉,

$$\backslash delta\; W=0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; Q\_k\; =\; 0\; \backslash quad\; k\; =1,\; 2,\; \backslash dots,\; f\; .$$

5. 정적 평형

정역학에서 계가 정적이기 위한 조건 중 하나는, 계에 작용하는 알짜힘과 알짜 토크가 모두 0인 상태, 즉 정적 평형 상태여야 한다는 것이다. 이때, 계의 선운동량과 각운동량은 모두 보존된다. 가상일의 원리에 따르면, "계가 정적 평형 상태에서 모든 가상 이동에 대해 작용하는 힘의 가상일은 0이다."^[5] 3차원 회전을 포함하도록 일반화하면, 정적 평형 상태에서 계의 모든 가상 이동에 대해 작용하는 힘과 모멘트의 가상일은 0이 된다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash mathbf\{r\}\_i\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\; =\; 0\; ,$$

여기서 '''F'''_i (i = 1, 2, ..., m)는 작용하는 힘, '''M'''_j (j = 1, 2, ..., n)는 작용하는 모멘트, δ'''r'''_i (i = 1, 2, ..., m)는 가상변위, δ'''φ'''_j (j = 1, 2, ..., n)는 가상 회전을 나타낸다.

계가 N개의 입자로 구성되고 f (f ≤ 6N)개의 자유도를 갖는 경우, f개의 일반화 좌표 q_k (k = 1, 2, ..., f)를 사용하여 가상 이동을 표현할 수 있다.

$$\backslash delta\; \backslash mathbf\{r\}\_i\; (q\_1,\; q\_2,\; \backslash dots,\; q\_f;\; t),\; \backslash quad\; i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; m\; ;$$

$$\backslash delta\; \backslash phi\_j\; (q\_1,\; q\_2,\; \backslash dots,\; q\_f;\; t),\; \backslash quad\; j\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; n\; .$$

그러면 가상일은 일반화 좌표에 의해 다시 매개변수화될 수 있다.

$$\backslash delta\; W\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^f\; \backslash left[\; \backslash left(\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_i\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; \backslash right)\; \backslash delta\; q\_k\; \backslash right]\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^f\; Q\_k\; \backslash delta\; q\_k\; ,$$

여기서 일반화 힘 Q_k는 다음과 같이 정의된다.

$$Q\_k\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^m\; \backslash mathbf\{F\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{r\}\_i\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; +\; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash mathbf\{M\}\_j\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{\backslash phi\}\_j\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; ,\; \backslash quad\; k\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; f\; .$$

가상일의 원리는 힘 '''F'''_''i''와 모멘트 '''M'''_''j''에 의해 계에 가해지는 가상일이 평형 상태라면 0이 되어야 한다고 요구한다. 따라서 일반화 힘 ''Q''_''k''는 0이 된다.

$$\backslash delta\; W=0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; Q\_k\; =\; 0\; \backslash quad\; k\; =1,\; 2,\; \backslash dots,\; f\; .$$

5. 1. 구속력

6. 지렛대의 법칙

지렛대는 받침점이라고 불리는 회전축을 중심으로 고정된 막대기로 모델링된다. 지렛대는 막대기 위 좌표 벡터 '''r'''_''A''로 위치한 점 ''A''에 입력 힘 '''F'''_''A''를 가하여 작동된다. 그러면 지렛대는 '''r'''_''B''로 위치한 점 ''B''에 출력 힘 '''F'''_''B''를 가한다. 받침점 ''P''를 중심으로 한 지렛대의 회전은 회전각 ''θ''로 정의된다.

받침점을 정의하는 점 ''P''의 좌표 벡터를 '''r'''_''P''로 하고, 다음과 같은 길이를 도입한다.

: $$a\; =\; |\backslash mathbf\{r\}\_A\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_P|,\; \backslash quad\; b\; =\; |\backslash mathbf\{r\}\_B\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_P|,$$

이는 각각 받침점에서 입력점 ''A''와 출력점 ''B''까지의 거리이다.

이제 받침점에서 점 ''A''와 ''B''까지의 단위 벡터 '''e'''_''A''와 '''e'''_''B''를 도입하면,

: $$\backslash mathbf\{r\}\_A\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_P\; =\; a\backslash mathbf\{e\}\_A,\; \backslash quad\; \backslash mathbf\{r\}\_B\; -\; \backslash mathbf\{r\}\_P\; =\; b\backslash mathbf\{e\}\_B.$$

이 표기법을 사용하여 점 ''A''와 ''B''의 속도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $$\backslash mathbf\{v\}\_A\; =\; \backslash dot\{\backslash theta\}\; a\; \backslash mathbf\{e\}\_A^\backslash perp,\; \backslash quad\; \backslash mathbf\{v\}\_B\; =\; \backslash dot\{\backslash theta\}\; b\; \backslash mathbf\{e\}\_B^\backslash perp,$$

여기서 '''e'''_''A''^⊥와 '''e'''_''B''^⊥는 각각 '''e'''_''A''와 '''e'''_''B''에 수직인 단위 벡터이다.

각 ''θ''는 지렛대의 구성을 정의하는 일반화 좌표이므로, 1자유도 기구에 작용하는 힘에 대한 위의 공식을 사용하면 일반화 힘은 다음과 같이 주어진다.

: $$Q\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_A\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{v\}\_A\}\{\backslash partial\backslash dot\{\backslash theta\}\}\; -\; \backslash mathbf\{F\}\_B\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash mathbf\{v\}\_B\}\{\backslash partial\backslash dot\{\backslash theta\}\}\; =\; a(\backslash mathbf\{F\}\_A\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_A^\backslash perp)\; -\; b(\backslash mathbf\{F\}\_B\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_B^\backslash perp).$$

이제, ''PA''와 ''PB''의 반지름 부분에 수직인 힘의 성분을 ''F''_''A''와 ''F''_''B''로 표시한다. 이 힘은 다음과 같이 주어진다.

: $$F\_A\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_A\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_A^\backslash perp,\; \backslash quad\; F\_B\; =\; \backslash mathbf\{F\}\_B\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{e\}\_B^\backslash perp.$$

이 표기법과 가상 일의 원리를 사용하면 일반화 힘에 대한 공식은 다음과 같다.

: $$Q\; =\; a\; F\_A\; -\; b\; F\_B\; =\; 0.$$

출력 힘 ''F''_''B''와 입력 힘 ''F''_''A''의 비율은 지렛대의 기계적 이득이며, 가상 일의 원리로부터 얻어진다.

: $$MA\; =\; \backslash frac\{F\_B\}\{F\_A\}\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}.$$

이 식은 입력 힘이 작용하는 점 ''A''에서 받침점까지의 거리 ''a''가 출력 힘이 작용하는 점 ''B''에서 받침점까지의 거리 ''b''보다 크면 지렛대가 입력 힘을 증폭함을 보여준다. 반대로 받침점에서 입력점 ''A''까지의 거리가 받침점에서 출력점 ''B''까지의 거리보다 작으면 지렛대는 입력 힘의 크기를 감소시킨다.

이것이 아르키메데스가 기하학적 추론을 사용하여 증명한 지렛대의 법칙이다.^[6]

7. 기어 트레인

기어 트레인은 기어들을 프레임에 장착하여 기어의 이빨이 맞물리도록 구성된 시스템이다. 기어 이빨은 맞물리는 기어들의 피치 원(pitch circle)이 서로 미끄러짐 없이 회전하도록 설계되어, 한 기어에서 다음 기어로 회전이 부드럽게 전달되도록 한다. 이 분석에서는 자유도가 1인 기어 트레인을 고려하는데, 이는 기어 트레인의 모든 기어의 각 회전이 입력 기어의 각도에 의해 정의됨을 의미한다.

기어의 크기와 맞물리는 순서는 입력 기어의 각속도 ω_A와 출력 기어의 각속도 ω_B의 비율, 즉 기어 트레인의 속도 비 또는 기어비를 결정한다. R을 속도 비라고 하면, 다음과 같다.

: $$\backslash frac\{\backslash omega\_A\}\{\backslash omega\_B\}\; =\; R.$$

입력 기어 G_A에 작용하는 입력 토크 T_A는 기어 트레인에 의해 출력 기어 G_B가 가하는 출력 토크 T_B로 변환된다. 기어가 강체이고 기어 이빨의 맞물림에 손실이 없다고 가정하면, 가상일의 원리를 사용하여 기어 트레인의 정적 평형을 분석할 수 있다.

입력 기어의 각도 θ를 기어 트레인의 일반화 좌표라고 하면, 기어 트레인의 속도 비 R은 입력 기어에 대한 출력 기어의 각속도를 다음과 같이 정의한다.

: $$\backslash omega\_A\; =\; \backslash omega,\; \backslash quad\; \backslash omega\_B\; =\; \backslash omega/R.$$

가상 일의 원리에 대한 위의 공식과 적용된 토크는 일반화된 힘을 생성한다.

: $$Q\; =\; T\_A\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash omega\_A\}\{\backslash partial\backslash omega\}\; -\; T\_B\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash omega\_B\}\{\backslash partial\backslash omega\}\; =\; T\_A\; -\; T\_B/R\; =\; 0.$$

기어 트레인의 기계적 이점은 출력 토크 T_B와 입력 토크 T_A의 비율이며, 위의 방정식은 다음을 제공한다.

: $$MA\; =\; \backslash frac\{T\_B\}\{T\_A\}\; =\; R.$$

따라서 기어 트레인의 속도 비는 기계적 이점도 정의한다. 이는 입력 기어가 출력 기어보다 빠르게 회전하면 기어 트레인이 입력 토크를 증폭하고, 입력 기어가 출력 기어보다 느리게 회전하면 기어 트레인이 입력 토크를 감소시킴을 보여준다.

8. 동적 평형 (강체)

달랑베르 원리를 이용하면 가상일의 원리를 동역학 시스템으로 확장할 수 있다. 달랑베르는 뉴턴의 운동 법칙에서 가속도 항을 관성력으로 도입하여 동적 평형을 정의했다. 이렇게 관성력을 추가적인 체적력으로 포함하여 동적 평형 상태를 정의한다.^[7]

달랑베르의 가상일 원리는 강체계의 운동 방정식을 유도하는 데 사용된다. 이 원리에 따르면, 강체계가 동적 평형 상태에 있을 때, 계의 임의의 가상 변위에 대해 작용력과 관성력의 합의 가상일은 0이 된다.^[7]

일반화된 관성력은 강체의 운동 에너지를 이용하여 계산할 수 있다. m개의 일반좌표를 갖는 n개의 강체 시스템의 운동 에너지는 다음과 같다.^[7]

:$$T\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\; M\; \backslash mathbf\{V\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{V\}\_i\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\_i\; \backslash cdot\; [I\_R]\; \backslash boldsymbol\{\backslash omega\}\_i\backslash right),$$

이를 사용하여 m개의 일반화 관성력을 계산할 수 있다.^[7]

:$$Q^*\_j\; =\; -\backslash left(\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}\; -\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; q\_j\}\backslash right),\; \backslash quad\; j=1,\; \backslash ldots,\; m.$$

m개의 일반화 좌표를 가진 n개의 강체계의 동적 평형은 다음과 같이 표현된다.^[7]

:$$\backslash delta\; W\; =\; (Q\_1\; +\; Q^*\_1)\backslash delta\; q\_1\; +\; \backslash dots\; +\; (Q\_m\; +\; Q^*\_m)\backslash delta\; q\_m\; =\; 0,$$

이 조건은 임의의 가상 변위 ''δq_j''에 대해 성립해야 하며, 다음과 같은 m개의 방정식을 제공한다.^[7]

:$$Q\_j\; +\; Q^*\_j\; =\; 0,\; \backslash quad\; j=1,\; \backslash ldots,\; m,$$

이는 라그랑주 방정식 또는 '''일반화된 운동 방정식'''으로 알려진 m개의 운동 방정식을 유도하며, 다음과 같이 쓸 수도 있다.^[7]

:$$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_j\}\; -\backslash frac\{\backslash partial\; T\}\{\backslash partial\; q\_j\}\; =\; Q\_j,\; \backslash quad\; j=1,\backslash ldots,m.$$

9. 변형 가능 물체에 대한 가상일의 원리

변형체는 무한히 많은 미소 입방체로 구성된 것으로 간주한다. 외부 가상일과 내부 가상일의 관계를 통해 변형 가능 물체에 대한 가상일 원리를 유도할 수 있다.

σ-상태는 외부 표면력 '''T''', 체적력 '''f''', 평형 상태의 내부 응력 $\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}$를 보여주고, ε-상태는 연속적인 변위 $\backslash mathbf\; \{u\}^*$와 일관된 변형률 $\backslash boldsymbol\{\backslash epsilon\}^*$를 보여준다. 여기서 위첨자 *는 두 상태가 서로 관련이 없음을 나타낸다.

σ-상태의 힘과 응력이 ε-상태의 변위와 변형을 받는다고 가정하고, 모든 입방체의 면에 작용하는 모든 힘에 의해 수행되는 총 가상일을 두 가지 방법으로 계산한다.

• 첫째, 개별 공통 면에 작용하는 힘에 의해 수행되는 일을 합산하는 방법이다. 재료는 호환 가능한 변위를 경험하므로, 이러한 일은 상쇄되어 표면력 '''T'''에 의해 수행되는 가상일만 남게 된다.
• 둘째, 개별 입방체에 작용하는 응력이나 힘에 의해 수행되는 순일을 계산하는 방법이다.

이 식은 평형 방정식, 변형 적합 방정식, 경계 조건 등과 동등한 관계를 나타낸다. 가상일 식은 가상 변위를 가상 속도로 대체해도 동일하게 성립한다.

9. 1. 가상 변위의 원리

가상 일 식은 가상 변위를 가상 속도로 대체해도 동일하게 성립한다.

9. 2. 가상력의 원리 (보조 가상일의 원리)

10. 연속체에서의 가상일 (가상 일 식)

연속체에서 가상 일의 원리는 다음과 같은 가상 일 식^[10]으로 표현된다. 좌변은 가상 내력 일을, 우변 제1항은 가상 외력 일 중 표면력에 의한 것을, 제2항은 체적력에 의한 것을 각각 나타낸다.

:$\backslash int\_\{B\_t\}\backslash boldsymbol\{\backslash sigma\}:\; \backslash delta\backslash boldsymbol\{\backslash epsilon\}\; \backslash ,dv\; =\; \backslash int\_\{\backslash partial\; B\_t^\backslash sigma\}\backslash boldsymbol\{t\}^0\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash boldsymbol\{u\}\; \backslash ,ds\; +\; \backslash int\_\{B\_t\}\backslash rho\backslash boldsymbol\{g\}\; \backslash cdot\; \backslash delta\backslash boldsymbol\{u\}\; \backslash ,dv$

또는

:$\backslash int\_\{B\_t\}\backslash sigma\_\{ij\}\; \backslash delta\backslash epsilon\_\{ij\}\; \backslash ,dv\; =\; \backslash int\_\{\backslash partial\; B\_t^\backslash sigma\}t\_i^0\; \backslash delta\; u\_i\; \backslash ,ds\; +\; \backslash int\_\{B\_t\}\backslash rho\; g\_i\; \backslash delta\; u\_i\; \backslash ,dv$

여기서

• 적분 영역
• ''B_t'' : 현재 시각 ''t'' 에서 물체가 있는 영역
• ∂''B_t''^σ : 하중 경계. ''B_t''의 경계 ∂''B_t'' 중 경계 조건이 하중으로 주어지는 부분
• 힘
• σ, σ_''ij'' : 응력 텐서
• t⁰, ''t_i''⁰ : 하중 경계 상에서의 표면력 벡터. 경계의 법선 벡터를 n, ''n_j''라 하면, t = σn, ''t_i'' = σ_''ij'' ''n_j''
• ρg, ρ''g_i'' : 중력 등의 체적력 벡터
• 가상 변위
• δu, δ''u_i'' : 가상 변위 벡터. 변위 경계(∂''B_t^u'' = ∂''B_t'' − ∂''B_t''^σ)에서 δu = 0, δ''u_i'' = 0을 만족한다.
• δε, δε_''ij'' : 가상 변위에 대응하는 가상 변형률 텐서

11. 응용

가상일 원리는 구조해석, 고체역학, 구조역학의 유한요소법에서 널리 응용되며, 일반성으로 인해 특별한 위치를 차지한다. 단위 가상력법은 가상일 원리의 특수한 경우로, 구조 시스템의 변위를 계산하는 데 매우 유용하다. 가상일 원리는 구조물의 안정성 평가, 기계 시스템의 운동 분석, 재료의 거동 예측 등에 적용될 수 있으며, 특히 한국의 건설, 조선, 자동차 산업 등에서 구조물의 안전성 확보를 위한 핵심적인 해석 기법으로 활용되고 있다.

참조

_[1] 서적 The Variational Principles of Mechanics https://books.google[...] General Publishing Co.
_[2] 서적 Solid Mechanics: A Variational Approach McGraw-Hill
_[3] 서적 History of Virtual Work Laws Springer Milan
_[4] 서적 A History of Mechanics Courier Corporation
_[5] 서적 Dynamics: theory and applications McGraw-Hill
_[6] 서적 A History of Mechanical Inventions https://books.google[...] Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988) 2013-04-07
_[7] 서적 Dynamics, Theory and Applications https://www.amazon.c[...] McGraw-Hill
_[8] 서적 학술용어집 토목공학편 http://sciterm.nii.a[...] 토목학회 2017-09
_[9] 서적 가상일의 원리와 응용 鹿島出版会
_[10] 서적 잘 아는 연속체역학 노트 모리키타 출판