가능 공종도
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2. 정의
정칙 기수의 집합 A 가 주어졌을 때, 각 기수는 순서수 이자 정렬 집합으로 간주될 수 있다. 정렬 순서의 이론은 1차 논리 로 서술할 수 없지만 전순서의 이론 \langle\le\rangle 은 1차 논리로 서술된다. A 를 전순서의 이론의 모형들의 집합으로 간주하였을 때, A 의 임의의 극대 필터 \mathcal U\subset\mathcal P(A) 를 잡아 초곱 \prod A/\mathcal U 을 정의할 수 있다. 이는 워시 정리 에 따라서 마찬가지로 전순서 집합 을 이루지만, 일반적으로 정렬 집합이 아닐 수 있다. 순서수 와 마찬가지로 전순서 집합의 공종도 를 정의할 수 있다.A 의 '''가능 공종도''' \operatorname{pcf}A 는 A 의 모든 초곱 들의 공종도 의 집합이다.\operatorname{pcf}A=\left\{\operatorname{cf}\left(\prod A/\mathcal U\right)\colon\mathcal U\in\operatorname{Ultrafilter}(A)\right\} \operatorname{Ultrafilter}(A) 는 A 위의 극대 필터의 집합이다.\operatorname{cf}\left(\prod A/D\right) 는 다음과 같이 정의된 순서에 따른 함수 집합 \prod A 의 공종성을 나타낸다:f는 \{x\in A:f(x)일 경우이다.
3. 성질
임의의 정칙 기수의 집합 A 에 대하여, \operatorname{pcf}(A) 는 정칙 기수의 집합이며, A\subset\operatorname{pcf}(A) 이다.|A|<\min A 라면, |\operatorname{pcf}A|\le2^
이고,\max\operatorname{pcf}A 가 존재하며,\operatorname{pcf}\operatorname{pcf}A=\operatorname{pcf}A 이다.A 와 B 에 대하여, |A|<\min A , |B|<\min B , B\subset\operatorname{pcf}A 라면, \operatorname{pcf}B\subset\operatorname{pcf}A 이고, 임의의 \kappa\in\operatorname{pcf}B 에 대하여, |C|\le|A| 이고 \kappa\in\operatorname{pcf}C 인 C_\kappa\subset B 가 존재한다.|A|<\min(A) 이면, pcf(''A'')는 최대 원소를 가지며, 각 초필터 ''D'' on ''A''에 대해 \operatorname{cf}\left(\prod A/D\right) 가 B_\theta\in D 를 만족하는 pcf(''A'')의 최소 원소 θ가 되도록 하는 ''A''의 부분 집합 \{B_\theta:\theta\in \operatorname{pcf}(A)\} 가 존재함을 증명했다. 결과적으로, \left|\operatorname{pcf}(A)\right|\leq2^이다.+4 임을 증명했다. 이는 ℵω 가 강한 극한 기수 라고 가정할 때, 2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_4} 임을 의미한다.<λ 는 모든 초필터 ''D''에 대해 \operatorname{cf}\left(\prod A/D\right)<\lambda 가 성립하는 경우 ''B''∈''J''<λ (B\in D )인 ''A''에 대한 이상이다. ''J''<λ 는 \{B_\theta:\theta\in \operatorname{pcf}(A),\theta<\lambda\} 에 의해 생성된 이상이다. 모든 λ∈pcf(''A'')에 대해 \prod B_\lambda 의 원소로 이루어진 길이가 λ인 수열이 있으며, 이는 ''J''<λ mod에 대해 증가하고 공종적이다. 이는 점별 지배 하에서 \prod A 의 공종성이 max(pcf(''A''))임을 의미한다.+ 또한 Jónsson이 아니다. 특히, ℵω+1 에 대한 Jónsson 대수가 있다.
4. 응용
가능 공종도 이론은 기수 의 기멜 함수 의 다양한 상한을 증명하는 데 사용된다. 기수의 거듭제곱은 기멜 함수 \gimel\colon\kappa\mapsto\kappa^{\operatorname{cf}\kappa} 와 연속체 함수 \kappa\mapsto2^\kappa 로 결정되는데, 후자는 이스턴 정리(Easton’s theorem영어 )에 따라 ZFC로 결정할 수 없는 반면, 전자에 대해서는 여러 가지 성질을 증명할 수 있다.
5. 미해결 문제
PCF 이론에서 가장 악명 높은 추측은 |pcf(''A'')|=|''A''|가 |''A''|ω가 강한 극한이면 2^{\aleph_\omega}<\aleph_{\omega_1} 라는 날카로운 경계가 성립함을 의미한다. 유사한 경계 2^{\aleph_{\omega_1}}<\aleph_{\omega_2} 는 창의 추측(마기도르 ) 또는 쿠레파 트리의 부재(셸라)로부터 도출된다.
6. 역사
사하론 셸라흐 가 1978년에 가능 공종도 이론을 도입하였다.
참조
[1]
저널
Cardinal arithmetic for skeptics
1992
[2]
저널
Shelah’s pcf theory and its applications
1990-12-14
[3]
저널
Jonsson algebras in successor cardinals
1978-03
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