교류 전력

1. 개요

교류 전력은 전압과 전류의 곱으로 나타내며, 유효 전력, 무효 전력, 피상 전력, 복소 전력 등의 개념을 포함한다. 유효 전력은 실제로 일을 하는 전력, 무효 전력은 에너지 저장과 반환에 관여하는 전력이며, 피상 전력은 전압과 전류의 실효값 곱으로 나타낸다. 복소 전력은 유효 전력과 무효 전력을 복소수 형태로 표현한 것이다. 전력 삼각형은 이러한 전력 간의 관계를 시각적으로 보여주며, 역률은 유효 전력과 피상 전력의 비율로, 전력 시스템의 효율성을 나타낸다. 무효 전력 제어는 전압 안정성과 전력 전송 효율을 위해 중요하며, 고조파 전류가 있는 다중 주파수 시스템에서는 유효 전력 계산 방식이 달라진다.

2. 유효 전력, 무효 전력 및 피상 전력

교류 회로에서 전력은 크게 세 가지로 나뉜다. 유효 전력(실제로 일을 하는 전력), 무효 전력(전원과 부하 사이를 오가며 실제로는 일을 하지 않는 전력), 그리고 이 둘을 합한 피상 전력이다.

* 유효 전력 (Active Power, P): 실제로 부하에서 소비되어 일을 하는 전력이다. 단위는 와트(W)를 사용한다.
* 무효 전력 (Reactive Power, Q): 부하에서 사용되지 않고 전원과 부하 사이를 왕복하며, 전력 시스템에서 전압을 유지하는 데 중요한 역할을 한다. 단위는 볼트 암페어 리액티브(var)를 사용한다.
* 피상 전력 (Apparent Power, |S|): 유효 전력과 무효 전력을 벡터 합으로 계산한 값으로, 전력 시스템의 용량을 결정하는 데 사용된다. 단위는 볼트 암페어(VA)를 사용한다.

위 그림은 전력 삼각형으로, 유효 전력, 무효 전력, 피상 전력의 관계를 시각적으로 나타낸다.

* 복소 전력(S)은 유효 전력(P)과 무효 전력(Q)의 벡터 합으로, S = P + jQ 와 같이 표현된다. (j는 허수 단위)
* 피상 전력(|S|)은 복소 전력 S의 크기이다.
* φ는 전류와 전압 간의 위상차를 나타낸다.

이 세 가지 전력은 전기 임피던스(Z)와 다음과 같은 관계를 가진다.

:$S=P+jQ$
:$P=|S|\backslash cos\{\backslash varphi\}=|I|^2\; R=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{R\}$
:$Q=|S|\backslash sin\{\backslash varphi\}=|I|^2\; X=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{X\}$
:$|S|=\backslash sqrt\{P^2+Q^2\}$

여기서 R은 부하의 저항, X는 부하의 리액턴스를 나타낸다.

무효 전력은 전력망의 전압 수준을 낮추고, 심각한 경우 2003년 북동부 정전 사태와 같이 전력망 붕괴를 일으킬 수 있다.

2.1. 유효 전력 (Active Power)

교류 회로에서 전원과 선형 시불변 부하가 있을 때, 전류와 전압은 모두 사인파 형태를 띤다. 부하가 순전히 저항 성분으로만 구성되어 있다면, 전류와 전압은 동시에 극성이 바뀐다. 이 경우 전압과 전류의 곱은 항상 양수 또는 0이 되므로, 에너지 흐름의 방향은 항상 일정하며 유효 전력만 전달된다.

엔지니어들은 시스템에서 에너지 흐름을 나타내기 위해 다음과 같은 용어들을 사용하며, 각 용어는 서로 다른 단위를 사용하여 구분한다.

* 유효 전력 (실효 전력): 와트(W) 단위를 사용한다.
* 무효 전력: 볼트 암페어 리액티브(var) 단위를 사용한다.
* 복소 전력: 볼트 암페어(VA) 단위를 사용한다.
* 피상 전력: 복소 전력의 크기로, 볼트 암페어 (VA) 단위를 사용한다.
* 전류에 대한 전압의 위상: 전류와 전압 사이의 각도 차이 (단위: 도)를 의미하며, $\backslash varphi=\backslash arg(V)-\backslash arg(I)$로 표현된다.

위 그림에서 P는 유효 전력, Q는 무효 전력, S는 복소 전력, 그리고 S의 길이가 피상 전력이다. 무효 전력은 실제로 일을 하지 않으므로 벡터 그림에서 허수 축으로 표현되고, 유효 전력은 실제로 일을 하므로 실수 축으로 표현된다.

전력의 단위는 와트(W)이다. 피상 전력은 실효값 전압과 전류의 곱이므로 볼트 암페어(VA)로 표현된다. 무효 전력의 단위는 var이며, 볼트 암페어 리액티브를 나타낸다. 무효 전력은 부하에 순 에너지를 전달하지 않아 '무효(wattless)' 전력이라고도 불리지만, 전기 그리드에서 중요한 역할을 하며, 그 부족은 2003년 북동부 정전 사태의 주요 원인 중 하나로 지목되었다.

복소 전력 (단위: VA)의 페이저 형태 공식은 다음과 같다.

:$S=VI^*=|S|\backslash angle\backslash varphi$

여기서 V는 전압의 페이저 형태 (실효값을 진폭으로 사용), I는 전류의 페이저 형태 (실효값을 진폭으로 사용)를 나타낸다. 관례적으로 I 대신 I의 켤레 복소수인 $I^*$가 사용된다.

복소 전력은 부하의 임피던스 Z(단위: 옴, Ω)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$S=|I|^2\; Z=\; \backslash frac\{|V|^2\}\{Z^*\}$

전력 삼각형을 이용하면 유효 전력 (단위: 와트, W)은 다음과 같이 계산된다.

:$P=|S|\backslash cos\{\backslash varphi\}=|I|^2\; R=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{R\}$

순수 저항 부하의 경우, 유효 전력은 다음과 같이 간단하게 표현된다.

:$P\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{R\}$

여기서 R은 부하의 저항 (단위: 옴, Ω)이다.

완벽한 저항기에서는 에너지가 저장되지 않으므로 전류와 전압의 위상이 같다. 따라서 무효 전력은 0이고, $P=S$ (수동 부호 규칙 사용)가 된다. 즉, 완벽한 저항기에서는 다음과 같은 식이 성립한다.

:$P\; =\; S\; =\; V\_\backslash mathrm\{RMS\}\; I\_\backslash mathrm\{RMS\}\; =\; I\_\backslash mathrm\{RMS\}^2\; R\; =\; \backslash frac\{V\_\backslash mathrm\{RMS\}^2\}\; \{R\}\backslash ,\backslash !$

순시 전력은 다음과 같이 정의된다.

:$p(t)\; =\; v(t)\; \backslash ,\; i(t)$

여기서 $v(t)$와 $i(t)$는 시간에 따라 변하는 전압 및 전류 파형이다.

이 정의는 정현파 여부와 관계없이 모든 파형에 적용 가능하므로 유용하며, 특히 비정현파 파형이 일반적인 전력 전자 분야에서 유용하다.

일반적으로 엔지니어들은 특정 기간 동안 평균된 유효 전력에 관심을 가진다. 이는 다음과 같이 순시 전력 계산값을 적분하여 구할 수 있다.

:$P\_\backslash text\{avg\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{t\_2\; -\; t\_1\}\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; v(t)\; \backslash ,\; i(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; dt$

이 방법은 파형의 고조파 성분에 관계없이 유효 전력을 제공하며, 실제로는 디지털 영역에서 계산이 수행된다.

:$P\_\backslash text\{avg\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; V[k]I[k]$

2.2. 무효 전력 (Reactive Power)

부하는 리액턴스 성분으로 인해 전압과 전류 사이에 90도의 위상차가 발생한다. 이로 인해 평균적으로 부하로 들어오고 나가는 에너지양이 같아져 순 에너지 흐름은 0이 된다. 이때 전력은 전선을 통해 흐르지만, 다시 같은 전선을 통해 반대로 흐르면서 돌아온다. 이를 무효 전력이라고 하며, 부하로의 순 에너지 전달은 없다. 그러나 이 무효 전력 흐름에 필요한 전류는 전선 저항에서 에너지를 소모시킨다. 실제 부하는 저항, 인덕턴스, 커패시턴스를 모두 가지므로 유효 전력과 무효 전력이 함께 흐른다.

무효 전력(Q)은 볼트 암페어 리액티브(var) 단위로 측정되며, 전력 시스템에서 중요한 기능을 한다. 무효 전력은 전압과 전류 사이의 위상차로 인해 발생하며, 에너지를 저장하는 인덕터나 커패시터와 같은 요소에 의해 발생한다.

무효 전력은 다음과 같이 계산된다.

:$Q=|S|\backslash sin\{\backslash varphi\}=|I|^2\; X=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{X\}$.

여기서,
* $|S|$는 피상 전력 (VA)
* $\backslash varphi$는 전압과 전류의 위상차
* $|I|$는 전류의 크기
* $X$는 전기 리액턴스 (Ω)
* $|V|$는 전압의 크기
* $|Z|$는 전기 임피던스의 크기

순수 무효 부하의 경우, 무효 전력은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:$Q\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{X\}$

엔지니어들은 시스템의 에너지 흐름을 설명하기 위해 다음 용어를 사용한다.



무효 전력은 벡터 다이어그램에서 허수 축으로 표시되며, 유효 전력은 실수 축으로 표시된다. 무효 전력 부족은 전력망의 전압 수준을 낮추고, 심각한 경우 2003년 북동부 정전 사태와 같이 전력망 붕괴를 일으킬 수 있다.

한국 전력망에서는 무효 전력 보상을 위해 정지형 무효전력 보상장치(SVC), STATCOM(STATCOM)과 같은 설비들이 사용된다. 이러한 설비들은 전압 안정성을 유지하고, 전력 손실을 줄이며, 전력 전송 용량을 증대시키는 역할을 한다.

2.3. 피상 전력 (Apparent Power)

피상 전력은 전압과 전류의 실효값 곱으로 표현되는 전력으로, 볼트 암페어(VA) 단위를 사용한다. 피상 전력은 전력 시스템 설계 및 운영 시 고려되는데, 무효 전력과 관련된 전류가 부하에서 작업을 수행하지 않더라도 전원에서 공급되어야 하기 때문이다. 전선, 변압기, 발전기는 유용한 작업을 수행하는 전류뿐만 아니라 총 전류를 전달할 수 있도록 크기가 결정되어야 한다.

엔지니어들은 시스템의 에너지 흐름을 설명하기 위해 다음 용어를 사용하며, 각 용어에 서로 다른 단위를 할당하여 구분한다.

* 유효 전력, P, 또는 실효 전력: 와트(W)
* 무효 전력, Q: 볼트 암페어 리액티브(var)
* 복소 전력, S: 볼트 암페어(VA)
* 피상 전력, |S|: 복소 전력 S의 크기: 볼트 암페어(VA)
* 전류에 대한 전압의 위상, φ: 전류와 전압 간의 위상차(도); $\backslash varphi=\backslash arg(V)-\backslash arg(I)$. 전류가 전압보다 뒤쳐짐 (사분면 I 벡터), 전류가 전압보다 앞섬(사분면 IV 벡터).

피상 전력은 복소 전력 S의 크기이며, 복소 전력은 유효 전력과 무효 전력의 벡터 합으로 표현된다. 무효 전력은 부하에서 실제 작업을 수행하지 않지만, 전력 시스템에서 전압 수준을 유지하는 데 중요한 역할을 한다. 2003년 북동부 정전 사태의 주요 원인 중 하나로 무효 전력 부족이 지적되기도 했다.

2.4. 복소 전력 (Complex Power)

Complex power^영어(복소 전력)는 유효 전력(실효 전력이라고도 함)과 무효 전력을 복소수 형태로 표현한 것으로, 피상 전력의 또 다른 표현 방식이다. 복소 전력은 전압과 전류의 곱으로 계산되며, 다음과 같이 표현된다.

:$S=VI^*=|S|\backslash angle\backslash varphi$

여기서 V는 페이저 형태의 전압, I는 페이저 형태의 전류를 나타내며, $I^*$는 I의 켤레 복소수이다.

복소 전력(S)은 유효 전력(P)과 무효 전력(Q)의 합으로 나타낼 수 있다.

:$S=P+jQ$

여기서 j는 허수 단위이다.

전력 삼각형은 복소 전력, 유효 전력, 무효 전력, 피상 전력 간의 관계를 시각적으로 나타낸다.

* 유효 전력(P): 실제로 부하에서 일을 하는 전력으로, 단위는 와트(W)이다.
* 무효 전력(Q): 부하와 전원 사이를 왕복하며 실제로 일을 하지 않는 전력으로, 단위는 볼트 암페어 리액티브(var)이다.
* 피상 전력(|S|): 전압과 전류의 실효값 곱으로, 단위는 볼트 암페어(VA)이다. 복소 전력 S의 크기이다.
* 전류에 대한 전압의 위상(φ): 전류와 전압 간의 위상차(도)를 나타낸다.

부하의 임피던스(Z)를 이용해 복소 전력을 계산할 수도 있다.

:$S=|I|^2\; Z=\; \backslash frac\{|V|^2\}\{Z^*\}$

전력 삼각형에서 유효 전력과 무효 전력은 다음과 같이 계산된다.

:$P=|S|\backslash cos\{\backslash varphi\}=|I|^2\; R=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{R\}$
:$Q=|S|\backslash sin\{\backslash varphi\}=|I|^2\; X=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{X\}$

순수 저항 부하의 경우, 유효 전력은 다음과 같이 단순화된다.

:$P\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{R\}$

순수 리액턴스 부하의 경우, 무효 전력은 다음과 같이 단순화된다.

:$Q\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{X\}$

여기서 R은 부하의 저항, X는 부하의 리액턴스이다.

3. 전력 삼각형

전력 삼각형은 교류 전력 시스템에서 유효 전력, 무효 전력, 피상 전력 간의 관계를 나타내는 도식적인 방법이다. 이 세 가지 전력 요소는 벡터로 표현될 수 있으며, 전력 삼각형은 이들 벡터 간의 관계를 시각적으로 보여준다.

* 유효 전력 (P): 실제로 부하에서 일을 하는 전력으로, 단위는 와트(W)이다. 전력 삼각형에서 실수축으로 표현된다.
* 무효 전력 (Q): 부하에서 일을 하지는 않지만, 전력 시스템에서 전압을 유지하고 전류 흐름을 가능하게 하는 데 필요한 전력이다. 단위는 볼트 암페어 리액티브(var)이다. 전력 삼각형에서 허수축으로 표현된다.
* 피상 전력 (S): 유효 전력과 무효 전력의 벡터 합으로, 단위는 볼트 암페어(VA)이다. 전력 삼각형에서 빗변으로 표현되며, 복소 전력 S의 크기이다.
* 전류에 대한 전압의 위상 (φ): 전류와 전압 간의 위상차(도)를 나타낸다.

전력 삼각형에서 복소 전력(S)은 유효 전력(P)과 무효 전력(Q)의 벡터 합으로 표현된다. 즉,

:$S=P+jQ$

(여기서 j는 허수 단위)

피상 전력(|S|)은 복소 전력의 크기이며, 다음과 같이 계산된다.

:$|S|=\backslash sqrt\{P^2+Q^2\}$

전력 삼각형을 통해 역률을 쉽게 계산할 수 있다. 역률은 유효 전력과 피상 전력의 비율로, 다음과 같이 표현된다.

: $\backslash cos\{\backslash varphi\}\; =\; \backslash frac\{P\}$

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📌 열 고정 해제

역률은 전력 시스템의 효율성을 나타내는 중요한 지표이다. 역률이 1에 가까울수록 유효 전력이 피상 전력에 가깝다는 의미이며, 이는 전력 시스템이 효율적으로 작동하고 있음을 나타낸다. 반대로, 역률이 낮으면 무효 전력이 많아져 전력 손실이 증가하고 전력 시스템의 효율성이 저하된다.

한국전력공사는 전력 삼각형을 기반으로 역률을 개선하여, 전력 손실을 줄이고 전력 시스템의 안정성을 확보하고 있다.

4. 역률 (Power Factor)

회로 내에서 유효 전력 대 피상 전력의 비율을 역률이라고 한다. 역률은 전압과 전류의 위상이 일치할 때 1.0이다. 전류가 전압보다 90도 앞서거나 뒤처질 때 역률은 0이 된다. 전압과 전류가 180도 위상이 어긋나면 역률은 -1이 되며, 부하가 소스에 에너지를 공급하는 경우이다. 예를 들어 태양광 발전기가 설치된 가정에서 태양이 빛날 때 전력망에 전력을 공급하는 경우가 이에 해당한다. 역률은 일반적으로 전압에 대한 전류 위상각의 부호를 나타내기 위해 "선도" 또는 "지연"으로 표시된다. 전압을 기준으로 전류 각도를 비교하며, 이는 전류가 전압을 "선도"하거나 "지연"하는 것으로 간주된다는 것을 의미한다.

파형이 순수한 정현파인 경우, 역률은 전류와 전압 정현파 파형 사이의 위상각($\backslash varphi$)의 코사인이다. 장비 데이터 시트 및 명판에는 역률이 "$\backslash cos\; \backslash phi$"로 자주 표기된다.

예를 들어, 역률이 0.68이라면 공급된 총 전류의 68% (크기)만이 실제로 일을 하고, 나머지 전류는 부하에서 아무 일도 하지 않는다는 것을 의미한다.

동일한 양의 유효 전력을 전송하는 두 시스템을 비교했을 때, 역률이 낮은 시스템은 부하의 에너지 저장에서 소스로 반환되는 에너지로 인해 더 높은 순환 전류를 갖게 된다. 이러한 높은 전류는 더 큰 손실을 발생시키고 전체 전송 효율을 감소시킨다. 따라서 역률이 낮은 회로는 동일한 양의 유효 전력에 대해 더 높은 피상 전력과 더 큰 손실을 갖는다.

역률은 전력 부문 변전소에서 매우 중요하다. 국가 전력망에서 하위 부문은 최소량의 역률을 가져야 한다. 그렇지 않으면 많은 손실이 발생하기 때문이다. 주로 요구되는 역률은 약 0.90에서 0.96 이상이다. 역률이 좋을수록 손실이 적다.

다음은 역률과 관련된 용어들이다.

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📌 열 고정 해제

용어	설명	단위
유효 전력, P (실효 전력)	실제로 일을 하는 전력	와트 (W)
무효 전력, Q	부하로 순수한 에너지를 전달하지 않아 "무효(wattless)" 전력이라고도 불림	볼트 암페어 리액티브 (var)
복소 전력, S	유효 전력과 무효 전력의 벡터 합	볼트 암페어 (VA)
피상 전력,>S|	복소 전력 S의 크기	볼트 암페어 (VA)
전류에 대한 전압의 위상, φ	전류와 전압 간의 위상차(도); $\backslash varphi=\backslash arg(V)-\backslash arg(I)$.	도 (°)

무효 전력은 전기 그리드에서 중요한 기능을 수행하며, 그 부족은 2003년 북동부 정전 사태의 중요한 요인으로 언급되었다.

복소 전력 (단위: VA)의 페이저 형태 공식은 다음과 같다.

:$S=VI^*=|S|\backslash angle\backslash varphi$

여기서 V는 실효값을 진폭으로 하는 전압을 페이저 형태로 나타내며, I는 실효값을 진폭으로 하는 전류를 페이저 형태로 나타낸다. I의 켤레 복소수인 $I^*$가 사용된다.

복소 전력의 다른 형태 (단위: 볼트-암페어, VA)는 부하의 전기 임피던스 Z(단위: 옴, Ω)에서 파생된다.

:$S=|I|^2\; Z=\; \backslash frac\{|V|^2\}\{Z^*\}$

전력 삼각형과 관련하여 유효 전력 (단위: 와트, W)은 다음과 같이 파생된다.

:$P=|S|\backslash cos\{\backslash varphi\}=|I|^2\; R=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{R\}$

순수 저항 부하의 경우 유효 전력은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:$P\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{R\}$

R은 부하의 저항 (단위: 옴, Ω)을 나타낸다.

무효 전력 (단위: 볼트-암페어-리액티브, var)은 다음과 같이 파생된다.

:$Q=|S|\backslash sin\{\backslash varphi\}=|I|^2\; X=\backslash frac\{|V|^2\}\{|Z|^2\}\; \backslash times\{X\}$

순수 무효 부하의 경우 무효 전력은 다음과 같이 단순화될 수 있다.

:$Q\; =\; \backslash frac\{|V|^2\}\{X\}$

여기서 X는 부하의 전기 리액턴스 (단위: 옴, Ω)을 나타낸다.

결합하면 복소 전력 (단위: 볼트-암페어, VA)은 다음과 같이 다시 파생된다.

:$S=P+jQ$

그리고 피상 전력 (단위: 볼트-암페어, VA)은 다음과 같다.

:$|S|=\backslash sqrt\{P^2+Q^2\}$

예시: 유효 전력이 700 W이고 전압과 전류 사이의 위상각이 45.6°일때, 역률은 $\backslash cos(45.6°)\; =\; 0.700$이다. 그러면 피상 전력은 $700\; W\; /\; \backslash cos(45.6°)\; =\; 1000\; VA$이다.

5. 무효 전력 제어 (Reactive Power Control)

전압 제어 및 무효 전력 관리는 전력 시스템에서 전압 안정성과 전력 전송 효율을 유지하는 데 중요한 역할을 한다. 발전기, 조상 설비, FACTS 장비 등을 이용하여 무효 전력을 제어한다.

발전기는 무효 전력 흐름을 지원하며, 시스템 운영자는 다음의 무효 전력 균형 방정식을 유지하면서 안전하고 경제적인 전압 프로파일을 유지하기 위해 스위칭 작업을 수행한다.

: $\backslash mathrm\{발전기\backslash \; MVAR\; +\; 시스템\backslash \; 이득\; +\; 션트\backslash \; 커패시터\; =\; MVAR\backslash \; 수요\; +\; 무효\backslash \; 손실\; +\; 션트\backslash \; 리액터\}$

시스템 이득은 송전 네트워크 자체의 정전 용량 특성에 의해 생성되는 무효 전력의 중요한 원천이다. 정지형 무효 전력 보상기, 션트 커패시터, 션트 리액터 및 전압 제어 회로도 무효 전력 제어에 사용된다.

불평형 다상 시스템에서 피상 전력의 정의는 전력 공학에서 논쟁적인 주제 중 하나였다. 1993년 알렉산더 에마누엘(Alexander Emanuel)은 대칭분해법 이론에 기초하여 새로운 정의를 제안했다.

6. 다중 주파수 시스템

비정현파 전압 및 전류가 있는 시스템에서 유효 전력, 무효 전력, 피상 전력은 다음과 같이 계산할 수 있다. 순시 전력은 $p(t)\; =\; v(t)\; \backslash ,\; i(t)$로 정의되는데, 여기서 $v(t)$와 $i(t)$는 시간에 따라 변하는 전압 및 전류 파형이다. 이 정의는 정현파 여부에 관계없이 모든 파형에 적용 가능하다.

일정 기간 동안 평균된 유효 전력은 다음 식을 사용하여 계산할 수 있다.
:$P\_\backslash text\{avg\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{t\_2\; -\; t\_1\}\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\; v(t)\; \backslash ,\; i(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\; dt$.

이 방법은 파형의 고조파 성분에 관계없이 유효 전력을 제공한다. 실제로는 디지털 영역에서 다음과 같이 계산된다.
:$P\_\backslash text\{avg\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; V[k]I[k]$.

RMS 값을 모든 파형에 대해 계산하여 피상 전력을 구할 수 있다. 유효 전력은 각 주파수를 개별적으로 처리하고 그 결과들을 더하여 계산할 수 있는데, 전압과 전류의 주파수가 일치하는 경우에만 0이 아닌 평균값을 갖는 곱셈 항이 나타나기 때문이다.

주 전원의 전압이 단일 주파수라고 가정하면, 고조파 전류는 RMS 전류와 피상 전력을 증가시키지만, 유효 전력에는 영향을 미치지 않아 역률을 감소시킨다. 따라서 고조파 전류는 줄이는 것이 좋다. 고조파 전류는 장치의 입력에 필터를 배치하여 줄일 수 있는데, 일반적으로 커패시터 또는 커패시터-인덕터 네트워크로 구성된 필터를 사용한다. 능동 역률 보상 회로를 사용하면 고조파 전류를 더 줄이고 역률을 1에 가깝게 유지할 수 있다.