타원곡선

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1. 개요
2. 정의
3. 군 구조
- 3.1. 결합 법칙
4. 역사와 어원
5. 응용
6. 대수체 위의 타원곡선
7. 다른 표현
참조

1. 개요

타원곡선은 체(field)에 대한 특이점을 가지지 않고 종수가 1이며, 적어도 하나의 유리점을 갖는 사영 대수 곡선이다. 일반적으로 $y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$ 형태의 방정식으로 표현되며, 체의 표수(characteristic)에 따라 다른 형태로 나타낼 수 있다. 실수체와 복소수체, 그리고 수체 및 유한체 위에서 타원곡선은 각각 다른 특징을 가지며, 수론, 암호론 등 다양한 분야에 응용된다. 타원곡선은 아벨 군 구조를 가지며, 모델-베유 정리와 버치-스위너턴-다이어 추측과 같은 중요한 이론적 배경을 가진다.

2. 정의

체 $k$ 위의 타원곡선은 원점이 주어진 사영 대수 곡선으로, 다음 조건들을 만족한다.

특이점을 가지지 않는다.
곡면 종수가 1이다. (복소수체의 경우 위상수학적으로 원환면이다.)
적어도 하나의 유리점을 가진다. 즉, 대수 곡선을 정의하는 식을 만족시키는 점 $(x,y)\in k^2$ 가 적어도 하나 존재한다. (이 점은 무한대에 있을 수도 있다.)

여기서 원점이 주어진 대수 곡선이란 순서쌍

(M,x_0)

(

x_0\in M

,

M

은 대수 곡선)을 의미한다.

임의의 체의 표수에서, 타원곡선은 일반적으로 다음과 같은 꼴의 식의 해집합으로 나타낼 수 있다.

:

y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6

체의 표수가 2나 3이 아닌 경우, 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해집합으로 나타낼 수 있다.

:

y^2=x^3-px-q

여기서

(1,x,y)

는 사영 평면의 동차좌표이다. 이렇게 나타낸 경우, 원점은

(0,0,1)

이 된다. 이 점은

(x,y)

평면에서의 무한대에 해당한다.

체의 표수가 3인 경우, 일반적인 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해집합으로 나타낼 수 있다.

:

y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6

체의 표수가 2인 경우는 위의 일반적인 표현을 사용하여야 한다.

타원 곡선의 정의에는 곡선이 비특이점이어야 한다는 조건도 포함된다. 기하학적으로 이것은 그래프에 첨점, 자기교차 또는 고립점이 없다는 것을 의미한다. 대수적으로는 판별식

\Delta

가 0이 아닌 경우에만 성립한다.

:

\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right) \neq 0

^[2]

2. 1. 실수체 위의 타원곡선

실수체에서 타원곡선은 실수 a와 b에 대해 다음과 같은 방정식으로 정의되는 평면 곡선이다.

:

y^2 = x^3 + ax + b

이러한 형태의 방정식을 바이어슈트라스 방정식이라고 한다.

예를 들어, 다음 그림은 방정식 ''y''² = ''x''³ − ''x''와 ''y''² = ''x''³ − ''x'' + 1로 정의된 실수체 상의 타원곡선의 그래프이다.

타원곡선의 정의에는 이 곡선이 비특이하다는 조건이 포함된다. 기하학적으로 이는 곡선의 그래프가 첨점이나 교차점이 없다는 뜻이다. 대수적으로는 판별식

:

\Delta = -16\left(4a^3 + 27b^2\right) \neq 0

이 0이 아닌 경우에 해당한다.^[2]

비특이 대수 곡선은 판별식이 양수일 경우 두 개의 연결 성분을 가지고, 음수일 경우에는 하나의 연결 성분만을 가진다. 예를 들어, 위의 그래프에서 첫 번째 곡선의 판별식은 64이고, 두 번째 곡선의 판별식은 -368이다.

2. 2. 복소수체 위의 타원곡선

복소수체에서의 타원곡선은 1차원 아벨 다양체이다. 종수가 1이므로, 기하학적으로 이는 원환면의 모양을 하고 있다.

임의의 타원곡선

:

y^2=4x^3-px-q

가 주어졌다면, 이를 다음과 같이 원환면으로 여길 수 있다. 복소 구조를 갖춘 원환면은 격자

:

\Lambda\subset\mathbb C

에 대한 몫공간

:

\mathbb C/\Lambda

으로 여길 수 있다. 그렇다면 이 원환면에서 타원곡선으로 바이어슈트라스 타원함수

\wp(z;\Lambda)

를 사용해 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

:

z\in \mathbb C/\Lambda

:

z\mapsto(x,y)=(\wp(z;\Lambda),\wp'(z;\Lambda))

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

:

\wp'(z;\Lambda)^2=4\wp(z;\Lambda)^3-g_2(\Lambda)\wp(z)-g_3(\Lambda)

따라서 이는

:

(p,q)=(g_2(\Lambda),g_3(\Lambda))

인 타원 곡선과의 동형사상이다.

타원곡선의 복소 사영 평면 속 토러스의 매장으로서의 공식화는 바이어슈트라스의 타원 함수의 성질로부터 자연스럽게 유도된다. 이러한 함수와 함수의 1계 미분은 다음 공식에 의해 관련되어 있다.

:

\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3

여기서,

g_2

와

g_3

는 상수이고,

\wp(z)

는

\Lambda

를 주기로 하는 바이어슈트라스의 타원 함수이며,

\wp'(z)

는 그 미분이다. 이 공식은 (복소수 위의) 타원 함수의 형태이다. 바이어슈트라스의 타원 함수는 이중 주기 함수이다. 즉, 주기의 기본쌍의 관점에서 주기적이며, 본질적으로 바이어슈트라스 함수는 자연스럽게 토러스

T = \mathbb{C}/\Lambda

위에서 정의된다. 이 토러스는 다음 사상:

:

z \mapsto [1 :\wp(z) : \wp'(z)]

에 의해 복소 사영 평면 속에 매장된다.

이 사상은 군 동형이며, 토러스의 자연스러운 군 구조를 사영 평면으로 사상한다. 이 사상은 리만 곡면에도 동형이며, 따라서 위상적으로 타원곡선이 주어지면 토러스처럼 보인다. 격자

\Lambda

가 영이 아닌 복소수

c

에 의한 곱셈에 의해 격자

c\Lambda

로 사상될 때, 대응하는 곡선은 동형이 된다. 타원곡선의 동형류는 j-불변량에 의해 특정된다.

동형류는 같은 방법으로 이해할 수 있다. 상수

g_2

와

g_3

는 j-불변량이라고 불리며, 토러스의 구조인 격자에 의해 유일하게 결정된다. 그러나 복소수 전체는 실계수 다항식의 분해체를 이루며, 타원곡선은

:

y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)

로 쓸 수 있다.

이상으로부터,

:

g_2 = \frac{4^{1/3}}{3} (\lambda^2 - \lambda + 1)

이며,

:

g_3 = \frac{1}{27} (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda + 2)

임을 알 수 있으며, 이 모듈러 판별식은

:

\Delta = g_2^3 - 27g_3^2 = \lambda^2(\lambda - 1)^2

이다.

여기서

\lambda

는 모듈러 람다 함수라고도 불린다.

일의화 정리는 종수 1의 모든 콤팩트한 리만 곡면은 토러스로 실현될 수 있다는 것을 의미한다.

이것은 타원곡선 위의 비틀림 점을 쉽게 이해할 수 있게 한다. 격자

\Lambda

가 기본 주기

\omega_1, \omega_2

로 생성될 때,

n

-비틀림 점은 0부터

n-1

까지의 정수

a

와

b

에 대해 다음 형태의 (동형류의) 점이다.

:

\frac{a}{n}\omega_1 + \frac{b}{n}\omega_2

복소수 위에, 어떤 타원곡선도 아홉 개의 변곡점을 갖는다. 이러한 점들 중 두 개를 지나는 어떤 직선도 세 번째 변곡점을 지난다. 아홉 개의 점과 열두 개의 직선은 이렇게 헤세 배치를 이룬다.

2. 3. 수체 위의 타원곡선

모델-베유 정리에 따라서, 타원곡선의 유리점군

E(K)

는 항상 유한 생성 아벨 군이며, 따라서 그 계수와 꼬임 부분군에 의해 주어진다. 유리점군의 계수는 버치-스위너턴다이어 추측에 의하여 이에 대응하는 하세-베유 L-함수의 영점의 차수에 의하여 주어진다고 믿어지나, 아직 이는 증명되지 않았다.^[1]

유리수체의 경우, 유리점군의 꼬임 부분군은 메이저 꼬임 정리에 따라 15가지의 가능한 군 가운데 하나이다. 다른 수체의 경우에도 메이저 꼬임 정리와 유사한, 가능한 꼬임 부분군 목록들이 존재한다.^[1]

유리수체 Q^영어 또는 일반적으로 대수체

K

위에 정의된 곡선

E/K

에 대해서도 접선과 할선의 방법에 의한 덧셈을 적용할 수 있다. 군 구조를 정의할 때 언급했듯이, 명시 공식으로부터 두

K

-유리점

P, Q

의 합은,

P

와

Q

를 잇는 직선이

K

위에 계수를 가지므로, 다시

K

위에 좌표를 갖는다. 이와 같이 하여,

E

의

K

-유리점 전체의 집합은

E

의 복소수점(

K

가 실대수체인 경우는 실수점) 전체의 집합이 이루는 군의 부분군을 이룬다. 이러한 의미에서 타원곡선은 아벨 군, 즉

P+Q = Q+P

가 된다.^[1]

2. 4. 유한체 위의 타원곡선

유한체

\mathbb F_q

위의 타원곡선은 유한 개의 점들로 이루어지며, 이들은 유한군을 이룬다. 점의 개수를 세는 것은 일반적으로 매우 어려운 문제이며, 수론의 주요 연구 분야 중 하나이다. '''하세 정리'''(Hasse’s theorem^영어)에 따르면,

\mathbb F_q

위의 타원곡선

E

의 점의 수

\#E(\mathbb F_q)

는 다음과 같은 상계 및 하계를 갖는다.

:

q+1-2\sqrt q\le\#E(\mathbb F_q)\le q+1+2\sqrt q

유한체 위 타원곡선의 점들은 항상 두 순환군의 곱으로 나타낼 수 있다. 예를 들어,

\mathbb F_{71}

위 타원곡선

y^2=x^3-x

는 72개의 점(71개의 아핀 점과 무한대에서의 점)을 가지며, 그 군 구조는 2차 순환군과 36차 순환군의 곱, 즉

(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/36\mathbb Z)

이다.

유한체 위 타원곡선은 타원곡선 암호를 정의하는 데 사용된다.

K = \mathbb F_q

를

q

개의 원소를 갖는 유한체라 하고,

E

를

K

위에 정의된 타원 곡선이라고 하자.

K

위 타원 곡선

E

의 유리점 개수를 정확하게 계산하는 것은 어렵지만, 하세의 타원 곡선 정리는 점의 개수에 대해 다음과 같은 부등식을 제공한다.

:

|\# E(K) - (q + 1)| \le 2\sqrt{q}

이는 곡선 위 점의 개수가 체의 원소 수에 비례하여 증가함을 의미한다.

E(\mathbb F_q)

의 점 집합은 유한 아벨 군이다. 이 군은 항상 순환군이거나 두 순환군의 곱이다. 예를 들어,^[17]

y^2 = x^3 - x

로 정의된 곡선은 '''F'''₇₁ 위에서 72개의 점((0,0)을 포함한 71개의 아핀 점과 하나의 무한대의 점)을 가지며, 군 구조는 '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/36'''Z'''로 주어진다. 특정 곡선 위 점의 개수는 슈프의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

'''F'''_''q''의 체 확대 위 곡선을 연구하기 위해 ''E''의 '''F'''_''q'' 위 국소 제타 함수를 도입한다. 이는 다음과 같은 생성 함수로 정의된다.

:

Z(E(K), T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \# \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right)

여기서

K_n

은

K = \mathbb F_q

의

n

차 확대(즉,

K_n=F_{q^n}

)이다. 제타 함수는

T

에 대한 유리 함수이며, 다음 정수

a

를 통해 표현할 수 있다.

:

\#E(K) = 1 - a + q

다음과 같은 복소수

\alpha

가 존재한다.

:

1 - a + q = (1 - \alpha)(1 - \bar\alpha)

여기서

\bar\alpha

는

\alpha

의 켤레 복소수이며, 다음을 얻는다.

:

\alpha+\bar\alpha = a

:

\alpha\bar\alpha = q

\alpha

의 절댓값은

\sqrt{q}

이다. 즉,

\alpha = q^{\frac12}e^{i\theta}, \bar\alpha = q^{\frac12}e^{-i\theta}

이고

\cos \theta=\frac{a}{2\sqrt q}

이다.

|a|\le2\sqrt{q}

임에 유의해야 한다.

\alpha

의 거듭제곱을 이용하여

a_n

을 근사할 수 있다.

:

\#E(K_n) = 1 - a_n + q^n

자연로그의 테일러 급수를 사용하면, 제타 함수는 다음과 같이 정리된다.

:

Z(E(K),T) =\frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-qT)}

(1 - \alpha T)(1 - \bar\alpha T)  = 1 - aT + qT^2

이므로, 최종적으로 제타 함수는 다음과 같다.

:

Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}

예를 들어,^[18] 체 '''F'''₂ 위 ''E'' : ''y''² + ''y'' = ''x''³의 제타 함수는

\frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}

이며, 이는 다음으로부터 유도된다.

:

\left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases} 2^r + 1 & r \text{ 홀수} \\ 2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}} & r \text{ 짝수} \end{cases}

q=2

일 때

|E|=2^1+1=3=1-a+2

이므로

a=0

이다.

함수 방정식은 다음과 같다.

:

Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) = Z(E(K), T)

a_n

에만 관심이 있다면, 축약된 제타 함수를 사용할 수 있다.

:

Z(a, T) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -a_n {T^n\over n} \right) = \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} -\alpha^n {T^n\over n} - \bar\alpha^n {T^n\over n} \right)

따라서

:

Z(a, T) = \exp \left(\ln(1-\alpha T) + \ln(1-\bar\alpha T)\right)

이는 국소 L-함수로 이어진다.

:

L(E(K), T) = 1 - aT + qT^2

사토-테이트 추측은 하세 정리의 오차 항

2\sqrt{q}

가 서로 다른 소수

q

에 따라 어떻게 변하는지에 대한 것이다. '''Q''' 위 타원 곡선 E를 q를 법으로 환원시켰을 때, 오차 항이 등분포한다는 것이 테일러, 해리스, 셰퍼드-배런의 결과^[19]에 의해 증명되었다(거의 모든 곡선에 대해).

유한체 위 타원곡선은 암호학과 큰 정수의 소인수분해에 응용된다. 예를 들어, 이산 로그 알고리즘은 유한체 '''F'''*_''q''의 가역원소 군뿐만 아니라 타원곡선 위 점의 군에도 적용 가능하다. 타원곡선을 선택하면 체의 위수

q

를 선택하는 것보다 유연성이 높고, 타원곡선의 군 구조가 더 복잡하다는 장점이 있다.

3. 군 구조

사영평면에서, 모든 매끄러운 삼차 곡선 위에는 군 구조를 정의할 수 있다. 타원곡선이 바이어슈트라스 표준형으로 주어질 때, 이 곡선은 무한원점 (동차좌표 )를 가지며, 이는 군의 항등원이 된다.

타원곡선은 x축에 대해 대칭이므로, 점 P의 덧셈에 대한 역원은 x축 대칭인 점 -P가 된다.

곡선 위의 두 점 P와 Q에 대해, P + Q는 다음과 같이 정의된다. 먼저 P와 Q를 지나는 직선을 그린다. 이 직선은 일반적으로 세 번째 점 R에서 곡선과 교차한다. 그러면 P + Q는 R의 x축 대칭점인 -R로 정의된다.^[28]

몇 가지 특별한 경우가 있다.

더하는 점 중 하나가 항등원 O인 경우, P + O = P = O + P이다.
P와 Q가 서로 x축 대칭인 경우, P + Q = O이다.
P = Q인 경우, P와 Q를 지나는 직선은 유일하게 정의되지 않으므로, 점 P에서의 접선을 사용한다. 만약 P가 변곡점이면, 접선은 P에서만 곡선과 교차하므로, P + P = -P가 된다.

이 군은 기하학적 정의뿐만 아니라 대수적으로도 설명할 수 있다. 체 K (체의 표수는 2도 3도 아니라고 가정한다) 위의 타원곡선 y² = x³ + ax + b와 곡선 위의 두 점 P = (x_P, y_P), Q = (x_Q, y_Q)가 주어졌을 때, x_P ≠ x_Q이면 P와 Q를 지나는 직선의 기울기 s는 다음과 같다.

:

s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}

그러면 R = (x_R, y_R) = -(P + Q)는 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}x_R &= s^2 - x_P - x_Q \\y_R &= y_P + s(x_R - x_P)\end{align}

x_P = x_Q인 경우에는 두 가지 경우가 있다. y_P = -y_Q이면, 합은 O이다. y_P = y_Q ≠ 0이면, R = (x_R, y_R) = -(P + P) = -2P는 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}s &= \frac{3{x_P}^2 + a}{2y_P}\\x_R &= s^2 - 2x_P\\y_R &= y_P + s(x_R - x_P)\end{align}

3. 1. 결합 법칙

타원곡선에서 덧셈의 결합 법칙은 기하학적으로 설명할 수 있다.

곡선은 x축에 대해 대칭이므로, 임의의 점 P에 대해 그 반대쪽에 있는 점을 -P라고 할 수 있다. O는 XZ 평면에 있으므로 -O = O이며, -O는 원점에 대해 O의 대칭이므로 같은 사영점을 나타낸다.

P와 Q가 곡선상의 두 점이라면, P + Q는 다음과 같이 유일하게 결정된다. 먼저 P와 Q를 지나는 직선을 그린다. 이 직선은 일반적으로 3차 곡선과 세 번째 점 R에서 교차한다. 그런 다음 P + Q를 R의 반대쪽 점 -R로 정의한다.

이 덧셈 정의는 무한원점 및 교차 다중도와 관련된 몇 가지 특수한 경우를 제외하고는 성립한다.

한 점이 O인 경우: P + O = P = O + P로 정의하여 O를 군의 항등원으로 만든다.
P = Q인 경우: 한 점만 있으므로 그 사이의 직선을 정의할 수 없다. 이 경우 해당 점에서 곡선에 대한 접선을 직선으로 사용한다. 대부분의 경우 접선은 두 번째 점 R과 교차하며, 이 경우 P + Q는 -R이 된다.
P와 Q가 서로 반대쪽에 있으면 P + Q = O로 정의한다.
P가 변곡점(곡선의 오목성이 변하는 점)이면 R을 P 자체로 취하고 P + P는 단순히 자기 자신의 반대쪽 점, 즉 -P가 된다.

4. 역사와 어원

타원 적분(elliptic integral^영어)에서 그 이름을 땄지만, 타원과는 직접적인 관련이 없다. 타원은 2차 곡선이므로, 곡선으로서 타원 곡선(3차 곡선)이 아니다.^[56]

오늘날 타원곡선으로 불리는 대상은 디오판토스가 최초로 다뤘다.^[56] 디오판토스는

: $y(a-y)=x^3-x$

꼴의 타원곡선에 대하여 기술하였다. 이후 피에르 드 페르마, 아이작 뉴턴, 카를 구스타프 야코프 야코비, 카를 바이어슈트라스, 앙리 푸앵카레 등이 타원곡선에 대하여 연구하였다.

존 테이트 등은 타원곡선 이론을 수론과 연관지었다. 앤드루 와일스는 타원곡선에 대한 모듈러성 정리(의 상당 부분)을 증명하여, 이를 통해 페르마의 마지막 정리를 증명하였다. 또한, 오늘날 유한체에 대한 타원곡선은 암호론에서 타원곡선 암호를 정의하는 데 사용된다.

5. 응용

타원곡선은 수론과 암호론 등 다양한 분야에 응용된다. 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 사용된 모듈러성 정리가 그 예시 중 하나이다. 유한체 위에서의 타원곡선은 타원곡선 암호에 사용되는데, 이는 암호화 및 정수 인수분해에 응용된다.

일반적으로 이러한 응용 프로그램에서의 아이디어는 특정 유한군을 사용하는 알려진 알고리즘을 타원곡선의 유리점 군을 사용하도록 다시 작성하는 것이다.

타원곡선 위에는 정수점이 유한개만 존재하며, 이는 카를 지젤(C. L. Siegel)이 증명하였다. 앨런 베이커(Alan Baker)는 초월수론의 방법을 사용하여 종수 1의 대수곡선에는 유한개의 정수점만 존재하며, 그것들이 계산 가능하다는 것을 보였다.^[44] 예를 들어, ''k''가 0이 아닌 정수이고, (''x'', ''y'')가 부정방정식

: $y^2=x^3+k$

의 정수해일 때, 임의의 양의 상수 ''ε''에 대해, ''k''와 ''ε''에만 의존하는 계산 가능한 상수 ''c''가 존재하여

: $\max (|x|, |y|) < \exp\left(c k^{1+\epsilon} \right)$

가 성립한다.^[46]

유한체 위 타원곡선은 소인수분해와 암호이론에도 응용된다. 예를 들어, 방정식 $y^2 = x^3 + 17$ 은 ''y'' > 0인 8개의 정수해를 갖는다.^[47]

:(''x'', ''y'') = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378661).

다른 예는, 뤼웅그렌의 방정식^[48]

: $Y^2=2X^4-1$

이며, 바이어슈트라스 형태는 $y^2 = x^3 - 2x$ 이다 ( $y = 2XY, x = 2X^2$ 라고 두면). 이 곡선은 $y \ge 0$ 일 때 4개의 해만 갖는다.

:(''x'', ''y'') = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).

암호이론 응용은 어떤 유한군을 사용하는 알려진 알고리즘을 타원곡선의 유리점 군을 사용하도록 바꿔서 사용한다.

렌스트라 타원곡선 인수분해
타원곡선 소수 판정

5. 0. 1. 타원곡선 암호의 종류

다음은 타원곡선 암호에 사용되는 타원곡선 기반 암호 방식의 종류이다.

타원곡선 디피-헬만 키 교환(ECDH)
초특이 등분 이성체 키 교환
타원곡선 디지털 서명 알고리즘(ECDSA)
EdDSA 디지털 서명 알고리즘
Dual EC DRBG 난수 생성기

6. 대수체 위의 타원곡선

유리수체를 비롯한 다른 대수적 수체 위의 타원곡선은 수론에서 중요한 위치를 차지한다. 이 경우, 해당 수체 위 타원곡선의 점들은 보통 '''유리점'''이라고 불린다(이는 유리수체가 아닌 다른 수체에도 사용된다). 주어진 수체 $K$ 에 대하여, 타원곡선 $E$ 의 $K$ -유리점들의 집합 $E(K)$ 는 아벨 군을 이룬다.

모델-베유 정리에 따르면, 타원곡선의 유리점 군 $E(K)$ 는 항상 유한 생성 아벨 군이며, 그 계수와 꼬임 부분군으로 구성된다. 유리점군의 계수는 버치-스위너턴다이어 추측에 의해 해당 하세-베유 L-함수의 영점 차수로 주어진다고 알려져 있으나, 아직 증명되지 않았다.

유리수체의 경우, 유리점군의 꼬임 부분군은 메이저 꼬임 정리에 따라 15가지 가능한 군 중 하나이다. 다른 수체의 경우에도 이와 유사한 가능한 꼬임 부분군 목록들이 존재한다.

사영평면에서 동차좌표를 사용하면 타원곡선의 방정식은 다음과 같이 표현된다.

: $\frac{Y^2}{Z^2} = \frac{X^3}{Z^3} + a\frac{X}{Z} + b$

이 방정식은 무한원점에서 정의되지 않지만, $Z^3$ 을 곱하면 다음과 같이 정의된다.

: $ZY^2 = X^3 + aZ^2X + bZ^3$

이 방정식은 전체 사영평면에서 정의되며, 이 방정식이 정의하는 곡선은 우리가 관심 있는 타원곡선으로 사영된다. 무한원점과의 교점을 찾으려면 $Z = 0$ 으로 가정한다. 이는 $X^3 = 0$ 을 의미하며, 체(Field)에서는 $X = 0$ 을 의미한다. $Y$ 는 임의의 값을 가질 수 있으므로 모든 삼중항 $(0,Y,0)$ 은 방정식을 만족한다. 사영기하학에서 이 집합은 $O = [0:1:0]$ 점으로 나타내어지며, 곡선과 무한원점의 유일한 교점이다.

곡선이 매끄럽고 연속적이므로, 이 무한원점은 연산이 기하학적으로 설명되는 군 구조의 항등원임을 보일 수 있다.

곡선은 x축에 대해 대칭이므로, 임의의 점 P에 대해 그 반대쪽에 있는 점을 −P라고 할 수 있다. O는 XZ평면에 있으므로 −O = O이며, −O는 원점에 대해 O의 대칭이므로 같은 사영점을 나타낸다.

P와 Q가 곡선상의 두 점이라면, P + Q는 다음과 같이 유일하게 설명할 수 있다. P와 Q를 지나는 직선을 그리면, 이 직선은 일반적으로 3차 곡선과 세 번째 점 R에서 교차한다. 그런 다음 P + Q를 R의 반대쪽 점 −R로 취한다.

이 덧셈 정의는 무한원점 및 교차 다중도와 관련된 몇 가지 특수한 경우를 제외하고 작동한다. 한 점이 O인 경우, 1=P + O = P = O + P로 정의하여 O를 군의 항등원으로 만든다. P = Q이면 한 점만 있으므로 그 사이의 직선을 정의할 수 없다. 이 경우, 이 점에서 곡선에 대한 접선을 직선으로 사용한다. 대부분의 경우 접선은 두 번째 점 R과 교차하고, 우리는 그 반대쪽 점을 취한다. P와 Q가 서로 반대쪽에 있으면 P + Q = O로 정의한다. P가 변곡점(곡선의 오목성이 변하는 점)이면 R을 P 자체로 취하고 P + P는 단순히 자기 자신의 반대쪽 점이 된다.

곡선이 정의되는 체를 K, 곡선을 E라고 할 때(곡선 정의 방정식의 계수는 K에 있다), E의 K-유리점은 좌표가 모두 K에 있는 E의 점이며, 무한원점도 포함한다. K-유리점의 집합은 E(K)로 표시된다. E(K)는 군이며, 다항 방정식의 성질에 따라 P가 E(K)에 있으면 −P도 E(K)에 있고, P, Q, R 중 두 점이 E(K)에 있으면 세 번째 점도 E(K)에 있다. K가 L의 부분체이면 E(K)는 E(L)의 부분군이다.

유리수체 위에 정의된 곡선 ''E''는 실수체 위에서도 정의된다. 따라서 접선과 할선 방법에 의한 (실수 좌표를 갖는 점들의) 덧셈 법칙을 ''E''에 적용할 수 있다. 명시적인 공식은 유리수 좌표를 갖는 두 점 ''P''와 ''Q''의 합이 다시 유리수 좌표를 갖는다는 것을 보여준다. 이는 ''P''와 ''Q''를 잇는 직선이 유리수 계수를 갖기 때문이다. 이러한 방식으로 ''E''의 유리수 점들의 집합은 ''E''의 실수 점들 군의 부분군을 형성한다.

타원 곡선은 임의의 체 ''K'' 위에서 정의될 수 있으며, 공식적인 정의는 ''K'' 위의 비특이 사영 대수 곡선으로, 종수가 1이고 ''K'' 위에서 정의된 구별되는 점을 갖는 것이다.

표수가 2도 3도 아닌 ''K''의 경우, ''K'' 위의 모든 타원 곡선은 선형 변수 변환 후 다음 형태로 쓸 수 있다.

: $y^2 = x^3 - px - q$

여기서 ''p''와 ''q''는 ''K''의 원소이며, 우변 다항식 ''x''³ − ''px'' − ''q''는 중근을 갖지 않는다. 표수가 2 또는 3이면 더 많은 항을 유지해야 한다. 표수 3에서 가장 일반적인 방정식은 다음과 같다.

: $y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6$

임의의 상수 ''b''₂, ''b''₄, ''b''₆에 대해 우변 다항식은 서로 다른 근을 갖는다(기호는 역사적 이유로 선택됨). 표수 2에서는 이것조차 불가능하며, 가장 일반적인 방정식은 다음과 같다.

: $y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$

단, 이것이 정의하는 다양체는 비특이적이어야 한다. 표수가 문제가 되지 않는다면, 적절한 선형 변수 변환을 통해 각 방정식을 이전 방정식으로 축소할 수 있다.

일반적으로 곡선을 위 방정식을 만족시키고 ''x''와 ''y''가 모두 ''K''의 대수적 폐포의 원소인 모든 점 (''x'',''y'')의 집합으로 간주한다. 좌표가 모두 ''K''에 속하는 곡선의 점을 '''''K''-유리점'''이라고 한다.

유리수체 또는 대수체 $K$ 위에 정의된 곡선 $E/K$ 에 대해서도 접선과 할선의 방법에 의한 덧셈을 적용할 수 있다. 명시 공식으로부터 두 $K$ -유리점 $P, Q$ 의 합은, $P$ 와 $Q$ 를 잇는 직선이 $K$ 위에 계수를 가지므로, 다시 $K$ 위에 좌표를 갖는다. 이와 같이 $E$ 의 $K$ -유리점 전체 집합은 $E$ 의 복소수점( $K$ 가 실수체인 경우는 실수점) 전체 집합이 이루는 군의 부분군을 이룬다. 이러한 의미에서 타원곡선은 아벨 군, 즉 $P + Q = Q + P$ 가 된다.

일반적인 체 $k$ 위의 타원곡선은 사영평면 $P^2(k)$ 의 비특이 삼차곡선

: $y^2z + a_1xyz + a_3yz^2 = x^3 + a_2x^2 z + a_4xz^2 + a_6z^3$

으로 쓸 수 있다. 이 식은 삼차곡선의 변곡점이 $(0, 1, 0)$ 에 있고, 그 접선이 $z = 0$ 일 때 얻어지는 형태이며, 바이어슈트라스의 표준형이라고 불린다. 이 균차식을 비균차형으로 고치면

: $y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^2+a_4x+a_6$

이 된다.

6. 1. 높이(Height)

대수체 K 위의 타원곡선 위의 점에 대해 높이가 정의된다.

차수가 d인 대수체 K 위의 사영공간

\mathbb{P}^n(K)

위의 점

P=[x_0: x_1: \ldots :x_n]\in E(K)

의 절대 높이(absolute height)는 다음과 같이 정의된다.

:

H(P)=(\prod_{v} \max_i \{\lVert x_i \rVert_v\} )^{1/d}

(P를 포함하는 K의 선택은 유일하지 않지만, K의 선택에 관계없이 정의된다.) 여기서

\lVert \cdot\rVert _v

는 K 위의 정규화된 절댓값을 나타낸다.
로그 높이(logarithmic height)는 다음과 같이 정의된다.

:

h(P)=\log H(P)

f를 대수체 K 위의 타원곡선 E 위에 정의된 유리함수라고 하자.

h_f(P)=h([f(P):1])

(단, P가 특이점일 때는

h_f(P)=h([1:0])

으로 한다)를 f에 대한 높이라고 한다. P가 비특이점이라면, 이것은 대수적 수

f(P)\in K

의 로그 높이와 일치한다. 특히 P의 x-좌표가 유리수

x = \frac{p}{q}

(p와 q는 서로소)이고 x가 P의 x-좌표를 주는 함수일 때,

h_x(P)=\log \max(|p|, |q|)

가 된다.^[24]

임의의 상수 C에 대해, 높이

h_f(P)\leq C

가 되는 점

P\in E(K)

는 유한개이다.^[24]

f가 짝함수, 즉 임의의 점

P\in E(K)

에 대해

f(P)=f(-P)

가 성립할 때, 다음 세 가지 부등식이 성립한다.^[25]

임의의 $P, Q\in E(\bar K)$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

h_f(P+Q)+h_f(P-Q)=2h_f(P)+2h_f(Q)+O(1)

(여기서 우변의

O(1)

은 E와 f에만 의존하고, P나 Q에는 의존하지 않는다.)

$Q\in E(\bar K)$ 를 정하면 상수 $C_Q$ 가 정해지고, 임의의 $P\in E(\bar K)$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

h_f(P+Q)\leq 2h_f(P)+C_Q

정수 m을 정하면 임의의 $P\in E(\bar K)$ 에 대해 다음이 성립한다.

:

h_f(mP)=m^2 h_f(P)+O(1)

(여기서 우변의

O(1)

은

E, f, m

에만 의존하고, P에는 의존하지 않는다. 즉

h(mP)

는 대략 m의 제곱에 비례하여 증가한다.)

E가

y^2 = x^3 + ax + b

의 형태로 나타나 있을 때 P의 x-좌표를 주는 함수 x는 짝함수이다.

또한, 짝함수 f에 대해

\hat h(P)=\frac{1}{\deg f}\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{h_f(2^n P)}{4^n}

로 주어지는 극한은 f에 의존하지 않고 정해진다.^[26] 이 극한을 표준 높이(Canonical height) 또는 네론-테이트 높이(Néron–Tate height)라고 한다.

표준 높이에 대해, 다음이 성립한다.

:

\hat h(P+Q)+\hat h(P-Q)=2\hat h(P)+2\hat h(Q),

:

\hat h(mP)=m^2 \hat h(P)

그리고

\langle P, Q \rangle=\hat h(P+Q)-\hat h(P)-\hat h(Q)

는

E(\bar K)

위에서 이중선형이다.

또 임의의 f에 대해,

(\deg f)\hat h(P)=h_f(P)+O(1)

이 성립한다. 여기서 우변의

O(1)

은 f에만 의존하고, P에는 의존하지 않는다.^[27]

6. 2. 유리점의 구조

모델-베유 정리에 따르면, 타원곡선의 유리점 군은 유한 생성 아벨 군이다.^[6] 즉, 유한개의 유리점들로부터 접선과 할선의 방법을 사용하여 무한히 많은 다른 유리점들을 생성할 수 있다. 유한 생성 아벨 군은 기본 정리에 의해 '''Z'''의 복사본과 유한 순환군의 유한 직합으로 나타낼 수 있다. 모델-베유 정리 증명^[7]은 무한강하법^[8]의 변형을 사용하며, ''E''에서 유클리드 나눗셈을 반복 적용한다.

타원곡선 ''E''('''Q''')의 계수(랭크)는 ''E''의 중요한 불변량 중 하나이며, 버치-스위너턴-다이어 추측(BSD 추측)은 랭크를 결정하는 것과 관련이 있다.^[9] 현재 정확하게 알려진 가장 큰 랭크를 갖는 타원곡선은 2020년 노암 엘키스와 제브 클래그스브룬에 의해 발견된 랭크 20의 곡선이다.

유리수체의 경우, 유리점군의 꼬임 부분군은 메이저 꼬임 정리에 따라 15가지( '''Z'''/''N'''''Z''' (''N'' = 1, 2, ..., 10, 또는 12), 또는 '''Z'''/2'''Z''' × '''Z'''/2''N'''''Z''' (''N'' = 1, 2, 3, 4))의 가능한 군 가운데 하나이다.^[10] 다른 수체의 경우에도 메이저 꼬임 정리와 유사한, 가능한 꼬임 부분군 목록들이 존재한다.

6. 2. 1. 비틀림 부분군

루아 메렐 (Loïc Merel)의 정리에 따르면, 주어진 정수 ''d''에 대해, ''d''차 수체 ''K'' 위에서 정의된 타원 곡선 ''E''에 대해 ''E''(''K'')의 비틀림군으로 나타날 수 있는 군은 (동형사상을 제외하고) 유한하다.^[20] 보다 정확하게는, ''d''차 수체 ''K'' 위에서 정의된 임의의 타원 곡선 ''E''에 대해, ''E''(''K'')의 임의의 비틀림점의 위수는 ''B''(''d'')보다 작은 수 ''B''(''d'')가 존재한다. 이 정리는 효과적이다. ''d'' > 1인 경우, 비틀림점의 위수가 소수 ''p''이면, 다음과 같다.

:

p < d^{3d^2}

6. 3. 버치와 스위너턴-다이어 추측 (BSD 추측)

버치-스위너턴-다이어 추측(BSD 추측)은 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나로, 타원곡선의 해석적 성질과 산술적 성질 사이의 관계를 설명한다.

해석적인 측면에서 중요한 요소는 '''Q''' 위의 ''E''의 하세-바일 제타 함수인 복소 변수 함수 ''L''이다. 이 함수는 리만 제타 함수와 디리클레 L-함수의 변형으로, 모든 소수 ''p''에 대해 하나의 인수를 갖는 오일러 곱으로 정의된다.

최소 방정식

:

y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6

으로 주어진 '''Q''' 위의 곡선 ''E''에 대해, 정수 계수

a_i

를 ''p''를 법으로 환원하면 유한체 '''F'''_''p'' 위의 타원 곡선이 정의된다. (유한한 수의 소수 ''p''는 제외).^[12]

유한체 '''F'''_''p'' 위의 타원 곡선의 제타 함수는 '''F'''_''p''의 유한 체 확장 '''F'''_''pⁿ''의 값을 갖는 ''E''의 점의 개수에 대한 정보를 모아 놓은 생성 함수이며, 다음과 같이 주어진다.

:

Z(E(\mathbf{F}_p), T) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)}

여기서 '프로베니우스의 흔적' 항^[13]

a_p

는

\mathbb{F}_p

위의 타원 곡선

E

의 점의 개수와

p+1

의 차이로 정의된다. 즉,

:

\#E(\mathbb{F}_p) = p + 1 - a_p

'''Q''' 위의 ''E''의 L-함수는 모든 소수 ''p''에 대해 이 정보를 모아 다음과 같이 정의된다.

:

L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_{p\not\mid N} \left(1 - a_p p^{-s} + p^{1 - 2s}\right)^{-1} \cdot \prod_{p\mid N} \left(1 - a_p p^{-s}\right)^{-1}

여기서 ''N''은 ''E''의 전도자이다. 즉, 불량 환원을 갖는 소수의 곱이다(

\Delta (E\mod p)=0

).^[14]

이 곱은 Re(''s'') > 3/2에 대해서만 절대 수렴한다. 그러나 1999년에 모든 Q 위의 타원 곡선이 모듈러 곡선이라는 시무라-다니야마-와일 추측이 증명되면서, ''L''-함수가 전체 복소 평면으로 해석적 연속을 허용하고, 임의의 ''s''에 대해 ''L''(''E'', ''s'')를 ''L''(''E'', 2 − ''s'')와 관련짓는 함수 방정식을 만족한다는 것이 밝혀졌다.

''s=1''에서 L-함수는 다음과 같이 된다.

:

L(E(\mathbf{Q}), 1) =  \prod_{p\not\mid N}\frac{p}{\#E(\mathbb{F}_p)}

버치-스위너턴-다이어 추측은 ''s'' = 1에서 ''L''-함수의 소멸 차수가 ''E''의 계수와 같다고 주장하며, 그 점에서 ''L''(''E'', ''s'')의 로랑 급수의 선행 항을 타원 곡선에 부착된 여러 양으로 예측한다.

리만 가설과 매우 유사하게, BSD 추측은 여러 결과를 가져온다. 예를 들어, BSD 추측을 가정하면, 합동수와 관련된 터널의 정리를 통해 특정 조건을 만족하는 정수 삼중항의 개수를 통해 합동수를 판별할 수 있다.^[15] 또한, 일반화된 리만 가설과 BSD를 가정하면, 특정 형태의 타원 곡선의 평균 계수가 2보다 작다는 것을 보일 수 있다.^[16]

7. 다른 표현

헤세 곡선
에드워즈 곡선
꼬인 곡선
꼬인 헤세 곡선
꼬인 에드워즈 곡선
이중 지향 도슈-이카르-코엘 곡선
삼중 지향 도슈-이카르-코엘 곡선
야코비 곡선
몽고메리 곡선

참조

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_[23] 문서 このことはリーマン面として見ることもできるし、単位元に対応する O をもつ種数 1 の曲線ともみることができ、1次元のアーベル多様体と見ることもできる。
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