사건 (확률론)

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1. 개요

사건(확률론)은 확률론에서 무작위적인 현상에서 발생 가능한 결과들을 의미하며, 각 사건의 발생 빈도를 확률로 나타낸다. 사건은 단일 결과를 나타내는 근원사건과 여러 근원사건의 결합으로 발생하는 결합사건으로 분류된다. 사건은 독립 사건과 종속 사건, 배타 사건으로 구분되며, 확률 공간에서 사건은 시그마-대수를 사용하여 정의된다. 확률 변수를 사용하여 사건을 표기하기도 한다.

사건 (확률론)

확률론

정의	확률이 할당되는 결과들의 집합

상위 개념	확률 공간
하위 개념	근원사건

2. 개념

어떠한 일이 일어날 수 있는 모든 경우의 수에 대한 특정 조건의 경우의 수에 대한 집합이 사건이다. 확률론에서 사건은 무작위성 때문에 존재하는 불확실성으로 결과를 예측할 수 없고 다만 그 일이 일어날 경우의 수와 각각의 경우에 대한 발생 빈도인 확률만을 계산할 수 있다. 예를 들어 동전 던지기를 할 때 참가자는 앞면과 뒷면이 동일한 비율로 나타날 것이라는 믿음을 갖는다. 이때 앞면, 뒷면 각각은 하나의 사건이 된다. 무작위 사건에 대한 개념은 매우 오랜 역사에 걸쳐 형성되었으며 모든 경우가 동일한 빈도로 나타나는 이산균등분포는 확률에 대한 개념 발달의 기원이 되었다.

52장의 트럼프 카드 덱에서 조커를 제외하고 한 장의 카드를 뽑는다고 가정하면, 표본 공간은 52개의 원소를 가진 집합이 되며, 각 카드는 가능한 결과이다. 그러나 사건은 표본 공간의 임의의 부분 집합으로, 임의의 단일 집합(기본 사건), 공집합(확률이 0인 불가능한 사건) 및 표본 공간 자체(확률이 1인 확실한 사건)를 포함한다. 다른 사건은 여러 요소를 포함하는 표본 공간의 진부분 집합이다. 따라서 예를 들어 가능한 사건은 다음과 같다.

--

* "조커가 아닌 빨간색과 검은색을 동시에 가짐"(0개 원소)
* "하트 5"(1개 원소)
* "킹"(4개 원소)
* "숫자 카드"(12개 원소)
* "스페이드"(13개 원소)
* "숫자 카드 또는 빨간색 무늬"(32개 원소)
* "카드"(52개 원소)

모든 사건은 집합이므로 일반적으로 집합으로 작성되며 벤 다이어그램을 사용하여 그래픽으로 표현된다. 표본 공간 Ω의 각 결과가 동일하게 나타날 가능성이 있는 상황에서 사건 A의 확률 $P$ 는 다음과 같다.

: $P(A) = \frac$

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\,\

이 규칙은 위의 각 예시 사건에 쉽게 적용될 수 있다.

표본 공간의 모든 부분 집합을 사건으로 정의하는 것은 결과가 유한 개일 때 잘 작동하지만 표본 공간이 무한대일 때는 문제가 발생한다. 정규 분포와 같은 많은 표준적인 확률 분포의 경우, 표본 공간은 실수의 집합 또는 실수의 어떤 부분 집합이다. 실수의 모든 부분 집합에 대한 확률을 정의하려는 시도는 '잘못된' 집합, 예를 들어 비가측 집합과 같은 집합을 고려할 때 어려움에 직면한다. 따라서 더 제한적인 부분 집합의 모음에 집중할 필요가 있다. 결합 확률 및 조건부 확률과 같은 확률 이론의 표준 도구가 작동하려면 여집합과 구성원의 가산 합집합에 닫혀 있는 모음인 σ-대수를 사용해야 한다. σ-대수의 가장 자연스러운 선택은 구간의 합집합과 교집합에서 파생된 보렐 가측 집합이다. 그러나 더 큰 부류의 르베그 가측 집합이 실제에서 더 유용하다는 것이 입증되었다.

측도론의 일반적인 설명에서, 사건은 표본 공간의 부분 집합의 선택된 σ-대수의 원소로 정의될 수 있다. 이 정의에 따라, 시그마-대수의 원소가 아닌 표본 공간의 모든 부분 집합은 사건이 아니며 확률을 갖지 않는다. 그러나 확률 공간을 합리적으로 지정하면 모든 관심 사건은 시그마-대수의 원소가 된다.

사건은 어떤 표본 공간

\Omega

의 부분 집합이지만, 종종 확률 변수와 관련된 서술어나 지시자로 쓰인다. 예를 들어,

X

가 표본 공간

\Omega

에서 정의된 실수 값을 갖는 확률 변수라면, 사건

:

\{ \omega \in \Omega \mid u < X(\omega) \leq v \}\,

는 더 간편하게 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

u < X \leq v\,

이 표기법은 특히 확률 공식을 사용할 때 흔히 사용되며, 다음과 같다.

:

Pr(u < X \leq v) = F(v) - F(u)\,

집합

u < X \leq v

는

\omega \in X^{-1}((u, v])

if and only if

u < X(\omega) \leq v.

이므로 사상

X

에 대한 역상의 예시이다.

3. 종류

근원사건은 단 한 가지 결과만을 보이는 사건이고, 결합사건은 여러 근원사건들이 결합하여 발생하는 사건이다. 52장의 트럼프 카드 덱에서 한 장의 카드를 뽑는 시행을 할 때, 사건은 표본 공간의 임의의 부분 집합으로, 단일 집합, 공집합(확률이 0인 불가능한 사건) 및 표본 공간 자체(확률이 1인 확실한 사건)를 포함한다.

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사건 종류	설명	원소 개수
빨강이면서 검정이다	조커가 아닌 카드는 빨간색과 검은색을 동시에 가질 수 없다.	0
하트 5이다	하트 무늬의 5 카드가 나오는 경우	1
킹이다	킹 카드가 나오는 경우 (하트, 다이아몬드, 스페이드, 클로버)	4
그림 카드이다	킹, 퀸, 잭 카드가 나오는 경우	12
스페이드이다	스페이드 무늬의 카드가 나오는 경우	13
그림 카드 또는 빨강이다	그림 카드(12장)와 빨간색 무늬(하트, 다이아몬드) 중 겹치는 부분을 제외한 카드가 나오는 경우	32
카드이다	52장 카드 덱에서 카드를 뽑았을 때, 카드인 경우	52

모든 사건은 벤 다이어그램으로 표현할 수 있다. 표본 공간 Ω 내의 각 결과가 동일하게 나타날 가능성이 있는 상황에서 사건 A의 확률

P(A)

는 다음과 같다.

:

P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert}

독립 사건은 각각의 사건이 서로 영향을 주지 않는 경우이다. 반면에 앞서 시행한 사건이 뒤의 사건에 영향을 주는 경우는 종속 사건이다.

하나의 사건이 일어나면 반대의 경우는 절대로 일어날 수 없는 경우를 상호 배타적 사건 또는 배반사건이라고 한다.

3.1. 근원사건과 결합사건

근원사건은 단 한 가지 결과만을 보이는 사건이다. 동전 하나를 던져 앞 또는 뒤를 확인하는 경우가 이에 해당한다. 결합사건은 여러 근원사건들이 결합하여 발생하는 사건이다. 예를 들어 주사위와 동전을 동시에 던지는 경우, 주사위의 눈은 x이고 동전은 y인 사건이 이에 해당한다.

52장의 트럼프 카드 덱에서 조커를 제외하고 한 장의 카드를 뽑는 시행을 가정하면, 표본 공간은 52개의 원소를 가진 집합이 되며, 각 카드는 가능한 결과이다. 이때, 사건은 표본 공간의 임의의 부분 집합으로, 단일 집합(기본 사건), 공집합(확률이 0인 불가능한 사건) 및 표본 공간 자체(확률이 1인 확실한 사건)를 포함한다.

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사건 종류	설명	원소 개수
빨강이면서 검정이다	조커가 아닌 카드는 빨간색과 검은색을 동시에 가질 수 없다.	0
하트 5이다	하트 무늬의 5 카드가 나오는 경우	1
킹이다	킹 카드가 나오는 경우 (하트, 다이아몬드, 스페이드, 클로버)	4
그림 카드이다	킹, 퀸, 잭 카드가 나오는 경우	12
스페이드이다	스페이드 무늬의 카드가 나오는 경우	13
그림 카드 또는 빨강이다	그림 카드(12장)와 빨간색 무늬(하트, 다이아몬드) 중 겹치는 부분을 제외한 카드가 나오는 경우	32
카드이다	52장 카드 덱에서 카드를 뽑았을 때, 카드인 경우	52

모든 사건은 집합이므로 벤 다이어그램으로 표현할 수 있다. 표본 공간 Ω 내의 각 결과가 동일하게 나타날 가능성이 있는 상황에서 사건 A의 확률

P(A)

는 다음과 같다.

:

P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert}

3.2. 독립 사건과 종속 사건

독립 사건은 각각의 사건이 서로 영향을 주지 않는 경우이다. 예를 들어 동전 던지기의 경우 앞면이 아무리 여러 번 반복되어 나타나도 다음 번에 뒷면이 나올 확률이 변하지 않는다.

반면에 앞서 시행한 사건이 뒤의 사건에 영향을 주는 경우는 종속 사건이다. 예를 들어 주머니 속에 든 바둑알을 빼 내는 경우를 생각해 볼 수 있다. 한 주머니 속에 흰색 바둑알 다섯 개와 검은 바둑알 다섯 개가 있다고 하면, 첫 시행에서 흰색 바둑알이 나올 확률은 1/2이지만 그 결과 주머니 속의 바둑알은 흰색 네 개와 검은색 다섯 개로 변하게 되고 두 번째 시행에서 흰색 바둑알이 나올 확률은 4/9로 변하게 된다.

3.3. 배타 사건

하나의 사건이 일어나면 반대의 경우는 절대로 일어날 수 없는 경우를 상호 배타적 사건 또는 배반사건이라고 한다. 정육면체 주사위를 한 번 던질 경우 짝수가 나오면 홀수는 절대로 나올 수 없기 때문에 홀수 사건과 짝수 사건은 상호 배타적이다. 한편, 짝수와 3의 배수를 생각하면 짝수이면서 3의 배수인 6이 있기 때문에 이 둘은 배타적이지 않다.

4. 확률 공간에서의 사건

확률론에서 사건은 무작위성 때문에 결과를 예측할 수 없지만, 그 일이 일어날 경우의 수와 각 경우의 발생 빈도인 확률을 계산할 수 있는 것을 의미한다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면과 뒷면은 각각 하나의 사건이 된다. 모든 경우가 동일한 빈도로 나타나는 이산균등분포는 확률 개념 발달의 기원이 되었다.

52장의 트럼프 카드 덱에서 조커를 제외하고 한 장의 카드를 뽑는 경우, 표본 공간은 52개의 원소를 가진 집합이 된다. 사건은 표본 공간의 부분 집합이며, 단일 집합(기본 사건), 공집합(확률 0), 표본 공간 자체(확률 1)를 포함한다.

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사건의 예	원소의 수
조커가 아닌 빨간색과 검은색을 동시에 가짐	0
하트 5	1
킹	4
숫자 카드	12
스페이드	13
숫자 카드 또는 빨간색 무늬	32
카드	52

--

모든 사건은 집합이므로 벤 다이어그램으로 표현할 수 있다. 표본 공간 Ω의 각 결과가 동일하게 나타날 가능성이 있는 경우, 사건 A의 확률

P

는 다음과 같다.

:

\mathrm{P}(A) = \frac

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\,\ \left( \text{또는:}\ \Pr(A) = \frac

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\right)

이 규칙은 위의 트럼프 카드 예시 사건에 적용될 수 있다.

표본 공간의 모든 부분 집합을 사건으로 정의하면 결과가 유한 개일 때는 문제가 없지만, 표본 공간이 무한대일 때는 문제가 발생한다. 정규 분포와 같은 표준적인 확률 분포에서 표본 공간은 실수의 집합 또는 그 부분 집합이다. 실수의 모든 부분 집합에 대한 확률을 정의하려는 시도는 비가측 집합과 같은 집합을 고려할 때 어려움에 직면한다. 따라서 σ-대수를 사용해야 한다. σ-대수의 가장 자연스러운 선택은 구간의 합집합과 교집합에서 파생된 보렐 가측 집합이다. 그러나 더 큰 부류의 르베그 가측 집합이 실제에서 더 유용하다.

측도론의 일반적인 설명에서, 사건은 표본 공간의 부분 집합의 선택된 σ-대수의 원소로 정의될 수 있다. 이 정의에 따르면, 시그마-대수의 원소가 아닌 표본 공간의 모든 부분 집합은 사건이 아니며 확률을 갖지 않는다. 그러나 확률 공간을 합리적으로 지정하면 모든 관심 사건은 시그마-대수의 원소가 된다.

5. 확률 변수를 이용한 사건 표기

$X$ 가 표본 공간 $\Omega$ 에서 정의된 실수 값을 갖는 확률 변수라면, 사건
$\{ \omega \in \Omega \mid u < X(\omega) \leq v \}\,$
는 더 간편하게 다음과 같이 쓸 수 있다.
$u < X \leq v\,.$
이 표기법은 특히 확률 공식을 사용할 때 흔히 사용되며, 다음과 같다.
$\Pr(u < X \leq v) = F(v) - F(u)\,.$
집합 $u < X \leq v$ 는 $\omega \in X^{-1}((u, v])$ if and only if $u < X(\omega) \leq v.$ 이므로 사상 $X$ 에 대한 역상의 예시이다.

원래 사건은 표본 공간의 부분 집합이지만, 확률 변수의 변역으로 지정되는 경우가 많다. 예를 들어, 표본 공간 위의 실수 확률 변수 $X$ 가 주어졌을 때, 사건

: $\{ \, \omega \in \Omega \mid a < X(\omega) \le b \, \}$

는 구간 $(a, b]$ 의 확률 변수 $X$ 에 의한 역상 $X^{-1}((a, b])$ 이지만, 이것을

: $a < X \le b$

라고 줄여 쓴다. 이 사건의 확률을

: $P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$

라고 약기하는 경우가 특히 많다.

정의	확률이 할당되는 결과들의 집합