광도함수

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1. 개요
2. 쉐흐터 광도함수
3. 백색왜성 광도함수
4. 주계열성 광도함수
5. 프레스-쉐흐터 모형과의 관계
참조

1. 개요

광도함수는 천문학에서 특정 광도 범위 내에 있는 천체의 수를 나타내는 함수이다. 쉐흐터 광도함수는 은하의 공간 밀도를 은하의 광도에 대한 함수로 나타내며, 백색왜성 광도함수와 주계열성 광도함수는 각각 백색왜성과 주계열성의 광도 분포를 보여준다. 쉐흐터 광도함수는 프레스-쉐흐터 모형과 연관되어 있으며, 은하의 형성과 진화 연구에 활용된다.

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광도함수
일반적인 특성
정의	단위 광도 간격당 공간 밀도
기호	Φ
관련 항목	별 형성률, 초기 질량 함수
광도 함수 (천문학)
설명	천문학에서 광도 함수는 주어진 공간 영역(예: 부피)에서 단위 광도 간격당 천체의 수를 제공한다.
형태
일반적인 형태	Schechter 함수
수학적 표현	Φ(M) = (0.4 ln 10) Φ* [10^(0.4(M-M))] exp[-10^(0.4(M-M))]
변수 설명	Φ(M)은 절대 광도 M과 M+dM 사이의 광도를 갖는 은하의 수 M는 특징적인 광도 Φ는 정규화 상수
용도
활용	은하와 퀘이사 같은 객체의 속성을 연구하는 데 사용된다.
초기 질량 함수와의 관계	초기 질량 함수와 결합하여 항성 집단의 속성을 모델링하는 데 사용될 수 있다.

2. 쉐흐터 광도함수

'''쉐흐터 광도함수'''(Schechter luminosity function)는 은하의 광도에 따른 공간밀도를 나타내는 함수이다.

쉐흐터 광도함수 $\phi$ 는 광도 간격 $[L+dL]$ 에서 은하의 밀도를 근사적으로 나타낸다. 이 함수는 단위 광도당 수 밀도 $n$ 의 단위를 가지며, 높은 광도에서 지수적으로 감소하는 멱법칙 형태로 주어진다.

: $dn(L) = \phi~ dL = \phi^* \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha \mathrm{e}^{-L/L^*} d\left(\frac{L}{L^*}\right),$

여기서 $L^*$ 는 차단을 제어하는 특성 은하 광도이며, 정규화 $\,\!\phi^*$ 는 수 밀도의 단위를 갖는다.

이 방정식은 로그량으로도 표현할 수 있다.^[6]

: $dn(L) = \ln(10) \phi^* \left(\frac{L}{L^*}\right)^{\alpha+1} \mathrm{e}^{-L/L^*} d\left(\log_{10}L\right).$

필드 은하에 대한 측정에서는 $\alpha=-1.25,\ \phi^* = 1.2 \times 10^{-2} \ h^3 \ \mathrm{Mpc}^{-3}$ 값을 얻었다.^[7]

역사적으로, 쉐흐터 광도 함수는 프레스-셰흐터 모형에서 영감을 받았다.^[8] 그러나 둘 사이의 연관성은 간단하지 않다. 만약 모든 암흑 물질 헤일로가 하나의 은하를 품고 있다고 가정한다면, 프레스-셰흐터 모형은 위에서 주어진 값(-1에 더 가깝다) 대신 은하에 대해 기울기 $\alpha\sim-3.5$ 를 산출한다. 이러한 차이는 큰 헤일로가 큰 모(母) 은하와 많은 작은 위성을 갖는 경향이 있으며, 작은 헤일로는 별이 있는 은하를 품지 않을 수 있기 때문이다. 헤일로-은하 연결에 대한 보다 자세한 설명은 헤일로 점유 분포를 참조할 수 있다.

2. 1. 쉐흐터 광도함수의 형태

쉐흐터 광도함수(Schechter luminosity function)는 은하의 공간밀도를 광도에 대한 함수로 나타낸 것으로, 다음과 같은 식으로 표현된다.

:

n(x) \  \mathrm{d}x = \phi^* x^a \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x,

여기서

x = {L \over L^*}

이고,

L^*

는 함수의 멱법칙 형태가 끝나는 특정 은하 광도이다.

\,\!\phi^*

는 표준화에 사용되는 매개변수이다. 은하의 광도함수는 모집단 및 환경에 따라 매개변수가 달라지며, 보편적인 함수는 아니다. 낱은하들에 대한 측정에서

a=-1.25,\ \phi^* = 1.2 \times 10^{-3} h^3 \mathrm{Mpc}^{-3}

값을 얻었다.^[10]

광도 대신 겉보기 등급을 사용하여 쉐흐터 광도함수를 표현하는 것이 편리할 때가 있다. 이 경우 쉐흐터 함수는 다음과 같이 변환된다.

:

n(M) \ \mathrm{d}M = 0.4 \ \ln 10 \ \phi^*  [ 10^{ -0.4 ( M - M^* ) } ]^{ \alpha + 1}  \exp [ -10^{ -0.4 ( M - M^* ) } ] \ \mathrm{d}M .

등급은 로그 좌표계이기 때문에 멱법칙은 로그 기울기

\alpha + 1

를 가진다. 따라서

\alpha = -1

인 쉐흐터 함수는 "평탄"(flat)하다고 한다.

2. 2. 쉐흐터 광도함수의 적분

쉐흐터 광도함수의 적분은 불완전 감마 함수로 표현된다.^[5]

:

\int_a^b \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha e^{-\left(\frac{L}{L^*}\right)} d \left(\frac{L}{L^*}\right)=\Gamma(\alpha+1,a)-\Gamma(\alpha+1,b)

2. 3. 쉐흐터 광도함수의 활용

은하 광도함수는 모집단 및 환경에 따라 매개변수가 달라지며, 보편적인 함수가 아니다. 낱은하들에 대해 실시된 측정에서 얻은 값은

a=-1.25

,

\phi^* = 1.2 \times 10^{-3} h^3 \mathrm{Mpc}^{-3}

였다.^[10]

3. 백색왜성 광도함수

백색왜성 광도함수(白色矮星光度函數, white dwarf luminosity function; WDLF)는 주어진 광도에 대한 백색왜성의 수를 나타낸다. 백색왜성은 형성되고 냉각되는 속도에 따라 그 수가 결정되므로, 백색왜성 광도함수는 백색왜성의 물리적 성질과 우리은하의 역사에 대한 정보를 제공한다.^[11]^[12]

4. 주계열성 광도함수

주계열성 광도함수는 주계열성의 광도에 따른 분포를 나타낸다. 이는 별의 생성 및 소멸 속도와 진화 모델을 관측 결과와 비교하는 데 사용된다. 주계열성 광도 함수는 별이 모여있는 은하와 별의 선택 기준에 따라 다르며, 예를 들어 태양 인근이나 작은마젤란운에서 관측된 경우가 있다.^[2]

5. 프레스-쉐흐터 모형과의 관계

셰흐터 광도 함수는 프레스-셰흐터 모형에서 영감을 받았지만, 둘 사이의 관계는 간단하지 않다.^[8] 모든 암흑 물질 헤일로가 하나의 은하를 품고 있다고 가정하면, 프레스-셰흐터 모형은 은하에 대해 기울기 $\alpha\sim-3.5$ 를 산출하는데, 이는 셰흐터 광도 함수에서 주어진 값(-1에 더 가깝다)과 다르다. 이러한 차이는 큰 헤일로가 큰 모(母) 은하와 많은 작은 위성을 갖는 경향이 있고, 작은 헤일로는 별이 있는 은하를 품지 않을 수 있기 때문에 발생한다. 헤일로와 은하의 관계를 더 자세히 설명하려면 헤일로 점유 분포를 참고할 수 있다.

참조

_[1] 서적 The Formation of Stars Wiley VCH 2004
_[2] 논문 A main-sequence luminosity function for the Large Magellanic Cloud
_[3] 논문 The Texas Deep Sky Survey: Spectroscopy of Cool Degenerate Stars
_[4] 논문 The Potential of White Dwarf Cosmochronology
_[5] 논문 An analytic expression for the luminosity function for galaxies. 1976-01-01
_[6] 논문 A large Hα survey at z = 2.23, 1.47, 0.84 and 0.40: the 11 Gyr evolution of star-forming galaxies from HiZELS★ 2013-01-01
_[7] 서적 Galaxy Formation Springer-Verlag 1998
_[8] 서적 The Encyclopedia of Cosmology, Volume 1: Galaxy Formation and Evolution https://www.worldsci[...] World Scientific 2018
_[9] 서적 The Formation of Stars Wiley VCH
_[10] 서적 Galaxy Formation Springer-Verlag
_[11] 간행물 The Texas Deep Sky Survey: Spectroscopy of Cool Degenerate Stars http://adsabs.harvar[...] Bulletin of the American Astronomical Society 1998-12
_[12] 간행물 The Potential of White Dwarf Cosmochronology http://adsabs.harvar[...] 2001-04

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