구간의 분할
1. 개요
구간의 분할은 주어진 구간을 여러 개의 부분 구간으로 나누는 것을 의미하며, 세분, 공통 세분, 노름(메시), 태그된 분할 등의 개념을 포함한다. 분할의 노름은 부분 구간 길이의 최댓값이며, 태그된 분할은 각 부분 구간에서 점을 선택한 분할을 말한다. 이러한 분할 개념은 리만 적분, 리만-스틸체스 적분 등에서 사용되며, 분할을 세분화할수록 리만 합이 리만 적분 값에 수렴한다.
2. 분할의 정의
구간 [a, b]의 분할 에 대해, 다른 분할 가 의 모든 분점을 포함하면(다른 점이 추가되어도 좋다) 를 의 세분(refinement영어)이라고 하고, 가 보다 더 세밀하다고 한다.
2.1. 순서 관계
구간 [a,b]의 분할 P와 Q에 대해, Q가 P의 모든 점을 포함할 때 Q를 P의 세분(refinement영어)이라 하고 Q가 P보다 섬세하다고 한다. 또 두 분할 P와 Q에 대하여 두 분할의 모든 점들로 구성된 분할을 공통세분이라 하고 P ∨ Q라 쓴다. 어떤 분할이 다른 분할의 세분일 때, 더 섬세한 분할이 더 크다고 순서 관계를 정의하면 이는 부분 순서가 된다.
두 분할 P, Q에 대해, 그 공통 세분(common refinement) P ∨ Q를 P, Q의 모든 분점을 크기 순으로 재정렬하여 얻는 점열로 부여할 수 있다.
3. 분할의 노름(메시)
주어진 분할 x0 < x1 < x2 < ... < xn의 노름(norm영어) 또는 메시(mesh영어)는 각 부분구간들의 길이의 최댓값 max : i = 1, ... , n이다. 즉, 주어진 분할에서 가장 긴 부분 구간의 길이를 의미한다.
다른 표현으로, 분할 x0 < x1 < x2 < ... < xn의 크기 (norm) 또는 메시는, 거기에 속하는 가장 긴 소구간의 길이 max를 말한다.
4. 태그된 분할
주어진 구간에 대해 태그된 분할(tagged partition영어)은 각 부분구간에서 조건을 만족하는 점(태그)들을 선택하여 구성한 분할이다.
:
여기서 i는 선택된 점들(태그)을 나타내는 유한 수열이다.
다시 말해, 태그된 분할은 각 부분구간에 점(태그)을 하나씩 지정한 분할이며, 그 크기(노름)는 일반적인 분할과 동일하게 정의된다.
4.1. 태그된 분할의 세분
주어진 구간의 태그된 분할(또는 점 붙임 분할)은 각 부분구간에서 점(태그)을 한 개씩 선택하여 함께 나타내는 분할이다. tagged partition영어이라고도 한다.
하나의 태그된 분할이 다른 태그된 분할의 세분(refinement of a partition영어)이라는 것은, 더 큰 분할이 더 작은 분할의 모든 점들과 각 부분구간에서 선택한 점(태그)들을 모두 포함하는 경우를 말한다. 이를 통해 모든 태그된 분할의 집합에 부분 순서를 정의할 수 있다.
좀 더 자세히 설명하면, 구간의 두 태그된 분할 (태그 )과 (태그 )이 있을 때, 다음 조건을 만족하면 이 의 세분이라고 한다.
* 모든 ()에 대해, 를 만족하는 정수 가 존재한다.
* 를 만족하는 인 어떤 가 존재한다.
간단히 말해, 태그된 분할의 세분은 원래 분할에 분할점과 태그를 추가하여 더 세밀하게 만든 분할이다. (원래 있던 점이나 태그는 제거하지 않는다.)
5. 리만 합과 적분
구간의 분할은 리만 적분, 리만-스틸체스 적분, 규칙적분 등의 적분 이론에서 사용된다.