기멜 함수

1. 개요

기멜 함수는 모든 기수 κ에 대해 정의되는 함수로, $\backslash gimel\backslash colon\backslash kappa\backslash mapsto\backslash kappa^\{\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa\}$로 표현된다. 여기서 $\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa$는 공종도를 나타낸다. 기멜 함수는 모든 무한 기수 $\backslash kappa$에 대해 $\backslash gimel(\backslash kappa)>\backslash kappa$의 성질을 가지며, 정규 기수 $\backslash kappa$의 경우 $\backslash gimel(\backslash kappa)=\; 2^\backslash kappa$이다. 특이 기수의 경우, 셸라의 PCF 이론을 통해 $\backslash gimel(\backslash kappa)$의 상한을 연구하며, 기수 지수를 재귀적으로 정의하는 데 사용된다. 기멜 가설은 $\backslash gimel(\backslash kappa)=\backslash max(2^\{\backslash text\{cf\}(\backslash kappa)\},\backslash kappa^+)$를 명시하며, 특이 기수에 대한 기멜 함수의 가장 작은 값을 의미한다.

2. 정의

기멜 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash gimel\backslash colon\backslash operatorname\{Card\}\backslash to\backslash operatorname\{Card\}$

:$\backslash gimel\backslash colon\backslash kappa\backslash mapsto\backslash kappa^\{\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa\}$

여기서 $\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa$는 공종도이다.

3. 성질

쾨니그 정리에 따르면, 모든 기수 $\backslash kappa$에 대하여 가 성립한다. 정칙 기수 $\backslash kappa$에 대해서는 $\backslash gimel(\backslash kappa)\; =\; 2^\backslash kappa$이다. 특이 기수 $\backslash kappa$에 대한 $\backslash gimel(\backslash kappa)$의 값은 셸라의 PCF 이론을 통해 연구된다.

일반화 연속체 가설을 가정하면, 기멜 함수는 다음과 같다.
:

3.1. 거듭제곱의 정의

기수의 거듭제곱은 기멜 함수를 통해 다음과 같이 정의된다.

* 무한 기수 $\backslash kappa$에 대하여:
::$2^\backslash kappa=\backslash begin\{cases\}$
\gimel(\kappa)&\exists\lambda\colon\kappa=\lambda^+\\
\max\{2^\mu,\gimel(\kappa)\}&\exists\mu<\kappa\colon\forall\lambda\in[\mu,\kappa)\colon 2^\lambda=2^\mu\\
\gimel\left(\sup_{\lambda<\kappa}2^\lambda\right)&\nexists\mu<\kappa\colon\forall\lambda\in[\mu,\kappa)\colon 2^\lambda=2^\mu\end{cases}


* 임의의 두 무한 기수 $\backslash kappa,\backslash lambda$에 대하여:
::$\backslash kappa^\backslash lambda=\backslash begin\{cases\}$
2^\lambda&2\le\kappa\le\lambda\\
\mu^\lambda&\kappa>\lambda\land\left(\exists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\
\gimel(\kappa)&\kappa>\lambda\ge\operatorname{cf}\kappa\land\left(\nexists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\
\kappa&\operatorname{cf}\kappa>\lambda\land\left(\nexists\mu<\kappa\colon\mu^\lambda\ge\kappa\right)\\
\end{cases}

4. 기멜 가설

기멜 가설은 gimel^영어(κ) = max(2^cf(κ), κ⁺)라고 명시한다. 본질적으로 이것은 특이한 κ에 대한 gimel^영어(κ)가 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리(일관성을 가정)에 의해 허용되는 가장 작은 값임을 의미한다.

이 가설 하에서 기수 지수는 단순화되지만, 연속체 가설(기멜 가설을 의미함)만큼은 아니다.

5. 관련 연구

사하론 셸라는 가능 공종도 이론을 사용하여 $\backslash aleph\_\backslash omega$와 같은 특이 기수에 대한 기멜 함수의 상한을 연구하였다. 부코프스키는 1965년에 모든 기수 지수화가 기멜 함수에 의해 재귀적으로 결정됨을 보였다.