쾨니그의 정리 (집합론)

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1. 개요
2. 정의
3. 따름정리
4. 증명
5. 역사
참조

1. 개요

쾨니그의 정리(집합론)는 기수(cardinal number)에 관한 중요한 정리로, 주어진 기수들의 합이 곱보다 작다는 것을 나타낸다. 이 정리는 선택 공리와 동치 관계에 있으며, 칸토어의 정리와 같은 다른 정리들의 증명에 활용된다. 쾨니그의 정리는 기수의 공종도(cofinality)와 관련된 중요한 결과를 도출하며, 이스턴의 정리에 따른 정규 기수에 대한 연속체 함수의 제약을 보여준다. 1904년 헝가리 수학자 쾨니그 줄러에 의해 증명되었다.

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쾨니그의 정리 (집합론)
일반 정보
분야	집합론
증명	기수 연산, 선택 공리
이름	쾨니그의 정리
내용
서술	임의의 인덱스 집합 I에 대해, 모든 i ∈ I에 대해 aᵢ와 bᵢ가 기수이고 aᵢ < bᵢ이면, Σ aᵢ < ∏ bᵢ이다.
같이 보기	선택 공리 ZF 기수
인물 정보
명명자	쾨니그 줄러

2. 정의

집합 $I$ 및 기수의 집합 $\{\kappa_i\}_{i\in I}$ , $\{\lambda_i\}_{i\in I}$ 가 주어졌고, 모든 $i\in I$ 에 대하여 $\kappa_i<\lambda_i$ 라고 하자. '''쾨니그의 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]

: $\sum_{i\in I}\kappa_i<\prod_{i\in I}\lambda_i$

여기서 '<'는 기수에서 엄격하게 작음을 의미하며, 즉 $A_i$ 에서 $B_i$ 로 가는 단사 함수가 존재하지만, 그 반대 방향으로는 존재하지 않음을 의미한다. 포함된 합집합은 서로소일 필요는 없다(서로소 집합이 아닌 합집합은 서로소 버전보다 클 수 없으며, 이는 선택 공리를 가정한다). 이 공식에서 '''쾨니그의 정리'''는 선택 공리와 동치이다.^[1]

쾨니그의 정리는 결론의 엄격한 부등식 때문에 주목할 만하다. 무한한 기수의 합과 곱의 산술에 대한 많은 쉬운 규칙들이 있으며, 여기서 약한 부등식(≤)만 결론 내릴 수 있다. 예를 들어, 모든 ''i'' ∈ ''I''에 대해 $m_i < n_i$ 이면, 다음과 같은 결론만 내릴 수 있다.

: $\sum_{i \in I} m_i \le \sum_{i \in I} n_i$

예를 들어, 인덱스 집합 ''I''가 자연수일 때, $m_i = 1$ 및 $n_i = 2$ 로 설정하면 양변에 대해 합 $\aleph_0$ 가 나오며, 등식이 성립한다.

3. 따름정리

쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.^[1]

''I''가 집합이고, 모든 ''i'' ∈ ''I''에 대해 ''A_i''와 ''B_i''가 집합이며, 모든 ''i'' ∈ ''I''에 대해 $A_i 이면,$

:

\sum_{i \in I}A_i < \prod_{i \in I}B_i

여기서 '''<'''는 기수에서 엄격하게 작음을 의미하며, 즉 ''A_i''에서 ''B_i''로 가는 단사 함수가 존재하지만, 그 반대 방향으로는 존재하지 않음을 의미한다. 포함된 합집합은 서로소일 필요는 없다(서로소 집합이 아닌 합집합은 서로소 버전보다 클 수 없으며, 이는 선택 공리를 가정한다).^[1]

(물론, 쾨니그의 정리는 기수 ''m_i''와 ''n_i''가 유한이고 인덱스 집합 ''I''가 유한하면 자명하다. ''I''가 공집합이면, 왼쪽 합은 빈 합이므로 0이고, 오른쪽 곱은 빈 곱이므로 1이다.)

쾨니그의 정리는 결론의 엄격한 부등식 때문에 주목할 만하다. 무한한 기수의 합과 곱의 산술에 대한 많은 쉬운 규칙들이 있으며, 여기서 약한 부등식 ≤만 결론 내릴 수 있다. 예를 들어, 모든 ''i'' ∈ ''I''에 대해

m_i < n_i

이면, 다음과 같은 결론만 내릴 수 있다.

:

\sum_{i \in I} m_i \le \sum_{i \in I} n_i

예를 들어, 인덱스 집합 ''I''가 자연수일 때,

m_i = 1

및

n_i = 2

로 설정하면 양변에 대해 합

\aleph_0

가 나오며, 등식이 성립한다.

3. 1. 칸토어의 정리

\kappa_i=1

이며

\lambda_i=2

라고 하면, 다음과 같다.

:

|I|<2^

이는 칸토어의 정리이다. 만약

\kappa

가 기수라면,

\kappa < 2^\kappa

이다. 각

i

에 대해

m_i=1

와

n_i=2

를

\kappa

로 잡으면, 위 부등식의 좌변은

\kappa

가 되고, 우변은

2^\kappa

가 되는데, 이는

\kappa

에서

\{0,1\}

로 가는 함수의 기수, 즉

\kappa

의 멱집합의 기수이다. 따라서 쾨니그의 정리는 칸토어의 정리의 또 다른 증명을 제공한다. (역사적으로 칸토어의 정리가 훨씬 일찍 증명되었다.)

3. 2. 선택 공리

\kappa_i=0

이고,

\lambda_i

가 임의의 0이 아닌 기수라고 할 때, 다음이 성립한다.

:

0<\prod_{i\in I}\lambda_i

이는 선택 공리의 한 형태이다.^[1]

쾨니그의 정리는 선택 공리와 동치이다.^[1] 선택 공리를 명시하는 한 가지 방법은 "공집합이 아닌 집합들의 임의의 데카르트 곱은 공집합이 아니다"이다. 각 ''i'' ∈ ''I''에 대해 ''B_i''를 공집합이 아닌 집합이라고 하고, 각 ''i'' ∈ ''I''에 대해 ''A_i'' = {}라고 하면, 쾨니그의 정리에 의해 다음이 성립한다.

만약 $\forall i \in I(\{\} < B_i)$ 이면, $\{\} < \prod_{i \in I}B_i$ 이다.

즉, 주어진 공집합이 아닌 집합 ''B_i''들의 데카르트 곱은 공집합들의 합보다 더 큰 기수를 갖는다. 따라서 공집합이 아니며, 이는 선택 공리가 말하는 바와 같다. 선택 공리는 쾨니그의 정리로부터 유도되므로, 이 정리의 결과에 대해 논의할 때 우리는 선택 공리를 자유롭고 암묵적으로 사용한다.^[3]

3. 3. 공종도의 지수

I

가 무한 기수

\mu\ge\aleph_0

의 공종 집합이라고 할 때,

\mu<\mu^{\operatorname{cf}\mu}\stackrel{\text{def}}=\gimel(\mu)

가 성립한다. 여기서

\gimel(\mu)

는 기멜 함수이다.

쾨니그의 정리는 기수의 공종도에 중요한 영향을 미친다.

$\kappa \ge \aleph_0$ 이면, $\kappa < \kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ 이다.

κ가 정규 기수라면, 이 명제는 칸토어의 정리에서 바로 유도된다. κ가 특이 기수라면, κ는 극한 기수이다. κ에 접근하는 엄격히 증가하는 cf(κ)-수열 기수를 선택하고, λ를 그들의 합으로 놓는다. 쾨니그의 정리에 의해, λ는 κ의 cf(κ)개 복사본의 곱보다 작다. 각 합은 λ의 하한이므로 λ ≥ κ이다. 또한, λ ≤ cf(κ)·κ = κ이므로, λ = κ임을 보일 수 있다.

이스턴의 정리에 따르면, 다음 결과는 정규 기수에 대한 연속체 함수에 대한 유일한 비자명 제약이다.^[1]

$\kappa \geq \aleph_0$ 이고 $\lambda \geq 2$ 이면, $\kappa < \operatorname{cf}(\lambda^\kappa)$ 이다.

\mu = \lambda^\kappa

라고 가정하고,

\kappa \ge \operatorname{cf}(\mu)

라고 가정하면,

\mu < \mu^{\operatorname{cf}(\mu)} \le \mu^\kappa = (\lambda^\kappa)^\kappa = \lambda^{\kappa \cdot \kappa} = \lambda^\kappa = \mu

가 되어 모순이 발생한다.

3. 4. 공종도의 하한

어떤 무한 기수

\kappa\ge\aleph_0

와 기수

\lambda\ge2

에 대하여, 다음이 항상 성립한다.

:

\kappa<\operatorname{cf}(\lambda^\kappa)

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 이미 증명된 따름정리에 따라

:

\left(\lambda^\kappa\right)^\kappa=\lambda^\kappa<\left(\lambda^\kappa\right)^{\operatorname{cf}(\lambda^\kappa)}

이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서

:

\kappa<\operatorname{cf}(\lambda^\kappa)

이다.

이스턴의 정리에 따르면, 쾨니그의 정리의 다음 결과는 정규 기수에 대한 연속체 함수에 대한 유일한 비자명 제약이다.

만약 $\kappa \geq \aleph_0$ 이고 $\lambda \geq 2$ 이면, $\kappa < \operatorname{cf}(\lambda^\kappa)$ 이다.

\mu = \lambda^\kappa

라고 하자. 이 따름정리에 반하여,

\kappa \ge \operatorname{cf}(\mu)

라고 가정한다. 그러면 이전 따름정리를 사용하여,

\mu < \mu^{\operatorname{cf}(\mu)} \le \mu^\kappa = (\lambda^\kappa)^\kappa = \lambda^{\kappa \cdot \kappa} = \lambda^\kappa = \mu

가 되어 모순이 발생한다.

4. 증명

집합족 $\{A_i\}_{i\in I}$ 와 $\{B_i\}_{i\in I}$ 가 주어졌고, 임의의 $i\in I$ 에 대하여 전사 함수

: $A_i\twoheadrightarrow B_i$

가 존재하지 않는다고 가정한다. 임의의 함수

: $f\colon\bigsqcup_{i\in I}A_i\twoheadrightarrow\prod_{i\in I}B_i$

가 주어졌을 때, $f$ 가 전사 함수가 아님을 보이면 충분하다.

사영 함수

: $\sigma_i\colon A_i\hookrightarrow\bigsqcup_{i\in I}A_i$

: $\pi_i\colon\prod_{i\in I}B_i\twoheadrightarrow B_i$

를 정의하여,

: $f_i=\pi_i\circ f\circ\sigma_i\colon A_i\to B_i$

를 생각한다. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,

: $b_i\in B_i\setminus f_i(A_i)$

를 선택할 수 있다. 그렇다면

: $(b_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}B_i\setminus f\left(\bigsqcup_{i\in I}A_i\right)$

이므로, $f$ 는 전사 함수가 아니다.

체르멜로-프렝켈 집합론(특히 선택 공리를 포함)을 가정하면, 이 정리를 증명할 수 있다. $\forall i\in I\quad A_i 를 가지고 있으며, \sum_{i\in I}A_i<\prod_{i\in I}B_i 임을 보이고자 한다.$

선택 공리는 ''A'' < ''B''라는 조건이, ''A''에서 ''B''로의 전사 함수가 없고, ''B''가 공집합이 아니라는 조건과 동치임을 의미한다.

따라서, ''A''_''i''에서 ''B''_''i''≠{}로의 함수가 없다는 것을 알고 있으며, ''A''들의 분리합집합에서 ''B''들의 곱으로 가는 임의의 함수 ''f''가 전사적이지 않으며, 곱이 공집합이 아님을 보여야 한다. 곱이 공집합이 아니라는 것은 선택 공리와 인자들이 공집합이 아니라는 사실로부터 바로 따라 나온다. 각 ''i''에 대해, ''f''와 ''B''_''i''로의 투영의 합성 아래에서 ''A''_''i''의 이미지에 없는 ''B''_''i'' 안의 ''b''_''i''를 선택한다. 그러면 요소 ''b''_''i''들의 곱은 ''f''의 이미지에 없으므로, ''f''는 ''A''들의 분리합집합을 ''B''들의 곱으로 사상하지 않는다.

칸토어의 대각선 논법과 유사한 논증을 통해, 합에서 곱으로의 함수 ''f''가 전사 함수가 아님을 보일 수 있다. 함수 ''f''에 대해, ''f''의 값이 될 수 없는 곱의 원소 ''e''를 구성한다. ''I''의 각 원소 ''i''에 대해, ''A_i''에서 ''B_i''로의 함수 ''f_i''를 ''f_i''(''a'') = (''f''(''a''))(''i'')로 정의한다. 가정에 의해 ''f_i''는 ''A_i''에서 ''B_i''로의 전사 함수가 아니므로, ''I''의 각 원소 ''i''에 대해, ''B_i''의 원소 중 ''f_i''의 상에 포함되지 않는 것이 있다. 선택 공리에 의해, ''B''의 원소 ''e''가 존재하여 ''e''(''i'')가 ''f_i''의 값이 되지 않는 것이 존재한다. 만약 ''f''가 전사 함수라면, 어떤 ''A_i''와 ''A_i''의 원소 ''c''가 존재하여 ''f''(''c'') = ''e''를 만족한다. 하지만, ''f_i''(''c'') = ''e''(''i'')가 되므로, 이는 ''e''(''i'')의 선택에 모순된다. 따라서 ''f''는 전사 함수가 아니다.

따라서, 곱의 농도는 합의 농도보다 진정으로 크다.

5. 역사

헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.^[4]^[5]

참조

_[1] 서적 Equivalents of the Axiom of Choice, II https://archive.org/[...] North Holland
_[2] 문서 ハンガリー人数学者 Gyula Kőnig に由来する。ケーニヒは[[Julius König]]の名前で発表していた。
_[3] 서적 Equivalents of the Axiom of Choice, II North Holland
_[4] 서적 Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904 http://ada00.math.un[...] 2015-01-04
_[5] 저널 Zum Kontinuum-Problem 1905

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