곰퍼츠-메이컴 사망률 법칙

1. 개요

곰퍼츠-메이컴 사망률 법칙은 30세에서 80세 사이의 연령대에서 인간 사망률의 연령별 변화를 정확하게 설명하는 법칙이다. 이 법칙은 위험 함수 $h(x)=\backslash alpha\; e^\{\backslash beta\; x\}\; +\; \backslash lambda$로 특징지어지며, 여기서 $\backslash alpha$는 초기 사망률, $\backslash beta$는 사망률 증가 속도, $\backslash lambda$는 메이컴 항을 나타낸다. 곰퍼츠-메이컴 분포는 닫힌 형식 표현으로 램버트 W 함수를 사용하여 분위 함수를 표현할 수 있으며, 확률 변수에 대해 음수 값으로 제한된 연령의 음수에 대한 피셔-티펫 분포와 동일하다. 1950년대 이전의 사망률 감소는 연령 독립적인 메이컴 사망률 요소의 감소 때문이었으며, 이후에는 고령에서의 사망률 감소와 생존 곡선의 "직사각형화" 형태로 새로운 추세가 나타났다.

2. 곰퍼츠-메이컴 사망률 법칙

곰퍼츠-메이컴 사망률 법칙은 30세에서 80세 사이의 연령대에서 인간 사망률의 연령 역학을 상당히 정확하게 설명한다. 더 고령의 연령대에서는 일부 연구에서 사망률이 더 느리게 증가하는 현상, 즉 만년 사망률 감소가 발견되었지만, 최근 연구에서는 이에 동의하지 않는다.

2.1. 곰퍼츠 함수

분위 함수는 램버트 W 함수를 사용하여 닫힌 형식 표현으로 표현할 수 있다.

:$Q(u)=\backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash beta\backslash lambda\}-\backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}\; \backslash ln(1-u)-\backslash frac\{1\}\{\backslash beta\}W\_0\backslash left[\backslash frac\{\backslash alpha\; e^\{\backslash alpha/\backslash lambda\}(1-u)^\{-(\backslash beta/\backslash lambda)\}\}\{\backslash lambda\}\backslash right]$

곰퍼츠 법칙은 확률 변수에 대해 음수 값으로 제한된 (연령에 대한 양수 값) 연령의 음수에 대한 피셔-티펫 분포와 동일하다. 곰퍼츠-메이컴 분포의 위험 함수는 일반적으로 $h(x)=\backslash alpha\; e^\{\backslash beta\; x\}\; +\; \backslash lambda$로 특징지어진다. 베타 매개변수의 경험적 크기는 약 0.085이며, 이는 8년마다 사망률이 두 배로 증가함을 의미한다(덴마크, 2006).

2.2. 메이컴 항

2.3. 위험 함수

곰퍼츠-메이컴 분포의 위험 함수는 일반적으로 $h(x)\; =\; \backslash alpha\; e^\{\backslash beta\; x\}\; +\; \backslash lambda$로 특징지어진다. 여기서 $\backslash beta$(베타) 매개변수의 경험적 크기는 약 .085이며, 이는 8년마다 사망률이 두 배로 증가함을 의미한다(덴마크, 2006).

2.4. 사망률 배증 시간

Gompertz–Makeham law of mortality^영어의 위험 함수는 일반적으로 $h(x)=\backslash alpha\; e^\{\backslash beta\; x\}\; +\; \backslash lambda$로 특징지어진다. $\backslash beta$ 값은 경험적으로 약 0.085이며, 이는 사망률이 8년마다 두 배로 증가함을 의미한다.

3. 만년 사망률 감소

일부 연구에서는 80세 이상의 고령층에서 사망률 증가 속도가 둔화되는 '만년 사망률 감소' 현상이 관찰된다고 보고되었으나, 최근 연구에서는 이에 동의하지 않는다. 1950년대 이후에는 고령에서의 사망률의 예상치 못한 감소와 생존 곡선의 "직사각형화" 형태라는 새로운 사망률 추세가 시작되었다.

4. 사망률 추세 변화

1950년대 이전의 인간 사망률 감소는 대부분 연령 독립적인 (메이컴) 사망률 요소의 감소 때문이었으며, 연령 의존적인 (곰퍼츠) 사망률 요소는 놀랍게도 안정적이었다. 1950년대 이후에는 고령층 사망률의 예상치 못한 감소와 생존 곡선의 "직사각형화" 형태로 새로운 사망률 추세가 시작되었다.

5. 분위 함수

곰퍼츠-메이컴 분포의 분위 함수는 램버트 W 함수를 사용하여 표현할 수 있다.

5.1. 닫힌 형식 표현

분위 함수는 램버트 W 함수를 사용하여 다음과 같이 닫힌 형식 표현으로 표현할 수 있다.

:$Q(u)=\backslash frac\{\backslash alpha\}\{\backslash beta\backslash lambda\}-\backslash frac\{1\}\{\backslash lambda\}\; \backslash ln(1-u)-\backslash frac\{1\}\{\backslash beta\}W\_0\backslash left[\backslash frac\{\backslash alpha\; e^\{\backslash alpha/\backslash lambda\}(1-u)^\{-(\backslash beta/\backslash lambda)\}\}\{\backslash lambda\}\backslash right]$

6. 곰퍼츠 법칙과 다른 분포와의 관계

곰퍼츠 법칙은 확률 변수의 음수로 제한된 (연령에 대한 양수 값) 연령의 음수에 대한 피셔-티펫 분포와 동일하다.