환론

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1. 개요
2. 역사
3. 기본 정의 및 도입
4. 가환환
- 4.1. 대수기하학
5. 비가환환
- 5.1. 표현론
6. 관련 정리
7. 환의 구조 및 불변량
8. 응용
9. 일반화
10. 한국의 참고 자료
참조

1. 개요

환론은 다항식환과 대수적 정수론 연구에서 시작되어, 덧셈과 곱셈에 대한 결합 법칙과 분배 법칙을 만족하는 대수 구조인 환에 대한 이론을 다룬다. 가환환론은 대수적 정수론, 대수기하학, 불변론 등에서 중요하며, 비가환환론은 초복소수 체계 확장 시도에서 비롯되었다. 환은 곱셈의 가환성에 따라 가환환과 비가환환으로 구분되며, 아이디얼, 준동형, 잉여환 등의 개념을 통해 환의 구조를 분석한다. 환론은 대수기하학, 표현론 등 다양한 분야에 응용되며, 전가법적 범주로 일반화될 수 있다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

환론
개요
분야	대수학
하위 분야	가환대수학, 비가환대수학, 환론 표현, 호몰로지 대수학
대상
기본 대상	환
관련 대상	아이디얼, 가군, 대수, 체, 정역, 나눗셈환
정리
주 정리	중국인의 나머지 정리, 힐베르트 기저 정리, 크뢸 높이 정리, 아르틴-웨더번 정리
일반적인 구조
아이디얼	극대 아이디얼, 소 아이디얼, 근 아이디얼, 주 아이디얼, 소 아이디얼 생성 정리
환 준동형	핵, 잉여환, 환 준동형 정리
가환환의 국소화	분수체
특별한 환 유형
성질	뇌터 환, 아르틴 환, 정역, 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 유일 인수 분해 정역, 정역의 정수적 폐포, 데데킨트 정역
예시	다항식환, 정수환, 행렬환

2. 역사

환의 연구는 다항식환 및 대수적 정수 이론에서 출발했다.^[8] 환 개념은 리하르트 데데킨트가 도입했으며, '환'(Zahlring)이라는 용어가 처음 사용된 것은 다비트 힐베르트의 글에서였다.^[8] 아브라함 프렝켈은 1914년 논문에서^[9] 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, 에미 뇌터는 1921년 논문 〈Ideal Theory in Rings〉에서 가환환 이론에 대한 공리적 기초를 제시했다.

3. 기본 정의 및 도입

엄밀히 말하면, 환은 덧셈에 대한 아벨 군 (''R'', +)에 두 번째 이항 연산 *가 주어져서, 임의의 ''a'', ''b'', ''c'' ∈ ''R''에 대해 다음을 만족하는 대수 구조이다.

: $a * (b*c) = (a*b) * c$ (곱셈의 결합 법칙)

: $a * (b+c) = (a*b) + (a*c)$ (좌분배 법칙)

: $(a+b) * c = (a*c) + (b*c)$ (우분배 법칙)

환 ''R''에 '''곱셈 단위원''' multiplicative identity, ''unity''^영어 즉, ''R''의 모든 원소 ''a''에 대해

: $a*e = e*a = a$

를 만족하는 원소 ''e''가 ''R''에 존재한다면, ''R''은 '''단위원을 갖는 환'''(단위적 환)이라고 한다. 정수환에서 정수 1은 곱셈 단위원의 예시이다.

곱셈 단위원 ''e''가 덧셈 단위원(영원)과 같은 환은 반드시 하나의 원소로만 구성되며, 자명환이라고 한다.

어떤 환이 다른 환 안에 포함될 때, 이를 부분환이라고 한다. 환의 연산을 보존하는 환 사이의 사상은 환 준동형이라고 한다. 모든 (단위적) 환과 환 준동형을 함께 고려한 것은 (단위적) 환의 범주를 이루며, 이는 범주의 한 예이다. 환론에서 중요한 개념인 아이디얼은 환 준동형의 핵으로 얻어지는 특별한 부분 집합이며, 잉여환을 정의하는 데 사용된다. 아이디얼, 준동형, 잉여환에 대한 기본적인 사실은 준동형 정리와 중국인의 나머지 정리로 설명할 수 있다.

4. 가환환

환은 곱셈이 가환인 경우 ''가환환''이라고 한다. 가환환은 익숙한 수 체계와 유사하며, 가환환에 대한 다양한 정의는 정수의 속성을 공식화하도록 설계되었다. 가환환은 대수기하학에서도 중요하다. 가환환론에서 수는 종종 아이디얼로 대체되며, 소 아이디얼의 정의는 소수의 본질을 포착하려 한다. 0이 아닌 두 원소를 곱해도 0이 되지 않는, 자명하지 않은 가환환인 정역은 정수의 또 다른 속성을 일반화하며, 가분성을 연구하는 데 적합한 영역 역할을 한다. 주 아이디얼 정역은 모든 아이디얼이 단일 원소에 의해 생성될 수 있는 정역으로, 정수가 공유하는 또 다른 속성이다. 유클리드 정역은 유클리드 알고리즘을 수행할 수 있는 정역이다. 가환환의 중요한 예는 다항식의 환과 그 몫환으로 구성될 수 있다. 요약하면 다음과 같다.

: 유클리드 정역 ⊂ 주 아이디얼 정역 ⊂ 유일 인수 분해 정역 ⊂ 정역 ⊂ 가환환.

4. 1. 대수기하학

대수기하학은 여러 면에서 가환대수의 거울상과 같다. 힐베르트의 영점 정리는 대수적 다양체의 점과 그 좌표환의 극대 아이디얼 사이에 일대일 대응 관계를 설정한다. 이 대응 관계는 대수적 다양체의 대부분의 기하학적 성질을 관련된 가환환의 대수적 성질로 변환(및 증명)하기 위해 확대되고 체계화되었다. 알렉산더 그로텐딕은 임의의 가환환으로부터 구축될 수 있는 대수적 다양체의 일반화인 scheme을 도입하여 이를 완성했다. 보다 정확히 말하면, 가환환의 스펙트럼은 자리스키 위상을 갖춘 소 아이디얼의 공간이며, 층으로 보강된다. 이러한 객체들은 "아핀 scheme"(아핀 다양체의 일반화)이며, 일반적인 scheme은 지도의 아틀라스를 접착하여 다양체를 구성하는 방식과 유사하게, 여러 아핀 scheme을 (순수하게 대수적인 방법으로) "접착"하여 얻어진다.

5. 비가환환

비가환환은 여러 면에서 행렬의 환과 유사하다. 대수 기하학의 모델을 따라, 최근 비가환환을 기반으로 비가환 기하학을 정의하려는 시도가 있었다. 비가환환과 결합 대수(벡터 공간인 환)는 종종 그들의 범주의 모듈을 통해 연구된다. 환 위의 모듈은 환이 자기 준동형 사상의 환처럼 작용하는 아벨 군이며, 이는 체(모든 0이 아닌 원소가 가역인 정역)가 벡터 공간에 작용하는 방식과 매우 유사하다. 비가환환의 예로는 정사각 행렬의 환, 또는 더 일반적으로 아벨 군 또는 모듈의 자기 준동형 사상의 환, 그리고 모노이드 환이 있다.

윌리엄 로완 해밀턴이 사원수 및 biquaternion^영어를 발견했고, 제임스 콕클이 테서린 (tessarine)^영어 및 이중사원수 (coquaternion)^영어를 제안했으며, 윌리엄 킹던 클리포드는 "대수적 운동자"(algebraic motors)라고 스스로 칭한 분해형 복사원수를 열광적으로 신봉했다. 이러한 비가환환 및 비결합적 리 대수는 한때 각각 특정 수학적 구조로서 별개의 주제로 다루어졌지만, 보편대수학 아래에서 일관된 연구가 진행되었다.

조지프 웨더번(1908)과 에미 알틴(1928)에 의해, 많은 초복소수계가 행렬환으로 기술될 수 있다는 것이 제시되었다. 웨더번의 구조 정리는 체 위 유한계 다원환에 대한 것이고, 알틴의 정리는 이를 보다 일반적인 아르틴 환에 대해 일반화한 것이다.

5. 1. 표현론

표현론은 수학의 한 분야로, 비가환환에 크게 의존한다. 표현론은 추상적인 대수 구조의 원소를 벡터 공간의 선형 변환으로 "표현"함으로써 해당 대수 구조를 연구하며, 이러한 추상 대수 구조 위에 있는 가군을 연구한다. 본질적으로, 표현은 추상 대수 객체의 원소를 행렬로 묘사하고, 대수 연산을 행렬 덧셈과 행렬 곱셈으로 나타냄으로써 추상 대수 객체를 더 구체적으로 만든다. 이러한 묘사가 가능한 대수 객체에는 군, 결합 대수, 리 대수 등이 있다. 이들 중 가장 두드러진 것(그리고 역사적으로 최초)은 군의 표현론으로, 군의 원소를 군 연산이 행렬 곱셈이 되도록 가역 행렬로 표현한다.

6. 관련 정리

환에 대한 준동형 정리
나카야마 보조 정리

구조 정리

아르틴-베더번 정리는 반단순환의 구조를 결정한다.
제이콥슨 밀도 정리는 원시환의 구조를 결정한다.
골디 정리는 반소 골디 환의 구조를 결정한다.
자리스키-사무엘 정리는 가환 주 아이디얼 환의 구조를 결정한다.
홉킨스-레비츠키 정리는 뇌터 환이 아르틴 환이 되기 위한 필요충분 조건을 제시한다.
모리타 이론은 두 환이 "동치"인 모듈 범주를 가질 때를 결정하는 정리들로 구성된다.
카르탕-브라우어-화 정리는 나눗셈환의 구조에 대한 통찰력을 제공한다.
베더번의 소정리는 유한 정역이 체임을 명시한다.

기타

스콜렘-뇌터 정리는 단순환의 자기 동형 사상을 특징짓는다.

7. 환의 구조 및 불변량

환은 다양한 구조와 불변량을 갖는다. 가환환과 비가환환은 서로 다른 구조를 가지며, 이에 따라 불변량도 달라진다.

가환환의 경우, 크룰 차원은 소 아이디얼 사슬의 최대 길이를 나타낸다. 뇌터 국소환에서는 크룰 차원, 최소 생성자 개수, 힐베르트 다항식의 차수 등이 일치한다. 사슬환은 특정 조건을 만족하는 환으로, Ratliff의 정리에 의해 뇌터 국소 정역의 사슬형 조건이 제시된다.

두 환이 모리타 동치라는 것은 왼쪽 가군 범주가 서로 동치임을 의미한다. 가환환의 경우 모리타 동치는 동형과 같지만, 비가환환에서는 더 넓은 개념이다.

유한 생성 사영 가군들의 동형류 집합은 피카르 군을 정의하는 데 사용되며, 이는 환의 성질을 나타내는 중요한 불변량 중 하나이다. 정칙환의 경우, 피카르 군은 약수류 군과 관련된다.

비가환환의 구조는 가환환보다 복잡하며, 불변량을 찾기 어렵다. 환의 제이콥슨 근기는 모든 극대 오른쪽/왼쪽 아이디얼의 교집합으로, 환의 내부 구조를 반영한다.

7. 1. 가환환의 차원

''R''의 크룰 차원은 소 아이디얼 사슬

\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n

의 모든 길이 ''n''의 상한이다. 체 ''k'' 위의 다항식 환

k[t_1, \cdots, t_n]

의 차원은 ''n''이다. 차원론의 기본 정리는 뇌터 국소환

(R, \mathfrak{m})

에 대해 다음 숫자와 일치한다는 것이다:^[1]

''R''의 크룰 차원.
$\mathfrak{m}$ -1차 아이디얼의 생성자 최소 개수.
등급 환 $\textstyle \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(R) = \bigoplus_{k \ge 0} \mathfrak{m}^k/{\mathfrak{m}^{k+1}}$ 의 차원 (동치로, 힐베르트 다항식의 차수에 1을 더한 값).

가환환 ''R''이 모든 소 아이디얼 쌍

\mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}'

에 대해,

\mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n = \mathfrak{p}'

인 유한한 소 아이디얼 사슬이 존재하고, 이 사슬은 사슬 내 두 아이디얼 사이에 추가적인 소 아이디얼을 삽입하는 것이 불가능하다는 의미에서 극대이며,

\mathfrak{p}

와

\mathfrak{p}'

사이의 모든 이러한 극대 사슬은 같은 길이를 가질 때 사슬형이라고 한다. Ratliff는 뇌터 국소 정역 ''R''이 모든 소 아이디얼

\mathfrak{p}

에 대해 다음을 만족하는 경우에만 사슬형임을 증명했다.

:

\operatorname{dim}R = \operatorname{ht}\mathfrak{p} + \operatorname{dim}R/\mathfrak{p}

여기서

\operatorname{ht}\mathfrak{p}

는

\mathfrak{p}

의 높이이다.^[2]

''R''이 유한 생성된 ''k''-대수인 정역이면, 그 차원은 ''k'' 위의 분수체의 초월 차수이다. ''S''가 가환환 ''R''의 정수 확장이면, ''S''와 ''R''은 같은 차원을 갖는다.

깊이와 전역 차원은 밀접하게 관련된 개념이다. 일반적으로, ''R''이 뇌터 국소환이면, ''R''의 깊이는 ''R''의 차원보다 작거나 같다. 등식이 성립할 때, ''R''을 코헨-매컬리 환이라고 한다. 정칙 국소환은 코헨-매컬리 환의 예이다. Serre의 정리에 따르면, ''R''이 정칙 국소환일 필요충분조건은 유한한 전역 차원을 갖는 것이고, 이 경우 전역 차원은 ''R''의 크룰 차원이다.

7. 2. 모리타 동치

두 환 ''R'', ''S''에서 ''R'' 위의 왼쪽 가군 범주가 ''S'' 위의 왼쪽 가군 범주와 동치일 경우 모리타 동치라고 한다. 모리타 동치인 두 가환환은 반드시 서로 같으므로, 이 개념은 가환환의 범주에 새로운 것을 추가하지 않는다. 그러나 가환환은 비가환환과 모리타 동치가 될 수 있으므로, 모리타 동치는 동형보다 덜 세분화된 개념이다. 모리타 동치는 특히 대수적 위상수학 및 함수 해석학에서 중요하다.

7. 3. 유한 생성 사영 가군과 피카르 군

''R''을 가환환이라 하고,

\mathbf{P}(R)

을 ''R'' 위에서 유한 생성 사영 가군들의 동형류 집합이라고 하자.

\mathbf{P}_n(R)

은 계수가 ''n''인 것들로 이루어진 부분집합이다. 가군 ''M''의 계수는 연속 함수

\operatorname{Spec}R \to \mathbb{Z}, \, \mathfrak{p} \mapsto \dim M \otimes_R k(\mathfrak{p})

이다.^[3]

\mathbf{P}_1(R)

은 보통 Pic(''R'')로 표기하며, ''R''의 피카르 군이라고 불리는 아벨 군이다.^[4] ''R''이 분수체 ''F''를 갖는 정역인 경우, 다음과 같은 군의 완전열이 존재한다:^[5]

:

1 \to R^* \to F^* \overset{f \mapsto fR}\to \operatorname{Cart}(R) \to \operatorname{Pic}(R) \to 1

여기서

\operatorname{Cart}(R)

은 ''R''의 분수 아이디얼들의 집합이다. ''R''이 정칙 정역(모든 소 아이디얼에서 정칙)이면, Pic(R)는 ''R''의 약수류 군이다.^[6]

예를 들어 ''R''이 주 아이디얼 정역이면 Pic(''R'')는 사라진다. 대수적 정수론에서 ''R''은 정수환으로 취해지며, 이는 데데킨트 정역이므로 정칙환이다. 결과적으로 Pic(''R'')는 PID가 되는 것에서 정수환이 얼마나 벗어나는지를 측정하는 유한 군(류수 유한성)이다.

\mathbf{P}(R)

의 군 완비화를 고려할 수도 있는데, 이는 가환환 K₀(R)을 결과로 낳는다. 두 가환환 ''R'', ''S''가 모리타 동치이면 K₀(R) = K₀(S)이다.

7. 4. 비가환환의 구조

비가환환의 구조는 가환환의 구조보다 더 복잡하다. 예를 들어, 자명하지 않은 고유 (양쪽) 아이디얼을 포함하지 않으면서 자명하지 않은 고유 왼쪽 또는 오른쪽 아이디얼을 포함하는 단순환이 존재한다. 가환환에는 다양한 불변량이 존재하지만, 비가환환의 불변량은 찾기 어렵다. 예를 들어, 환의 닐근기, 즉 모든 멱영 원소의 집합은 환이 가환환이 아닌 이상 반드시 아이디얼은 아니다.

환의 제이콥슨 근기는 환 위의 모든 오른쪽 (왼쪽) 단순 가군의 모든 오른쪽 (왼쪽) 소멸자의 교집합이다. 제이콥슨 근기는 환의 모든 극대 오른쪽 (왼쪽) 아이디얼의 교집합으로 볼 수 있으며, 이는 환의 내부 구조가 가군에 의해 어떻게 반영되는지를 보여준다. 또한 환의 모든 극대 오른쪽 아이디얼의 교집합은 환의 모든 극대 왼쪽 아이디얼의 교집합과 같다는 사실은 모든 환의 맥락에서 성립하며, 환이 가환환인지 여부와는 상관없다.

8. 응용

대수적 정수론은 정수를 대수적 수 (방정식의 근)로 대체하여 연구하는 정수론 및 가환대수의 한 분야이다. 이는 추상 대수학의 기법을 사용하여 정수, 유리수 및 그 일반화를 연구한다. 수 체계는 대수적 수체의 정수환, 즉 대수적 정수의 집합으로 간주된다.

만약 ''X''가 아핀 대수다양체라면, ''X'' 위의 모든 정칙 함수들의 집합은 ''X''의 좌표환이라고 불리는 환을 형성한다. 사영 대수다양체의 경우, 균일 좌표환이라고 불리는 유사한 환이 존재한다. 이러한 환들은 본질적으로 다양체와 동일하며, 본질적으로 유일한 방식으로 대응된다. 이는 힐베르트 영점 정리 또는 스킴-이론적 구성(즉, Spec와 Proj)을 통해 알 수 있다.

고전 불변론의 기본적 질문은 유한군(또는 더 일반적으로 환원적) ''G''가 ''V''에 작용할 때 다항식환에서 불변인 다항식을 찾고 연구하는 것이다. 주요 예시는 대칭 다항식 환이다. 대칭 다항식은 변수의 순열에 대해 불변인 다항식이다. 대칭 다항식의 기본 정리에 따르면 이 환은 $R[\sigma_1, \ldots, \sigma_n]$ 이며, 여기서 $\sigma_i$ 는 기본 대칭 다항식이다.

9. 일반화

임의의 환은 단일 대상 전가법적 범주(preadditive category)로 간주할 수 있다. 따라서 전가법적 범주는 환의 개념의 일반화로 생각할 수 있다. 전가법적 범주 사이의 가법적 함자는 환 준동형의 일반화이며, 전가법적 범주의 아이디얼은 사상의 집합으로, 사상의 합과 임의의 사상과의 합성 연산에 대해 닫혀 있는 것으로 정의할 수 있다.

10. 한국의 참고 자료

아즈마야 고로, 《단순환의 대수적 이론》, 가와이데 서방(1951년).
나카야마 타다시, 아즈마야 고로, 《대수학 II: 환론》, 이와나미 쇼텐(1954년 4월 15일).^[1]

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 서적 Emmy Noether: 1882–1935 Birkhaäuser
_[8] 간행물 Die Theorie der algebraischen Zahlkörper
_[9] 간행물

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