멱급수

1. 개요

멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되는 급수의 한 종류로, 중심과 계수를 사용하여 표현되며, 특정 범위 내에서 수렴한다. 멱급수는 수렴 영역, 수렴 반지름 등의 개념을 가지며, 코시-아다마르 정리에 의해 수렴 반지름을 구할 수 있다. 멱급수는 미분, 적분, 사칙연산 등의 연산이 가능하며, 아벨 극한 정리를 만족한다. 멱급수는 해석 함수와 밀접한 관련이 있으며, 특이점을 가질 수 있다. 멱급수는 다항식, 등비급수, 지수 함수, 삼각 함수 등의 다양한 형태로 나타나며, 상미분 방정식의 해를 구하거나 형식적 멱급수 형태로 추상대수학 및 조합론에 응용된다. 또한 여러 변수를 갖는 다변수 멱급수로 확장될 수 있으며, 다변수 미적분학에서 활용된다. 멱급수의 차수는 0이 아닌 계수를 갖는 항의 가장 작은 거듭제곱으로 정의된다.

2. 정의

체 $\backslash mathbb\; K$가 실수체 또는 복소수체일 때, 주어진 $x\_0\backslash in\backslash mathbb\; K$에 대하여, 중심 $x\_0$의 멱급수는 다음과 같은 꼴의 급수로 정의된다.
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n=a\_0+a\_1(x-x\_0)+a\_2(x-x\_0)^2+\backslash cdots$
여기서
:$a\_0,a\_1,a\_2,\backslash dots\backslash in\backslash mathbb\; K$
이다. 특히, 중심이 0인 멱급수
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_nx^n=a\_0+a\_1x+a\_2x^2+\backslash cdots$
는 자주 사용된다. 이 멱급수가 수렴하게 만드는 $x\backslash in\backslash mathbb\; K$의 집합
:$\backslash left\backslash \{x\backslash in\backslash mathbb\; K\backslash colon\backslash exists\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n\backslash right\backslash \}$
을 이 멱급수의 수렴 영역이라고 한다. 실수 멱급수의 경우 수렴 구간이라고 하기도 하고, 복소수 멱급수의 경우 수렴 원판이라고 하기도 한다. 이 멱급수의 수렴 반지름은 다음과 같이 정의된다.
:$r=\backslash sup\backslash left\backslash \{|x-x\_0|\backslash colon\; x\backslash in\backslash mathbb\; K\backslash land\backslash exists\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n\backslash right\backslash \}\backslash in[0,\backslash infty]$

3. 연산

같은 중심 c를 가지는 두 멱급수
:$f(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; (x-c)^n$
:$g(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n\; (x-c)^n$
에서, 합과 차의 멱급수는 항별 덧셈과 뺄셈으로 구할 수 있다.

:$f(x)\backslash pm\; g(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (a\_n\; \backslash pm\; b\_n)\; (x-c)^n$

두 멱급수의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right) \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.
\end{align}

이때, 수열 $m\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; a\_i\; b\_\{n-i\}$는 수열 $a\_n$과 $b\_n$의 코시곱이다.

멱급수는 수렴 영역의 내부에서 미분 가능하며, 각 항별로 미분 및 적분할 수 있다.

::$$
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}


::$$
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서 k는 부정적분의 적분 상수이다)

이렇게 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3.1. 사칙연산

중심이 같은 두 멱급수
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n$
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n(x-x\_0)^n$
의 수렴 반지름을 각각

형식적 멱급수로서의 합, 차, 곱
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty(a\_n+b\_n)(x-x\_0)^n$
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty(a\_n-b\_n)(x-x\_0)^n$
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash left(\backslash sum\_\{k=0\}^na\_\{n-k\}b\_k\backslash right)(x-x\_0)^n$
의 수렴 반지름은 모두 $\backslash left[\backslash min\backslash \{r,r\text{'}\backslash \},\backslash infty\backslash right]$에 속한다. 만약 $r\backslash ne\; r\text{'}$일 경우 합과 차의 수렴 반지름은 정확히 $\backslash min\backslash \{r,r\text{'}\backslash \}$이다.

두 멱급수의 합은 두 급수의 수렴반지름 중 더 작은 값 이상의 수렴반지름을 갖지만, 두 값보다 클 수도 있다. 예를 들어 $a\_n\; =\; (-1)^n$이고 $b\_n\; =\; (-1)^\{n+1\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^n\}\backslash right)$이면, 두 급수 모두 수렴반지름이 1과 같지만, 급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash left(a\_n\; +\; b\_n\backslash right)\; x^n\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{3^n\}\; x^n$의 수렴반지름은 3이다.

$b\_0\backslash ne\; 0$일 경우, 형식적 멱급수로서의 몫
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; c\_n(x-x\_0)^n\backslash qquad\backslash left(c\_0=\backslash frac\{a\_0\}\{b\_0\},\backslash ;c\_1=\backslash frac\{a\_0-b\_1c\_0\}\{b\_0\},\backslash ;c\_2=\backslash frac\{a\_0-b\_1c\_1-b\_2c\_0\}\{b\_0\},\backslash ;\backslash dots\backslash right)$
의 수렴 반지름은
: $[r$,\infty]
에 속한다. 여기서
: $r$=\inf\left(\{r,r'\}\cup\left\{|x-x_0|\colon|x-x_0|
이다. 특히, 이므로 수렴 반지름은 0보다 크다.

두 함수 f와 g가 같은 중심 c''를 중심으로 멱급수로 전개될 때, 즉,
: $f(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; (x\; -\; c)^n$
: $g(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n\; (x\; -\; c)^n$
일 때, 함수의 합이나 차의 멱급수는 항별 덧셈과 뺄셈으로 얻을 수 있다.
: $f(x)\; \backslash pm\; g(x)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (a\_n\; \backslash pm\; b\_n)\; (x\; -\; c)^n.$

함수의 곱과 몫에 대한 멱급수는 다음과 같이 구할 수 있다.
: $\backslash begin\{align\}$
f(x)g(x) &= \biggl(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\biggr)\biggl(\sum_{n=0}^\infty b_n (x - c)^n\biggr) \\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x - c)^{i+j} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \biggl(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\biggr) (x - c)^n.
\end{align}
수열 $m\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; a\_i\; b\_\{n-i\}$는 수열 $a\_n$과 $b\_n$의 코시곱으로 알려져 있다.

나눗셈의 경우, 수열 $d\_n$을 다음과 같이 정의하면
: $\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n\; (x\; -\; c)^n\}\{\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n\; (x\; -\; c)^n\}\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; d\_n\; (x\; -\; c)^n$
다음을 얻는다.
: $f(x)\; =\; \backslash biggl(\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n\; (x\; -\; c)^n\backslash biggr)\backslash biggl(\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; d\_n\; (x\; -\; c)^n\backslash biggr)$
그리고 계수를 비교하여 $d\_n$항에 대해 재귀적으로 풀 수 있다. 해당 방정식을 풀면 $f(x)$와 $g(x)$의 계수로 이루어진 특정 행렬의 행렬식을 기반으로 하는 공식을 얻는다.
: $d\_0=\backslash frac\{a\_0\}\{b\_0\}$
: $d\_n=\backslash frac\{1\}\{b\_0^\{n+1\}\}\; \backslash begin\{vmatrix\}$
a_n &b_1 &b_2 &\cdots&b_n \\
a_{n-1}&b_0 &b_1 &\cdots&b_{n-1}\\
a_{n-2}&0 &b_0 &\cdots&b_{n-2}\\
\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
a_0 &0 &0 &\cdots&b_0\end{vmatrix}

3.2. 합성

두 멱급수
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n\backslash qquad(x\_0,a\_0,a\_1,a\_2,\backslash dots\backslash in\backslash mathbb\; K)$
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; b\_n(x-a\_0)^n\backslash qquad(b\_0,b\_1,b\_2,\backslash dots\backslash in\backslash mathbb\; K)$
의 수렴 반지름이
: $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash left(\backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\backslash sum\_\{j\_1,j\_2,\backslash dotsc,j\_k\backslash ge\; 1\}^\{j\_1+j\_2+\backslash cdots+j\_k=n\}b\_\{j\_1\}b\_\{j\_2\}\backslash cdots\; b\_\{j\_k\}\backslash right)(x-x\_0)^n$
의 수렴 반지름은
: $[r$,\infty]
에 속한다. 여기서
: $r$=\sup\left\{0
이다. 또한 이는 자신의 수렴 영역에서 원래 두 멱급수의 합성으로 수렴한다.

3.3. 미분

멱급수의 수렴 반지름이
:$\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; na\_n(x-x\_0)^\{n-1\}$
의 수렴 반지름은 $r$이다. 이는 수렴 영역의 내부 $\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash mathbb\; K\}(x\_0,r)$에서 원래 멱급수의 도함수로 수렴한다. 도함수 멱급수가 수렴 영역의 경계점 $\backslash xi\backslash in\backslash partial\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash mathbb\; K\}(x\_0,r)$에서 수렴하면, 원래 멱급수 역시 $\backslash xi$에서 수렴한다. 그러나 이에 대한 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

함수 $f(x)$가 멱급수로 주어지면, 수렴 구간 내부에서 미분 가능하다. 미분과 적분은 모두 함수의 선형 변환이므로, 각 항을 따로따로 미분하고 적분할 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$
f'(x) &= \sum_{n=1}^\infty a_n n (x - c)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n + 1) (x - c)^n, \\
\int f(x)\,dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n (x - c)^{n+1}}{n + 1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} (x - c)^n}{n} + k.
\end{align}

이 두 급수는 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

함수가 멱급수로 주어지면, 수렴 영역의 내부에서 미분 가능하다. 이는 매우 쉽게 미분 및 적분할 수 있는데, 각 항별로 처리하면 된다:

::$$
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}


::$$
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서 k는 부정적분의 적분 상수를 나타낸다)

이와 같이 항별로 미분 또는 적분하여 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3.4. 적분

함수 $f(x)$가 멱급수로 주어지면, 수렴 구간 내부에서 미분 가능하며, 각 항을 따로따로 적분할 수 있다.

::$$
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

(여기서 $k$는 부정적분의 적분 상수이다)

이와 같이 항별로 적분하여 얻은 급수는 모두 원래 급수와 같은 수렴 반지름을 갖는다.

3.5. 중심의 변경

$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n\backslash qquad(x\_0,a\_0,a\_1,a\_2,\backslash dots\backslash in\backslash mathbb\; K)$의 수렴 반지름이
:$\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash left(\backslash sum\_\{k=n\}^\backslash infty\backslash binom\; kna\_k(x\_1-x\_0)^\{k-n\}\backslash right)(x-x\_1)^n$
의 수렴 반지름은
:$[r-|x\_1-x\_0|,r+|x\_1-x\_0|]$
에 속하며, 새로운 멱급수는 원래 멱급수와 스스로의 수렴 영역의 교집합에서 원래 멱급수로 수렴한다.

4. 성질

멱급수는 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

* 수렴 반지름: 중심이 $x\_0$인 멱급수 $\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; a\_n(x-x\_0)^n$는 특정 수렴 반지름 $r$을 가지며, 코시-아다마르 정리에 따라 이 값은 $\backslash frac\; 1r=\backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash sqrt[n]$