공배수

1. 개요

공배수는 두 정수의 배수 중 공통인 배수를 의미한다. 두 정수의 공배수를 구하기 위해 각 정수의 배수를 구하거나, 최소공배수를 구한 후 그 배수를 구하는 방법, 또는 나눗셈을 이용하는 방법이 있다. 두 정수 m, n의 공배수는 m과 n의 배수 집합의 교집합에 속하며, 이 교집합은 최소공배수의 배수 집합으로 나타낼 수 있다. 공배수 개념은 정수뿐만 아니라 단항 이데알 정역의 원소로 확장될 수 있으며, 일반적인 환에서는 공배원은 정의되지만 최소공배원의 존재는 보장되지 않는다.

2. 공배수와 최소공배수

여러 정수들의 공통된 배수를 공배수라고 하며, 이 중 가장 작은 양의 정수를 최소공배수라고 한다.

두 정수 $m,\backslash \; n$의 공배수는 $m$의 배수 전체의 집합 $m\; \backslash mathbb\{Z\}\; =\; \backslash \{mk|k$는 정수 전체를 움직인다$\backslash \}$와 $n$의 배수 전체의 집합 $n\; \backslash mathbb\{Z\}\; =\; \backslash \{nk|k$는 정수 전체를 움직인다$\backslash \}$의 교집합 $m\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash cap\; n\; \backslash mathbb\{Z\}$에 속하는 정수이다.

$m\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash cap\; n\; \backslash mathbb\{Z\}$는 어떤 정수 $c$를 사용하여 $c\; \backslash mathbb\{Z\}\; =\; \backslash \{ck|k$는 정수 전체를 움직인다$\backslash \}$의 형태로 나타낼 수 있다. 이러한 $c$는 양수와 음수 2개가 존재하며, 이 중 양수를 $m$과 $n$의 최소공배수라고 한다.

"정수"를 일반적인 "단항 아이디얼 정역의 원소"로 대체해도, 완전히 동일한 개념으로 공배원·최소공배원을 정의할 수 있다. 일반적인 환에서는 공배원은 정의할 수 있지만 최소공배원의 존재는 반드시 말할 수 없다.

2.1. 공배수 구하기

두 정수의 공배수를 구할 때에는 일반적으로 두 정수의 배수를 각각 구하여 공통인 배수를 찾는다. 각 정수를 소인수분해하여 두 정수의 최소공배수를 구한 후 그 최소공배수의 배수를 모두 구해도 된다. 나눗셈으로 최소공배수를 구한 후 최소공배수의 모든 배수를 구하는 방법도 있다.

3. 일반화

두 정수 m, n의 공배수란, m의 배수 전체의 집합과 n의 배수 전체의 집합의 교집합에 속하는 정수를 말한다.

m의 배수 집합과 n의 배수 집합의 교집합은 어떤 정수 c의 배수 집합으로 나타낼 수 있다. 이러한 c는 양수와 음수 두 개가 존재하며, 이 중 양수를 m과 n의 최소공배수라고 한다. 이 개념은 m, n이 양의 정수일 때 이미 정의된 것과 일치한다.

이 정의에 나타나는 "정수"를 일반적인 "단항 아이디얼 정역의 원소"로 대체해도, 완전히 동일한 개념으로 공배원·최소공배원을 정의할 수 있다. 일반적인 환에서는 공배원은 정의할 수 있지만, 최소공배원의 존재는 반드시 말할 수 없다.

4. 관련 항목

* 최소공배수
* 공약수