관측값

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1. 개요

관측값은 측정을 통해 얻은 값으로, 참값, 최확값, 잔차, 편의, 참오차 등과 관련된 개념이다. 참값은 실제 대상의 정확한 값이며, 최확값은 참값을 대신하는 값이다. 잔차는 관측값과 최확값의 차이, 편의는 참값과 최확값의 차이, 참오차는 잔차와 편의의 합이다. 관측값 조정은 우연오차를 줄여 최확값을 결정하는 과정이며, 최소제곱법이 대표적인 방법이다. 확률론에서 관측값은 확률 변수의 실현 값으로 정의된다.

관측값

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1. 개요
2. 용어 정의
3. 경중률
4. 관측값 조정
- 4.1. 최소제곱법
5. 확률론적 정의
- 5.1. 확률 변수
- 5.2. 실현값

2. 용어 정의

착오 및 정오차를 보정해도 관측값에는 우연오차가 남는다. 이때 관측값 조정(adjustment)을 통해 최확값을 결정한다. 관측값 조정의 대표적인 방법은 최소제곱법이다. 경중률이 같은 관측값은 잔차 제곱의 합이 최소가 될 때, 서로 다른 경중률을 가진 관측값은 (경중률)X(잔차)²의 합이 최소가 될 때 최확값을 정한다.

확률론에서 확률 변수는 표본 공간 Ω에서 가측 공간인 상태 공간으로 가는 함수 X로 정의된다. Ω의 한 요소가 X에 의해 상태 공간의 한 요소에 대응되면, 그 요소는 X의 실현 값이다. 표본 공간의 요소는 가능한 모든 경우, 실현 값은 그중 하나가 발생했을 때 X의 값이다. 확률은 표본 공간의 부분 집합(사건)에 0과 1 사이의 값을 부여하는 사상이다. 기본 사건은 하나의 요소만 포함하는 표본 공간의 부분 집합이다. 확률 변수 X의 ω ∈ Ω 에서의 값은

: $x = X(\omega)$

와 같이 표현된다.

2.1. 관측값, 최확값, 참값

측정을 통해 알아낸 값을 관측값이라 하고, 측정한 대상물의 실제 값을 참값(true value)이라고 한다. 참값은 정확하게 알 수 없는 추상적인 개념이다. 따라서 참값을 대신할 값을 정하는데 이것을 최확값(most probable value)이라고 한다.

관측값을 x, 최확값을 μ, 참값을 τ라고 하면 잔차(residual, ν), 편의(bias, β), 참오차(error, ε)를 정의할 수 있다. 잔차는 관측값과 최확값의 차이다.(ν=μ–x) 편의는 참값과 최확값의 차이다.(β=τ–μ) 참오차는 잔차와 편의를 합한 값이다.(ε=ν+β) 참오차 역시 참값과 마찬가지로 실제로 알 수 없는 가상의 값이다.

최확값은 단순히 산술평균이 아니라 조건과 경중률의 유무에 따라 달라진다. 경중률(weight)이란 여러 관측 값들 각각의 상대적인 신뢰도를 나타내는 것으로, 관측값의 분산에 반비례한다. 조건이 없는 경우는 관측값을 직접 조정하여 최확값을 구하고, 조건이 있는 경우에는 조건에 맞게 오차를 조정하여 최확값을 구한다. 경중률은 관측 횟수, 관측 거리, 관측 정밀도 등 여러 가지 경우에 따라 달라진다.

2.2. 잔차, 편의, 참오차

2.3. 상대오차

상대오차(relative error)는 관측값과 잔차의 절댓값의 비이다. 상대오차는 관측의 정밀도를 나타낼 때 중요하게 쓰인다. 상대오차는 1/10000 등과 같이 나타낸다.

: $Re=\frac$

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2.4. 정도

정도는 표준편차 또는 확률오차(γ)를 최확값으로 나눈 값으로, 분자가 1로 표시된다.

: $\frac{\sigma}{\mu}\quad or \quad \frac{\gamma}{\mu}$

정도는 관측값의 신뢰도를 평가하는 데 사용된다. 예를 들어 표준편차가 0.00158이고 최확값이 325.467인 관측의 정도는 $\frac{0.00158}{325.467}\doteqdot \frac{1}{200000}$ 이다.

3. 경중률

경중률이란 여러 관측값 각각의 상대적인 신뢰도를 나타내는 것으로, 관측값의 분산에 반비례한다. 경중률은 관측 횟수, 관측 거리, 관측 정밀도 등 여러 가지 경우에 따라 달라진다.

4. 관측값 조정

착오와 정오차를 제거하고도 남는 우연오차를 최소화하기 위해 관측값을 조정한다. 최소제곱법이 대표적인 방법이다.

4.1. 최소제곱법

착오를 제거하고 정오차를 보정하여도 관측값에 우연오차가 남는다. 이때 관측값 조정(adjustment)을 통해 최확값을 결정한다. 관측값 조정의 대표적인 방법에는 최소제곱법(least square method)이 있다. 같은 정밀도로 관측된 값들에서 잔차의 제곱의 합 $(\Sigma \nu^2)$ 이 최소가 될 때 최확값을 정할 수 있다. 서로 다른 경중률을 가진 관측값에 대해 최소제곱법을 사용한다면, (경중률)X(잔차)²의 합 $(\Sigma w \nu^2)$ 이 최소가 될 때 최확값을 정할 수 있다.

5. 확률론적 정의

확률론적 관점에서 확률 변수는 표본 공간에서 가측 공간이라 불리는 상태 공간으로 정의되는 함수 X이다. 표본 공간의 한 요소가 X에 의해 상태 공간의 한 요소에 매핑되면, 그 상태 공간의 요소는 실현 값이다. 확률은 표본 공간의 특정 부분 집합(사건)에 0과 1 사이의 숫자를 할당하는 사상이다. 확률 변수 X의 ω ∈ Ω인 점에서의 값은 다음과 같다.

: $x = X(\omega)$

이 값 x는 X의 실현 값이라고 한다.

5.1. 확률 변수

보다 공식적인 확률론에서, 확률 변수는 표본 공간 Ω에서 가측 공간이라고 불리는 상태 공간으로 정의되는 함수 X이다. Ω의 한 요소가 X에 의해 상태 공간의 한 요소에 매핑되면, 상태 공간의 해당 요소는 실현 값이다. 표본 공간의 요소는 일어날 수 있는 모든 다른 가능성으로 생각할 수 있으며, 실현 값(상태 공간의 요소)은 가능성 중 하나가 발생했을 때 X가 갖는 값으로 생각할 수 있다. 확률은 표본 공간의 특정 부분 집합, 즉 가측 부분 집합(사건)에 0과 1 사이의 숫자를 할당하는 사상이다. 하나의 요소만 포함하는 표본 공간의 부분 집합은 기본 사건이라고 한다. 확률 변수(즉, 함수) X의 ω ∈ Ω인 점에서의 값은 다음과 같다.

: $x = X(\omega)$

X의 실현 값이라고 한다.

5.2. 실현값

보다 공식적인 확률론에서, 확률 변수는 함수 X로 정의되며, 이는 표본 공간 Ω에서 가측 공간이라고 불리는 상태 공간으로 정의된다. Ω의 한 요소가 X에 의해 상태 공간의 한 요소에 매핑되면, 상태 공간의 해당 요소는 실현 값이다. 표본 공간의 요소는 일어날 수 있는 모든 다른 가능성으로 생각할 수 있으며, 실현 값(상태 공간의 요소)은 가능성 중 하나가 발생했을 때 X가 갖는 값으로 생각할 수 있다. 확률은 표본 공간의 특정 부분 집합, 즉 가측 부분 집합(여기서는 사건)에 0과 1 사이의 숫자를 할당하는 사상이다. 하나의 요소만 포함하는 표본 공간의 부분 집합은 기본 사건이라고 한다. 확률 변수(즉, 함수) X의 ω ∈ Ω인 점에서의 값은 다음과 같다.

: $x = X(\omega)$

X의 실현 값이라고 한다.