가능 공종도

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1. 개요

가능 공종도는 정칙 기수의 집합 A에 대한 초곱들의 공종도 집합으로, 집합론의 한 분야이다. A의 모든 초곱들의 공종도의 집합으로 정의되며, 기수의 기멜 함수의 상한을 증명하는 데 사용된다. pcf(A)는 정칙 기수의 집합이며, A를 포함한다. 쉴라(Shelah)는 |A||A|임을 증명했다. 이 이론은 기수 산술, 부울 대수, 무한 논리 등 다양한 분야에 응용된다. 아직 해결되지 않은 주요 문제는 |pcf(A)|=|A|가 모든 정규 기수 집합 A에 대해 성립하는지 여부이다. 사하론 셸라흐가 1978년에 이 이론을 도입했다.

가능 공종도

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 미해결 문제
6. 역사

2. 정의

정칙 기수의 집합 $A$ 가 주어졌을 때, 각 기수는 순서수이자 정렬 집합으로 간주될 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 $\langle\le\rangle$ 은 1차 논리로 서술된다. $A$ 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, $A$ 의 임의의 극대 필터 $\mathcal U\subset\mathcal P(A)$ 를 잡아 초곱 $\prod A/\mathcal U$ 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리에 따라서 마찬가지로 전순서 집합을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도를 정의할 수 있다.

정칙 기수의 집합 $A$ 의 가능 공종도 $\operatorname{pcf}A$ 는 $A$ 의 모든 초곱들의 공종도의 집합이다.
: $\operatorname{pcf}A=\left\{\operatorname{cf}\left(\prod A/\mathcal U\right)\colon\mathcal U\in\operatorname{Ultrafilter}(A)\right\}$
여기서 $\operatorname{Ultrafilter}(A)$ 는 $A$ 위의 극대 필터의 집합이다.

만약 A가 정규 기수의 무한 집합이고, D가 A에 대한 초필터이면,
$\operatorname{cf}\left(\prod A/D\right)$ 는 다음과 같이 정의된 순서에 따른 함수 집합 $\prod A$ 의 공종성을 나타낸다:
$f 는 \{x\in A:f(x) 일 경우이다.$
pcf(A)는 A에 대한 모든 초필터를 고려할 때 발생하는 공종성의 집합이다.

3. 성질

임의의 정칙 기수의 집합 $A$ 에 대하여, $\operatorname{pcf}(A)$ 는 정칙 기수의 집합이며, $A\subset\operatorname{pcf}(A)$ 이다. 이는 주 필터인 극대 필터를 고려하여 알 수 있다.

만약 $|A|<\min A$ 라면, $|\operatorname{pcf}A|\le2^$

👆

좌우로 밀어서 보기

이고,

\max\operatorname{pcf}A

가 존재하며,

\operatorname{pcf}\operatorname{pcf}A=\operatorname{pcf}A

이다.

정칙 기수의 집합

A

와

B

에 대하여,

|A|<\min A

|B|<\min B

B\subset\operatorname{pcf}A

라면,

\operatorname{pcf}B\subset\operatorname{pcf}A

이고, 임의의

\kappa\in\operatorname{pcf}B

에 대하여,

|C|\le|A|

이고

\kappa\in\operatorname{pcf}C

인

C_\kappa\subset B

가 존재한다.

쉴라(Shelah)는

|A|<\min(A)

이면, pcf(A)는 최대 원소를 가지며, 각 초필터 D on A에 대해

\operatorname{cf}\left(\prod A/D\right)

가

B_\theta\in D

를 만족하는 pcf(A)의 최소 원소 θ가 되도록 하는 A의 부분 집합

\{B_\theta:\theta\in \operatorname{pcf}(A)\}

가 존재함을 증명했다. 결과적으로,

\left|\operatorname{pcf}(A)\right|\leq2^

👆

좌우로 밀어서 보기

이다.

쉴라는 또한 A가 정규 기수의 구간(즉, A는 두 기수 사이의 모든 정규 기수의 집합)이면 pcf(A)도 정규 기수의 구간이며 |pcf(A)|<|A|⁺⁴임을 증명했다. 이는 ℵ_ω가 강한 극한 기수라고 가정할 때,

2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_4}

임을 의미한다.

λ가 무한 기수이면, J_<λ는 모든 초필터 D에 대해

\operatorname{cf}\left(\prod A/D\right)<\lambda

가 성립하는 경우 B∈J_<λ (

B\in D

)인 A에 대한 이상이다. J_<λ는

\{B_\theta:\theta\in \operatorname{pcf}(A),\theta<\lambda\}

에 의해 생성된 이상이다. 모든 λ∈pcf(A)에 대해

\prod B_\lambda

의 원소로 이루어진 길이가 λ인 수열이 있으며, 이는 J_<λ mod에 대해 증가하고 공종적이다. 이는 점별 지배 하에서

\prod A

의 공종성이 max(pcf(A))임을 의미한다.

λ가 특이하고 λ보다 작은 정규 기수가 Jónsson이 아니면 λ⁺ 또한 Jónsson이 아니다. 특히, ℵ_ω+1에 대한 Jónsson 대수가 있다.

4. 응용

가능 공종도 이론은 기수의 기멜 함수의 다양한 상한을 증명하는 데 사용된다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 $\gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\operatorname{cf}\kappa}$ 와 연속체 함수 $\kappa\mapsto2^\kappa$ 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(Easton’s theorem^영어)에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지 성질을 증명할 수 있다.

Shelah의 원본 조사 "회의론자를 위한 기수 산술"에는 거의 자유 아벨 군, 분할 문제, 곱셈에 따른 부울 대수에서 사슬 조건의 보존 실패, Jónsson 대수의 존재, 얽힌 선형 순서의 존재, 동등하게 좁은 부울 대수, 그리고 특정 무한 논리에서 동등한 비동형 모델의 존재와 같은 내용이 언급되어 있다.

그동안 집합론, 모형 이론, 대수학 및 위상수학에서 많은 추가 응용 분야가 발견되었다.

5. 미해결 문제

PCF 이론에서 가장 악명 높은 추측은 |pcf(A)|=|A|가 |A|A)인 모든 정규 기수 집합 A에 대해 성립한다는 것이다. 이는 ℵ_ω가 강한 극한이면 $2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_1}$ 라는 날카로운 경계가 성립함을 의미한다. 유사한 경계 $2^{\aleph_{\omega_1}}<\aleph_{\omega_2}$ 는 창의 추측(마기도르) 또는 쿠레파 트리의 부재(셸라)로부터 도출된다.

더 약하지만, 여전히 해결되지 않은 추측은 |A|A)이면 pcf(A)는 접근 불가능한 극한점을 갖지 않는다는 것이다. 이는 pcf(pcf(A))=pcf(A)라는 명제와 동일하다.

6. 역사

사하론 셸라흐가 1978년에 가능 공종도 이론을 도입하였다.