기멜 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 거듭제곱의 정의
4. 기멜 가설
5. 관련 연구
참조

1. 개요

기멜 함수는 모든 기수 κ에 대해 정의되는 함수로, $\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\operatorname{cf}\kappa}$ 로 표현된다. 여기서 $\operatorname{cf}\kappa$ 는 공종도를 나타낸다. 기멜 함수는 모든 무한 기수 $\kappa$ 에 대해 $\gimel(\kappa)>\kappa$ 의 성질을 가지며, 정규 기수 $\kappa$ 의 경우 $\gimel(\kappa)= 2^\kappa$ 이다. 특이 기수의 경우, 셸라의 PCF 이론을 통해 $\gimel(\kappa)$ 의 상한을 연구하며, 기수 지수를 재귀적으로 정의하는 데 사용된다. 기멜 가설은 $\gimel(\kappa)=\max(2^{\text{cf}(\kappa)},\kappa^+)$ 를 명시하며, 특이 기수에 대한 기멜 함수의 가장 작은 값을 의미한다.

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기멜 함수

2. 정의

기멜 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $\gimel\colon\operatorname{Card}\to\operatorname{Card}$

: $\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\operatorname{cf}\kappa}$

여기서 $\operatorname{cf}\kappa$ 는 공종도이다.

3. 성질

쾨니그 정리에 따르면, 모든 기수 $\kappa$ 에 대하여 $\kappa < \gimel(\kappa) \le 2^\kappa$ 가 성립한다.^[1] 정칙 기수 $\kappa$ 에 대해서는 $\gimel(\kappa) = 2^\kappa$ 이다. 특이 기수 $\kappa$ 에 대한 $\gimel(\kappa)$ 의 값은 셸라의 PCF 이론을 통해 연구된다.

일반화 연속체 가설을 가정하면, 기멜 함수는 다음과 같다.

: $\gimel(\kappa)=\begin{cases}1&\kappa=0\\\kappa&1\le\kappa<\aleph_0\\\kappa^+&\kappa\ge\aleph_0\end{cases}$

3. 1. 거듭제곱의 정의

기수의 거듭제곱은 기멜 함수를 통해 다음과 같이 정의된다.

무한 기수 $\kappa$ 에 대하여:

::

2^\kappa=\begin{cases}\gimel(\kappa)&\exists\lambda\colon\kappa=\lambda^+\\\max\{2^\mu,\gimel(\kappa)\}&\exists\mu<\kappa\colon\forall\lambda\in[\mu,\kappa)\colon 2^\lambda=2^\mu\\\gimel\left(\sup_{\lambda<\kappa}2^\lambda\right)&\nexists\mu<\kappa\colon\forall\lambda\in[\mu,\kappa)\colon 2^\lambda=2^\mu\end{cases}

임의의 두 무한 기수 $\kappa,\lambda$ 에 대하여:

::

\kappa^\lambda=\begin{cases}2^\lambda&2\le\kappa\le\lambda\\\mu^\lambda&\kappa>\lambda\land\left(\exists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\\gimel(\kappa)&\kappa>\lambda\ge\operatorname{cf}\kappa\land\left(\nexists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\\kappa&\operatorname{cf}\kappa>\lambda\land\left(\nexists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\\end{cases}

4. 기멜 가설

'''기멜 가설'''은 gimel^영어(κ) = max(2^cf(κ), κ⁺)라고 명시한다. 본질적으로 이것은 특이한 κ에 대한 gimel^영어(κ)가 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리(일관성을 가정)에 의해 허용되는 가장 작은 값임을 의미한다.^[1]

이 가설 하에서 기수 지수는 단순화되지만, 연속체 가설(기멜 가설을 의미함)만큼은 아니다.

5. 관련 연구

사하론 셸라는 가능 공종도 이론을 사용하여 $\aleph_\omega$ 와 같은 특이 기수에 대한 기멜 함수의 상한을 연구하였다.^[1] 부코프스키는 1965년에 모든 기수 지수화가 기멜 함수에 의해 재귀적으로 결정됨을 보였다.

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